Оценка погрешности приближенного решения интегрального уравнения методом невязки

Многие задачи математической физики, анализа и геофизики сводятся к интегральным уравнениям первого рода. Эти уравнения относятся к классу некорректно поставленных задач, теория которых в настоящее время интенсивно развивается. Одним из эффективных методов решения таких задач является метод невязки [1]. Эффективность этого метода заключается в его эквивалентности методу регуляризации с параметром, определенным принципом невязки [2, 3].

Так как при решении интегральных уравнений важную роль играет их дискретизация [4–7], то в данной статье при разработке алгоритма учтена погрешность дискретизации интегральных уравнений.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода

b

Au ( s ) = j P ( s , t ) u ( s ) ds = f ( t ); с <  t <  d ,                               (1)

a где P(s,t), Pt(s,t)e C([a,b]x[c,d)); u(s)e L2 [a,b], f (t)e L 2 [c,d), d может быть равно ^ .

Ядро оператора P ( s , t ) предположим замкнутым. Пусть при f ( t ) = f 0 ( t ) существует точное решение u ₀( s ) уравнения (1), которое принадлежит множеству M_r ,

M r = {u ( s ), u ^{[ l ]}( s ) e L 2 [ a , b ], u ( a ) = u ( a ) = ... u ^{[ l - 1]}( a ) = u ( b ) = u ( b ) = ... = u ^{[ l - 1]}( b ) = 0,|| u ( s^^ / ] < r } .(2)

Из замкнутости ядра P ( s , t ) будет следовать единственность решения u ₀( s ) уравнения (1).

Пусть точное значение f > ( t ) нам неизвестно, а вместо него даны f _s ( t ) e L 2 [ c , d ) и 3 >  0 такие, что

II f _s ( t ) - f > ( t )| L ₂ < ³

Требуется по f _s ( t ), 3 и M_r определить приближенное решение u _s ( s ) уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения u ₀( s ) в метрике пространстве L 2 [ a , b ] .

Введем оператор B , отображающий пространство L 2 [ a , b ] в L 2 [ a , b ] формулой

u ( s ) = Bv ( s ) = ( ..J v ( 0 ) d e ,v ( s ) , Bv ( s ) e L ₂[ a , b ],                        (3)

a a

l и оператор C

Cv ( s ) = ABv ( s ); v ( s ) e L ₂[ a , b ], Cv ( s ) e L ₂[ c , d ) .                         (4)

Из (3) и (4) следует, что

Математика

bs

Cv ( s ) = J K ( s, t ) v ( s ) ds, где K ( s, t ) = J ..J P ( 0 , t ) d 0 .

aba

l

Для замены оператора C конечномерным оператором сначала предположим существование функции g ( t ) е L ₂[ c , d ) , такой, что для любых s е [ a , b ] и t е [ c , d )

K(s, t) < g(t). (6) Затем ядро K (s, t) заменим ядром K£ (s, t), таким, что K(s,t); a < s < b, c < t < d£; K£ (s, t) = | 0; t > d£ , (7) где d J g2(t)dt < £2,(8)

d £ а также введем функцию N (t)

N(t) = max |Ks(s,t)|;    c < t < d£(9)

a < s < b11

и число N i

Nj = max{|Kt(s,t)|: a < s < b, c < t < d£}(10)

Так как P ( s , t ) и P_t(s , t ) е C ( [ a , b ] x [ c , d _£ ] ) , то из (9) и (10) следует существование числа N ₁ и N ( t ) е C [ c , d _£ ] .

Л                  Г                                                         , i (b - a)                    1„

Разобьем отрезок [ a , b J на n равных частей точками s i = a +-- , i = 0,1,..., n - 1, а также n

• - _                                                 j ( d„ - c )

отрезок [ c , d _£ J на m равных частей точками t j = c + -— ^£ ----; j = 0,1,..., m - 1.

m

Теперь введем функции

Ki (t) = K£ (s^ t),(11)

Kn(s,t) = Ki(t); si < s < si+1, te[c,d£J, i = 0,1,...,n -1,(12)

Kn,m (s, t) = Ki(tj ); si < s < si+1, tj < t < tj+1.

Используя формулы (11)-(13), определим операторы C_n и C_n , _m

b

Cnv(s) = JKn (s, t)v(s)ds; t e[c, d£ ],(14)

a

b

Cn,mv(s) = J Kn,m (s, t)v(s)ds, t e[c, d£ ]

a и предположим, что эти операторы отображают пространство L2[ a, b J в L2[ c, d), дополнив значения этих операторов при t > d£ нулем.

Для удобства оператор с ядром K _£ ( s , t ) обозначим через C _£ и перейдем к оценке величины

||C_n m - с ||. Для этого используем неравенство

|| Сn , m - C < || C - Q | I + | C £ - C n || + | \C n - C n , m 11.                            (16)

Из (6)-(8) следует, что

|| С - С£ |< £ .                                             (17)

Так как

I K n , m ( S , t ) - K n ( S , t )| <  \K_t ( t ) - K i ( t j )|, при s i <  s <  s i _{+ 1} и t j <  t <  t j _{+ 1}, i = 0,1,..., n - 1, j = 0,1,..., m - 1, а

I Ki (t) - Ki (tj )| = N1 d ■ c, m то из(18) получим

Ввиду того, что

следует

C - n , m

Из (19) и (20) следует, что

I C

Так как

то из (20) следует, что

\ K n , m ( s , t ) - K n ( s , t ) <  M        .

1                             1 m

II С n - С n , m || = sup || C n V - C n , m v || , ^,            ||v |< 1"                    ^,

-12

d

^C n ||< ^supf f| ^K n , m ^{( s} , t ) ^- K n ^{( s} , t )| ^{V ( s} )| ^{ds dt} .

V < c a                              J

b

2 d,

n , m

b I ²

fl v ( s )| ds

c L a

b j|v(s)| ds < Vb - a ||v(s)|| a

dt .

II С

n , m

^- C n 11 <  \bb add ^- CN^N 1 ~    .

m

Теперь перейдем к оценке слагаемого || C _£ - C_n 11.

Так как

b

C e ^{V ( s} ) ^- C n v ^{( s} ) = j ( K e ^{( s} , t ) ^{- K} n ^{( s} , t ) ) v ^{( s} ) ^ds ,

a

d e b                                    ²

IСn - Ce\| = suP H f|Ke (s, t) - Kn (s, t )| Iv(s )|ds   dt :| M < , c La'                           'J

то учитывая (9), (11), (12) и b                                 ь                                  b ь

J K ( s , t ) - K n ( s , t )| I V ( s )| ds <  j K e ( s , t ) - K e ( s i , t )| | v ( s )| ds <  —^N ( t ) j I V ( s )| ds , aa ⁿ a

получим, что

U ² d e

I Cev(s ) - Cnv(s )|| < |—I j nc

„ Г b

^{N 2(} t ) JM^{( s} ) ^ds

L a

dt .

b

Из того, что || v ( s )|| <  1, а j| v ( s )| ds <  4b - a ||v ( s )||, учитывая (23), получим

a

I C n - C e| | <  bbai||^N ( t )| _b_ ' a .

Таким образом, из (17), (22) и (24) следует, что

II C ^- C n , m 11 <  ^{e +} \^{( b - a )(} d e ^{- c} ) ^N 1 ^em— ^{+ b -} a ll ^N ( t )| L n

Математика

В дальнейшем через n _n m , обозначим величину, удовлетворяющую соотношению

П п. ^ ^£ + 7 ( b — a )( d_e - c ) N i ^ c + b - a ||N ( t )|L b~a •                (25)

^,                                m                    L ² n

• 2.    Метод невязки

Введем конечномерное подпространство X_n пространства L ₂[ a , b ], состоящее из функций постоянных на промежутках [ s i , s i _{+ 1} ) , i = 0,1,..., n- 1, а также подпространство Y_m пространства

L ₂[ c , d _£ ], состоящее из функций, постоянных на промежутках [ t j , t j _{+ 1} ) , j = 0,1,..., m - 1. Через pr ( • ; Y_m ) обозначим оператор метрического проектирования пространства L ₂ [ c , d _e ] на Y_m .

Для решения уравнения (1) воспользуемся конечномерным вариантом метода регуляризации А.Н. Тихонова, приведенного в [8]

u2 Ь inf j ||Cn,mv(s) - fm (t)|| + aJv2(s)ds : v(s) e L2[a,b][,a > 0,

a где fm (t) = pr (fg; Ym).

Известно, что задача (26) имеет единственное решение v^nn m (s). Значение параметра регу ляризации а в решенииvgn (s) задачи (26) выберем из принципа невязки [1].

I C nA , ., ( s ) - f m ( t >11 = rn. m + ^S.                          (27)

Известно, что при условии

I f m ⁽ t )|| >  rn n , m ⁺ 8

существует единственное решение а ( С _nm , f g ( t ), r n _{n m} + 8 ) уравнения (27).

Если решение v^mm ’ ^{f s (} t )’ r^{n n} ’ ^{m +S} ) ( s ) задачи (26), (27) обозначим через v^m ( s ), то приближенное решение u g , n ( s ) уравнения (1) будет иметь вид

USnnm (s) = Bvgnn,m (s).

Из (11), (13) и (15) следует, что сn, mV (s) = 11— £ Ki (tj) vi, t e[ tj, tj+1), j = 0,1,..., m -1,(29)

• V    ⁿ i =0

где

I n si+1 vi=J----- fv(s)ds.(30)

\ b - a ^J s _i

Из вида оператора pr(•; Ym) следует, что fm(t) ={ fj : tj < t < tj+1, j = 0,1,...,m -1},(31)

m где fj =13---- J f8 (t)dt.

\ d£ - cl tj

Через { ^ -( s ) } обозначим ортонормированный базис пространства X_n ,

^ •( s ) = ’

n

—; s i < ^s <  s i +1 \ b - a

0; s « [ s i , s i _{+ 1} ) , i = 0,1,

..., n - 1,

а через { j t ) } базис пространства Y m ,

m

Ф

( t ) = ^

d e - C

^; t j - t <  t j +1

0; t ё [ tj ; tj + i ) , J = 0,1,

m - 1.

Лемма 1. Пусть величины v i , i = 0,1,

...

, n - 1, определены формулой (30). Тогда для любой

функции v(s)t L2[a,b] справедливо соотношение n-1       b

I v ² - f v ²( s ) ds .

i = ⁰        a

Доказательство. Из формул (30) и (32) следует, что

s i + i

s i + i

I v i | - f P ( s ) v ( S )| ds - H( S )| H J V 2 ( S ) ds ' .

si

si

Из (34) следует, что

v i ²

• • : + 1

• - f v ²( s ) ds

si

и, следовательно,

n -1 I i =0

v i ²

b

- J v ² ( s ) ds .

a

Тем самым лемма доказана.

Наряду с задачей (26) рассмотрим задачу inf {||Cn,mV(s) - fm (*)|| + ^|V(s)||2 : V(s) e Xn } ,

где f g ⁽ t ) = pr ( ^f 3 , Y m ) .

В одной из теорем [8] доказано существование и единственность решения -van ( s ) задачи (35).

Лемма 2. Вариационные задачи (26) и (35) эквивалентны.

Доказательство. Так как Xn с L2[a,b], то inf {||Cn,mv(s) - fm (t)|| +av(s)||2:v(s)e L2[a,b]}-inf {|Cn,mv(s)- f3 (t)|| +^|v(s)|f : v(s)e Xn } • (36) Из (29) следует, что для любого v(s) е L2[a, b]

C n , m v ( s ) = A / b— a I K i ( tj ) v ; t е [ tj , tj +1 ), J = 0,1,..., m - 1.

• У    ⁿ i =0

n -1

Положив v( s) = I v^^ s) получим, что i=0

^{v ( s} ) ^е X n и

C n , m v ( s ) = _A — I K i ( t j ) v i ;t e [ t j , t j +1 ), j = 0,1,..., m - 1.                  (37)

• V    n i =0

Из (36), (37) и леммы 1 следует, что для любого v ( s ) е L ₂[ a , b ] найдется v ( s ) е X_n такой, что

I С n , m v ( s ) - f m ( t )|² =| С n , m v ( s ) - f m ( t )|²                             (38)

и

Математика

^a V ( s )||² ^ ^a v ( s )||².                                         (39)

Из (38) и (39) следует, что для любого v ( s ) е L ₂[ a , b ] существует V ( s ) e X n такой, что

||Cn , m V ( S ) — f m ( t )||² + a ll V ( ^S )f ^ | C n , m V ( ^S ) — f mm ( t )f + ^ 1 * ^S f .                (⁴⁰)

Из (40) следует, что inf {|Cn,mv(s) - fS (t)|| + a||v(s)||2 : v(s) e L2[a,b]} ^ {Cn,mV(s) - fm (t)|| + a||V(s^f : V(s) e Xn } • (41)

Из (36) и (41) получим inf {||Cn,mv(s) - fS (t)|| + a||v(s)||2 : v(s)e L2[a,b]} = {|ICn,mV(s) - fm (t)|| + a||V(s)|f : V(s)e Xn } • (42)

Так как решения задач (26) и (35) единственны, то из (42) следует эквивалентность этих задач. Тем самым лемма доказана.

Рассмотрим задачу inf <

d _e

- c

m

m -1 z j =0

i2 h — n n -I _

—z Ki (tj) V - fj nt

n -1

+ a z V i ²: ( V i ) e H , i =o

m где fj =,3---- I fs (t)dt.

• ^- _£ ^- cl

tj

Из [4] следует, что для любого а > 0 существует единственное решение ( v® ) е R ⁿ задачи (43).

Кроме того, задача (43) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений b - an-1

-----z b ik V i + a V k = g k ; k = 0,1,..., n - 1,                          (44)

ⁿ i =0

где bik =

л m -1 —    —

-^— z Ki (tj)Kk (tj), а gk = m j=0

m -1

d^c z Kk (f) fj m j=0

Теперь введем операторы J1 и J2, отображающие пространства Rn на Xn и Rm на Ym, соответственно, формулами n-1

J 1 [ ( x i ) ]= z x i ? i ^(s ); ( x i ) ^e Rⁿ , J 1 [ ( x i ) ]^e X n ,                         ⁽⁴⁵⁾

i =0

n -1

J 2 ^[ ( y j ) ] = z y jj t ^); ( y j ) ^e R m , J 2 ^[ ( y j ) ] ^e Y m ,                     ⁽⁴⁶⁾

i =0

где ^ _i ( s ) определены формулой (32), а ф Д t ) формулой (33).

Так как системы {ф-(s)} и {фj(t)} ортонормированы в Xn и Ym соответственно, то операто ры J1 и J2, определяемые формулами (45) и (46), изометричны.

Теорема 1. Пусть операторы J 1 и J ₂ определены формулами (45) и (46), а V a _n„_m ( s ) и ( V ® )

- решения задач (35) и (43) соответственно. Тогда а,, (s) = J1 [(Г )]■

Доказательство. Пусть ^ц m ( s ) решение задачи (35). Тогда

I C n , .^_я„ ( s ) - f m ( t )f + a i VK „ If = inf {| C n , Л s ) - f m ( t )|² + a |v( s )|² : ^ s ) e X n }.    (47)

Если ( v “ ) = J ^{- 1} [ i^ , m ^{( s} ) ] , то

И     ^m -I

S m j=o L

b — a

n

n -1

-12

n

S K , ( tj) v - f j   =| J 2 ^{— 1} '„.J 1 J , ^{— 1} v o n.

i =0

( s ) - J 2 ^{- 1} f g m ( t )||².          (48)

Из (48) и изометричности операторов J1 и J2 следует, что ii cn, m^ (s) - /, (112+a(s )|2=dmc so

3. n -1

—S K i ( t j ) v r- fj n i =O

" ²       n -1/     22

+ a S( v ?) . (49)

t =o

Теперь покажем, что ( v® ) является решением задачи (43).

Предположим противное, то есть найдется вектор (vi )е Rn такой, что d, - cm-1

—— S m j=o

b - a n ^-1 -     ■ г

----S Ki(tj) vi- fj n i=o

П -1     7

+ a S ( v i ) i =O

<

d, - c m - ¹

—— S m j=o

.------------ 1                               "12

h — п n -1 _

—S K( tj) vi-fj n  i=o

n -1        ₂

+ a S(^) . (5O)

i =O

Тогда, положив v (s) = J1 [(vi)] , и используя (49), получим

I C n , m v ^{( s} ) ^- fg ⁽ t )|| ^{+ a}||^{v ( s} )||² что, наряду с (5O), противоречит (47).

л   r m -1

S m j=o L

' b - a n — ¹             r

—S K i ⁽ tj ) ^v i ^{- f} j ⁿ i =o

n -1

+ a S (vi) • i=O

Таким образом, ( v“ ) = J 1 ¹ ( v ^n n , _m ^{( s} ) ) является решением задачи (43).

Тем самым теорема доказана.

Так как из леммы 2 и теоремы 1 будет следовать, что вариационная задача (26) с помощью отображений J 1 и J ₂ может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений (44), то решив последнюю, получим ( v i^a ) е R n .

Для определения параметра регуляризации a (Сn, m, fg (t), nn, m + 3) в этом решении, восполь- зуемся уравнением (27), которое, используя операторы J1 и J2 , сведем к следующему

А     m-1   д nn-1т

S      aSKi(tj)v?-fj =(n,m+g)2.(51)

m j=O L* n i=o

При условии || f _g ^m ( t )|| >  r q _n , _m + 3 существует единственное решение a ( С_n , _m , f g ( t ), r q _n , _m + 3 ) уравнения (51).

Окончательно, приближенное решение Ug^ (s) уравнения (1) определим формулой u3nn,m (s) = ^Лп,m (s) ’ где vg^m (s) = J। L(У? )J, (va) — решение системы линейных алгебраических уравнений (44), а a = a(Сn,m, fg(t)> ГП,m + g) решение уравнения (51).

3. Оценка погрешности приближенного решения Ug^ (s) уравнения (1)

Для вывода оценки погрешности приближенного решения U g^ ( s ) уравнения (1), введем функцию

щ ( т , r ) = sup {|| u ||: u = Bv ,|| v || <  r ,|| Ли || <  т } , т ,r >  O.

Из теоремы, сформулированной в [9], следует, что

II ^U gn _n , _m ^{( s} ) ^{- U} O ^{( s} )|| <  M r ^ n , m ^{+ g} , ^r ),

Математика

где u ˆ _{δ , η n , m} ( s ) – приближенное решение уравнения (1), а u ₀( s ) – его точное решение.