Оценка температуры массивного тела по измеряемым величинам процесса теплообмена

Постановка задачи

Известно, что удовлетворение современных требований к системам автоматизации нагревательных печей возможно только в рамках АСУ ТП с обратной связью по температуре нагреваемого металла [1–3]. Причем при нагреве массивных заготовок в печах для непосредственного измерения доступна лишь температура их поверхности. Температура внутренних точек также как и среднемассовая (среднеобъемная) температура не могут быть принципиально измерены инструментальными средствами, определяются они расчетным путем либо непосредственно по математической модели, настроенной на реальный процесс, либо по разработанным на ее основе алгоритмам контроля [4–5]. В связи с этим при построении АСУ ТП нагревательных печей возникает задача разработки приемлемых алгоритмов оценки температурного поля металла по доступным для измерения величинам процесса. Принципиальная возможность такой оценки определена в работе [6], в которой показано, что температурное поле заготовки в некоторый момент времени может быть однозначно определено по результатам измерения температуры печи и температуры поверхности металла на конечном отрезке времени. Левой границей отрезка должен быть момент времени, для которого определяется температурное поле заготовки.

В работе [7] предложен и опробован алгоритм оценки для случая, когда температурное поле металла определяется в классе многочленов второго порядка. В данной работе проведены исследования по оценке температуры металла многочленом нулевого порядка, иначе говоря, некоторым числом, характеризующим все температурное поле. Данные исследования дополняют результаты работы [7], но алгоритм выгодно отличается от алгоритма [7] с точки зрения количества необходимых вычислений. Последнее может быть важным при построении АСУ ТП, работающей в реальном масштабе времени. Погрешность оценки температурного поля будет при этом достаточно приемлемой величиной хотя бы для задачи определения неизвестной (из-за некон-тролируемости процесса охлаждения перед посадом в печи) начальной температуры слябов горячего посада, так как по нашим расчетам [4–5] погрешность определения начальной среднемассовой температуры металла в 30 и более градусов практически уже через 10 минут не сказывается на точности расчета температурного поля. Длительность же нагрева слябов в неотапливаемых методических зонах в любом случае больше этого времени, следовательно, к моменту начала

Краткие сообщения

управляемого процесса нагрева погрешность расчета температуры металла, обусловленная неточностью оценки начальной температуры, будет незначительной.

Отметим также, что алгоритмы оценки температуры металла по наблюдаемым величинам процесса нагрева разработаны для условий описания процесса теплообмена в конвективной форме и постоянства теплофизических свойств металла. Однако это не является препятствием для их применения в случае лучистого или лучисто-конвективного теплообмена и зависимости теплофизических свойств металла от температуры. Дело в том, что для оценки температурного поля достаточно иметь небольшую (порядка десяти минут) длительность отрезка наблюдения, а при малой длительности, вследствие небольшого диапазона изменения температур, можно описать процесс линеаризованным уравнением теплопроводности и всегда можно найти удовлетворительные значения параметров модели внешнего теплообмена, записанной в конвективной форме, каким бы ни был реальный теплообмен, лучистым или лучисто-конвективным.

Решение задачи

Следуя, например [8, 9], опишем процесс нагрева металла в печи полностью линеаризованным уравнением теплопроводности

∂ t ( x , τ )      ∂ ² t ( x , τ )

=a        , 00(1)

∂τ          ∂x2 ,, с начальным

t(x,0) = t0(x), 0≤ x≤L(2)

и граничными условиями:

-λ∂t(0,τ) =α1[tП1(τ)-t(0,τ)], τ≥0;(3)

∂ x

λ∂t(L,τ)=α2[tП2(τ)-t(L,τ)], τ≥0,(4)

∂x где t(x, τ) – температура в точке с пространственной координатой x в момент времени τ , a и λ – соответственно коэффициенты температуропроводности и теплопроводности, L – расчетное сечение заготовки, t0(x) – некоторая функция, описывающая начальное температурное поле заготовки, α1 и α2 – коэффициенты теплоотдачи с разных сторон обогрева металла, имеющих температуры сред tП1(τ) и tП2(τ) соответственно.

Известно, например [10], что решение задачи (1)–(4) представляется в виде

∑ ^∞ ψ ( x )       ₂ a τ    ₀                ^∞ ψ ( x )

k 2 exp(-µk2 2)∫t0(x)ψk(x)dx+a∑ k 2 × k=1 ψk            L 0                   k=1 ψk

τ × ∫ exp[ -µ _k ² 0

^a ₂( τ-ξ )] × [ µ _kh ₁ t_{П 1}( ξ ) + ( µ _k cos µ _k + h ₁ L sin µ _k ) h ₂ t _П2( ξ )] d ξ ,

где xx

V k ( x ) = ц k cos ц k - + h l L Sin ц k L, k = 1,2,   ;

ψ k

2 = L ( µ _k ² + h ₁ ² L ² )[ h ₂ L + ( µ _k ² + h ₂ ² L ² )] + h ₁ L ( µ _k ² + h ₂ ² L ² )

2                    µ _k ² + h ₂ ² L ²

k = 1,2, .„;

h_i =α _i / λ , i = 1,2;

ц _k, k = 1,2, „. - корни уравнения

µ ctg µ=

( h ₁ + h ₂) L

-

h ₁ h ₂ L

µ ( h ₁ + h ₂)

Подставив в (5) значение .x=L , получим соотношение, связывающее наблюдаемую (изме- ряемую) температуру верхней поверхности сляба t(L, τ) , температуры в зонах разностороннего обогрева металла tП1(τ) , tП2(τ) и искомую функцию t0(x) . Задача определения t0(x) из этого соотношения является некорректно поставленной и может быть решена при использовании дополнительной информации об искомом решении.

Если предположить, что искомая функция t ⁰( x ) удовлетворительно аппроксимируется выражением известной структуры, то задача об определении t ⁰( x ) будет заключаться в нахождении неизвестных числовых значений параметров (коэффициентов) выражения, аппроксимирующего t ⁰( x ) .

В [7] решение задачи искали в классе многочленов второго порядка t ⁰( x ) =γ+ bx + cx ² , где γ , b , c – некоторые подлежащие определению коэффициенты. В данной работе исследуются свойства алгоритма решения задачи при аппроксимации t ⁰( x ) многочленом нулевого порядка, т. е. при t ⁰( x ) = t ⁰ = const .

Например, для случая, когда α1 =α2 , tП1(τ) = tП2(τ) = tП(τ) алгоритм оценки температуры t 0 = const по измеряемым величинам процесса нагрева – tП (τ) и t(L,τ) – представляется сле- дующим соотношением

∞ 2sinµ cos µ            aτ t0 =tП(0)+{[t(L,τ)-tП(τ)]+∑        k k ⋅exp(- µk2)

k=1µk +sinµkcos µkL

^τ          a τ dt ( τ )        ^∞ 2sin µ cos µ

× exp(-µk2   )⋅ П   dτ}/[∑       k k ⋅exp(-µk2)].

0         L2     dτ        k=1µk +sinµkcos µkL

Из (10) следует, что среднемассовую температуру сляба в момент времени τ= 0 можно определить по температуре поверхности сляба в некоторый последующий момент времени τ> 0, по температуре печи в моменты времени τ= 0 и τ> 0, а также и по тому, как изменялась температура поверхности металла на всем отрезке времени [0, τ ] . Если же температура печи на этом отрезке времени не изменялась, то алгоритм, как это нетрудно видеть, будет таким:

∞ 2sinµ cos µ            aτ t0 =tП(0)+[t(L,τ)-tП(τ)]/[∑        k k ⋅exp(- µk2   )].

_{k = 1} µ _k + sin µ _k cos µ _k           L ²

Для повышения помехоустойчивости процедуры разумнее t ⁰ определять интегральным или точечным методом наименьших квадратов, поэтому запишем уравнение (11) для некоторых моментов времени τ _i , i = 1, m , тогда будем иметь следующую переопределенную относительно t ⁰ систему уравнений:

₀                             ^∞ 2sin µ cos µ            ₂ a τ

t ⁰ = t _П(0) + [ t ( L , τ _i ) - t _П( τ _i )]/[ ∑          ^{k k} ⋅ exp( -µ _k ^{2    i} )], i = 1, m .

k=1µk +sinµkcos µkL

Решим ее методом наименьших квадратов, в этом случае задача оптимизации запишется так:

I=∑m {t0-tП(0)-[t(L,τi)-tП(τi)]/[∑∞ 2sinµkcosµk ⋅exp(-µk2aτi)]}2→min. i=1                                      k=1µk +sinµkcos µk             L2

следующей

Очевидно, что оптимальная оценка температуры t ⁰ должна вычисляться по формуле

1 m                    ∞ 2sinµ cos µ t0 =tП(0)+   ∑{[t(L,τi)-tП(τi)]/[∑        k k ⋅exp(- µk2

m i=1                     k=1µk +sinµkcos µkL

Апробация алгоритма

Предложенные алгоритмы оценки опробовали с помощью моделирования. Численные значения наблюдаемых (измеряемых) величин брали, как правило, из решения так называемой прямой задачи: задавались определенным начальным температурным полем t ⁰( x ) и графиками изменения температур t _П1 ( τ ) и t _П2 ( τ ) на отрезке наблюдения, далее по модели процесса находили на-

Краткие сообщения

блюдаемую (измеряемую) температуру верхней поверхности сляба t(L, т) для этого отрезка времени. Полученные таким образом данные использовали для оценки t 0 по алгоритмам (10), (11) и (14). Далее сравнивали полученную оценку начальной среднемассовой температуры t 0 с ее дей-1L ствительным значением    t0(x) dx . Причем при решении прямой задачи использовали как

L ₀

уравнение (5), так и неявную конечно-разностную схему процесса, которую решали методом прогонки.

Исследование показало, что точность оценки t ⁰ существенно зависит от точности информации о температуре поверхности заготовки на отрезке наблюдения. Так, для случая, когда t ( L , т ) для отрезка наблюдения определялась по уравнению (5) для равномерного начального температурного поля t ⁰( x ) = t ⁰ = const, погрешность оценки была практически нулевой. В других случаях погрешность оценки определялась возможной точностью аппроксимации действительного начального температурного поля многочленом нулевого порядка.

При определении t ( L , т ) для отрезка наблюдения по конечно-разностной схеме процесса получали при прочих равных условиях большую погрешность оценки t ⁰ , чем при вычислениях по уравнению (5). Очевидно, это объясняется погрешностью определения t ( L , т ), возникающей из-за различия моделей, используемой в прямой задаче и задействованной в алгоритме оценки.

Влияние погрешностей измерения температуры поверхности на точность оценки t ⁰ с помощью алгоритма (14) приведено в таблице.

Влияние погрешностей измерения температуры поверхности на точность оценки среднемассовой температуры

№ п/п	Погрешность измерения температуры поверхности, ° С	Модуль погрешности оценки Г 0 , ° С	Модуль погрешности оценки t 0 по алгоритму работы [7], ° С
1	0	0	0
2	± 5	9	10
3	± 10	17	19
4	± 15	26	28
5	± 20	34	37
6	± 25	43	47

В таблице данные приведены для случая нагрева слябов из углеродистой стали с L = 0,1 м и числом Био, равным 1,5. При этом на истинное значение температуры поверхности металла на всем отрезке наблюдения накладывалась постоянная систематическая погрешность положительного или отрицательного знака. Эти же исходные данные использовались и для оценки начального температурного поля слябов по алгоритму работы [7], в котором, к месту заметим, полагалось, что это температурное поле описывается многочленом второго порядка 1 ⁰( x ) =у+ bx + cx 2 . Затем по найденному температурному полю вычислялась среднемассовая температура и определялась погрешность ее оценки, которая приведена в четвертом столбце таблицы.

Как видно из таблицы, погрешность оценки среднемассовой температуры сляба по алгоритму работы [7] даже больше, чем по формуле (14). Вероятнее всего, это обусловлено большей сложностью алгоритма [7] и, в связи с этим, и большей его погрешностью. По этой причине алгоритм (14) предпочтительнее алгоритма работы [7].

Кроме того, точность оценки t 0 определялась и в случае действия случайных помех, генерируемых с помощью датчика случайных чисел. В вычислительном эксперименте случайные помехи изменялись в следующих диапазонах температур: [-5; + 5], [-10; +10], [-15; +15], [-20; + 20], [-25; + 25], °С . При этом были получены соответственно следующие максимальные значения модулей погрешности оценки t 0 : 2, 4, 6, 8, 10 °С . Таким образом, погрешность оценки заметно меньше, чем для предыдущего случая. Полученный результат согласуется с известными физическими рассуждениями, ведь случай с постоянной систематической погрешностью считается наиболее тяжелым.

В работе оценили погрешность расчета температурного поля заготовки, обусловленную тем, что его реальное начальное температурное поле t ⁰( x ) заменяется равномерным начальным температурным полем t ⁰( x ) = t ⁰ = const . Эта погрешность для любой координаты x в любой момент времени τ описывается формулой

1 ^∞        2 µ                 x         ₂ a τ

Δt(x,τ)= ∑          k       ⋅cos(µk ) ⋅exp(- µk2)

L k=1 µk +sinµk cosµk         LL

L

× { [ t ⁰( x ) - t _П(0)] ⋅ cos( µ _k ) dx - [ t ⁰ - t _П(0)]    sin µ _k },

0                      L                µk усредненная же по толщине погрешность описывается формулой

1 ^L             1 ^∞ 2sin µ                ₂ a τ

Δ t ( τ ) =    Δ t ( x , τ ) dx = ∑            ^k     ⋅ exp( - µ _k ² ) ×

L ₀              L_{k = 1} µ _k + sin µ _k cos µ _k           L ²

L xL ×{∫[t0(x)-tП(0)]×cos(µk x)dx-[t0 -tП(0)]   sinµ }.

₀         П            k _L          П     _{µ k}      k

Из формул (15) и (16) видно, что погрешность вычисления температурного поля заготовки, обусловленная неточностью определения его начальной температуры, убывает с течением времени. Причем, как это хорошо известно, медленнее всего убывает первый член ряда в (15) и (16), нетрудно видеть, что его постоянная времени равна L2/(µ12 ⋅ a) . Если считать, что процесс удов- летворительно завершается за три постоянные времени, то можно утверждать, что погрешность определения начального температурного поля после истечения времени 3 ⋅ L2/(µ12 ⋅ a) практически не сказывается на точности расчета температурного поля. Отсюда также можно сделать вывод, что нет никакого смысла в большей длительности отрезка наблюдения при реализации алгоритма оценки.