Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны

I |\ЮТ1^ ГДМПГ^ГД V I J/ДЮТТО liyvlb lll)DUUArlVvlb

z = f ( x , y )

K(x,y).,

К (x, у) <-а2 < 0,(2)

H.В. Ефимова [1]: существует a0 > 0 такое, что если C2-гладкая функция f (x,у) задана на квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то a

Н.В. Ефимова: существует r0 > 0 такое, что если C2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса r , то r < r0 / а. Е. Хайнц доказал, что r0 < eV3. Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: r0 > 0,5 . Точные значения констант r0 и а0 неизвестны. В рабо-

• [3]    . .                                                                                                  ,-

• (1 ).                                                          [4–7].

Учитывая известную формулу zxxzyy - z^ = K(x,У)(1 + zx + ^Л

..                                              .                                                                                                                                                                                   :- ческое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет C2 -гладких решений в круге радиуса r > r0 / а или на квадрате со стороной а > а0 / а, если K (x, у) удовлетворяет условию (2).

В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса ,(1).

Теорема 1. Пусть поверхностъ z = z (x, у) е C2 с отрицатель ной кривизной K (x, у) < 0 on-е-делена на круге x2 + у2 < R2. Если сугцествует постоянная C > 0, такая, что то

x²+у²< r²

dxdy K(x,y)

< Crm, 0 < m < 4, r > 0,

R< ^

4 - m 12-m

2 J

3C ^ 4-m

П J

если m Ф 2;

если m = 2.

Азов Д.Г.

..              :

2π

2π

d 1 ^П              2                          2

d- r J (^(pv)) dv = J (^(AV)) dv^-2JJ ⁽

V 0                    ) 0                         x²+ у²< r²

zz-z² )dxdy. xx yy xy

z(x, y) ∈ C2,z(ρ,ϕ)= z(ρcosϕ,ρsinϕ), ρ, ϕ –.

Введем вспомогательную функцию

r       2п Г1

g^(r) = J PdP J ^{1 +}p

(^Zv(P,^))2 dv.

g(0) = 0, g(r) ≥ πr2   g′(r) > 0      0

:

g²(r) ≤

JJ   ⁽¹⁺zx⁺zy) dxdy  < JJ

V x²+ у²< r²

x²+y²≤r²

dxdy

K(x, y)

⋅

JJ   \К (X, у )| (1 + Zx + x2+y2≤r2

2² z_y²)dxdy. (7)

(4), (6) (7), g′′(r)≥2g2(r)

Crm

(8) ρ∈(0, R),

.

-³ g′(ρ)g²(ρ)≥

m

-₂

3C

.

получаем

ρ → r                 r    R₁    R₂ (0 <R₁<R₂<R)

m ≠ 2,

-¹

-¹

g²(R1)-g²(R2)≥

2-m    2-m

(2-m) 3C

(R2²

-R1²).

g(r)≥ πr²,

1_≥

2-m

R2²

2-m

-

R1²

.

2<m<4.                           (9) R₂   R ,

2-m

2-m

R²≥

2-m3C_{+R2 .} 2π¹

3C А4-m

Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при R1 = I — I V п )

-

2-m                _2-m                 2-m

4 - m ( 3C )2(4-m)                 „ 4 - m ( 3C )2(4-m)

но-----1 — I . Поэтому R² >-----1 — I      и, следовательно,

2 V п )                        2 V п )

4 - m ^2-m ( 3C А4-m

2 ) V п )

R≤

0<m<2 (10)                             :

2-m

R²

2-m

2-m3C_{+R2 .} 2π¹

Математика

И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1

( 3C ]4-m

R = I — I . Отсюда снова получим неравенство (11). ( п )

При m = 2 неравенство (9) будет иметь вид

11R

— > , ln 2.   Поэтому nRBx 4Cc R1

ln R<

3C 1

+ ln R, и ln R < 1 + ln п R1      1

.

Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при m ^ 2. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Если K (x, у) <-а2 < 0, то jj x2 + у 2 < r г

dxdy

I^K(x, у )|   а

< ^2- и при m = 2 из (5) следует

оценка Е. Хайнца R <.

а

• 2.         1 останется верной, если условие (4) выполняется при r ^^ /0, где /0

• 3.                      (4)                                 m,,

некоторая постоянная. В этом, случае при доказательстве нужно рассматривать r > r0. При r0                            ,C

которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть K (x, у) =--------

.

(1 + x²+ у²) n

Тогда при n < 1 выполняется неравенство   jj x2 + у 2 < r г

dxdy m

< Cr , где 0 < m < 4. По теореме 1 K(x,y)

существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при n > 1 имеем m > 4 и существуепi поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом -е- r

-1 dt, где r = д/x²+ у², проекти-

ле, если A = 1 + (1 + R²) , то поверхностъ z =1 -------——

0^ A - (1 +1²)1-n

_         _        „                                      .          1-n

.

руется на круг любого радиуса R и ее кривизна равна K (x, у) =-----------

(1 + x²+ у 2)"

–

.

^zxx^zyy^-z^ = F^(x, у,^z, ^zx, ^zy ).

Пусть F(x, у, z, zx, zy) < K(x, у) •( 1 + zx + z2) , K(x, у) < 0 - гиперболическое уравнение. 2..

Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге C²-регулярное решение в круге x²+ у²< R²и

K(x, y)                             (4), R(5).