Оценка погрешности вычисления интегральных функционалов с помощью кусочно-линейных функций

DOI:

Рассмотрим функционал, задаваемый интегралом

I ( u ) = I G(x,u, Vu)dx, Ω

который определен для функций u Е С ¹ (Q). Отметим, что уравнение Эйлера — Лагранжа вариационной задачи для этого функционала имеет вид

п

Q[u] = £ , G ‘ ( x, u, V u ) )^ - G©x, u, V u ) = 0 .                  (2)

г=1

В случае, когда подынтегральное выражение G(x,u, Vu) = ^/1 + |Vu|2, уравнением (2) является уравнение минимальной поверхности v-(

Ъ ^&x <

u

-^г

V 1 + |V u | ²

)

= 0 .

Другим примером является уравнение Пуассона A u = / ( x ), которое соответствует функции G(x, u, V u) = |V u | ² + 2 / ( x ) u ( x ).

В данной работе мы исследуем вопрос о степени аппроксимации функционала (1) кусочно-линейными функциями. К подобным задачам приводят вопросы сходимости вариационных методов ряда краевых задач [2; 3; 5]. Проблема заключается в том, что интеграл (1) должен быть вычислен с точностью не хуже чем O ( h ² ) при h ^ 0, где h — мелкость разбиения области на треугольники. Именно в этом случае удается показать равномерную сходимость кусочно-линейных решений. Однако производные непрерывно дифференцируемой функции приближаются производными кусочно-линейной функции с погрешностью первого порядка относительно диаметров треугольников триангуляции (см., например, [4]). Причем с повышением гладкости функции оценка не улучшается. И все-таки, как мы увидим ниже, нам удается показать, что значения интеграла (1) для функций из С ² приближаются с большей степенью точности, чем производные. Отметим также, что в работах [1; 6] получены оценки погрешности вычисления площади поверхностей для триангуляции, построенной по прямоугольной сетке.

1. Основные результаты

Дадим необходимые определения. Пусть задана многогранная ограниченная область Q С R ” . Рассмотрим произвольное разбиение этого многогранника на невырожденные тетраэдры Т 1 , Т 2 , ..., T n и пусть М 1 , М 2 , ..., М _т — все вершины этих тетраэдров. Будем предполагать, что ни одна из точек М _г не является внутренней точкой ни одной грани тэтраэдров. Через Г / будем обозначать грани всех тетраэдров, I = 1 , 2 , ...,L, а максимальный диаметр всех тетраэдров обозначим через h , то есть h = max diam T k .

Для произвольного набора значений u 1 ,u ₂ ,...,u _m определим кусочно-линейную функцию u : Q ^ R так, что u(M ^ ) = u ^ ,? = 1,...,т и функция u(x) = p ^k x 1 + ... + + P^ n + Ь ^к на каждом тетраэдре T _k ,к = 1,...,N . Данная функция будет непрерывной в Q ив каждом тетраэдре T _k определен ее градиент V u = p ^k = const. Значение интеграла (1) для кусочно-линейной функции можно вычислить следующим образом

^{1 ( u )} = ^{1 (} P^1,...^,P ^N

N Г

) = У / G(x,u(x),p^k)dx.

^k =1 T k

Для случая, когда G(x,u, V u) = G ( V u ), можно обойтись без вычисления интеграла

n

I (u) = I (P1,...,PN ) = bG(pk )^(Tk), k=1

где x(T _k ) — n -мерный объем тетраэдра T _k .

Так как векторы p 1 ,...,p ^N однозначно определяются значениями и 1 ,...,и _т , то можем записать величину I (p 1 ,...,p _N ) через переменные и = (и 1 , ...,и _т ). Действительно, значения переменных p 1 ,...,p ^N выражаются линейно через переменные и 1 ,...,и _т :

т p? = ^ a?Ui, к = 1,...,N, I = 1,...,п.

i=1

Числа а? однозначно определяются разбиением области Q на тетраэдры Т 1,...,TN. По- этому

^{1 ( и} 1 , ..., ^и т ⁾

N    т

= E G £ a ?, U i

?=1    \i=1

т     \

., E a i. u , i=1       /

<Т_к ) .

Пусть / G С ² (Q). Обозначим через / ^N кусочно-линейную функцию такую, что / ^N (M i ) = / (М , ),г = 1 , 2 ,...,m . Пусть g^f = / ^N + t(/ — / ^N ). Следующее утверждение дает формулу определения погрешности приближенного вычисления функционала I(/ ).

Теорема 1. Предположим, что функция / G С 2 (М) и / ^N — соответствующая кусочно-линейная функция. Тогда

N „             1                  „             п 1

I(/) — I(/N) = E Л/ — /N) Q[gt]dtdx + Л/ — /N)        GJ(x,g, Vg*)dtdS + k=1Tk           0               dQ           г=1 0

+ 52

внутр. г

п 1

/(/ -/N) E v  (GJ (x, г,              г=1    0

g + , V g + ) — G^ (x,g - , ^ g - ))dtdS,

где g + ,g — — функция g ^t , рассматриваемая в двух тетраэдрах с общей гранью Г / , причем g + соответствует тому тетраэдру, для которого нормаль v является внешней.

Доказательство. Применяя формулу Гаусса — Остроградского, имеем

N

I (/ )

— I(/ ^N ) = £ / ( G ( x, /, V /) — G(x, / ^N , V / ^N ) ) ^k =1T _k

^E [ ( ( / — / ^N ) [ G ‘ _u (x,g ^t ,

N

k=1

Vrk

V g^dt — ]T ( / — / ^N ) /( G J , (x,g, V g*));, dt J dx „1         0

+

+

N               п 1

E/(/ —/N) E v,J k=18Tk            г=1   0

G J , ( x,g * , V g * )dt

N Г „ /            1

= E / I (/ — /N) / G!.(x, g*, Vg*)dt — E(/ k=1 p \           ni=1

Uk \

— / ^N ) j( G J , (x,g‘, V g* )) 0 , dt

dx

+

+ E /U - f”) E "•/ G't.^.G Vg*)dt+ «-^        «=10

n ¹

внутр. Г; Г           .=10

где g + .g - — функции g¹, рассматриваемые в тетраэдрах с общей гранью Г / , причем g + соответствует тому тетраэдру, для которого нормаль ^ является внешней. Таким образом, окончательно приходим к равенству

N „            1                          „n 1

i(f)-i(fN) = Ё/(f-fN)  W]dt+ E   /(f-fN)E"-/Ge,W.vg‘)dt+ к=1 'L           0            ГраНИЧ. Гг /;           .=10

Гn

Применим доказанное равенство для оценки погрешности вычисления площади графика функции

i(f ) = jj V ¹ + f 2 + & di i d» 2

в случае плоской области Q С R ² . Итак, пусть f G С ² (Q). Положим

M q = max | f ( ж ) | . M i = max max l f _Xi ( ж ) | . М 2 = max max l f_XiX ( ж ) | .

q                       i < » < 2 q                         i < ^,j < 2 q ^{L J}

Тогда, так как в каждом треугольнике Т^ градиент VfN постоянен, не сложно получить оценку

I Q[g * ] | =

∑︁

⁽¹ + ^|V g * ^{| 2 )}й,- - g * . g * .

(1 ₊ |V g * | ² ) 3/2       ^{f $} . ^{$ j}

< 24 M 12 M 2 .

При этом мы учитываем, что |V f ^N | <  М 1 . Далее ясно, что

2 ¹ E ^ . / i=1 0

9 ^4 ______

V 1 + |V g * | ²

dt

< 1 .

Зафиксируем внутреннее ребро Г / . Обозначим через Т ₊ и Т - треугольники, соприкасающиеся по этому ребру. Тогда на Г / выполнено V g + - V g — = ( V f ^N ) | т ₊ - ( V f ^N ) | т - . Поэтому

V g +          V g -

< 2 |V g + - V g - 1 <  2 | ( V f ^N ) | _T + - ( V f ^N ) | _T - 1 .

-

У 1ГЖР   V 1 + |V g - 1 ²

Воспользуемся результатами работы [4]. Там показано, что градиенты функции / ^N и / удовлетворяют неравенству

IV / -V / ^N |< h (2 + ^М у =1 f 1+ V I ⁺ tan ² ^ \   ,         (4)

2         tan ^о где ^0 > 0 — минимальный острый угол в треугольниках триангуляции (если ^0 = ^/2, то считаем ^ = 1). Тогда

⁽ У + ) ж ^                (g-^ x i

< 4 h (2 + цМ

---.             = — ---.             =

V 1 + |V g + 1 ² V 1 + |V g - 1 ²

Положим С 1 = 4(2 + ^ ) М ₂ . Применяя приведенные неравенства к равенству (3), получаем

|I(/N) — I(/)| < max |/N — /1[24|Q|М2М2 + |dQ| + n^h   £   |Гг|], внутр. гг где |Q| — площадь фигуры Q, а |dQ| — ее периметр. Мы можем предположить, что триангуляция обладает таким свойством, что найдется постоянная С2, независящая от h, для которой ^2   |Г/| h < С2. Таким образом, мы приходим к неравенству внутр. гг

II(/N) — I(/)I < Сз max |/N — /1, где

С з = 24 | Q | M 2 M 2 + | d Q | + пСА

Далее не сложно доказать с помощью формулы Тейлора, что | / ^N — / 1 <  2 M 2 h ² . Таким образом окончательно приходим к оценке

| I ( / ^N ) — I ( / ) | <  2 M 2 C з h ² .                                (5)

Замечание. Пусть Q = [ a, Ь] х [c,d] и а = х ₀ < х 1 <  • • • <  х _т = Ь, с = у ₀ < у 1 < <  • • • <  У _т = d , где х _г = а + г(Ь — а)/т, у ^ = с + j(d — c ) /m . Тогда Q разбивается на прямоугольники ^ _tj = [ х _г ,х _г+1 ] х [ у ^ ,у ^ ₊₁ ], 0 <  г <  т — 1, 0 <  j <  т — 1. Далее разделим каждый такой прямоугольник правой или левой диагональю. Тогда

^0 = ^/2, С2 =-----О((Ь — а) + (d — с)) + D*2 < D(D + Р/2), т где D = лУ(Ь — а)2 + (d — с)2 — длина диагонали прямоугольника, а Р = 2(Ь — а + d — — с) — его периметр.