Оценка нормы погрешности линеаризации и векторные функции Ляпунова

Найдена оценка нормы погрешности линеаризации одной квазилинейной сложной системы дифференциальных уравнений, являющейся математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил, с применением двух векторных функций Ляпунова. Тем самым создана методологическая основа математического моделирования реальных динамических процессов.

The estimation of the norm of linearization error for one quasi-linear complex system of the differential equations being mathematical model of solid body movement in a potential field of forces with application of two vector functions of Lyapunov is found. This results in basic methods of mathematic modelling of real dynamic processes.

Математическое моделирование в современном мире является одним из основных методов исследования реальных динамических (и не только) процессов. При использовании этого метода для исследователя на первый план выдвигается вопрос о степени владения им смежными областями знаний. Тем самым подтверждается необходимость учета межпредметных связей в процессе преподавания математических дисциплин. Важно, чтобы примеры, в которых показывается межпредметная связь, не носили иллюстративный характер, способствовали выработке методологии и практических навыков использования достижений исследований в смежных областях знаний. Другими словами, необходимо развивать творческий подход к исследованиям реальных динамических процессов.

Следует отметить, что создаваемая математическая модель реального динамического процесса оказывается нелинейной системой дифференциальных уравнений, трудноисследуемой с помощью качественных методов и труднорешаемой численными методами. Для решения проблемы систему нужно линеаризовать. При этом исходная математическая модель «загрубляется». Следовательно, с целью корректного использования линеаризованных систем дифференциальных уравнений в качестве математических моделей реальных динамических процессов необходимо выстроить оценку погрешности линеаризации.

Рассматриваемая в работе нелинейная система дифференциальных уравнений является математической моделью движения твердого тела в потенциаль ном поле сил1. Для указанной системы с помощью метода векторных функций Ляпунова решается проблема корректного использования линейных систем дифференциальных уравнений при описании и анализе движения твердого тела в потенциальном поле сил. В данной работе показывается, каким образом можно использовать математические методы при решении серьезных задач механики. Тем самым осуществляются развитие методологии и получение практических навыков использования математических методов в смежных областях знаний, т.е. устанавливаются межпредметные связи (в частности, математической теории устойчивости и механики).

В настоящей работе найдена оценка нормы погрешности линеаризации одной квазилинейной сложной системы дифференциальных уравнений, являющейся математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил с применением двух векторных функций Ляпунова.

Идейной основой данной работы послужили результаты, изложенные в статье Б.С. Дарховского2 и примененные нами для части и всех фазовых переменных3.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^2ы dt

-nix2i -1 + x2i’ x2i -1(0) = x2i -1,0 ’ dx

-Л1. = (n ²

dt i

^{- w}i ^)x2i - 1 ^- ni^x 2 i ⁺

+ ^F2i(xb ■■■’ x2i’ 0" ", 0) + r2i(t), x2i(0) = x2i 0, где 0 < n. < w. — постоянные вещественные числа; p — вещественный параметр,

функции F i ( x ₁,..., x _2i ,0,...,0) e C ¹ ( G c R 2 ) и, кроме того, | F⁽ДТ"^ x ²ⁱ ’⁰’--’⁰⁾l- a i У ^x j ^, 0 <  a i = const , r i (t ) — вещественные n j o c то-янно действующие возмущения, |ri (t )| <  R , 0 <  R = const; 2i : : = 2 • i, i = 1,6 .

Под нормой любого вектора здесь и далее будем понимать евклидову норму, т.е. ||x|| = (x,x^T)^1/2 , знак T означает транспонирование.

Линеаризованный вариант этой системы имеет вид

dV i dt

V ^(х

dV.

W i ^{( x} 2i - 1 , ^x 2 i ) ^{+       ( F} 2 i ^{( x} 1

(1)                            ^dX 2i

'2i - 1,0 , ^x 2 i 0 ) = V i ⁽⁰⁾,

где

W i ⁽ x2 i - 1 , ^x 2 i ) = ^{- 2 n} i ( ^{( w} i

^dy2i - 1

—d— = ^{- n}i^y2i - 1 ^{+ y}2i , ^y2i - 1⁽⁰⁾ = ^y2i - 1,0,

^y2i = (n² dt ⁱ

^- wi ) ^y2i - 1 ^{- n}i^y2i ^{+ r}2i ^{( t )}, ^y2i ⁽⁰⁾ =

= y _{2 i ,0}, i = 1,6.

Данная система является совокупностью шести не связанных между собой систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Нулевое решение соответствующей системы (2) линейной однородной системы асимптотически устойчиво (выполнены условия Рауса — Гурвица). Следовательно, для каждой подсистемы системы (2) при ri (t) = 0 существует определенно-положительная квадратичная форма V = V(y2i4,y2i)(f = 1,6), полная производная которой по времени t на решениях соответствующей подсистемы есть определенно-отрицательная квадра тичная форма Wi = Wi(y2i -1, y2i), i = 1,6.

Для построения оценки нормы погрешности линеаризации системы (1) выберем векторную функцию Ляпунова ^{V ( x} 1 ^, ^ ^, x i2 ) = (V i Cx i , ^x 2 ), ^V 2 ^{( x} 3 , x 4 ), V^ S , ^Х 6 ), ^V 4 ^{( X} 7 ^, x s )’ ^V 5 ^{( X} 9 , ^X 1o )’ ^V 6 ^{( X} 11 ’ x 12 ^))T , ^{где V}i = ^Vi ⁽ x2i - 1, ^x2i ), Vi ^{( x}2i - 1, ^x2i ) =

= (w² - n²)x^i - 1 + xjji, i = 1,6 . Тогда при каждом i на решениях системы (1) будем иметь

x_y ,0,...,0) + r ₂ , (t)),

^- nhx l i - ⁺ xlJ i = ^1,6 .

Функции V ( x _{2 i - 1}, x _{2 i} ) и Wi ^{( x}2i -1, ^x2i ) ^{( i} =^1,6) являются квадратичными формами. Следовательно, справедливы неравенства

« 1, i ||x ^{( i}^ <  ^Vi ⁽ x 2 i - 1^, x 2 i ) <  ^a 2, i ||x ^{( i} ) Г ,

- V 1,i| x ^{( i} f <  W ( x 2 i - 1 , x 2 i ) <-v 2,i| x «Ц²,   ⁽⁴⁾

dVi dx2,i

< ²| ^x 2,i|

при ||x|| <  r , r есть произвольное конечное

( i) (                 4

положительное число, x = ( x    , x~ .).

’ ^v 2 i - 1 2i'

Проведем в системе (3) преобразование pi = Vi^1/2(i = 1,6) .

С учетом оценок (4) и ограничений на функции F(x 1 ,...,x _{2 i} ,0,...,0) и r ( t ) ( i = 1,6) система (3) преобразовывается в систему дифференциальных неравенств

dPL<_22lp. +_№_ £ p2+ J_ di < 2 pi „3/2 x Pj    1/2, a1, i j =1       a1, i

Pi (0) = Vi ^1/2 (0), i = 1^6 ,

которой соответствует система ния

dvi _ v2i

dt

^^^^^в

----V/ + 2 ⁱ

^a^ ²^ v 2 + 3/2 Д ^j 1/2 ^{, a}1, i j = ^{1 a} 1, i

vi (0) = V ^1/2(0), i = 1,6.

сравне-

Положение равновесия системы (6) находится из системы

Ha-i    i    2

---- У v

"У^= 1 ^j

-

v^

2ivv. +       = 0, i = 1,6.        .

2 i 1/2                (6а)

^a 1, i

Следует отметить, что система (6а) имеет «треугольный» вид.

Пусть i = 1. Тогда в области v i >  0 за счет выбора параметра ц найдем вещественные решения уравнения

Подставив v^’Q во второе уравнение системы (6а), найдем в области v1 >  0, v2 >  0 устойчивое решение

α

ца 2 зТГ ^vi 1,1

-

ν

-^^v.

2 1

R + a11

= 0 .

v^ C) (0 <  v® <  v 22’) . Далее, подставляя

Их будет не более двух, т.е.

v^C) = ^v 1 ( Ц ^a 1V2,1^,a1,1) =

1 / 2 ,            / 2 2    ~ L

« 11 ( « ц У2i - а^ац2 21 - 16 ц а^)

4 mi

^v 1 v’ = ^v 2 ^{( ц , а} 1^v 2,1 ^{, а} 1,1’ =

1 / 2 , « 11 ^{( а} 1, i^v 2, i +

2 2 ^a11^V 2,1

— 1 6ца^ )

(1)м (1)м

v

1 (), v 2 ( ) в третье уравнение системы (6а), аналогично тому как это сделано для i = 2 в области У 1 >  0, v 2 >  0, v g >  0 , найдем устойчивое решение третьего уравнения. По аналогии нахо- „ (1)^     (1)/.

ТТСГТОЯ Х/ОТ^ПТТ 1ТТЛТЗКЮ VOT^UTJ Л? ; I • I     4 I I дятся устойчивые корни v4 (), v^ (’, v6 ('’ системы (6а), т.е. в результате определяется устойчивое решение системы (6а) v(1)('),v21)('),...,v61)('). Следовательно, справедливы неравенства

||| x⁽¹⁾(t)|||:: =

sup x(1)(t)

≤

||| x ^{( i )} ( t )||| < max{( w 2 — n 2)( x 32o)2 + ( ^x 42g)² vf ’O,., vi ⁽¹⁾O >

при t > 0, i = 1,6 . Так как x ( t ) = ( x ⁽¹⁾( t ), x ⁽²⁾( t ),..., x ⁽⁶⁾( t )) , то справедлива оценка ||| x ( t )||| < max(||| x⁽¹⁾ ( t )|||,...,||| x⁽⁶⁾ ( t ) |||) ⁽⁹⁾ при t > 0 .

Оценка (9) по сравнению с оценками (8) более грубая.

Обратимся к нахождению оценки нормы линеаризации £ 2i _— 1(t) = x2i _ 1(t) — y2i _ 1(t), £ 2i ^{( t} ’ = ^x 2i ^{( t} ’ ^— У2i ^{( t} ’, i = ^1,6 .Функции ^£ 2 i _— 1⁽ t ’ и ^£ 2i ^{( t )} являются решением системы

^£ & 2i — 1 = ^— ni ^£ 2i — 1 ^{+ £} 2i, ^£ 2i —1 ⁽⁰⁾ = ⁰ ’

(10) £2 i = Oi¹ — w2) £ 2i _— 1 — ni £ 2 i + Ц ^рИ (x₁(t),-, x₂i ,0,...,0), ^£ 2i, ^£ 2i⁽⁰⁾ = ⁰ i = ^1,6.

В качестве функции Ляпунова для системы (10) выберем векторную функцию Ляпунова

V ( £ 1,..., £ ₁₂) = ( V 1( £ 1, £ ₂), V 2( £ ₃, £ ₄), V 3 ( £ 5, £ 6) ,

V 4( е 7, £ g), V 5( е 9, £ 10), V 6( £ ц, £ 12)) T ■

Здесь Vi = Vi ^{( £} 2 i -1 ,^£ 2 i ), Vi ^{( е} 2i - 1’ ^£ 2 i ) =

• 2 „2х         „2

• — ( w / n i ) X 2 i_ 1 + X 2 i , i — 1,6 ■

Полная производная векторной функции V( £ 1,..., £ 12) по времени t на решениях системы (10) имеет вид

— Wi(£ 2i -1,£ 2i)+ dV i dt

d V

+    - ( F 2 i (W-, x2i (t ),0,...,0) )

d£ 2i                                 ’ где Wi(£2i _ 1,£2i) — -2ni[(wi2 - ni2)x2 _ 1 + x2];

i — 1,6.

Проводя аналогичные действия, что и при получении системы дифференциальных неравенств (5), получим систему d^_vj^-n . pai 2 2 dt "   2 Pi а3/2 jX 1 xj ’

1, i J pi(0) Vi £ 2i-1,0’£ 2i,0) Vi

(0) — 0, i — 1,6.

„    -  -1/2   —

Здесь pi — Vi , i — 1,6.

Из системы дифференциальных неравенств (11) с учетом начальных дан ных, т.е. с учетом Pi (0) — 0 (i —1,6) следует оценка

_        2 pa.        2i -       _ рг(t) —        i sup( X x2(t))’ i — 1’6.

i     a3/2v        / = 1 j

“ 1, i ^V 2, i ^{j 1}

t >  0

Итак, искомая оценка имеет вид

III e(z)(t)|||::— sup £(z)(t) < t > 0                         (12)

• < ₂рщ ( ^X ||| x ^{( j )}( t )|||), i — 1,6.

« 1, i ^v 2, i ^{j — 1}

Таким образом, доказана теорема.

Теорема . Предположим, что для системы (1) выполнены ограничения на функции F 2i ( Х 1 ,...,х_ъ,0,...,0) , r i (t), n i < w i (i — 1,6), справедливы неравенства (4), а вещественный параметр p такой, что уравнения (6) при каждом i (i — 1,6) в области _v >  0 имеют вещественные решения, тогда решение x ( t ,0, x ₀) ^{( x} 0 ^{— ( x} 1⁽⁰⁾’-"’ ^x 12⁽⁰⁾⁾⁾ уравнения (1) существует при всех t >  0 и, кроме того, справедливы оценки (9) и (12).

ПРИМЕЧАНИЯ

• ¹    См.: ЗубовВ.И. Аналитическая динамика системы тел. Л., 1983; Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М., 1976; Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л., 1970; Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., 1991. Ч. 2; Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М., 2001.

• ²    См.: Дарховский Б.С. Оценка погрешности линеаризации // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 7. С. 1313—1316.

• ³    См.: Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Там же. 2001. Т. 37, № 1. С. 132—133.

Поступила 31.08.04.