Обзор результатов по теории линейных порядково непрерывных операторов в полуупорядоченных пространствах измеримых функций (посвящается 95-летию со дня рождения профессора Н. В. Азбелева и памяти старшего научного сотрудника А. В. Чистякова)

Со времен появления работы Ш. Какутани и К. Иосиды (см. [1], [2]) существует связь между теорией положительных операторов и теорией стохастических ядер. Часть утверждений о вероятностях перехода переносятся в утверждения о положительных операторах, при этом большинство исследователей стараются применить методы функционального анализа к задачам теории вероятностей. Однако существуют задачи теории операторов, где удобнее считать, что положительный оператор T представим с помощью стохастического ядра ( р ) :

(Tf )( y ) = f fdp_y ,             (*)

X

Обзор результатов по теории линейных порядково непрерывных операторов в полуупорядоченных пространствах измеримых функций

(Посвящается 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева и памяти старшего научного сотрудника А.В. Чистякова)

П. М. Симонов ¹, А. В. Чистяков ²

1Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

2Удмуртский государственный университет

Россия, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Дан обзор исследований по теории линейных порядково непрерывных операторов в векторных решетках и пространствах измеримых функций. Подробно рассматриваются: теорема о псевдоинтегральном представлении, типы операторов (интегральный, диффузный, сингулярный и атомарный). Рассматриваются также вопросы приложений: спектры, фредгольмо-вость, алгебраические свойства "непрерывных по мере" операторов, условие интегрально-сти оператора Грина общей краевой задачи.

для того, чтобы можно было применить методы теории вероятностей и теорию меры. Примеры этого можно найти в работах В. Ар-весона по операторным идеалам [3] и Н. Колтона о пространствах L [4–6].

Пусть, например, X = [0,1]  - а - алгебра борелевских подмножеств и с мерой Лебега р. Пусть E, F - некоторые подпространства скалярных измеримых функции f: X ^R .

Рассмотрим    линейный    оператор

T : E ^ F (T g EEE, F )) (все операторы в этом обзоре предполагаются линейными).

Рассмотрим применение  положитель ных, или, более общо, регулярных операторов:

• - интегральные операторы, порождаемые измеримым ядром K ( y , x ):

• (Tf )( y) = J K (y , x ) f ( x ) d р ( x);       (1)

X

• -    оператор взвешенной подстановки, оператор взвешенного сдвига, оператор замены переменной с весом, оператор внутренней суперпозиции с весом, гомоморфизм Рисса, порождаемые измеримым преобразованием a : Y ^ X основного пространства и умножением на функцию a : Y ^ R

(Tf )(y ) = a (y ) f (a( y ));(2)

• -    свертка, порождаемая борелевской мерой Л на локально компактной группе G :

(Tf)(У) = J f (У - X) dЛ( x);(3)

X

• -    полугруппа, порожденная вероятностями перехода P марковского процесса:

(Tf)(У) = 1 dPt (У, dx) f (x).(4)

X

Если мы рассмотрим эти операторы как операторы T : E ^ F на функциональных банаховых пространствах E и F (где E – порядковый идеал в пространстве L _o ( X,А, д ) классов эквивалентности измеримых функций на ( X ,Л, д ) , включающее характеристические функции), и в то же время E , F – банаховы решетки (БР) по отношению к упорядоченности на обычных пространствах с мерой ( X,А, д ) и ( Y,B, v ) с конечными д и v , то все они имеют вид

• ^{( Tf )(} У ) = f ^{f (} X ) d Д у   ^{v -} п.в. (5)

X для любого f g E , где {д }jeY - стохастическое ядро, семейство борелевских мер µ на (X,А) . Мы предполагаем, что у g Y ^ д (A) – банаховозначная борелевская функция для любого фиксированного A ∈  . В (5) мы не явно предполагаем, что j | f | d | д | < +^ для X v - п.в. у g Y и д(A) = 0 следует |д |(A) = 0 ν -п.в. Здесь символом µ обозначается вариация меры µ .

Действительно, в (1) мы можем использовать µ – абсолютно непрерывное ядро dд_y = K ( у , • ) d д , в (2) имеем меры д = a ( у )д_а(у )’    а в (3) положим

Д у ( A ) = Л ( A - у ).

Но кроме конкретных примеров существуют прекрасная функционально-аналитическая характеристика представления (5).

Теорема о представлении . Пусть T : E ^ F - мажорируем положительным оператором S : E ^ F , т.е. для любого f :0 <  f g E выполнено \Tf |< Sf . Тогда T представлено в виде (5) тогда и только тогда, когда T порядково непрерывный, т.е. 0 <  f_n <  f g E и причем, f_n ^ 0 д -п.в., отсюда следует Tf_n ^ 0 v -п.в.

Впервые такого рода результаты были получены в работе Ш. Какутани и К. Иосиды [1]. В случае E = F = L это существенная характеристика Ж. Невё для субмарковских процессов (см. [7, § 5.4]); случай E = F = L был исследован В. Арвесоном в [3] в контексте операторных алгебр на гильбертовом пространстве. Несколько позже этот результат был получен в связи изучением операторов в L Х. Факхури [8] и L_p , 0 <  p <  1, - Н. Колтон [4]. В [9, 10] А. Сурур развил общую теорию таких операторов – выяснилось, что это в точности порядково непрерывные операторы.

В 1980-х гг. активно изучались характеризации различных полос в порядково непрерывных операторах в терминах случайных ядер , а также приложения к геометрии банаховых и квазибанаховых пространств, изучению уравнения переноса и т.д. (Н. Колтон [ 46, 11–13], Л. Вейс [14, 15]; см. также [16], [17]).

Результаты интегральной и псевдоинте-гральной представимости носят порядковый характер и их доказательство существенно опирается на исчисление порядково ограниченных операторов. В работах [18–21] А.Г. Кусраева уставлено, что аналогичные вопросы для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, могут решаться на основе теории мажорируемых операторов.

В этих работах приводится целый ряд интересных результатов об интегральном представлении линейных операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

В работах [22, 23] К.Т. Тибилова (см. [24]) введено понятие слабого псевдоинте-грального оператора и установлен аналог теоремы Сурура – критерий слабой псевдоин-тегральной представимости для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций.

Предварительные сведения

Пусть X - сепарабельное метрическое пространство, (XX ) - борелевская а - алгебра, д - некоторая конечная неатомарная мера (неатомарная: д { x } = 0 для любого x е X ).

Тогда ( X ,В( X ), д ) - стандартное боре-левское пространство. Можно все рассмотреть, например, на [ 0,1 ] с обыкновенной а - алгеброй борелевских множеств с мерой Лебега д .

Рассмотрим условие: д (и ) >  0 для произвольного открытого множества U . В этом случае существует каноническое вложение: C ( X ) с L _o ( X ,А, д ) [25, с. 134, следствие 2].

Пусть ( X ,А, д ) - стандартное измеримое пространство, L _o = L _o ( X ,А, д ) - пространство измеримых скалярных функций f : X ^ I (при этом отождествляем эквивалентные функции), L_o+ - конус неотрицательных функций.

Определим решеточные операции:

( f a g ⁾⁽ x ) = min { ^f ( x ), g ( x ) } ,

⁽ f v g ⁾⁽ x ) = max { f ⁽ x ), g ⁽ x ) } ,

| f |⁽ x ) = 1 f ⁽ x )|-

Определим, что такое порядковый идеал: такое подмножество E с L _o, если из | f |< g , где f е L o , а g е E , следует f е E .

Рассмотрим класс пространств: E = E ( X ,A, д ) - пространство Рисса (векторная решетка), если выполнены условия: E -порядковый идеал в L _o, х е E для любого А е А.

Множество E₊ = { f е L _o, f >  0} называется конусом положительных элементов ВР E .

E - идеальное пространство (ИП), если E - порядковый идеал в L _o: 1) E - линейное пространство; 2) E подпространство в L_o - солидное (телесное) подмножество: | g | <1 ^f I^{е E} , g ^{е L} 0 , то g ^{е E} .

Если выполнено 3): | g | <| f |, то справедливо || g||_E < || f J (норма называется монотонной), то E называется нормированная ВР - (НР) (нип).

Если и е E₊ , то наименьший идеал в E , содержащий и , называется главным идеалом или и -идеалом в E и обознается E ( и ).

Полная по норме НР называется банаховой решеткой (сокращенно БР). Если НР (соответственно БР)   E является K - пространством, то говорят, что E - нормированное K -пространством (соответственно, банахово K -пространство).

K -пространство - это полная решетка. Это значит, что для любого ограниченного сверху по порядку подмножества имеет точную верхнюю грань.

Очевидно, что НИП является нормированным K -пространством, БИП - банаховым K -пространством [26, с. 403].

Будем говорить, что ВР E архимедова, если из того, что для f е E₊ , выполнено nf <  g е E при любом n е N , следует f = 0 . Все интересные для функционального анализа типы ВР являются архимедовыми. Заметим также, что любая НР - архимедова.

Определим понятие дизъюнктности: ^fdg ^: | ^f |^a | g | = ⁰ .

Пусть ^рс L 0 , Р d = { g ^{е L}0 |g| a| ^f | = ⁰ для любого f еР } .

Порядковый идеал П ВР K называется фундаментом, если П одинаковой ширины с K , т.е. П ^d = {0}.

Определим понятие полосы: Пс K -полоса ( K - некоторая архимедова ВР). Множество Пс K является полосой в K тогда и только тогда, когда П есть порядковый идеал в K и выполнено следующее условие (называемое условием правильности): если R сП ив K существует sup^ R е K ( inf^ R е K ), то sup^ R еП ( inf^ R еП ).

П - полоса, если П ^dd = П .

Можно проектировать любой элемент f на полосу П каноническим образом: [ П ] f = sup { g еП :0 < g < f } для любого f е L _{0 +} . Для любого f е L₀ определим [ П ] f ₊ , [ П ] f . , где 0 <  [ П ] <  I , f + = f a 0, f . =- f v 0.

Для любого элемента f е Lo определим его носитель supp f = {x е X: f(x) / 0}. Для любого множества E, с Lo носитель Ej есть множество supp E, еД, обладающее следующи- ми свойствами: 1) supp f с suppEx (modд) при любом x g E}; 2) если множество A gA таково, что supp f с A (mod д) при любом x g E{, то supp E с A (mod д) .

Критерий регулярности оператора

Пусть есть два пространства Рисса (ВР): E = E ( X ,А Д ) и F = F(Y,В,v ). Тогда Г( E , T ) - множество линейных операторов из E в F .

E , F - (полу)упорядоченные пространства. Будем говорить, что оператор T : E ^ F положительный, если Tf >  0 для любого элемента f >  0 ( T >  0).

Возникает конус положительных операторов: £₊( E , F ). Затем дадим понятие регулярного       оператора:         T = T - T ,

T , T gE _ь( E , F ). Множество регулярных операторов обозначим через £_r( E , F ) .

С_г - порядково полное производство, то есть, K -пространство. Можно ввести решеточные операции v , л :

| Tf = sup { Tg :| g | <  f } , Tf = Tf . + \T\f . .

Пусть E и F - ВР в L _o. Оператор T g£ X E , F ) тогда и только тогда, если существует S g £/ | Tf | <  S|f | для любого f g E (свойство мажорируемости).

Оператор T : E ^ F называется порядково ограниченным (( o ) -ограниченным), если он переводит множества, ( о ) -ограниченным в E , в множества, ( о ) -ограниченные в F . Обозначим через (E ,E , F ) множество всех ( о ) -ограниченных операторов.

Предложение [26, с. 3 92; 27, с. 75;]. Если E - ВР и E - K -пространство, то оператор является ( о ) -ограниченным тогда и только тогда, когда он регулярен, т.е.

С ( E , F ) = 4 ( E , F ) .

Определим сходимость по порядку: ( о )

f_n ^ 0 при n ^^ , где f_n g E , если I ^f„\< ^{f g e} + и f_n ( x ) ^ 0 при П ^ю Д - п.в. для всех x g X .

Определим порядковую непрерывность оператора: T g (EE, F) - порядково непре рывный, если для любой последовательности (о)

{ fn } : fn ^ 0 при n ^ю , f_n g E , то отсюда

( о )

следует Tf_n ^ 0 при n ^ю . Множество всех ( о ) -непрерывных регулярных операторов обозначается (E,E , F ) .

Теорема о разложении регулярных операторов (обобщение теоремы Иосида-Хьюитта [27, с. 96; 28, с. 38]). Пусть E - ВР со свойством Егорова, F - K -пространство счетного типа [26, с. 3 86, 3 87; 29, с. 171, 1.4;]. Справедливо разложение:

£„ (E, F) = Zn (E, F) Ф £s (E, F), где £Д E, F) и £Д E, F) - полосы операторов, £п (E, F) - полоса порядково непрерывных операторов, £s(E, F) - полоса сингулярных операторов.

Оператор T gE ,( E , F ) называется сингулярным, если существует такой фундамент G с E , что T L = 0.

G

Получаем в силу теоремы, что для любого      T е £_r ( E , F ):      T = T n + T_s ,     где

T, е с.,, ( E , F ) ,        T g С, ( E , F ) ,      причем

ITJ л И = 0.

Классическая теорема Иосида-Хьюитта состоит в следующем [26, с. 408]: L:= Ъ„ Ф L\,.  Здесь  L:= £г (L^ Д). Для любого Ле l; , n:   < Л, f >   =   Л( f)   = jf(x)g(x)dx, g = дл gLi. Для ЛеL^,, обла-X дает свойством, что для всякого г > 0 существует A gA ,  д(X \ A) < г такое, что

Л ( f ) = 0, если supp f с A (mod д ) .

Хорошо известно [27, с. 80]: 1) B ( E , L^ ) = £_r( E , L^ ) , где E - произвольная БР, - характерное свойство пространства L ; 2) E = L , то тогда B ( L , F ) = £_r(L , F ), F - БР, являющая K - пространством с условиями (B) и (C) (в терминах направлений) [26, с. 409, с. 150]. Тогда для оператора T е £Д E , L^ ) , или для оператора T g £_r( L , F ), верно равенство II T II E ^ F = III T III E ^ F . B ( E , F ) - банахово пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства E в банахово пространства F .

Теорема о представлении. Набросок доказательства. Замечания

Пусть E и F - пространство Рисса (ВР), E = E(X,Л,д),  F = F(YJ3,V. Опера- тор T: E ^ F регулярен. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T – порядково непрерывен,

• 2)    T имеет (псевдоинтегральное) представление:

^(Tf )( y ) = f ^f ( x ) d V y ( x )   v -п-в-

X для любой функции f G E.

Здесь (у_у )_yeY — семейство борелевских мер на ( X,А) (измеримое пространство), удовлетворяющих некоторым условиям:

• 1)    для любого A ∈      функция

у н у ( A ) — & -измерима, случайная мера -это семейство мер.

• 2)    Если A gA и у (A) = 0, то | у | ( A ) = 0 v -п.в. (условие абсолютной непрерывности стохастического ядра). Случайная зависимость – зависимость измеримым образом.

v - мера на (YJ3) . Случайная мера ( у )y^Y — У v —абсолютно непрерывна, если у ( A ) = 0, то | v I ( A ) = 0 v —п.в. у g Y .

• 3)    Для любого f g Е , J| f | d | v_y G F .

X

T : Е ^ ^ L.(Y,В,v ),

Е^ о L _o ( X ,А, /л), значит T - порядково непрерывен (из теоремы Лебега о мажорированной сходимости [26, с. 65]). Получаем ^T G £ „ ^{( Е} л , L 0 ), тогда { ⁽ Л у ) }^ ^{Е -} э^то о^тображение взаимно однозначно и естественно.

Доказательство теоремы (см. [15, 2.4]). Предложим, для простоты, что χ ∈ X и у(Q) > 0 для любого открытого множества Q о X . Далее, предположим, что C(X) - плотно в E относительно порядка сходимости

Пусть T g£(ЕЕ, F), T > 0 . Возьмем 1Х = X, ^ = T 1Х g G о Lo (Y), следователь но, для любого 8 > 0 существует Y gB (можно взять компакт Y), что supp^ о Y.

Таким образом, рассмотрен оператор ^T _e = X y T ^на 1-^ид^еале L „ ⁽ Y ) в L 0 ^{( Y} ) , T _e = x T : I . ( X ) ^ L(Y _e ).

Итак, T _c g 4 ( L . ( X ), I ( Y _e )).

Рассмотрим множество v ( Y \ Y ) <  8 : функция х^ непрерывна на v(Y \ Y_s ) <  8 по теореме Лузина [26, с. 69] ( x^g C(Y ₈ ), можно взять Y – компакт).

Далее рассмотрим C(X) о L^ (X) (с условием у (Q) > 0 для любого открытого Q ). Далее рассмотрим T = T8 |C(X): C(X) ^ C(Y8 ) (Tf)(у) = f f (X) dxr (у, X) [29, с. 314] для лю-X бой функции f G C(X) .

Пусть W ^{G C ( X} ), IHI C ₍ X ) =^{1 - счет}ное всюду плотное подмножества из единичной сферы в C ( X ). T p_n g L^ ( Y ), воспользуемся теоремой Лузина [26, с. 69], выберем Y , n : X , „ T W g C ( Y _tl ), причем v ( Y \ Y n ) <  8 2 — ⁿ .

Рассмотрим    Y ₈ = П Y , _n :    v(Y \ Y ₈ ) <  2 8 .

Далее, y Y T _{W n} g C (Y _s ), имеем y _Y T : C ( X ) ^ C(Y _t ) – известен вид оператора.

Далее, C ( X ) - плотно в Е относительно порядка сходимости, получим распространение оператора х T на Е .

Замечание [10, Theorem 4.1]. Для любого T g £пЕ Е, F)  н л у [T ] - решеточный гомоморфизм, т.е. сохраняет любые алгебраические и решеточные операции: 1) Уу[T + S] = уу[T] + Уу[S] V -п.в.;

• 2)    0 <  T <  S ^ 0 <  у у [ T ] <  у у [ S ] V -п.в.;

• 2)    у у [ T + ]  = у у [ T ] + , у у [ T |]   =  | у у |[ T ]   =

I У у [T ]|    V -п.в. - сохранение модуля,

| T = sup { T , -T } , \T\f = sup {| Th : | h | <  f } для f >  0;

• 3)    у у [ T a S ] = у у [ T ] л у у [ S ] v -п.в.

Замечание об единственности представления. Представление ( ∗ ) единственно в следующем смысле: пусть две случайные меры: у ‘,^{[ T} ], у У^{[ T} ], то у у ^{[ T ]} = У y ^{2[ T ]} с точностью до v -п.в. всех у g Y .

Следствие . Пусть есть случайная мера ( uv -непрерывна), ( 4 ) _y t^T eZ J E , L _o). Следовательно, существует такой оператор I T\ e £ „ ( E , L o ) что 4 [| T |] = ^ [ T ]| = 4 , то (| 4 1 Ду - случайная мера.

Пример 1. Пусть T e Д ( E , F )  н

4 [ T ] - абсолютно непрерывное относительно меры 4 по у . По теореме Радона-Никодима [26, с. 66, 67] существует п.в. у e Y производная d µ

У  (x) = K (x, у), dµ следовательно,

(Tf )( y ) =

= J ^{fd 4} = j ^f ( x ) ^{4 (} x ) d ⁴ x ) =

X

= j K ⁽ у , x ) ^{f (} x ) d ^ ⁽ x ).

X

Тогда существует

(| Tf )( у ) = j f ( x )| K ( у , x )| d 4 X) .

X

Пример 2. Рассмотрим семейство мер:

{ 4 = n (У ^ у) }„€ у, n e Lo (Y), CT: Y ^ X.

Пусть x e X . Зададим Д - точечную меру - это мера Дирака,

, .    Г1, x e A,

Д ( A ) =   ,      ,

• ⁷   [ 0, x £ A .

Из 1) следует ст ¹ ( A)eB для любого AeA - условие (В , А) -измеримости. Тогда ^Д ст ⁽ У ) ^} у e Y - ( Y ,В) - случайная мера.

• 2)    Следует 4 A ) = 0, то v ( ст ^-1( A )) = 0 -это значит, что функция ст : Y ^ X удовлетворяет условию независания. Тогда { Д ₍^} _y - 4V -абсолютно непрерывное семейство мер.

По определению:

с                              [ 1, ст ( у ) e A,

4 ^{( A )} = j ^{n (} У ^{) Д} ст ( у ) ^d 4 ^{( x} ) = n ⁽ у ) ]

^J_A                            [ 0, ст ( у ) £ A

= a ⁽ У К- 1 ( A ) ⁽ У ) .

Свойство операторов внутренней суперпозиции: f_n ^ 0 4 - п.в. в X , то тогда

( ^т ст ^f )( У ) = ^{f (} ст ⁽ У )) ^ ⁰ v ^- п.в. у ^e Y .

Замечание. Для любого T e£JE, F) следует 4 [T] - случайная мера, и для нее справедливо разложение по Лебегу:

4 [T ] = 4 [T ] + 4 [T ], где 4 [T ] - абсолютно непрерывная относительно меры 4 , 4 s [T ] - сингулярное относительно меры 4 . Обе компоненты - тоже случайные меры.

Получим разложение T = T + T_s , при этом | t| л T_s | = о.

Здесь ⁽ T^{f )(} y ) = j f ( x) d Ц у ( x ) =

X

= I f ^{( x} ) ~T y ^{( x} ) ^d 4 ^{( x} ) = f ^{f ( x} ) ^{K (} У ’ ^x ) d ⁴ x ). d µ

Выделяют четыре класса (полосы):

£„ ( E , F ) = £_n © £_n, £_n(E , F ) = £_n © £.

Причем £_n c £ d , ^ c / ; . /' - полоса интегральных операторов, (Д) ^d = Д .

О характеристических свойствах порядково непрерывных функционалов

Рассмотрим пространство Рисса (ВР): E = E ( X,А, 4 ): E - идеал в L _o, х e E для любого Ae А. Достаточно потребовать: 1 = Х х ^{e E} .

Определим дуальное пространство: E ‘ = { g e L _o: J| fg\d ^ <« для любого f e E } .

X

Для любого g e E'  определим линейный функционал по правилу:

• < ^f , g >= j ^fgd 4 .

X

Причем, E ' c E * c E + - пространство алгебраических функционалов на E . Например: E = L _o, то отсюда следует E ' = { 0 } .

Если 1 <  p <^ , то ⁽ L p ) ‘ = ^L _p ‘ = ^{( L}_p)\ При p = да получаем ( L^ ) ‘ = L = ( L ) * .

Пусть 1 e E ', тогда E' оказывается тотальным в следующем смысле: <  f , g >= 0 для любого g e E ', отсюда следует f = 0.

Тогда в тему тотальности появляется каноническая двойственность <  E , E '> ( E' -пространство Рисса (ВР)).

Множество всех регулярных линейных функционалов из ВР E в R обозначим Е~ = С = (Е,Е ,1) .

Будем называть линейный функционал Л на архимедовой ВР Е ( о ) -непрерывный (порядково непрерывный): Е э f_n i 0 р -п.в. следует Л ( f_n ) ^ 0, что эквивалентно |f„\ <  g е Е и f_n ^ 0 р -п.в. при n ^м (порядковая сходимость) следует Л ( f_n ) ^ 0 при n ^м .

K -пространство Е~ называется ( о ) -сопряженным к Е . Е~ пространство порядково непрерывных функционалов на Е , Е~ = А = 4 (Е ,1) . Справедливо равенство Е' = Е~ .

Теорема. 1) Если Е - НР, то Е * с Е~ . 2) Если Е - БР, то Е* = Е~ ([26, с. 404]).

Если для векторной решетки (ВР) Е пространство Е~ - тотально на Е и, следовательно, Е можно реализовать как БИП.

Разложение порядково непрерывных операторов

М( X) - пространство борелевских мер, Мi(X) = {Л: р - абсолютно непрерывная мера} , Мs(X) = {Л: р - сингулярная мера} , Мa (X) = { линейная комбинация точечных мер } , Мd (X) = {Л{х} = 0 для любого х е X} -свойство неатомарности (диффузности).

Справедливы теоремы:

М ( X ) = М i ( X ) ®М ^s ( X ), М ( X ) = М a ( X ) Ф М ^d ( X ).

Аналог справедливости разложения случайных мер: (р_у)^{р^и_у ) еМ ^u , u e { i , s , a , d } .

Далее, ( р ) _г - случайная мера, следовательно, ( p U ) _{у g Y} - случайная мера. Это - результаты Л. Дубинса и Д. Фридмана [30], Н. Колтона [4], А. Сурура [10] и Л. Вейса [15, с. 541].

Рассмотрим случай    £п = Zd Ф a,, rd о 4, сп с rn-

Характеристика полосы   in . Пусть оператор     Tе Д,     где     оператор

^{(Tf )(} У ) = 1 K ⁽ У , х ) ^{f (} х ) d р , где X

K ⁽ У , х ) = —⁽ х ) . d µ

В работе [31] показано: если "интегральный" оператор порожден неизмеримым ядром, то это ядро можно заменить на измеримое (см. [32, с. 179; 27, с. 65]).

Предложение [31]. Пусть Е - некоторое ИП и функция Ф ( у , х ) (вообще говоря, неизмеримая), такова, что при любом f е Е определена v -п .в. конечная v -измеримая функция g ( у ) = J Ф ( у , х ) f ( х ) d р ( х ) . Опреде-

X лим оператор Tf = g , f е Е . Тогда существует pxv -измеримая функция K (у, х) такая, что при любом f g Е имеем

(Tf )( У ) = / ф ( У , х ) f ( х ) d p ( х ) =

X

= J K ( у , х ) f ( х ) d р ( х )

X для v -п.в. х (исключаемое множество, вообще говоря, зависит от f ).

Следствие [33]. Если в условиях предложения ( X ,А, р ) сепарабельна [26, с. 73] и supp Е = X , то при v -п.в. х имеем K ( у , х ) = Ф ( у , х ) для р -п.в. х .

Определение. Рс L _o ( X,А, р ) - эквиин-тегрируемо (равномерно интегрируемо), если sup|| f|| _ц <м , и если A n ^{о A} n + 1 ^о ...^0 , f еР    ⁴

A еА при n ^м, предел lim J ^^р= 0 n→∞ Αn равномерен относительно f из Р .

Согласно критерию Данфорда–Петтиса [27, с. 92] Р - эквиинтегрируемо, тогда и только тогда Р относительно слабо компактно в L (ср. [62, IV.8.9])

Пусть T е£ Д Е , F ), то существует единственный оператор     T ' е £_ч ( Е ', F '),

• < Tf , g >=< f , T g > .

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T е А ( Е , F );

• 2)    для любого 8 >  0 существует B еВ : v ( B c ) < 8 , что множество ( хT)'U_L^ ^ f F ') - эквиинтегрируемо; U^_(Y) - единичный шар в L ( Y,В, v )- (В силу теоремы Данфорда-

• Петтиса [27, с. 92] слабо компактный оператор в L имеет интегральное представление).

µ

• ³⁾    Пусть 0 <  f_n <  f е E и f_n — 0 при n — ж (сходимость по мере) отсюда следует, что Tf_n — 0 v -п.в. при n — ж .

Эквивалентность 3) ^ 1) установлена А.В. Бухваловым [31].

Следствия.

• 1.    T е Д ( E , F ), S е 4 ( F , G ) , тогда ST е Д ( E , G ). Аналогично можно показать TS е С_п .

В алгебре порядковой непрерывности операторов интегральные операторы образуют двусторонний идеал.

Результат Ю.И. Грибанова [33]. Если T е 4 ( E , F ), то T 'е п ( ( F ', E '), (Д ) d = 4-

Замечание. В 1936 г. Джон фон Нейман [34] поставил задачу о характеризации интегральных операторов в L . В 1974 г. эта задача была решена А.В. Бухваловым [31]. По-настоящему новое доказательство этой теоремы дал Л. Вейс [35].

Ряд интересных результатов об интегральном представлении линейных операторов в пространствах измеримых вектор-функций получен В.Г. Наводновым [36], Ю.Н. Кузьминым [37], Т.А. Кевином [38].

Теорема (Наводнов В.К. [36] (см. [24])). Пусть банахово пространство Y обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, I.6.7]. Для того чтобы линейный оператор T : E ( X ) ^ Y был сильно интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был мажорируемым и порядковым непрерывным.

Теорема (Кусраев А.Г. [18] (см. [24])).

Для мажорируемого оператора T : E ( X ) ^ F ( Y , Z ) равносильны следующие условия: (а) оператор T допускает слабое интегральное представление; (б) оператор | T| допускает интегральное представление; (в) если {и_п} - ограниченная последовательность в Е ( X ) и | и_п | ^ 0 по мере ^ , то | Tu_n | ^ 0 v -п.в.

Теорема (Там же). Пусть банахово пространство Y обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, I.6.7]. Мажорируемый оператор T: E (X) ^ F (Y) допускает сильное интегральное представление в том и только в том случае, если выполнено любое из условий (б), (в) предшествующей теоремы.

Характеристика _n ^s . Если для любого оператора T е Д : ^ s [ T ] - ^ -сингулярная мера для любого у е Y .

Определение.     Последовательность

E3f_n — 0 при п ^да , если f е E n L и II f n ll L < ж ’ ^diam X ⁽supp ^fn ) ^{— 0} при п — да .

Определение. T е£п - uv -непрерывно, если  fn еEnL и  ||fn||L <да,  fn — 0 при п — ж , то Tfn — 0 при п — ж .

Теорема 2 [15, 5.3]. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T е д;

• 2)    0 <  S <  T | и S е Д , то S = 0 ;

• 3) для любого   g >  0

v ( B c ) <  g , такое, что T х

• 4) для любого   g >  0

  существует   B еВ ,

  - uv -непрерывен;

  существует   B еВ ,

  
  

v ( Bc ) <  g , такое, что для всякого В_п еВ_в ( В_в

= { B n B' : B 'е В} ), В_п — 0 и a >  1 существует А п еА и a ¹ T ¹ X a ) ^ % B_n ^{1 T |(1)} для ^всех п ;

• 5)    для любого g >  0 существует А еА , v ( A c ) <  g , такое, что T х - uv -непрерывен.

Более того, оператор T : E — F имеет сингулярное представление тогда и только тогда, когда оператор T ' : F ' — E' имеет сингулярное представление.

Характеристика _n ^d . Обозначения: ∑ а -подалгебра 4, X _А = { Лп А , А е X } , Е^ = { f е Е , f - измерима относительно X } , т.е. для любой f является пределом почти всюду последовательности линейной комбинации характеристической функций интервалов из X.

Теорема 3 [15, 4.2]. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T е 4;

• 2)    для любого подмножества ЛеА такого, что д ( Л ) >  0 существует а -подалгебра X сЛ_л : ^ |_х - диффузная мера и T |^ - интегральный оператор;

• 3)    для любого f е Е₊ получаем T ( х * f ) — 0 сходимости);

• 4)    для любого z >  0 ν ( B^c ) ≤ ε ,     такое,

  u

  и A n еА , A — 0 v -п.в. (улучшение

  
  

  существует B еВ , что    множество

  
  

T'Ul^ a ev)^ F')    является и -эквиинтег- рируемая.

Определение. А_п — 0 при n — да : для любого A еА существует последовательность А_п : П U 4 ^_ не более чем счетно.

^k m k ≥ m ^k

u

В частности, если Ап —0 при n — да, тогда р( A) -— 0 для каждой диффузной меры А. Основной пример: dx (An) — 0 при n — да влечет Ап — 0 при n — да

Определение сходимости ное). f_n — 0 при n — да , если s >  0 существует А — 0 : lim n —да

(универсаль-для любого ∫ f_n d µ ≤ ε

X \ А при n — да.

Если и заменим на д, то получается сходимость по мере.

Определение. Р - и -эквиинтегри-руемо:  sup||f||  

u n — да для любого An —0 при n — да .

Критерий слабой компактности [15, 3.9] . L ^М( X ) оМ ^d ( X ) = { А : А { х } = 0 для любой точки х е X }, то Р - и -эквиинтег-рируемо тогда и только тогда, когда относительно слабая компактность Р в М ^d .

Универсальная сходимость связана с топологией, следовательно, результат Л. Вейса о диффузных операторах [15] следует из результатов А.В. Бухвалова об интегральных операторах [31] (понятие диффузного оператора формально связано с привлечением топологических понятий).

Следствие [15, 4.3]. Пусть оператор T : L p ( X,А, А ) — L p ( X ,Д, Д ), 1 < p <да , T еЕ „( L_p ) . Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T е Z^ ( L p ) ;

• 2)    для любого подмножества А еА : ^{Д А )} >  0, существует а -подалгебра X сА_А такая, что д |_Е - диффузная мера, а

• T1Г - компактно по норме в Ln;

^L p ⁽ X , ^X a , ^Д ) ^p

• 3)    для любого s >  0 существует B еА : д( B ) < S причем ^X B T х А L _{— Lp} ^{— 0} при diam А — 0 (некая компактность диффузных операторов).

Следствие. [ Z d ⁽ L_p ^{)] d} = £ ( ⁽ L p ). Пусть T е a ( ( L_p ), T - компактен (по норме) и оператор T - диффузный, то T = 0.

Следствие. T е А ( E , F ) , U еЕ_п ( F , G ), тогда UT е Z^ ( E , G ) . £„ • Z^ = Z d (Z^ - левый, но не правый идеал в £J.

Характеристика полосы a. . Теорема [15, 6.5]. Следующие утверждения эквива лентны:

• 1)    T е А ;

• 2)    для а -подалгебры X сД имеем, что д1_х - диффузна и для любых операторов 0 <  S <  T\_E и S : E^ — F - интегральный

оператор следует S = 0 ;

• 3) для любого s >  0

µ ( A^c ) ≤ ε , такое что T χ

• 4) для любого s >  0

  существует А еА : - д -непрерывно; существует B еВ ,

  
  

д(Bc) < s , такое, что для каждого a > 1 и для любого Вп еВg, Bn — 0 существует последовательность А еЛ, А — 0 такие, что a | T |(Ха ) > Хвп IT |(1) .

Структура атомарных операторов

М ^a ( X ) = { А - атомная мера}, а ( А ) = sup| А { х } |.

x ∈ X

Пусть X = Y = [0,1] [15, 6.3], следовательно, существует   а ( А )   =   min { х е [0,1]:

| А { х }| = а ( А ) } , поэтому а ( А ) = | А { а ( А ) } |. Отсюда получаем T е a , , Д [ T ] с М ^а ( X ).

Пусть a ( у ) = а ( д ) для любого у , а 1 ⁽ у ) = а ⁽ Д у ) и т.д., a 2 ⁽ у ) = a ^{( д} - ^а 1 ⁽у ^ ₍ у 0, З а ( у ) = ... .

Получим a_n : Y 4 >  , о_п : Y 4 X измеримы относительно борелевской о -алгебры. Следовательно, ^ = X a_n ( у ) ^ _(у) , причем

I ^a n ⁽ у )| ^ a n + 1 ⁽ у )| ^ ••■ v - п.в. у, Ё I a n ⁽ У^{)| <Ю} ’ n = 1

O n ( у ) ^ О т ( у ), n ^ m , v -п.в. у , где о _п удовлетворяет условию независания на suppl a |. Любой такой оператор имеет единственное представление.

Теорема [15, 6.2]. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T е ^;

∞

• ^{2)    (Tf )(} у ) = Ё a n ⁽ у ) f ⁽ O n ⁽ у )) v - п.в.; n = 1

• 3)    существует возрастающая последовательность локальных гомоморфизмов Рисса [15, 6.1] T_n : E 4 F так, что | T | = sup| T_n |;

• 4)    существует возрастающая последовательность операторов S_n : F ‘4 E ‘ так, что имеет локальное свойство Д. Магарам [15, с. 556] и | T | ‘= sup| S n |

Обозначим: ( T , , о f ⁾⁽ у ) = а ⁽ у ) f ^{( о (} у ))•

Теорема [15, 5.1]. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    T = Т а о ;

• 2)    Т - является гомоморфизмом Рисса, т.е. из fdg следует TfdTg ;

• 3)    для любого г >  0 существует B еВ , v ( B ^£ ) <  г : для любого подмножества В_п еВ , d ( В_п ) ^ 0 при n 4 ж , отсюда следует, что существует подмножества А_п еА , d ( A_n ) ^ 0 при n >^ ,то ¹ T ^{1 (} X a ) ^ Х в„ ^{1 T |(1)} ;

• 4)    для любого г >  0 существует В еВ , v ( В ^г ) <  г : для любой последовательности

f е F ‘ , diam(supp f_n ) 4 0 имеем diam(supp T ‘ f n ) 4 0 ;

• 5)    T ': F ‘4 E ‘ имеет свойство Д. Магарам [28, с. 22], то есть для любого подмножества A ∈ существует такое подмножество В еВ , что | T |( х ) = X a | T | ‘ (1) .

Замечание. В теореме из статьи [39] доказано, например, что эквивалентны следующие утверждения: T = Ta ,о: L^ (X) 4 L да (Y) локально сюръективен, Tf атомарен, отображения s: Y X локально инъективно и удовлетворяет ^-условию Лузина, оператор T локально непрерывен по мере, оператор у.м.о. (условного математического ожидания) тоже локально непрерывен по мере.

В теореме из статьи [40] доказано, что для оператора ^T = ^T aо ^: L , ( X ) 4 L , (Y ) , например, эквивалентны следующие утверждения: отображения s : Y X антиинъективно [11, с. 303], s -подалгебра Е^ := о~ \Д) не имеет насыщенных компонент, оператор у.м.о. является диффузным оператором, оператор T антисюръективен, оператор T^f является диффузным.

Следствие. T е ( E , E , F ) и T₂ е Х^ ( E , F ) , то получим, что TT е ( E , F ) .

Критерий слабой псевдоинтегральной и сильно псевдоинтегральной представимости для мажорируемых операторов.

Сформулируем критерии слабой псев-доинтегральной и сильной псевдоинтеграль-ной представимости для мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

Теорема (Тибилов К.Т. [23] (см. [24])).

Для мажорируемого оператора T : E ( X ) 4 F _s ( Y , Z ) равносильны следующие условия: (а) оператор T порядково непрерывен; (б) оператор T допускает слабое псев-доинтегральное представление; (в) оператор | T |: E 4 F допускает псевдоинтегральное представление.

Теорема (Тибилов К.Т. [22] (см. [24])). Если банахово пространство Y обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, I.6.7], то для мажорируемого оператора T : E ( X ) 4 F ( Y ) равносильны следующие условия: (а) оператор T порядково непрерывен; (б) оператор T допускает сильное псевдоинтегральное представление; (в) оператор | T |: E 4 F допускает псевдоинтегральное представление; (г) оператор T допускает слабое псевдоинтегральное представление.

Эквивалентность нетеровости и обратимости оператора T е r n

Пусть T е Z^ ( L ) - нётеров (или фредгольмов) [14], тогда существует ограниченный оператор S : TS = I + K , ST = I + K ₂, K , K - конечномерные операторы.

Пусть S = S a + S d , где S a e C„ ( L) , S_d e d ( (L 1 ), тогда TS a + TS d = I + K 1 , где T e C_n, значит TS_a e % ( L J , TS_d e d . . Дальше I e a , , I = TS_a , поэтому K_x = TS_d .

В частности, получаем: S является конечномерным оператором, и из равенства S_aT + S_dT = I + K₂ следует I = S_aT . Таким образом, оператор T e a ( ( L ) обратим.

Замечание. В работах, посвященных разрешимости уравнений с операторами взвешенного сдвига, часто упоминается гипотеза о том, что в алгебрах операторов, действующих в безатомном пространстве L (1 < p < ^)  и порожденных  операторами взвешенного сдвига, свойство фредгольмово-сти (или нётеровости) эквивалентно свойству обратимости. Точнее, если оператор T: Lp ^ Lp, представляющий собой сумму операторов взвешенного сдвига, является фредгольмовым, то он обратим.

Первоначально вариант этой гипотезы сформулирован Н.В. Азбелевым и Г.Г. Исламовым [41] в виде альтернативы: ядро оператора T либо бесконечномерно, либо состоит только из нуля. В.Г. Курбатов [42] привел контрпример в виде оператора T = I - S : 4 [0,1] ^ Д ° [0,1], где I – тождественный оператор, а S – оператор сдвига.

Контрпримером подобного типа может служить любой оператор вида I - S : L_p [0,1] ^ L_p [0,1] с оператором сдвига S , порождаемым сохраняющим меру эргодическим отображением отрезка [0,1]. Такие операторы имеют ядро, состоящее из констант, но множество значений не является замкнутым подпространством.

Позднее Н.В. Азбелев [43] ослабил выдвинутую в [41] гипотезу: для суммы операторов взвешенного сдвига, действующих в пространстве L , свойство фредгольмости нулевого индекса эквивалентно свойству обратимости. Без ограничения на индекс гипотеза Н.В. Азбелева оказалась верной. Из результатов Л. Вейса [14] следует, что при p = 1 любая фредгольмова сумма операторов взвешенного сдвига обратима.

При 1 <  p < ^ в подтверждение рассматриваемой гипотезы можно привести ряд известных результатов А.Б. Антоневича [44],

Г.С. Литвинчука, Ю.И. Карловича, В.Г. Кравченко [45], В.Г. Курбатова [46] и других авторов (см. [44, 45]) об алгебрах специального вида, порожденных обратимыми сдвигами, образующими достаточно простую группу (по мере возрастания алгебраической сложности группы сдвигов от коммутативного случая [46] и до аменабельного [47] в теоремах о нефредголь-мости рассматриваемых сумм операторов взвешенного сдвига усиливаются ограничения на сдвиги и весовые коэффициенты).

В случае необратимых сдвигов по существу единственный известный нам общий результат можно извлечь из работ А.М. Вер-шика и В.А. Арзуманяна [48] и А.В. Лебедева [49], подтверждающий гипотезу в случае C* -алгебры, полученной расширением алгебры операторов умножения при помощи изометрического оператора, порожденного апериодическим сдвигом с конечным или счетным прообразом почти каждой точки.

При 1 <  p < ^ для построения контрпримера очень сложно использовать обратимые сдвиги и даже сдвиги со счетным числом прообразов. Но все же контрпримеры существуют, хотя и довольно патологического типа. В работе [50] соединены основные препятствия к доказательству гипотезы: определенная гладкость метрики, алгебраическая сложность полугруппы сдвигов и метрическая сложность образующих эту полугруппу эндоморфизмов пространства с мерой. Для построения необратимых фредгольмовых сумм используется семейство некоммутирующих между собой сдвигов, каждый из которых экстремальным образом необратим: несчетен прообраз почти любой точки [11, с. 303; 50, с. 84]. Доказательство фредгольмовости в контрпримере основано на свойствах аддитивности дисперсии для суммы независимых случайных величин. Вероятностный характер контрпримера не является неожиданным, поскольку экстремально необратимые отображения порождаются сдвигами вдоль траекторий броуновского движения.

В статье [50] А.В. Чистякова для значений 1 <  p <ю строится серия необратимых фредгольмовых конечных сумм операторов взвешенного сдвига. В этой статье показано, что любой фредгольмов оператор, состоящий из конечных сумм операторов взвешенного сдвига в пространстве L , обратим.

Заметим, что в [60] доказано следующее утверждение о полуфредгольмости: если конечная сумма операторов взвешенного сдвига в пространстве L нормально разрешима с конечным дефектом, то эта конечная сумма операторов взвешенного сдвига в пространстве L_x сюръективна.

Спектр оператора взвешенной подстановки

Теорема [51]. Для любого оператора T еЕ_п(L_o , L _o) имеет представление

∞

(Tf ⁾⁽ У ) = X a n ⁽ У ) ^{f ( с} п ⁽ У)), n = 1

причем;

• (i)    a n : Y ^^K, A n = { У ^: l a m ⁽ У )| * ⁰, ^m >  n } ^µ

^0 при n ^^ ;

• (ii)    с_п : Y ^ X - такая последовательность (В, А) -измеримых функций, удовлетворяющих условию независания: для любого подмножества A , ц ( A) = 0 верно равенство И с ./ ⁽ A ) n ^{ x : a n ( X ) * ^0}) = ⁰ .

Замечание [52, 53]. Пусть: B - комплексное банахово пространство; £>( B) - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов S: B ^ B . (X,А, ц) - стандарт ное борелевское пространство (X,А) с конечной     неатомарной     мерой     ц;

L _o = L _o ( X , А, ц ) - пространство всех ц -измеримых вещественных функций с отождествлением эквивалентных функций, поточечным порядком и топологий сходимости по мере; E = E ( X,А, ц ) - идеальное пространство на ( X,А, ц ); E ( B ) = E(X,А, ц ) ( B ) - пространство Банаха–Канторовича [21] всех сильно ц -измеримых векторных функций f : X ^ B таких, что | f | = | \f ( .)|| _в е E .

Если не сказано отдельно, то ниже предлагается, что оператор T_{a а} : E ( B ) ^ E ( B ) имеет мультипликативное представление

(Ta,с f)(X) = a(X) f (c(X))  (f e E(B), x е B), где a: X ^ B(B) - сильно измеримая операторозначная функция, с: X ^ X - (Л, Л) -измеримое отображение, удовлетворяющее условию согласования:  если A еА и ц( A) = 0 то ц(с(A)) = 0.

Строение множества Sp( T 0 =

{ 2 еС : оператор AI - T_{a с} не обратим } - спектр оператора Т_а^ - в значительной степени определяется метрический свойствами порождающего отображения с .

Отображение c называется: а) апериодическим, если множество периодических точек имеет меру ноль; б) сохраняют меру, если ц ( с ^-1 ( A )) = ц ( A ) для всех A еА ; в) эргодическим, если любое инвариантное множество является либо множеством меры ноль, либо множеством полной меры; г) рекуррентным, если для каждого множества A еА (строго) положительной меры найдется целое число l >  1, такое, что ц ( с" ¹ ( A ) П A ) >  0 .

Множество A еА называется положительно (отрицательно) инвариантным, если ц(A\с-1(A)) = 0  (ц(с-1(A)\A) = 0). Под ин вариантным множеством понимается двустороннее инвариантное множество.

Неинъективность отображения с на положительно инвариантных множествах положительной меры [11, с. 303] означает следующее: если A е А , ц ( A \ с ^-1 ( A )) = 0 и с | : A ^ X - инъекция, то ц ( A ) = 0.

Пусть a * 0 ц - п.в. на X .

Теорема 1. Пусть E - банахово идеальное пространство с порядково полунепрерывной нормой, B - конечномерное банахово пространство. Тогда, если оператор Т_{а а} : E ( B ) ^ E ( B ) порожден отображением с неинъективным на положительно инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора Т является кругом с центром в нуле.

В формулировке теоремы полунепрерывность нормы - это известное [26, с. ] условие ( C ):   если   ( f_n ) с E , f е E и

⁰ ^ ^f n ⁽ X ) ^ ^{f (} X ) почти всюду, то || ^f n ||_E ^ | \f\\_E .

Теорема 2. Пусть E - банахово идеальное пространство с порядково полунепрерывной нормой, B - сепарабельное гильбертово пространство. Тогда, если вес a ( ^ ): B ^ B - компактный оператор при почти всех x е X , а отображение с : X ^ X рекуррентно и не инъективно на инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора Т_{а а} : E ( B ) ^ E ( B ) является кругом с центром в нуле.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 (предположения о пространствах E и B Тогда, если оператор T_{a а} : E ( B ) ^ E ( B ) порожден антиинъектив-ным отображением, то спектр оператора Т_а ° является кругом с центром в нуле.

Теорема 4. Пусть dim B < ж , p е (0,1). Тогда, если оператор T_{a а} : L_p ( B ) ^ L_p ( B ) порожден отображением а неинъективным на положительно инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора Т_аа является кругом конечного радиуса с центром в нуле.

Теорема 5. Пусть dimB <ж, оператор Та а : Lo (B) ^ Lo (B) порожден отображением а: X ^ X и весом a: X ^ £>(B). Тогда, если отображение а апериодично, не инъективно на множестве полной меры и д(п {x е X: a(x)...a(ап-1(x)) ^ 0}) > 0, (1)

\ n >1                                                 ) J то точки спектра оператора Та(т заполняют всю комплексную плоскость С, а при нарушении условия (1) и выполнении остальных спектр состоит из единственной точки 0.

Теорема    6.     Если    оператор

T_{a а} : L_x ( B ) ^ L ( B ) порожден антиинъектив-ным отображением а , то спектр оператора Т_{а а} является кругом с центром в нуле.

Теорема 7. Пусть dim B <ж . Тогда, если оператор Т_{а а} : L ( B ) ^ L ( B ) порожден антиинъективным отображением а то сюръективный спектр

{ 1 е С : оператор Л 1 - Т_{а а} не сюръективен } совпадает с обычным спектром и является кругом с центром в нуле.

Теорема 8. Пусть B - рефлексивное банахово пространство. Пусть, далее, ограниченный оператор Т : L ( B ) ^ L ( B ) обладает свойством: ( Т р f )( x ) = ^ ( а ( x ))(Tf )( x ) почти всюду для любых функций р е L^ и f е L_x ( B ), где а : X ^ X - антиинъективное отображение. Тогда спектр оператора Т является кругом с центром в нуле.

"Непрерывность по мере"

операторов в L_p

Пусть ( X , А, д ) - пространство с конечной мерой, L_p = L_p ( X , А, д ) , f : X ^К .

Пусть для начала p = 1. Пусть S : L ^ L - линейный ограниченный оператор, обладающий одним из трех свойств.

• 1)    [15, 5.2; 59] S е ( д ): если sup|| f^  <ж и

• п

f_n ^ 0 ( д ) (по мере) при п ^ ж отсюда следует Sf_n ^ 0 ( д ) при п ^ ж .

• 2)    [54] S е (co - д ) - выпукло непрерывно по мере: если sup|| f||L <ж , f_n ^ 0( д ) при п

п ^ж , то тогда существует { g_k } с co { f_n } : Sg_k ^ 0 ( д ) при п ^ ж .

• 3)    [54] S е (а - д ) - почти непрерывно по мере: существует A_n Т A при п ^ж , то для любого оператор S x_A е ( д ).

Справедливо            соотношение:

• ( д ) с (co - д ) , ( д ) с (а - д ) .

Утверждение 1. ( д ) с (co - д ) с (а - д ).

Пусть мера д - мера Лебега на [0,1], тогда включения строгие. Если мера чисто атомарная ( L ( д ) = l_x ), то ( д ) = (co - д ) = (а - д ).

Утверждение 2. [54] (co - д ) = YH .

Дадим характеристику класса YH [55, 54].      Известно:        L * = L ,        далее:

L ** = L ^ = L _п Ф L^_s - разложение Иосиды-Хьюитта.

Для любого функционала 1е L * _п, ^{Л (}ф) = 1 ^ ⁽ s ) g i ⁽ s ) ^d Д ⁽ s ), g ^{е L} 1 .

X

Для любого функционала Ле L^_s : существует     такая     последовательность:

{ A k }сЛ , Л_к Т X , 1 ( х | а ^ ) = 0.

Будем говорить [55, 54], что оператор S : L ^ L принадлежит классу YH , если S * L ^ с L ^ ( S е YH ). ^ж, s           ^ж, s

Например: S е YH, если для любых подмножеств {An}, A Т X существует последовательность подмножеств {Bn}, Bn Т X, такое что %А Sx^ cc = 0 для любого п.

^{п      ( B} n )

Утверждение 2 доказывается на основании результатов А.В. Бухвалова и Г.Я. Ло-зановского [56-58] о проекторе на сингулярную компоненту в L ^ (связь с замкнутыми по мере множествами).

Утверждение 3. [54] YH с (a - д ) , то есть S е YH , то S е (a - д ) .

Доказательство. Рассмотрим S . Для | S| существует последовательность  { A_n} ,

A_n T X , S x \a I e YH при каждом n . Если для оператора S ∈ YH эта последовательность найдена,    то    в    силу    формулы

I S x kl ^A = S x A n l x и порядковой полноты пространства L_n/ функционал Sx \_a | A** оказывается сингулярным для любого положительного A e L_n^ . Поэтому Sx \_a | ^G YH при всех при n .

Алгебраические свойстварассмотренных классов операторов

Утверждение 4. 1) [59] S e ( a ) и пусть существует обратный оператор S ^{- 1} , то S ^{- 1} e С4

• 2)    [54] S e (co - A ) = YH и пусть существует обратный оператор, то S ^{- 1} e YH = (co - a ).

• 3)    S e (a — A ) и пусть существует обратный оператор, то S ^{- 1} e (a - a ) — в случае сепарабельности меры.

Идея доказательства. 1) Пусть S e (A), а S-1 £ (a) : существует последовательность {fn} : sup||f„L

Обозначим gk = S-1 fnk и воспользуемся результатом М.И. Кадеца и А. Пелчинского [60, 61]: для ограниченной последовательности g существует подпоследовательность: слабо         по мере gkt = h + h;2, где h ^ h, h ^ 0(a) при l ^ w, то тогда Shl2 ^ 0(a) при l ^ w, получаем, Shl = Sgki - Shf = S(S-1 Д) - Sh] =

f nk

Sh при

- Sh2 ^ 0(a) при l ^w следовательно, сходится слабо при l →∞ и Sh ^ 0(a) l ^ w, отсюда Sh = 0, но существует

S^-1, откуда h = 0.

Когда последовательность сходится слабо и по мере, значит, она сходится сильно [62, IV.8.12, с. 320]. Таким образом, IISh^ ^ 0 при l →∞, поэтому IIs iShDI L ^ 0 при l ^w. Следовательно, последовательность {|Ihll^} сходится в L по мере, и,   значит   [26,   IV.3.1,   с.   147]

h = h2 - S-1 f ^ 0(a)  при  l ^ w,  то  есть, nkl

S^-1f_nk = h²- h] ^ 0(a) . Получили противоречие.

Утверждение 5. [63] Пусть мера µ не имеет атомов. Тогда, если µ -непрерывной оператор S: L ^ L является нормально разрешимым, то он сюръективен. То есть, отсюда следует: d-нормальность (co dim SL) влечет за собой сюръективность ( S – имеет конечномерный дефект влечет за собой S (L ) = L).

Замечание. Существует    S∈YH ,

|S| £ YH, |S| e (a -a) .

Замечание. Классы операторов.

• 1.    T: L_p ^ L_p - класс a - непрерывных операторов:  iifniL<^w и fn ^ 0(A) при

• 2.    T: L ^ L - класс    (co-A) —

• 3.    T: L ^ L — класс почти непрерывно по мере операторов (a -a) : существует A_n T X, TXA_n^{e (}A).

n ^ w , тогда Tf_n > 0(a) при n ^ w . Обозначим класс (a)(L_p ).

При 1 < p<^w, тогда ⁽a⁾⁽L_p ) ^ r:_r⁽L_p ) . Пусть 2 < p, тогда (a)(L_p) = B(L_p) [15, 5.4]. При 1 < pи выполнено предположение: если существует компактность оператора T, то отсюда следует: T e (a)(L_p). При p = w класс операторов (a)(L) совпадает с клас^{сом   (L}w ) .

непрерывность оператора:    (co-a)( L):

IIfn||_Lи f_n ^ 0(a) при n ^w, значит, существует g_k e co{f_n}, тогда Tg_k ^ 0(a) при k →∞ .

Замечание. 1) T e (co-a) ,   тогда

IT| £ (co-A) . 2) YH c C_n (L) [54]. 3) Если YH -оператор d-нормален, то он всюду разрешим [55]. 4) Если YH – оператор фредгольмов, то он обратим [55].

Пример. Рассмотрим l (Q), где Q -

∞ счетное множество, f (^) = E a x^(e li(Q)), k=1

∞ l1(Q) = A(Q. p).  ||f|| = £| ak |.

k=1

Пусть p — дискретная мера: для любого ы: р{ы} = 1, тогда сходимость по мере эквивалентно поточной сходимости ы eQ.

Будем говорить f_n ^ 0(^) при n ^ ад, это значит f (ы) ^ 0 для любого ы eQ.

Будем говорить T e (p),    если

II-Д,_(Q)<® ^иfn ⁽ы) ^ ⁰при n >^ для ^любого ы, то (Tf_n )(ы) ^ 0 при n ^ ад для любого ы.

Класс (р). Пусть T e (p). то T* e (p*). [l (Q)]* = B(Q) - пространство всех ограниченных функций g e B(Q).  ||g|| = sup |g(ы)|.

ω∈Ω

< f. g >= J fgdp - интеграл по дискретной Ω мере. Тогда T*: B(Q) ^ B(Q).

T* e (p*)  эквивалентно выполнению условий:

• 1)    T* непрерывно относительно точечной сходимости: |gj| _б<ад, g_n (ы) ^ 0 для любого ы при n ^ад следуют (T*g_n )(ы) ^ 0 для любого ы при n ^ ад (порядковая непрерывность);

• 2)    оператор сохраняет пространство финитных функций: T * (B_o (Q)) с B_o (Q).

Здесь B0(Q) = clb { g e B: fa: g (ы)}^ 0 - конечно}.

Пусть оператор обладает свойствами 1) и 2) и обратим, тогда и обратный оператор S = T *^-1 обладает таким же свойством: S e (p*), что эквивалентно условиям:

• 1)    llgnllв<ад и gn(ы)^0 для любого ы при n ^ ад и следует (Sg_n )(ы) = 0 для любого ы при n ^ ад ;

• 2)    S (B₀(Q) )с B0(Q).

Замечание. Рассмотрим банаховозначное пространство функций f: Q^ X с нормой II ^fn 11 = II ll^f(,)l IXII д . Сходимость по мере: f_n ^ 0(p)     при     n ^ ад     означает

II ^fn 0|X ^ ^0p) при n ^∞ . Отсюда переносятся практически все теоремы.

Важный случай: X = Rⁿ. В случае X с dim X = ад дополнительное условие: X -рефлексивно.

Рассмотрим             пространство

Lip ={f:[0,ад)     .  > (или X),  ||fIp =

∞

ЯfХ[ +ulL,........<^ад},        Lip^sLp[°.¹]»•

• n=0                  ^p .

Ладp s 1ад (Lp [0.1]), l.p     lp (Lq [0.1]), 1 < p<ад ,

• - пространства Х.Л. Массера [64, с. 17]; S_p, SL_p - пространства В.В. Степанова. Это так называемые амальгамы L_q [0.1] и l_p [27, с. 206].

Несложно проверить, что последовательность f_n e L_pq = l_p (Lq [0.1]) сходится к функции f e L_pq по мере в том и только в том случае, если последовательность удовлетворяет условию (c): для каждого компакта K сК последовательность {х f_n} сходится к χ f . В случае условия (c) будем использовать запись f_n ^ f (с), если последовательность {f} (c)-сходится к f .

Линейный ограниченный оператор S : L_pq ^ L_pq назовем c-непрерывным, если из ограниченности последовательности {f_n} с L_pq и f_n ^ 0(с) следует Sfn ^ 0(с) .

Теорема. Пусть 1 < q <ад, если оператор S: L ^ L_lq - c -непрерывен и обратим (алгебраически), то S^-1 - c -непрерывен [59].

Замечание. Класс c-непрерывных операторов был выделен Э.М. Мухамадиевым [65] в связи с задачей о почти периодических решениях линейных систем функциональных и функционально-дифференциальных уравнений. Идеи Э.М. Мухамадиева были развиты в серии работ В.Е. Слюсарчука (см, например, [66]), где одной из центральных задач фактически являлась задача о сохранении свойства c-непрерывности резольвентой c-непрерывного оператора.

Эта теорема дополняет результаты [64, 65, 66] о наполненности подалгебр c-непрерывных операторов.

Теорема (Крейн М.Г., Рутман М.А. [67]). Пусть K e jC_n (L_p), K > 0. тогда (I - K)^-1 - положительный оператор, что эквивалентно р( K) < 1.

Вопрос о существенности условия K > 0 для (I - K)^-1> 0.

Теорема 1. K - компактный интегральный оператор в L_p и (I - K)^-1> 0 влечет за собой K > 0 (и р(K) < 1).

Доказательство. Пусть R = (I - K)^-1> 0 . Тогда R = ^Ra + ^Rd , где ^R_a > ⁰, Ra^G £a^(Lp ) , Rd > 0, Rd g< (Lp ) .

Перемножим I = R (I - K) = R_a (I - K) + R_d (I - K) . Видим I = R_a + R_d - R_aK - R_dK где Rd - R_aK - R_dK g d.. Отсюда I = R_a, R_d (I - K) = K, R_d = K (I - K )^-1 = KR > 0

Условие интегральности оператора Грина

Рассмотрим линейную краевую задачу:

Сx = Q + px (a) = f,         (1)

lx = (px + wx(a) = a.            (2)

Здесь оператор £: DB — B ограничен, B - банахово идеальное пространство измеримых функций f:[a, b] ^R , причем

t

L [ a, b ] c B c L [ a, b ], DB={ x (t) = a + j z (s) ds , 0

z^{G B} ,      II x IIDB = II z IIB⁺I ^a I }.      Оператор

Q: B — B ограничен, пусть p g B , p g B*, W gR .

Пусть для любого f G B и для любого aGR краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, тогда ее решение имеет представление в виде формулы Грина x = Xx (a) + Gf. X - фундаментально решение, G - оператор Грина, G: B — DB c C[a, b].

Рассмотрим (Gf)(t) = gt - ограниченный функционал      на      B,       B * = B*, bb gt (f) = J gt (s) f (s) ds, тогда (Gf)(t) = J G (t, s) f (s) ds. aa

B* = B* эквивалентно в B выполнению условия (А): 0 < f_n< f g B, f_n — 0 п.в. следует ||f ||_й — 0 (порядковая непрерывность нормы).

Свойства (А) выполнено в   L_p,

• 1    < p< ^ , и нарушается в L^.

Пример 1. Рассмотрим краевую задачу: x = f, x (0) - x (0) = a, f g L^ [0,1]. Здесь под x(0) и f (0) понимается линейный ограниченный функционал, вычисляющий одно из существенных значений функции x и f в нуле. Запишем решение в виде формулы Грина:

t

x(t) = X(t) + (Gf)(t) = a + f (0) + j f (s)ds.

Сформулируем условия интегральности оператора Грина в следующем виде:

• L) оператор Q*, сопряженный к "главной части" Q оператора L, переводит интегральные функционалы в интегральные функционалы (Q*B‘ c B' или Q*B* g B*);

|)    функционал    p    является интегральным (p g B‘ = B*).

Условия,     гарантирующие     при

L^  L [a, b]  интегральное представление оператора Грина, найдены Л.Ф. Рахматуллиной [68]. Здесь p - это интегральный функционал. Они состоят в том, что главная часть Q: L — L^    сопряжена к оператору

Q : L — L, т. е. Qf = Q . Как показал Г.Г. Исламов [69], оператор S: L^ — L^ , (Sy)(t) = k

^ Bi( t) x[ gi (t)],   x (^) = 0,   если £g[ a, b ], i=1

является сопряженным к некоторому оператору в пространстве L .

В кандидатской диссертации П.М.

Симоновым [70] рассмотрено, что если задача Коши для линейного вольтеррового уравнения

(£x)(t) = f (t) , t g[0, да) x(0) = a однозначно разрешима для любых f g L^_oc , a g In и ее решение x g D^_oc . Более того, ее решение представляется в виде формулы Коши:

x = Xa + Cf, где вольтерров оператор C - оператор Коши.

Здесь In - пространство векторов a = colfa¹,...,an} с действительными компонентами и с нормой II a II_n. Пусть пространство L измеримых и ограниченных в существенном на каждом конечном отрезке функций f :[0, да) — КГ с полунормами ^{II f} l^Il„ [0,t] = vraisup|^{I f (}t^)I|_R. для всех T > ⁰.

t g[0, T ]

Пространство D^_loc локально абсолютно непрерывных функций x :[0, го) ^ I” с полунормами || x ||D[0,T] =|| x IIL~[0,T] + II x(⁰⁾||_K” для всех T > 0 .

В работе [70] доказано: пусть линейный оператор £: D_ГОloc ^ Ц,_loc непрерывен, тогда оператор Коши C этого уравнения имеет интегральное представление, если и только если главная часть Q: L^_ос ^ L^^ оператора £: D^_ос ^ L^_loc сопряжена к какому-либо непрерывному оператору Q₁: L _loс ^ L_{x 1ос}. Здесь L_4oc - линейное пространство измеримых функций у: [0, го) ^ JR”, суммируемых на каждом конечном отрезке [0, T ].

Затем П.М. Симоновым в тезисах [71] установлено, что при выполнении условия l ) условие L ) необходимо для интегрального представления оператора Грина, если B = L^. Позже П.М. Симоновым и А.В. Чистяковым в тезисах доклада [72] было сформулировано, что условия L ) и l ) необходимы и достаточны для интегрального представления оператора Грина, если B = L^.

Схема исследования, возникшая при изучения условий интегральности оператора Грина в случае B = L, применима и для других функциональных пространств. В соответствии с этой схемой в работе [73] приведено обобщение полученных ранее результатов на случай, когда пространство B изомофно пространству, сопряженному к подпространству B линейных интегральных функционалов на [ a, b ]. Однако такое ограничение на пространство B - очень жесткое условие. Оно не выполняется для многих актуальных в приложениях пространств, привлека-ющихся А.И. Шиндяпиным [74] и Л.Ф. Рах-матуллиной [75] для изучения сингулярных краевых задач.

Пример 2. Пространства А.И. Шиндя-пина [74]. Пусть v:[a, b] ^В монотонно возрастающая абсолютно непрерывная функция, причем v(a) = 0, Л_р [a, b], где 1 < p<го , -пространство суммируемых функций у:[a, b] ^R, для которых существуют константы M_y такие, что для любого t g[a, b] выполняются неравенство

(^

11 у(s)| p

у

p

< Myv(t), || у 11лp[a,b] = min My, и-у||л .[•>.=ms

(if

— f| у (s )| pds I v⁽t ) a

Пусть p = го, тогда пространство

Л, [a,b] состоит из классов измеримых функций у:[a, b] ^R, для которых существуют константы M такие, что для почти любого t g [a, b] выполняются неравенства

^|у^(t) ^|< ^My^v(t) , ^||у Л [a,b] = min Му ,

^||у Л [ a, b ] = max I 4; vrai sup^|x⁽t)^| .

^ГО        a< t< b ^ v (t)        a< s< t       J

Пример 3. Случай Л.Ф. Рахматуллиной [75]. Рассмотрим случай p = го. Линейный ограниченный функционал на пространстве LY , вообще говоря, не может быть представлен с помощью интеграла Лебега. Поэтому естественно, что интегральное представление оператора Грина может быть гарантировано только при некоторых ограничениях на L и ^ .

Здесь LГО = {f: М ^ R": f у g Lгo (М): ^{|| f ||}х =^{|| f} г ^||_{L (М}), где ^{М -} это может ^{быть L}ГО             ^LГО⁽M )

[0, T ],   может быть [0,оо). Функция у :[0, го) ^R - измеримая функция, причем r(t) * 0 •

Пусть    D^L, х R^{^},    L: D ^ L^,

£:D^RN, ^:[4..,^N]:D^RN - линейные ограниченные операторы. Рассмотрим две краевые задачи: задачу

Lx = f, xc = а          (1*)

и задачу Lx = f ,£x = а.

Пусть эти задачи однозначно разрешимы при любых f g LY и a g RN и G: LY ^ D , G : LY ^ D - их операторы Грина.

Теорема 1*. Пусть G - интегральный оператор. Оператор G - интегральный тогда и только тогда, когда интегральным является вектор-функционал GG-: LY ^ RN.

Зафиксируем            изоморфизм

J: LY х RN ^ D . Оператор J определяется парой операторов: Л: LY ^ D и Y: RN ^ D, так, что    J {z, в} = {Л, Y}{z, в} = Лz + Y/3, z∈ Lγ∞ ,    β∈ N . Обратный оператор

J' : D ^ LY^x ®N также определяется операторами 3: D ^ LY и r: D ^ IN,

J^-1x = [3, r]x = {3x, rx} .

Таким образом, для элемента x∈ D имеем представление x =Λδx+ Yrx.

Подчеркнем, что Л: LY ^ D - это оператор Грина краевой задачи δx= z, rx = β .

Рассмотрим краевую задачу (1*) при условии, что L: D ^ LY - линейный ограниченный оператор, а вектор-функционал £: D ^ IN имеет представление

£x = j Ф(s)(3x)(s) ds + Trx ,    (2 *)

M где Φ – n× n -матрица, строки которой при-1

надлежат L^γ , Ψ – постоянная n× N -матри-1

ца. Здесь L^Y = {f: M ^ IT, f / y g L (M),

II f II. =1 f / YIIL(m)} .

LY

Теорема 2*. Пусть задача (1) однозначно разрешима для любых f∈L^γ и α∈^N ; вектор-функционал    имеет представление

(2*) и оператор Q = LЛ: LY ^ LY является сопряженным к какому-нибудь оператору

• 1     1

Q : LY ^ LY. Для того чтобы оператор Грина

• G: LY ^ D этой задачи был интегральным, необходимо и достаточно, чтобы интегральным был оператор Грина Л: LY ^ D .

Оказывается, что эти условия L), l) являются необходимыми и достаточными условиями интегральности оператора Грина в достаточно общей и весьма естественной ситуации.

Теорема 3 [76–78]. Пусть L⊂B⊂L и B порядково рефлексивно ( B= B′′ ). Тогда оператор Грина имеет интегральное представление в том и только в том случае, если выполнены условия L и l . В этом и только в этом случае краевая задача (1), (2) имеет вид b

— j Q (t, s ) x (s) ds + p (t) x (a ) = f (t), a

b

J f (s ) x (s) ds + vx (a) = a. a

Замечание 1. Монотонная полнота нормы. Важность условия (B) определяется хотя бы хорошо известным результатом В. Люксембурга и А. Заанена [79, с. 132] о том, что банахово K-пространство B c тотальным множеством порядково непрерывных функционалов B_n= B_n^∗порядково рефлексивно (это означает, естественное погружение B во второе порядково сопряженное (B^)П - в данном случае в (B* )П - является порядково изморфизмом) тогда и только тогда, когда в B выполнено (B).

В B норма монотонно полна или в B выполнено условие (B): 0 < f_ng B , f_n< f_n+1 следует sup|\f_n\\<^ , что существует f g B, для которого f→ f.

Замечание 2. Предложим, что в пространстве B есть такое свойство монотонности нормы: из | x(t) |<| y(t) | почти всюду на [a, b], где y - функция из B, а x -измеримая функция, следует, что x – это функция из B, причем || x Ц_в<|| y Ц_в . Банахово пространство B вместе с таким свойством называется банаховым идеальным пространством (БИП). Идеальное пространство B называется симметричным или перестановочно инвариантным, если вместе с каждой функцией x оно содержит и все равноизмеримые с нею функции у, причем || x Ц_в =|| у Ц_в . Функции x и y называются равноизмеримыми, если m_x (т) = т_у (т) для всех т > 0. Здесь т_х (т) = mes{t :| x(t) |>т} .

Для нетривиального симметричного пространства B всегда справедливы вложения L⊂B⊂L . Заметим, что выполняется соотношение L⊂B′ ⊂L .

Замечание 3. Для любого множества измеримых функций можно определить носитель suppJ4 [26, IV.3.1, с. 145]. БИП B является фундаментом в [ a, b ] тогда и только тогда, когда supp B = [a, b]. В этом случае говорят, что B – банахово фундаментальное пространство (БФП) [26, IV.3.1, с. 146]. Г.Я. Лозановскому [57] принадлежит следующий важнейший результат.

Теорема. Для БФП B на [a, b], где b<∞, то существует такая измеримая u , что

L C{xu : xEB}C L.

Доказательство теоремы 3 в существенном основано на следующей теореме ([77, 78, 80]).

Теорема утверждает: множество всех ограниченных дифференциально-интегральных операторов, действующих в B , образует секвенциально полную в s(B, B*) -слабой операторной топологии и наполненную подалгебру банаховой алгебры ограниченных операторов из B в B .

Замечание 4. Условие L) для пространств сложной структуры трудно проверяемо. Однако для линейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений характерна ситуация, когда оператор Q: B ^ B регулярен. В этом случае условие L.) оказывается эквивалентным порядковой непрерывности оператора Q :  если fn (t) ^ 0 почти всюду и | f |< g g B, то (Qfn )(t) ^ 0 почти всюду. Порядково непрерывен и регулярный интегральный оператор K: B ^ B, и оператор внутренней суперпозиции (оператор подстановки с весом) S: B ^ B [28].

Следовательно,    для    оператора

Q = I — S — K выполнено условие L.).

Поэтому оператор Грина краевой задачи

(I — S — K) x + px (a ) = f, b

J f (s) x (s) ds + yx (a ) = a a имеет интегральное представление.