Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны

Бесплатный доступ

Рассматривается поверхность с отрицательной гауссовой кривизной, которая однозначно проектируется на круг. Получены достаточные условия, при которых существует оценка для радиуса круга.

Поверхности отрицательной гауссовой кривизны, уравнение монжа-алтера гиперболического типа, оценка области однозначной проекции

Короткий адрес: https://sciup.org/147158753

IDR: 147158753

Текст научной статьи Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны

I |\ЮТ1^ ГДМПГ^ГД V I J/ДЮТТО liyvlb lll)DUUArlVvlb

z = f ( x , y )

K(x,y).,

К (x, у) <-а2 < 0,(2)

H.В. Ефимова [1]: существует a0 > 0 такое, что если C2-гладкая функция f (x,у) задана на квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то a

Н.В. Ефимова: существует r0 > 0 такое, что если C2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса r , то r < r0 / а. Е. Хайнц доказал, что r0 < eV3. Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: r0 > 0,5 . Точные значения констант r0 и а0 неизвестны. В рабо-

  • [3]    . .                                                                                                  ,-

  • (1 ).                                                          [4–7].

Учитывая известную формулу zxxzyy - z^ = K(x,У)(1 + zx + ^Л

..                                              .                                                                                                                                                                                   :- ческое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет C2 -гладких решений в круге радиуса r > r0 / а или на квадрате со стороной а > а0 / а, если K (x, у) удовлетворяет условию (2).

В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса ,(1).

Теорема 1. Пусть поверхностъ z = z (x, у) е C2 с отрицатель ной кривизной K (x, у) < 0 on-е-делена на круге x2 + у2 < R2. Если сугцествует постоянная C > 0, такая, что то

x2+у2r2

dxdy K(x,y)

< Crm, 0 < m < 4, r > 0,

R< ^

4 - m 12-m

2 J

3C ^ 4-m

П J

если m Ф 2;

если m = 2.

Азов Д.Г.

..              :

2π

2π

d 1 П              2                          2

d- r J (^(pv)) dv = J (^(AV)) dv-2JJ (

V 0                    ) 0                         x2+ у2r2

zz-z2 )dxdy. xx yy xy

z(x, y) ∈ C2,z(ρ,ϕ)= z(ρcosϕ,ρsinϕ), ρ, ϕ –.

Введем вспомогательную функцию

r       2п Г1

g(r) = J PdP J 1 +p

(Zv(P,^))2 dv.

g(0) = 0, g(r) ≥ πr2   g′(r) > 0      0

:

g2(r)

JJ   (1+zx+zy) dxdy  < JJ

V x2+ у2r2

x2+y2r2

dxdy

K(x, y)

JJ   \К (X, у )| (1 + Zx + x2+y2≤r2

22 zy2)dxdy. (7)

(4), (6) (7), g′′(r)≥2g2(r)

Crm

(8) ρ(0, R),

.

-3 g(ρ)g2(ρ)

m

-2

3C

.

получаем

ρr                 r    R1    R2 (0 <R1<R2<R)

m2,

-1

-1

g2(R1)-g2(R2)

2-m    2-m

(2-m) 3C

(R22

-R12).

g(r)πr2,

1

2-m

R22

2-m

-

R12

.

2<m<4.                           (9) R2   R ,

2-m

2-m

R2

2-m3C+R2 . 2π1

3C А4-m

Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при R1 = I — I V п )

-

2-m                2-m                 2-m

4 - m ( 3C )2(4-m)                 „ 4 - m ( 3C )2(4-m)

но-----1 — I . Поэтому R2 >-----1 — I      и, следовательно,

2 V п )                        2 V п )

4 - m ^2-m ( 3C А4-m

2 ) V п )

R

0<m<2 (10)                             :

2-m

R2

2-m

2-m3C+R2 . 2π1

Математика

И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1

( 3C ]4-m

R = I — I . Отсюда снова получим неравенство (11). ( п )

При m = 2 неравенство (9) будет иметь вид

11R

— > , ln 2.   Поэтому nRBx 4Cc R1

ln R<

3C 1

+ ln R, и ln R < 1 + ln п R1      1

.

Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при m ^ 2. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Если K (x, у) <-а2 < 0, то jj x2 + у 2 < r г

dxdy

IK(x, у )|   а

< ^2- и при m = 2 из (5) следует

оценка Е. Хайнца R <.

а

  • 2.         1 останется верной, если условие (4) выполняется при r ^^ /0, где /0

  • 3.                      (4)                                 m,,

некоторая постоянная. В этом, случае при доказательстве нужно рассматривать r > r0. При r0                            ,C

которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть K (x, у) =--------

.

(1 + x2+ у2) n

Тогда при n < 1 выполняется неравенство   jj x2 + у 2 < r г

dxdy m

< Cr , где 0 m < 4. По теореме 1 K(x,y)

существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при n > 1 имеем m > 4 и существуепi поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом -е- r

-1 dt, где r = д/x2+ у2, проекти-

ле, если A = 1 + (1 + R2) , то поверхностъ z =1 -------——

0^ A - (1 +12)1-n

_         _        „                                      .          1-n

.

руется на круг любого радиуса R и ее кривизна равна K (x, у) =-----------

(1 + x2+ у 2)"

.

zxxzyy-z^ = F(x, у,z, zx, zy ).

Пусть F(x, у, z, zx, zy) < K(x, у) •( 1 + zx + z2) , K(x, у) < 0 - гиперболическое уравнение. 2..

Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге C2-регулярное решение в круге x2+ у2R2и

K(x, y)                             (4), R(5).

Список литературы Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны

  • Ефимов, Н.В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны/Н.В. Ефимов. -М.: Докл. АН СССР, 1953. -640 с.
  • Heinz, E. Über Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krümmungen durch Ungleichungen eingeschränkt sind/E. Heinz//Math. Ann. -1955. -V. 129, № 5. -P. 451-454.
  • Ефимов, Н.В. Оценки размеров области регулярности решений некоторых уравнений Монжа-Ампера/Н.В. Ефимов//Математический сборник. -1976. -Т. 100(142), № 3(7). -С. 356-363.
  • Азов, Д.Г. Об одном классе гиперболических уравнений Монжа-Ампера/Д.Г. Азов//Успехи математических наук. -1983. -Т. 38, № 1. -С. 153-154.
  • Брысьев, А.Б. Оценка области регулярности решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств/А.Б. Брысьев//Украинский геометрический сборник. -1985. -Вып. 28. -С. 19-21.
  • Азов, Д.Г. Изометрическое погружение «-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства/Д.Г. Азов//Вестник Челябинского государственного университета. -1994. -№ 1(2). -С. 12-17.
  • Азов, Д.Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных n-мерных римановых метрик в евклидовы пространства/Д.Г. Азов//Вестник Московского университета. -1985. -№ 5. -С. 72-74.
Еще
Статья научная