Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
Бесплатный доступ
Рассматривается поверхность с отрицательной гауссовой кривизной, которая однозначно проектируется на круг. Получены достаточные условия, при которых существует оценка для радиуса круга.
Поверхности отрицательной гауссовой кривизны, уравнение монжа-алтера гиперболического типа, оценка области однозначной проекции
Короткий адрес: https://sciup.org/147158753
IDR: 147158753
Текст научной статьи Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
I |\ЮТ1^ ГДМПГ^ГД V I J/ДЮТТО liyvlb lll)DUUArlVvlb
z = f ( x , y )
K(x,y).,
К (x, у) <-а2 < 0,(2)
H.В. Ефимова [1]: существует a0 > 0 такое, что если C2-гладкая функция f (x,у) задана на квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то a Н.В. Ефимова: существует r0 > 0 такое, что если C2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса r , то r < r0 / а. Е. Хайнц доказал, что r0 < eV3. Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: r0 > 0,5 . Точные значения констант r0 и а0 неизвестны. В рабо- [3] . . ,- Учитывая известную формулу zxxzyy - z^ = K(x,У)(1 + zx + ^Л .. . :- ческое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет C2 -гладких решений в круге радиуса r > r0 / а или на квадрате со стороной а > а0 / а, если K (x, у) удовлетворяет условию (2). В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса ,(1). Теорема 1. Пусть поверхностъ z = z (x, у) е C2 с отрицатель ной кривизной K (x, у) < 0 on-е-делена на круге x2 + у2 < R2. Если сугцествует постоянная C > 0, такая, что то x2+у2< r2 dxdy K(x,y) < Crm, 0 < m < 4, r > 0, R< ^ 4 - m 12-m 2 J 3C ^ 4-m П J если m Ф 2; если m = 2. Азов Д.Г. .. : 2π 2π d 1 П 2 2 d- r J (^(pv)) dv = J (^(AV)) dv-2JJ ( V 0 ) 0 x2+ у2< r2 zz-z2 )dxdy. xx yy xy z(x, y) ∈ C2,z(ρ,ϕ)= z(ρcosϕ,ρsinϕ), ρ, ϕ –. Введем вспомогательную функцию r 2п Г1 g(r) = J PdP J 1 +p (Zv(P,^))2 dv. g(0) = 0, g(r) ≥ πr2 g′(r) > 0 0 : g2(r) ≤ JJ (1+zx+zy) dxdy < JJ V x2+ у2< r2 x2+y2≤r2 dxdy K(x, y) ⋅ JJ \К (X, у )| (1 + Zx + x2+y2≤r2 22 zy2)dxdy. (7) (4), (6) (7), g′′(r)≥2g2(r) Crm (8) ρ∈(0, R), . -3 g′(ρ)g2(ρ)≥ m -2 3C . получаем ρ → r r R1 R2 (0 <R1<R2<R) m ≠ 2, -1 -1 g2(R1)-g2(R2)≥ 2-m 2-m (2-m) 3C (R22 -R12). g(r)≥ πr2, 1≥ 2-m R22 2-m - R12 . 2<m<4. (9) R2 R , 2-m 2-m R2≥ 2-m3C+R2 . 2π1 3C А4-m Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при R1 = I — I V п ) - 2-m 2-m 2-m 4 - m ( 3C )2(4-m) „ 4 - m ( 3C )2(4-m) но-----1 — I . Поэтому R2 >-----1 — I и, следовательно, 2 V п ) 2 V п ) 4 - m ^2-m ( 3C А4-m 2 ) V п ) R≤ 0<m<2 (10) : 2-m R2 2-m 2-m3C+R2 . 2π1 Математика И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1 ( 3C ]4-m R = I — I . Отсюда снова получим неравенство (11). ( п ) При m = 2 неравенство (9) будет иметь вид 11R — > , ln 2. Поэтому nRBx 4Cc R1 ln R< 3C 1 + ln R, и ln R < 1 + ln п R1 1 . Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при m ^ 2. Теорема 1 доказана. Замечание 1. Если K (x, у) <-а2 < 0, то jj x2 + у 2 < r г dxdy IK(x, у )| а < ^2- и при m = 2 из (5) следует оценка Е. Хайнца R <. а 2. 1 останется верной, если условие (4) выполняется при r ^^ /0, где /0 3. (4) m,, некоторая постоянная. В этом, случае при доказательстве нужно рассматривать r > r0. При r0 ,C которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть K (x, у) =-------- . (1 + x2+ у2) n Тогда при n < 1 выполняется неравенство jj x2 + у 2 < r г dxdy m < Cr , где 0 < m < 4. По теореме 1 K(x,y) существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при n > 1 имеем m > 4 и существуепi поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом -е- r -1 dt, где r = д/x2+ у2, проекти- ле, если A = 1 + (1 + R2) , то поверхностъ z =1 -------—— 0^ A - (1 +12)1-n _ _ „ . 1-n . руется на круг любого радиуса R и ее кривизна равна K (x, у) =----------- (1 + x2+ у 2)" – . zxxzyy-z^ = F(x, у,z, zx, zy ). Пусть F(x, у, z, zx, zy) < K(x, у) •( 1 + zx + z2) , K(x, у) < 0 - гиперболическое уравнение. 2.. Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге C2-регулярное решение в круге x2+ у2< R2и K(x, y) (4), R(5).
Список литературы Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны
- Ефимов, Н.В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны/Н.В. Ефимов. -М.: Докл. АН СССР, 1953. -640 с.
- Heinz, E. Über Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krümmungen durch Ungleichungen eingeschränkt sind/E. Heinz//Math. Ann. -1955. -V. 129, № 5. -P. 451-454.
- Ефимов, Н.В. Оценки размеров области регулярности решений некоторых уравнений Монжа-Ампера/Н.В. Ефимов//Математический сборник. -1976. -Т. 100(142), № 3(7). -С. 356-363.
- Азов, Д.Г. Об одном классе гиперболических уравнений Монжа-Ампера/Д.Г. Азов//Успехи математических наук. -1983. -Т. 38, № 1. -С. 153-154.
- Брысьев, А.Б. Оценка области регулярности решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств/А.Б. Брысьев//Украинский геометрический сборник. -1985. -Вып. 28. -С. 19-21.
- Азов, Д.Г. Изометрическое погружение «-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства/Д.Г. Азов//Вестник Челябинского государственного университета. -1994. -№ 1(2). -С. 12-17.
- Азов, Д.Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных n-мерных римановых метрик в евклидовы пространства/Д.Г. Азов//Вестник Московского университета. -1985. -№ 5. -С. 72-74.