Оценка оператора Чезаро в линейно-инвариантных семействах аналитических функций в круге

Лицензирована по CC BY 4.0. Чтобы посмотреть копию этой лицензии, посетите

1. Введение и постановка задачи

Итальянский математик Эрнесто Чезаро в 1890 году [1] предложил новый эффективный метод суммирования расходящихся рядов. Приведенный метод усреднения лег в основу многих научных работ. Х. Поммеренке в [2] занимался исследованием оператора, который при некотором условии является классическим оператором Чезаро. Л. Фейер в [3] для получения сходящегося функционального ряда переходил к последовательности среднеарифметических заданной функциональной последовательности. Среди работ, посвященных обобщению метода усреднения Чезаро, можно отметить [4] и [5]. В данной работе будет использоваться определение обобщенного (averaging) оператора Чезаро, данное в 1994 году в [4].

Свойства оператора Чезаро и различных его обобщений играют важную роль при изучении сингулярных и функционально-дифференциальных уравнений. Такие уравнения возникают в химическом реакторе [6, с. 176–179], в левой части однородного уравнения Эйлера [7, с. 154], в уравнении Шрёдингера для одномерной частицы [8, с. 116] и других задачах. Здесь удобно осуществить переход от функционально-дифференциальных уравнений к операторным, такой прием избавляет от громоздких расчетов. Отсюда вытекает важность исследования свойств операторов в разных функциональных пространствах и установление условий их ограниченности. Переход от функционально-дифференциальных уравнений к операторным можно увидеть в работах [9], [10] и [11], в них авторы используют описанный выше переход для доказательства достаточных условий разрешимости задачи Коши и для доказательства существования единственного решения. В [12] оператор Чезаро используется в изучении свойств модельной задачи, которая возникает в некоторых химических реакциях. Еще об одном интересном приложении можно прочесть в [13].

Одним из важнейших свойств оператора Чезаро является свойство ограниченности. Наличие этого свойства изучалось в различных пространствах. В предлагаемой работе рассматривается вопрос об ограниченности оператора Чезаро для аналитических функций в А = {z: |z| < 1}, которые принадлежат линейно-инвариантным семействам.

Понятие линейно-инвариантного семейства дал Х. Поммеренке в 1964 году в [14, с. 109].

Множество ЗЛ аналитических и локально однолистных функций в круге А оо g⁽z) = z + ^ a_n ⁽ g)zⁿ

П=2

называется линейно-инвариантным семейством (л.и.с.), если для любой функции g(z) Е

ЗЛ и для любого конформного автоморфизма Ф круга А функция ^g(ф(z))^-g(^ф(o⁾) _ у _п ^дфМ    д ' (Ф(0))Ф ' (0)       ^

также принадлежит ЗЛ.

Число ord Л = supla2(g)l называется порядком линейно-инвариантного семей- ства.

Множество U_a , которое состоит из объединения всех л.и.с. ЗЛ для которых ord Л < а называется универсальным линейно-инвариантным семейством порядка а.

Известно, что порядок ord ЗЛ > 1 [14] для любого л.и.с. ЗЛ. Порядок семейства, которому принадлежат аналитические и локально однолистные функции, оказывает влияние на ряд свойств этих функций. Примеры л.и.с. приведены в [15, с. 8]. Среди них из- вестные классы аналитических в А функций с разложением (1): U 1 = К - класс выпуклых функций, отображающих А на выпуклые области, класс S = U2 - класс всех однолистных функций, по теореме Бибербаха ordS = 2 [16], и другие примеры. Далее рассматриваются только л.и.с. конечного порядка.

В силу того, что функции из л.и.с. имеют разложение (1), это позволяет уточнить вид оператора Чезаро в данном классе и получить условия его ограниченности.

2. Оператор Чезаро в линейно-инвариантных семействах функций

Для любого комплексного числа b далее используем символ Похгаммера:

r(b + п)

(b) ” ^ b(b + 1)(b + 2) ... (b + п — 1) -         , п 6 Ы

Г(Ь)

и обозначим а ” := (^J) ” , причем, (1)_п — 1 • 2 • 3 •  • (1 + п — 1) — п! и (b)₀ — 1.

⁽¹⁾ п

Пусть ^(z) — £ 00= _of_пz^п аналитическая функция в А . В [4] (см. также [17]) для Д 6 С с ^еД > —1 для функций ^(z) обобщенный оператор Чезаро был определен следующим образом:

°        ”

^с^) = Zl^Z^Mz ” ^-1' п=1 \^Ап-1 к=1         /

При Д — 0 в (2) получаем классический оператор Чезаро:

О /   ”       \ c0^(z)=Z(nz^-i)zn-1-п=1 V к = 1     /

Уточним (2) для аналитических функций в А , имеющих разложение f(z) =

£ 00=1 cl_пz^п. Рассмотрим тождество:

z       1

1 — z' (1 — z) ^ = (1

—

Z

z) ^ ^{+ 1} ,

в котором каждую дробь представим в виде степенных рядов:

О п=0

(Д) п _п

--— Z

п!

О

= l^z ” ^-1.

п=1

Поскольку

z

1 — z

ОО =I^z" п=1

и

—

Z

z) ^ ⁺¹

получаем выражение, эквивалентное (3):

( ОО    О

^^а^*)— п=1   / \п=1          /   п=1

О

= £

п=1

.

Раскроем скобки левой части (4), выполним группировку и получим следующее выражение:

/ О    \  / О             \      О / ”        \         О / ”\

(^(^А^-^Аф^

Xп=1   / 'п=1          /   п=1 4=1     /      п=1 4=1/

Отсюда следует, что (4) эквивалентно

О   ”О

Е£ап^— п=1 \fc=1      /п=1

Приравнивая коэффициенты при zn, получим

n

1^=^ т.е.

к=1

n

——У Л^-1 = 1

£ L^n-fc  ^1.

^n-1к = 1

Пусть f(z) = En=₁a_nzⁿ аналитическая функция в А . Определяем оператор Че-заро порядка ft > 0 в пространстве аналитических функций в А следующим образом:

О /       п\

■'  ■    ^  .'  ^"-  ■ n=1 Wn-1 fc=1/

В частности, при ft = 1 получаем классический оператор Чезаро.

Таким образом, получен уточненный вид обобщенного оператора Чезаро порядка ft (или ft - оператора Чезаро), который можно применять к функциям из л.и.с.

3. Оценка модуля оператора Чезаро

Пусть Ж - л.и.с. конечного порядка. Обозначим £№ класс аналитических функций в А:

£Ж = {f⁽z) = logg'⁽z) = L an⁽f)zⁿ : g e ж}, здесь log w обозначает главную ветвь комплексного логарифма.

Теорема 1. Для любой функции f(z) e £и_а,а > 1,ft > 0, ft - оператор Чезаро ограничен и

—

— г

ftФ(г, 1,ft + 1)),

zn где |z| = г и Ф(z, s, а) = ХО=0 (п+ау; — трансцендентная функция Лерха.

Доказательство: Для доказательства используем оценки коэффициентов в классе

£U_a. Обозначим ^_n(a) = sup |a_n(f)|, для а>1 и п > 2 в классе £U_a в [18] (см. также fe^^a

[15, с. 102], [19]) были доказаны следующие оценки:

(“-1)(1+1)

n-1

(1-п+г)2

< А_п(а}<

2(а-1(1-й) )

(2->—1Г

<е(а-4а).

Также из определения U_a следует, что Д1(а) = sup |a1(f)| < 2а. fe^^a

Обозначим г = |z|, ft > 0. Оценим модуль оператора Чезаро:

i^’IZj^Z/-^^

О                   О /      n         \

= а^^^М^-; An n = 1^n-1           n = 2 Wn-1 fc = 2        /

<

О                   О /      n           \

<|a.lL■^iгn + ЯAL4-;|a.l)гnS n=1^n-1           n = 2 Wn-1 fc = 2          /

О

<^2а^ T^^- ^^{-1rn + e} n=1^n-1

Так как для любого ft > 0 и п e N

О /       n       \

(а^^в)-- n=2 \ n-1fc=2      /

л^1_  (Р)п-1(1)п-1  _г(Р + п —1)г(р + 1)

а^ г (1)п-1(Р + 1)п-1 г(Р)г(р +1 + n -1)

ⁿ₌    г(Р + п — 1)рг(р)           р

Г(Р)(Р + п — 1)Г(Р + п — 1) (p + n-1)

и

п

-У/

t ^2Л»

п-1к=1

= 1,

следовательно,

п

—У/-1 =

АР  2 Л«~к п-1к=2

1

-

Р

(Р + n- 1)"

Таким образом, 0

2“ 2

п=1

1

00

A t ^лп-1

лпл Гп + е

00   /         п         \

(-iE(yz-:') п=2 у п-1 к=2     /

п

^п

= 2“2

п=1

п=2

п-1 к=2

Р

(Р +n

-

1)Г" + е(“ —4“)2(1 — п=2

____Р

(Р + n —

1))

2аРгФ(г, 1,Р) + г2е

(а-}^-\    4а) 11 — г

РФ(г, 1,Р + 1)

)■

Теорема доказана.