Обратные задачи определения граничных режимов для некоторых уравнений соболевского типа

Задачи для дифференциальных уравнений, в которых вместе с решением требуется определить тот или иной параметр самой задачи, в математике и в математическом моделировании называют обратными задачами [1, 2]. В настоящей работе неизвестным параметром является коэффициент, определяющий граничный режим; предполагается, что этот коэффициент есть функция от временной переменной. Подобные задачи ранее изучались [3-9], но не для уравнений Соболевского типа. Частично восполнить этот пробел и должна, предлагаемая читателям статья.

Наличие в обратных задачах неизвестного параметра, (коэффициента) предполагает, что наряду с краевыми условиями, характерными для соответствующего класса, дифференциальных уравнений, задается дополнительное условие — условие переопределения. В настоящей работе условие переопределения есть условие интегрального переопределения, или, другими словами, условие равенства нулю некоторых интегралов от решения по пространственной области.

Для различных классов дифференциальных уравнений с частными производными задачи с условиями в виде равенства нулю некоторых интегралов от решения по пространственной области достаточно активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается одномерный случай, и в основном изучаются задачи для параболических и гиперболических уравнений. Что же касается уравнений Соболевского типа, то подобные задачи представляются мало изученными — отметить можно лишь работы [10-14].

И последнее замечание перед содержательной частью работы. По используемой технике настоящая статья близка к статьям автора [15, 16].

Перейдем к постановке задач и к изложению полученных результатов.

Пусть П есть ограниченная область пространства R n с гладкой (бесконечнодифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр П х (0 , T ) конечной высоты T, f ( x, t ),

h ( x ). N ( x ) есть заданные фуикц iiii. определенные при x E fi. t E [0 ,T ]. a ( x ) есть 'заданная функция, определенная при x E Г, а есть заданное действительное число. Наконец, обозначим через S боковую границу цилиндра Q: S = Г х (0 ,T ).

Обратная задача I: найти функции u(x,t) и q(t) такие, что dt (u - А и) + а A u = f (x, t),(1)

u(x, 0) = 0,   x E fi,(2)

и(x,t) = q(t)h(x), (x,t) E S,(3)

N(x)u(x, t) dx = 0, t E (0, T)(4)

Q

(здесь и далее A есть оператор Лапласа, де.йетвуютуги по переменным x 1. . .. . xn).

Обратная задача II: найти функции u(x,t) и q(t) такие, что для функции u(x,t) выполняются условия (2) и (4), и выполняется таксисе условие дu(x, t) + a(x)u(x,t) = q(t)h(x), (x,t) E S                      (5)

(здесь и далее v = ( v 1 ,... ,vn ) есть вектор внутренней нормали к Г текущей точке х).

Некоторые обобщения обратных задач I и II и полученных для них результатов, в том числе для иных, нежели (1), уравнений Соболевского типа, будут приведены в конце работы.

Уравнение (1) представляет собой известное уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, описывающее процесс фильтрации в трещиноватой среде [17].

Пусть {w 1 k ( x ) }k =1 есть система собственных функций задачи

Aw = Xw с з fi, w| г = 0, ортонормированная в пространстве L2(fi), X 1 k, k = 1, 2,..., есть соответствующие собственные числа.

Определим линейное пространство X 1:

X i = {v ( x, t ) : v ( x, t ) E L. (0 , T ; W 22(fi)) , vt ( x, t ) E L 2(0 , T ; W ₂² (fi)) }.

Зададим в этом пространстве норму:

I I ^vH^ 1 = (jl ^v| l L^ (0 ,T ; W 2(Q)) + I I vt II L 2(0 ,T ; W 2 (Q))} ;

очевидно, что пространство X 1 этой нормой является банаховым пространством.

Пусть v 1( x,t ) есть решение первой начально-краевой задачи для уравнения (1) с однородными условиями (2) и (3); при выполнении включения f ( x,t ) E L ₂( Q ) функция v 1( x, t ) существует и принадлежит пространству X 1. Далее, определим функцию h 1( x ) как решение задачи

A h 1( x ) — h 1( x ) = 0 пр>и x E fi , h 1 ( x ) = h ( x ) npin x E Г .

Наконец, построим функцию V ₁( x, t ), представляющую собой решение задачи

∂

—⁽ V i - А V 1) + ^a А V i = -aq ⁽ t ) h i⁽ x ) ,  ⁽ x,t ) g Q,

∂t

V ₁( x, 0) = 0 , x G О ,

V 1( x, t ) |s = 0 .

Представим функцию А h ₁( x ) рядом Фурье:

∞

А h 1( x ) = ^a 1 kw 1 k ( x ) , k =1

a _{1 k} = j Аh ₁( x ) w _{1 k} ( x ) dx. о

Функцию V ₁( x, t ) также определим рядом Фурье:

∞

V 1 ( x, t ) =      Ck ( t ) w 1 k ( x )

k =1

с неизвестными пока функциями c_k ( t ). Эти неизвестные функции определим как решения задачи Коши

(1 - Xk ) Ck ( t ) + aX 1 kCk ( t ) = -aa 1 kq ( t ) ,

Ck (0) = 0 .

Обозначим в ₁ k = “-xk. i Y ₁ k = — “— '>0^ • Имеют место равенства

t

Ck ( t )= Y 1 k I е ^{- в 1 k (} t ^{- T} ) q ( т ) dT,

t

∞

V i^{( x,}t ) = ^ y 1 k /

∞

k =1

e ^e 1 k ⁽ t ^т ) q ( т ) dT w 1 _k ( x ) .

Введем еще обозначения:

^ф i⁽ t ) = J N ( x ) v ₁( x, t ) dx, b _{1 k} = j^N ( x ) w _{1 k} ( x ) dx, k = 1 , 2 ,...,

о

о

∞

G 1( t ) = 52 Y 1 k b 1 k e"^{e 1 k} t, k =1

N ¹=/ N ⁽ x ) h ¹⁽ x ) dx о

Рассмотрим интегральное уравнение

t

N 1 q ( t ) + IG 1( t - T ) q ( T ) dT = —ф 1( t ) . 0

Это уравнение представляет собой интегральное уравнение Вольтерра. Имея разрешимость этого уравнения, нетрудно будет построить решение обратной задачи I.

Положим в _{1 k} = max( в _{1 k}, 0).

Теорема 1. Пусть выполняются условия

N ( x ) е C (П) , h ( x ) е W 2(П) , f ( x,t ) е L 2( Q );

числовой ряд

∞

γ1kb1ke-β1kT k=1

абсолютно сходится;

N 1 = 0 .

Тогда обратная задача I имеет решение {u ( x, t ) ,q ( t ) } такое, что u ( x,t ) е X 1, q ( t ) е w -21(10 ,T)

Доказательство. Из условий теоремы вытекает, что уравнение (8) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, и что это уравнение имеет решение q ( t ), принадлежащее пространству W ₂1([0 ,T ]). Определим функцию u ( x,t ):

u ( x, t ) = v 1( x, t ) + q ( t ) h 1 ( x ) + V 1( x, t ) .

Очевидно, что эта функция есть решение уравнения (1), и что для нее выполняются условия (2) и (4). Также очевидно, что для функций u ( x, t ) и q ( t ) выполняется равенство (3). Следовательно, функции u ( x,t ) и q ( t ) дают искомое решение задачи I.

Теорема доказана.                                                       □

Заметим, что в случае N 1 = 0 уравнение (6) будет уравнением Вольтерра первого рода. Как хорошо известно, в этом случае уравнение (6) требуется продифференцировать по переменной t , и если окажется, что G 1(0) = 0, то для функции q ( t ) вновь будет выполняться уравнение Вольтерра второго рода. Уточним лишь, что в этой ситуации естественным образом появятся дополнительные условия на входные данные.

Для обратной задачи II имеют место результаты, в целом аналогичные вышеприведенным.

Пусть {ш ₂ k ( x ) }k =1 есть система собственных функций задачи

А w = Хш t з П ,

д^(x) + ст (x) ш (x) I г = 0, ортонормированная в пространстве L2(П), Х2k, k = 1, 2,..., есть соответствующие собственные числа.

Далее, пусть функция v ₂( x,t ) есть решение краевой задачи

∂

dt(v2

— А v 2) + а А v 2 = f,

v2(x, 0) = 0,   9v2dx, t) + ст(x)v2(x,t) Is =0, функция h2(x) — решение задачи

А h ₂( x ) — h ₂( x ) = 0 rqm x е П , —2^   + ст ( x ) h ₂( x ) = h ( x ) rqш x е Г .

Положим

a 2 к = У A h 2( x ) w 2 k ( x ) dx, Ω

αλ 2 k

¹ — A 2 к¹

Y 2 к =

αλ 2 ka 2 k

^{1 — A} 2 к

b 2 к = I N ( x ) w 2 к ( x ) dx, Ф 2( t ) Ω

= У N ( x ) v2 ( x, t ) dx,

Ω

∞

G 2 (t) = ^ Y 2 к b 2 к e-e 2 k t k=1

N2 = J^N ( x ) h ₂( x ) dx,

Ω

в 2 к = max( в 2 к, 0) .

Теорема 2. Пусть выполняются условия

N ( x ) G C (О) ,  h ( x ) G W2 (О) ,  a ( x ) G C (Г) ,   f ( x,t ) G L 2( Q );

a ( x ) <  0 nj ш x G Г;

числовой ряд

∞

γ2kb2ke-β2kT k=1

абсолютно сходится;

N 2 = 0 .

Тогда обратная задача II имеет решение {и ( x,t ) ,q ( t ) } такое, что и ( x,t ) G X 1, q ( t ) G W21 ([0 ,T ]).

Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение

t

N 2

q ( t ) + У

G ₂( t

— т ) q ( т ) dT = —ф 2( t ) .

Решение q ( t ) этого уравнения существует, и есть функция, принадлежащая пространству W 2¹ ([0 , T ]). Положим

∞

t

∞

V 2^{( x,t} ) = 52 Y 2 к

1 1 J

e ^в 2 k ⁽ t ^т ) q ( т ) dT

w 2 к ( x ) ,

и ( x, t ) = v 2( x, t ) + q ( t ) h 2( x ) + V2 ( x, t ) .

k =1

Функции и ( x,t ) и q ( t ) и дадут искомое решение задачи II.

Теорема доказана.

В случае N2 = 0, как и ранее, можно перейти к продифференцированному по переменной t уравнению (7).

Обсудим некоторые возможные обобщения полученных результатов. Пусть m есть целое положительное число, L есть оператор, действие которого на заданной функции v ( x,t ) определяется равенством

∂m

Lv = -—( v — A v ) + a A v.

∂tm

Для уравнения Lu = f рассмотрим обратные задачи, аналогичные задачам I и II, но с заданием начальных условий д ku (x,t) ∂tk

= 0 , x Е fi , k = 0 ,...,m — 1 .

Для этих задач нетрудно с помощью описанного выше алгоритма получить для функции q ( t ) интегральное уравнение Вольтерра. При выполнении условий, вполне аналогичных условиям теорем 1 или 2, полученное интегральное уравнение будет разрешимо в нужном классе; имея же функцию q ( t ), нетрудно пост роить функцию u ( x,t ), для которой выполняется уравнение Lu = Д и выполняются соответствующие начальные и краевые условия.

Уточним, что при m = 2 уравнение Lu = f является линейным уравнением Буссинеска распространения волн в плазме [18].

Следующее замечание. Как и в работе [9], рассмотрим обратные задачи, более общие по постановке, нежели изученные. Пусть N 1( x ), .. ., Np ( x ), h i( x ), .. ., hp ( x ) есть заданные функции, определенные при x Е П.

Обратная задача Ip: найти функции u ( x, t ), q 1( t ), . . ., q_p ( t ) такие, что для них выполняется условие

p

u(x,t) = ^qk(t)hk(x),   (x, t) Е S, k=1

для функции u ( x,t ) выполняются уравнение (1) и условие (2).

Обратная задача IIp найти функции u(x, t), q 1(t), .. ., qp(t) такие, что для них выполняется условие dudx, t) = ^ qk(t)hk(x), (x,t) Е S для функции u(x,t) выполняются уравнение (1) и условие (2).

Исследование разрешимости обратных задач Ip и II_p проводится в целом вполне аналогично исследованию разрешимости обратных задач I и II, отличие состоит лишь в том, что вместо одного интегрального уравнения Вольтерра появится система подобных уравнений.

Заметим, что обратные задачи типа задач I_p и II_p нетрудно изучить и для уравнений Lu = f в случае m >  1.

В условиях (3) и (5) известная функция h вполне может быть функцией переменных x и t . Соответствующие числовые ряды в этом случае заменятся функциональными рядами, условие абсолютной сходимости — условием равномерной сходимости рядов, составленных из модулей слагаемых. Аналогичное уточнение можно сделать II для обратных 'задач I_p i1 II_p.

Далее, во всех описанных выше ситуациях оператор Лапласа можно заменить эллиптическим оператором в самосопряженной форме и с коэффициентами, не зависящими от переменной t.

Наконец, представленная техника вполне позволяет проанализировать ситуацию, когда условие (4) заменяется дискретным условием

l

^2 5ku (xk ,t) = 0, k=i в котором 6k есть 'заданиые числа, xk есть фиксированные тонки из области О. к = 1,..., l.

Работа поддермсана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 15-01-06582.