Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
Бесплатный доступ
Рассматривается поверхность с отрицательной гауссовой кривизной, которая однозначно проектируется на круг. Получены достаточные условия, при которых существует оценка для радиуса круга.
Поверхности отрицательной гауссовой кривизны, уравнение монжа-алтера гиперболического типа, оценка области однозначной проекции
Короткий адрес: https://sciup.org/147158753
IDR: 147158753
Текст научной статьи Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
I |\ЮТ1^ ГДМПГ^ГД V I J/ДЮТТО liyvlb lll)DUUArlVvlb
z = f ( x , y )
K(x,y).,
К (x, у) <-а2 < 0,(2)
H.В. Ефимова [1]: существует a0 > 0 такое, что если C2-гладкая функция f (x,у) задана на квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то a
Н.В. Ефимова: существует r0 > 0 такое, что если C2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса r , то r < r0 / а. Е. Хайнц доказал, что r0 < eV3. Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: r0 > 0,5 . Точные значения констант r0 и а0 неизвестны. В рабо-
[3] . . ,-
- (1 ). [4–7].
Учитывая известную формулу zxxzyy - z^ = K(x,У)(1 + zx + ^Л
.. . :- ческое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет C2 -гладких решений в круге радиуса r > r0 / а или на квадрате со стороной а > а0 / а, если K (x, у) удовлетворяет условию (2).
В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса ,(1).
Теорема 1. Пусть поверхностъ z = z (x, у) е C2 с отрицатель ной кривизной K (x, у) < 0 on-е-делена на круге x2 + у2 < R2. Если сугцествует постоянная C > 0, такая, что то
x2+у2< r2
dxdy K(x,y)
< Crm, 0 < m < 4, r > 0,
R< ^
4 - m 12-m
2 J
3C ^ 4-m
П J

если m Ф 2;
если m = 2.
Азов Д.Г.
.. :
2π
2π
d 1 П 2 2
d- r J (^(pv)) dv = J (^(AV)) dv-2JJ (
V 0 ) 0 x2+ у2< r2
zz-z2 )dxdy. xx yy xy
z(x, y) ∈ C2,z(ρ,ϕ)= z(ρcosϕ,ρsinϕ), ρ, ϕ –.
Введем вспомогательную функцию
r 2п Г1
g(r) = J PdP J 1 +p
(Zv(P,^))2 dv.
g(0) = 0, g(r) ≥ πr2 g′(r) > 0 0
:
g2(r) ≤
JJ (1+zx+zy) dxdy < JJ
V x2+ у2< r2
x2+y2≤r2
dxdy
K(x, y)
⋅
JJ \К (X, у )| (1 + Zx + x2+y2≤r2
22 zy2)dxdy. (7)
(4), (6) (7), g′′(r)≥2g2(r)
Crm
(8) ρ∈(0, R),
.
-3 g′(ρ)g2(ρ)≥
m
-2
3C
.
получаем
ρ → r r R1 R2 (0 <R1<R2<R)
m ≠ 2,
-1
-1
g2(R1)-g2(R2)≥
2-m 2-m
(2-m) 3C
(R22
-R12).
g(r)≥ πr2,
1≥
2-m
R22
2-m
-
R12
.
2<m<4. (9) R2 R ,
2-m
2-m
R2≥
2-m3C+R2 . 2π1
3C А4-m
Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при R1 = I — I V п )
-
2-m 2-m 2-m
4 - m ( 3C )2(4-m) „ 4 - m ( 3C )2(4-m)
но-----1 — I . Поэтому R2 >-----1 — I и, следовательно,
2 V п ) 2 V п )
4 - m ^2-m ( 3C А4-m
2 ) V п )
R≤
0<m<2 (10) :
2-m
R2
2-m
2-m3C+R2 . 2π1
Математика
И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1
( 3C ]4-m
R = I — I . Отсюда снова получим неравенство (11). ( п )
При m = 2 неравенство (9) будет иметь вид
11R
— > , ln 2. Поэтому nRBx 4Cc R1
ln R<
3C 1
+ ln R, и ln R < 1 + ln п R1 1
.
Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при m ^ 2. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Если K (x, у) <-а2 < 0, то jj x2 + у 2 < r г
dxdy
IK(x, у )| а
< ^2- и при m = 2 из (5) следует
оценка Е. Хайнца R <.
а
2. 1 останется верной, если условие (4) выполняется при r ^^ /0, где /0
3. (4) m,,
некоторая постоянная. В этом, случае при доказательстве нужно рассматривать r > r0. При r0 ,C
которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть K (x, у) =--------
.
(1 + x2+ у2) n
Тогда при n < 1 выполняется неравенство jj x2 + у 2 < r г
dxdy m
< Cr , где 0 < m < 4. По теореме 1 K(x,y)
существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при n > 1 имеем m > 4 и существуепi поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом -е- r
-1 dt, где r = д/x2+ у2, проекти-
ле, если A = 1 + (1 + R2) , то поверхностъ z =1 -------——
0^ A - (1 +12)1-n
_ _ „ . 1-n
.
руется на круг любого радиуса R и ее кривизна равна K (x, у) =-----------
(1 + x2+ у 2)"
–
.
zxxzyy-z^ = F(x, у,z, zx, zy ).
Пусть F(x, у, z, zx, zy) < K(x, у) •( 1 + zx + z2) , K(x, у) < 0 - гиперболическое уравнение. 2..
Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге C2-регулярное решение в круге x2+ у2< R2и
K(x, y) (4), R(5).
Список литературы Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
- Ефимов, Н.В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны/Н.В. Ефимов. -М.: Докл. АН СССР, 1953. -640 с.
- Heinz, E. Über Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krümmungen durch Ungleichungen eingeschränkt sind/E. Heinz//Math. Ann. -1955. -V. 129, № 5. -P. 451-454.
- Ефимов, Н.В. Оценки размеров области регулярности решений некоторых уравнений Монжа-Ампера/Н.В. Ефимов//Математический сборник. -1976. -Т. 100(142), № 3(7). -С. 356-363.
- Азов, Д.Г. Об одном классе гиперболических уравнений Монжа-Ампера/Д.Г. Азов//Успехи математических наук. -1983. -Т. 38, № 1. -С. 153-154.
- Брысьев, А.Б. Оценка области регулярности решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств/А.Б. Брысьев//Украинский геометрический сборник. -1985. -Вып. 28. -С. 19-21.
- Азов, Д.Г. Изометрическое погружение «-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства/Д.Г. Азов//Вестник Челябинского государственного университета. -1994. -№ 1(2). -С. 12-17.
- Азов, Д.Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных n-мерных римановых метрик в евклидовы пространства/Д.Г. Азов//Вестник Московского университета. -1985. -№ 5. -С. 72-74.