Оценка размеров области существования регулярного решения гиперболического уравнения Монжа-Ампера

Пусть поверхность

Z = f ( x , y )                                            (1)

имеет гауссову кривизну K ( x , y ) . Известно, что если

К ( x , у ) <-а ² <  0,                                    (2)

то поверхность (1) не может проектироваться на всю плоскость. Имеет место теорема Н.В. Ефимова [1]: существует a ₀ >  0 такое, что если C ²-гладкая функция f ( x , у ) задана на квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то a <  a 0 / а . Е. Хайнц [2] получил оценку для радиуса круга, на который может проектироваться поверхность с улучшением оценки Н.В. Ефимова: существует r₀ >  0 такое, что если C ²-гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса r , то r <  r ₀ / а . В работе [3] Н.В. Ефимов получил оценки для сторон прямоугольника, на который проектируется поверхность (1). Данные результаты были обобщены в работах [4–8].

Учитывая известную формулу zxxzyy - zxy = K(x,У) "(1 + zx + z2 ) ,                              (3)

результаты Н.В. Ефимова и Е. Хайнца можно сформулировать следующим образом: гиперболическое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет C ²-гладких решений в круге радиуса r >  r ₀/ а или на квадрате со стороной а >  а ₀ / а , если K ( x , у ) удовлетворяет условию (2).

В работе [9] была доказана теорема: пусть поверхность z = z ( x , у ) е C ² с отрицательной кривизной K ( x , у ) <  0 определена на круге x ² + у ² <  R ². Если существует постоянная C >  0, такая, что           d^xd^y <  Cr m , 0 <  m <  4, r >  0, то существует R ₀ >  0, такая, что R <  R ₀. В этой тео-

2 2 2 K(x, y) x I у —r реме не требуется отделенность K(x, y) от нуля константой.

В настоящей работе рассматривается уравнение zxxzyy - zxy = F(x, У, z, zx, zy ) .                                       (4)

Пусть F ( x , у , z , z_x , z_y ) <  K ( x , у ) - ( 1 + z x + z 2 ) p , p >  1, K ( x , у ) <  0 - гиперболическое уравнение. Тогда верна теорема 1. Сформулируем ее.

Теорема 1. Пусть уравнение (4) имеет C ²-регулярное решение в круге x ² + у ² <  R ². Если существует постоянная C>0, такая, что

,,      ^dxd^y 1 <  Cr m , 0 <  m <  JpL , r >  0,                    (5)

x ^{2 +} у ² <  r ² K ( x , у )| p - 1                   p ¹

Азов Д.Г.

Оценка размеров области существования регулярного решения гиперболического уравнения Монжа-Ампера

то

R < ^

,       -----¹----- ( C A 2 p - m l

( p + 1 ) 2 p - m ( p - 1 ) I — I к П J

p -1     r

_; ( p -1 ) 2 - m ( p - 1 )

2 ( P - 1 )

+ 1

2 - m ( p - 1 )                2

, при m ^---- p - 1

e^P \^C ( p + 1 ) 2 ( p - 1 ) , v n

при m =--- p - ¹

.

Доказательство теоремы 1. Для доказательства используем интегральную С.Н. Бернштейна:

формулу

2 n

к

2 n

d i z n            2        2 П            2

- - J ( z ^) ) d v = J ( z p ⁽ p , ^ ) ) d v - ² JJ ( dr к r 0                   J 0                       x ² + y ² < r ²

z z - z ² ) dxdy . xx yy xy

Здесь z ( x , y ) e C ², z ( р , ф ) = z ( p cos v , p sin ф ), p , ф - полярные координаты.

Введем вспомогательную функцию

r       2п Г     , g (r) = J pdp J 1 + p2

к

2 A

( z v ( p , ^ ) ) d T .

J

Тогда g (0) = 0, g ( r ) > n r ² и g' ( r ) >  0 при 0 < r < R . Пусть D ( r ): x ² + y ² < r ². Оценим g ( r ) сверху, используя неравенство Гельдера:

gp (r) <  JJ(1+zx к D (r)

p

к P ^{- 1}

⁺ z 2 ) dxdy   <  JJ

dxdy

J

к D ^{( r} ) \K ( x , y )| p - 1 J

JJ I K ^{( x} , y )|( 1 ⁺ z ^{2 + z 2} ) ^p dxdy .

D ( r )

Используя (5), (7) и (8), получаем неравенство g7r) > 2gp (r)

( Cr^m ) p ^{- 1}

Интегрируя неравенство (9) по p e (0, r ), получим

- p + 1             2      .

g'⁽ p ) g ^{2 (} p ) > /----- r

V p +1

m ( p - 1) 1 - P

2 c 2

.

Переходя к пределу

при p^ r и интегрируя по

r от R 1 до R ₂ (0 <  R 1 <  R ₂ <  R )

при

m Ф ----, получаем p - 1

p ^{- 1}

^{1 -} p

^{1 -} p

( g ² ( R 1 ) - g ² ( R 2 )) >

2 - m ( p - 1)     2 - m ( p - 1)

Так как g ( r ) >  n r ², то

p - 1

1 - p

(2 - m ( p - 1)) V p + 1

1 - p

2 C ²

n ² R , ^{1 - p} >                 ,_____

(2 - m ( p - 1)) 7 p + 1

R

к

( R 2

-

R 1 ²

^{1 -} p

) C ² .

2 - m ( p - 1)

2 - m ( p - 1) A

R 1 ²

Пусть 0 <  m ( p - 1) <  2. Устремляя в неравенстве (10) R ₂ к R , получим

2 - m ( p - 1)

R ²

3                   ^ 71            ^{2 - m (} p ^{- 1)}

< ² m ^{( p} 1) I C ^{A 2} R 1 ^{- p} + R

2( p - 1)   к n J

.

.

J

Минимальное

значение p ^{- 1}

правой части неравенства (11) достигается

при

R 1 = ( p + 1)² p ^{- m (} p ^{- 1)} | C J ^{2 p m ( p} 1) к n J

2 - m ( p - 1)

( p - 1)(2 - m ( p - 1))

и равно ( _p + 1) 2(2 p - m ( p - 1)) | C ^{A 2(2 p - m ( p - 1))   2 - m ( p -} 1)

n

2( p - 1)

+ 1 .

Математика

2 - m ( p - 1)

Поэтому R ²

2 - m ( p - 1)

( P - 1)(2 - m ( p - 1))

< ( p ₊ 1) 2(2 p - m ( p - 1)) I C 1 ^{2(2 p - m ( p - 1))   2 - m ( p -} 1)

n

R <  ( p + 1)^{2 p - m ( p - 1)}

p ^{- 1}

2( P - 1)

+ 1 и, следовательно,

C 1 2 p - m ( p - 1) 2 - m ( p - 1) ₊ 1

2 - m ( p - 1)

n

2( P - 1)

•

При 2 - m ( p - 1) <  0 в (11) изменится знак неравенства:

2- m ( p -1)             пЛ^А ^ Т          ^{2 - m (} p ^{- 1)}

R >  ² - Ж ^{( p} - 1) ( C I ² о , - p + R——

2( p - 1) ( n)     ^{1      1}

•

Если m ( p - 1) <  2 p , то правая часть неравенства достигает максимального значения при

p - 1

n /   ।                  [ ^C | ^{2 p m ( p} 1)                                          „              zi

R 1 = ( p + 1) ^{p ( p} ) I— I • Отсюда снова получим неравенство (12). ( П )

^{1 -} p

При m(p -1) = 2 неравенство (10) будет иметь вид ---- П    R 1p Jp +1 + ln Rj > In R2 • p -1V C)   1 '       12

C

Минимальное значение левой части неравенства достигается при R 1 = ./ — ( p + 1)^{2( p} 1) и N п

In R <— i— + ln. —(p + 1)^{2( p} 1) . Но тогда p - 1 V n

1 /------                       1

R <  e^{p -1}.1— ( p + 1)^{2( p - 1)}

V п

•

Оценка (13) получается из (12) предельным переходом при m ^----. Теорема 1 доказана.

p - 1

Замечание 1. При p = 2 теорема была доказана в работе [9]. Она имеет геометрический смысл: если гауссова кривизна K ( x , у ) поверхности z = z ( x , у ) удовлетворяет условию (5) при p = 2 ,то радиус круга R,на который может однозначно проектироваться поверхность, удовлетворяет (6).

Замечание 2. Если K ( x , у ) < - а ² <  0, то . ^x^y . <  Cr ², и при m = 2 из теоремы 1 следу-D ( r ) K ^{( x} , у )

ет результат работы [5].

Замечание 3. Если выполнено условие (2) и p = 2 , то из (13) следует оценка Е. Хайнца

R < — . а

Замечание 4. Теорема 1 останется верной, если условие (5) выполняется при r >  r ₀, где r ₀ -некоторая постоянная. В этом случае при доказательстве нужно рассматривать r >  r ₀. При необходимости r₀ можно уменьшить, увеличивая значение постоянной C.

Замечание 5. Если условие теоремы 0 <  m ( p - 1) <  2 p не выполнено, то теорема перестает быть верной. Покажем, что если m ( p - 1) >  2 p , то существуют примеры уравнений, которые имеют решение в круге любого радиуса R .

Рассмотрим уравнение

zxxzyy

z 2 xy

( 1 + x ² + у ² )

( 1 + z x + z 2 ) ^p •

Азов Д.Г.                      Оценка размеров области существования регулярного решения гиперболического уравнения Монжа-Ампера nt-           2 -n-+11

JJ--- dxdy 1 = jj (1 + x 2 + y 2 ) p - 1 dxdy <  Cr ( p - 1 ^J ,

D ( r ) | K ( x , y )| p - 1 D ( r )

m ( p - 1) = 2 n + 2( p - 1), 0 <  m ( p - 1) <  2 p , если n <  1.

Следовательно, при n <  1 по теореме 1 радиус круга ограничен.

Пусть n >  1. Рассмотрим функцию z = J 0 1 ( t ) dt , где I ( t ) = J( 1 + (1 + R 2 )^{1 - n} - (1 - 1 2 )^{1 - n} ) ^{1 - p} - 1, r = д/ x ² + y ². Эта функция определена в круге радиуса R и удовлетворяет уравнению

2 ^p

⁺ z y ) .

z xx z yy    z xy

n ^l------¹------(1 + Z 2

p ^{- 1} ( 1 + x ² + y ² ) ⁿ