Обратная задача типа управления об определении старшего коэффициента одномерного параболического уравнения

В работах [1–5] и др. изучены обратные задачи типа управления для параболических уравнений при классических граничных условиях и локальных условиях переопределения. Такие задачи при нелокальных условиях менее исследованы [6].

В данной работе рассматривается обратная задача типа управления об определении старшего коэффициента одномерного параболического уравнения при интегральных условиях. Доказано существование решения задачи. Найдена формула для градиента целевого функционала на множестве допустимых управлений из пространства Соболева и получено необходимое условие оптимальности для допустимого управления.

Постановка обратной задачи типа управления

В работе для функциональных пространств и их норм используем обозначения из [7, с. 12–

15]. Через W^0 (0,l) (соответственно V^ (Q), W^ (Q)) будем обозначать подпространство функций из W2> (0,l) (соответственно V21,0(Q), W1 (Q)), равных нулю при x = 0 . Через M1,M2,... обозначаем положительные постоянные входящие в получаемые оценки.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления для линейного параболического уравнения: пусть требуется найти пару функций {u = u(x,t) = u(x,t;u),u = u(x)} , минимизирую- щих функционал

l

J ^{( u )}= j

T

dx ,

при условиях ut-(u( x) ux ) + a (x, t) u = f (x, t),  (x, t )e Q = {( x, t) :0 < x < l ,0 < t < T},(2)

u (x ,0) = ф( x),  0 < x < l,(3)

l

u(0, t) = 0,    u(l)ux (l, t) = jH(x, t)u (x,t)dx, 0 < t < T,(4)

и = u(x)e V = {u = u(x)e W^ (0,l) :0 < v < u(x)< ц,|u'(x)|< d п.в.на (0,l)} .(5)

Здесь ц > v >  0, l , T , d >  0 - некоторые постоянные, a ( x , t ) , f ( x , t ) , ф ( x ) , H ( x , t ) , ш ( t ), a ( x ) - известные измеримые функции, удовлетворяющие следующие условия:

|a ( x , t ) <  ц , H ( x , t )| < ц , H ( x , t )| < ц п.в.на Q , f ( x , t ) e L 2 ( Q ) , ф ( x ) e W Q ( 0, l ) ,

«(t)eL2 (0,T), a(x)eL2 (0,l), ц1,ц2 = const >0 ,(6)

и = u ( x ) - управление, V - множество допустимых управлений.

Отметим, что задача (1)–(5) является вариационной постановкой обратной задачи для параболического уравнения (2) об определении функций { u ( x , t; и ) , и ( x ) } , удовлетворяющих условиям (3)–(5) и условию переопределения интегрального вида

T j <у( t) u (x, t ;u) dt = a( x),  0 < x < l.                                  (7)

В работе [8] изучена обратная задача об определении старшего коэффициента параболического уравнения с интегральным условием переопределения в традиционной постановке.

Функция u(x,t) = u(x,t;u)e V^ (Q) называется обобщенным решением из V21,0 (Q) краевой задачи (2)–(4), если

T

j [- u n _t + u ( x ) u_x n _x + a ( x , t ) u n ] dxdt - j

Q

0 L 0

l j H (x, t) u (x, t) dx

П ( l , t ) dt =

l

= j ф ( x 'П^ x ,0 ) dx + j f ( x , t )) n dx^:d^t ,

Q для всех n = n(x,t)e W21,g(Q) = {n:ne W>,0(Q), n(x,T) = 0}.

Из результатов работы [9] следует что, для каждого и = и ( x ) e V , краевая задача (2)-(4) имеет единственное обобщенное решение из пространства V ₂ ^1,0 ( Q ) . Кроме того, его обобщенное решение принадлежит также пространству W ₂ 10 ( Q ) и верна оценка

|| « IK Q <  м i L и 21)0. l ) +i и k q ~ •

Существование решения обратной задачи типа управления

Теорема 1. Пусть выполнены условия (6). Тогда для задачи (1)-(5) существует хотя бы одно оптимальное управление.

Доказательство. Возьмем какую-либо точку и e V. Пусть последовательность {ик } с V такова, что uk ^ и слабо в W21 (0, l).                                  (10)

Тогда из компактности вложения W,1 (0,l)^ C[0,l] [7, с. 78] следует, что uk ^ и сильно в C[0, l].                                 (11)

Положим u_k = u_k ( x,t ) = u ( x,t;v_k ) . Тогда полагая u = u_k , u = u_k в (1)-(3) и учитывая оценку (9) для функции u = u_k , получим

II U k\ ^ < M 2   ( k = 1,2,.. .) .

Тогда из (12) в силу теоремы вложения [7, с. 78] существует подпоследовательность {uk^} такая, что uk^ ^ u слабо в W21 (Q) и сильно в L2 (Q), где u = u(x,t)g W210 (Q) - некоторая функция.

Для функций u_k = u_k ( x , t ) справедливы тождества

J [- u k_m n t ^{+ u} k_m ^{( x} ) '< •

Q

T

l

n x +a ( x , t ) u_k n ] dxdt - J J H ( x , t ) u_k ( x , t ) dx П ( l , t ) dt =

_ 0

l

= J у ( x ) n ( x,0 ) dx + J f ( x , t ')n d^xdt  ( k = 1,2,... ) , V n = n ( x , t ) g W 1,0 ( Q ) .

Q

Используя (10)–(13), доказываем, что

J ^uk_m ( ^x ) ^uk_mx n x^dxdt ^ J ^U ( ^x ) ^ux n x^dxdt ,

QQ

J J H ( x , t ) u_k ( x , t ) dx n ( l , t ) dt ^ J J H ( x , t ) u ( x , t ) dx П ( l , t ) dt.

T

l

T

l

0 _ 0

Из (14) при   k m ^^

_                0 _ 0                      _ с помощью (13),  (15),  (16) получаем (8). Следовательно,

u(x,t) = u(x,t;и) . Тогда согласно (13), справедливо соотношение u (x,t;uk^ )^ u (x,t;u) сильно в L2 (Q) .

Тогда из единственности решение задачи (2)–(4) следует, что соотношение (17) справедливо для всей последовательности { u_k } , т. е.

u ( x,t;u_k ) ^ u ( x,t;u ) сильно в L 2 ( Q ) .

Из (18) следует, что J ( u_k ) ^ J ( и ) при k ^^ , т. е. функционал J ( и ) слабо непрерывен на V . Тогда из результатов работы [10, c. 49, 51] следует, что справедлива теорема 1.

Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие оптимальности

Введем сопряженную краевую задачу для задачи (1)–(5):

T

y t + ( ^u ( ^x ) y x ) _x ^-

a ( x , t У + H ( x,t)^ y ( l,t ) = 2 J ^ ( t ) u (

_ 0

x , t ; u ) d T - а ( x ) ^ ( t ) ,   ( x , t ) e Q ,  (19)

у (x, T ) = 0,  0 < x < l, у (0, t ) = 0, yx (l, t ) = 0,  0 < t < T.

Пусть у = y ( x , t ) = y ( x , t ; u ) есть обобщенное решение краевой задачи (19)-(21) из V ₂ ^1,0 ( Q ) , т. е. эта функция принадлежит пространству V^ ( Q ) и удовлетворяет интегральному тождеству

Q

T

Q

^V n = n ( X , t ) e ^W 2*0 ( Q ) = { n : n e W b ( Q ) , n ( x ^,0 ) = ⁰ } .

Можно показать, что задача (19)-(21) однозначно разрешима в пространстве V ₂ ^1,0 ( Q ) . Кроме того, у = у ( x , t ) = у ( x , t ; u ) e W ₂ 1, ₀ ( Q ) и

I и 2Q <  M 3

J< y ( r ) u ( x , t ; u ) d r - a ( x )

m(t)

2, Q

Для оценки нормы в правой части (23) используем неравенство Коши–Буняковского и, учитывая (9), имеем

I H I 2/ Q - M 4 M l 2, ( 0, T )(l И 2, ( 0, l ) +l V IL, Q ) + l H I 2, ( 0, l ) "                        ⁽²⁴⁾

Пусть функция 0 = 0 ( x; u ) g W ^ ( 0, l ) является обобщенным решением из W 2 ( 0, l ) следующей вспомогательной краевой задачи:

T

- 0 " + 0 = J u_x ( x , t; u}y_x ( x , t u ) dt ,  0 <  x <  l ,                       (25)

O '( 0 ) = O '( l ) = 0.

Для решения краевой задачи (25), (26) справедливо тождество

l             lT

J ( O' n ' + On ) dx = J J u_x ( x , t; u M_x ( x , t; u ) dt n dx ,

V n = n ( x ) e W ₂ 1 ( 0, l )

0                    0 у 0

Задача (25), (26), при каждом заданном и = и ( x ) е V , имеет единственное обобщенное решение 0 = O ( x; u ) е W 2 ¹ ( 0, l ) [11, с. 39, теорема 4]. Кроме того, полагая в (27) п = 0 , используя ограниченность вложения W ¹ ( 0, l ) ^ C [ 0, l ] и неравенство Коши-Буняковского, имеем

l

J[(0')2 + 0 ] dx < l°lс[0,l] J luxMx I dxdt < M5 I°|21,(0,l) Iux 112,Q IK 112,Q • 0

Отсюда следует оценка

II0^ )- M5l Шk,qIMxlk,Q'

Теорема 2. Пусть выполнены условия (6). Тогда функционал J ( u ) непрерывно дифференцируем по Фреше на множестве V и справедлива формула

J'(u) = O(x;и),  0

Доказательство. Пусть ue V - некоторый элемент, Aug W21 (0,l) -приращение этого элемента и u + Aug V. Через Au(x,t) = u(x,t;u + Au)-u(x,t;u) обозначим приращение решение краевой задачи (2)-(4). Тогда ясно, что Au является обобщенным решением из W1 (Q) краевой задачи

A u_t -((u + Au)Aux ) + a Au = (Auu_x ^,  (x, t )g Q,                    (30)

Au (x,0) = 0, 0 - x< l,                                  (31)

l

Au(0,t) = 0,   (u(l) + Au(l))Au_x (l,t) = JH(x,t)Au(x,t)dx-Au(l)u_x (l,t), 0 < t< T . (32)

Решение краевой задачи (30)–(32) удовлетворяет тождеству

J (Autn + (u + Au )Auxnx + a Aun - HA un( l, t)) dxdt = - J Auuxnxdxdt, Vn = n( x, t )g W^o (Q), (33) QQ и можно показать, что для него верна оценка

I ^AuQ    ^Au V10(Q) < ^M6 I|^Auux|I2,Q •

Отсюда, учитывая ограниченность вложения W,¹(0,l) ^ C[0,l] и оценки (9), имеем

I^Au\q< ^M6 Il^Auux|I2,Q< ^M6 Il^AullC[0,l]luxlI2,Q< M7 I^Au21,(0,l) .                    ⁽³⁴⁾

Магеррамли Ш.И.                          Обратная задача типа управления об определении старшего коэффициента одномерного параболического уравнения

Приращение AJ(и) = J(и + Au) —J(и)функционала (1) представим в виде

A ,и.=f

—

T

_ 0

l j 0

T j to(r)A u (x ,r) dr

dx .

Используя (22) при n = Au и (33) при n = ¥, получаем равенство

2fJ

j

—

(x)

T jto(r)Au(x,r)dr >dx = j(ux

0Q

+ Aux )¥x Audxdt.

Учитывая это равенство в (35), получим

Q где

l

R=j

T j to (r )A u (x ,r ) dr

dx + j A u_x¥_xAudxdt

Q

В равенстве (27) положим n = Au. Тогда учитывая полученное равенство в (36), имеем

l

AJ(и) = j(^Au' + 9Аи)dx + R ,

о

Используя неравенство Коши-Буняковского, ограниченность вложения W1 (0,l)^ C[0,l] и оценки (22), (34), имеем

l

IR<j

T j to (r )A u (x ,r) dr

dx⁺j । ^aux^x^Aui dxdt< ии2,(₀, _T) 11 ^au^ _Q Q

⁺ II ^Aullc[0,l] ll^Aux 112,Q ^¥x 112,Q<

2                                 2                       2

• < M7 HI 2,(0,T )(ИМ 2,(0, l)) ⁺M7 ^¥/x| ^, q (ИМ 2,(0, l)) < M8 (l^^l 2,(0, l))

Тогда из (38) следует, что функционал (1) дифференцируем по Фреше на V и верна формула (29). Рассуждая аналогично работе [12], нетрудно показать, что отображение J': V ^ W1 (0,l) непрерывно. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (6) и и* = и* (x) е V - оптимальное управление в задаче (1)-(5). Тогда для любого и = и(x)е V выполняется неравенство

l

• j[^'(x;и*)(и'(x) — и*(x)) + У(x;и*)(и(x) — и*(x))Jdx>0 .                   (39)

Справедливость этой теоремы следует из [10, с. 28, теорема 5].