Оценка верхней плотности показателей системы Габора

Для функции ^(x) = 24 e-nx2 и для множества Л = {(t,w) G R2} рассмотрим систему Габора GΛ , состоящую из функций pt,w^(x) = e2inwx^(x - t), (t, w) G Л.

Подробный обзор исследований по теме систем Габора приведен, например, в работе [2]. Далее мы будем отождествлять R ² с комплексной плоскостью C. Верхней плотностью (Бьерлинга — Ландау) дискретного множества Л С C называется величина

„        Т   саМ(Л П B (0,r))

D+(Л) = lim ------т—, r-→∞      πr2

где через B(a, r) обозначен круг радиуса r с центром в точке а. Соответственно, величина

^D - ^(Л) = lim _r^_№

card(Л П B (0, r)) πr ²

называется нижней плотностью. В работе [3] показано, что если система GΛ полна и минимальна в пространстве L2 (R) и множество Л имеет регулярное распределение, то плотность множества находится между числами π2 и 1. Регулярность распределения множества Л означает, что за исключением, возможно, счетного множества точек 01, 02 существует угловая плотность lim са^(Л П {А : И < г, 01 < arg А < 02}) r-→∞                πr2

и существует конечный предел lim У —т. r-→∞        λ2

|λ|∈Λ

Условие регулярности распределения, таким образом, является серьезным ограничением.

В работе [1] авторы рассматривают вопрос об оценке плотностей в случае отказа от условия регулярности распределения множества Л. Доказана следующая теорема.

Теорема. (a) Существует дискретное подмножество Л С C такое, что D + (Л) = П и система G л полна и минимальна в L ² (R) .

• (b) Если подмножество Л С C таково, что система G л полна в L ² (R) , то D + (Л) ^ 3П .

• 2.    Основные результаты

В данной заметке, мы намерены показать, что нижняя оценка D + (Л) ^ 3П допускает уточнение.

Мы намерены доказать следующую теорему.

Теорема 1. Если подмножество Л С C таково, что система G л полна в L ² (R) , то D + (Л) >  f .

Так же, как в работе [1] мы эквивалентным образом переформулируем теорему 1 в виде утверждения о множествах единственности для классических пространств Фока F:

F := {f e H (C): ||F||² := J | F(z) | ² e ^-

^nlzl 2 dm(z) <  xj ,

где dm(z) — плоская мера Лебега. Множество Л называется множеством единственности для пространства Фока, если

(F e F , F (А) = 0, А e Л) ^ (F(z) = 0, z e C).

В пространстве Фока точечные функционалы F —> f (z) непрерывны, поэтому в нем существует порождающее ядро к д (z):

(F,k _x ) = F (А), А e C, F e F .

Теорема 2. Если множество Л С C является множеством единственности для пространства Фока, то D + (Л) ^ 4П ³ .

Эквивалентность этих двух теорем обосновывется с помощью преобразования Барг-мана

Bf (x) = e

-

i^nxy+ ^ I f (t_}p x, - y ^(t) dt = 2 ⁴ I f (t)e RR

-

πt ²

e ^2ntz e - z2 dt,

где z = x + iy. Это преобразование изометрически отображает пространство L ² (R) на π | λ |²

пространство Фока, причем Bp (R_eA,- lm A) ^ = e ~кд (см. [4]). Поэтому полнота системы G л в пространстве L ² (R) равносильна полноте системы к д , A G Л, в пространстве Фока. А полнота системы из воспризводящих ядер, в свою очередь, очевидным образом эквивалентна тому, что Л является множеством единственности.

Как известно, чем больше нулей у многочлена, тем больше его рост. Эта простая связь нарушается для трансцендентных целых функций. Например, целая функция г~у , где r(z) — Гамма-функция Эйлера, с нулями в точках nn, n G N, имеет бесконечный экспоненциальный тип, а функция sin z — конечный. В рассматриваемой задаче заданное множество Л характеризируется только плотностью, о его распределении ничего не известно. Поэтому представляется возможным лишь конструировать большее множество Л ‘ Э Л таким образом, чтобы целая функция с множеством нулей Л ‘ имела как можно меньший рост. В работе [1] эта идея реализована с помощью множества Л ‘ = Л U iЛ. Мы воспользуемся множеством Л U аЛ U аЛ, где а ³ = 1, a = 1, и покажем, что такой вариант оптимальный при данном подходе.

• 3.    Доказательство теоремы 2

Пусть Л = { A j , j G N } — множество единственности для пространства Фока и D + (Л) <  C для некоторого C >  0. Через 5 д обозначим единичную атомарную меру в точке λ и положим

^ = £^а> дел

^(t) := ^(B(0, t)) = card(Л П B (0, r)).

Поскольку нас будет интересовать лишь верхняя плотность множества Л, то не уменьшая общности можем считать, что ^(1) = 0 и для некоторого C ‘ < C имеет место соотношение

^(t) <  C ‘ nt ² , t >  0.

Лемма 1. Пусть p > 0 и a G C определено из уравнений a + a = —p, a + a — —p.

Положим vp(w) = pIn |1 — w| + In |1 — aw\ + In |1 — awl, w G C.

Тогда функция

u(z) = 11 vP (fj) ’ z G C’ субгармонична на всей плоскости и при некоторой постоянной C(p), зависящей от р, удовлетворяет оценке

u(z) <  C ‘ nC (p) \ z \ ² ,    z G C.

<1 В ходе доказательства не уменьшая общности будем считать, что ^(1) = 0.

При |w| C q < min (। Rea|, 1) функция vp по соотношению (2) представляется в виде ряда f \ T>     p + 2(Re a)n n vp(w) = Re > ---------—wn.

n j=3

По определению Re a = — p , значит, при | w | C q <  min (p, 1) выполняется оценка

М") CM ³ E( p + 2 (2 ) ⁿ ) Hn j=1

C C (p,q) | w | ³ ,

и | z | C R для некоторого R >  0.

где C(p,q) = —p ln(1 — q) — 2 in (1 — pq ). Пусть z g C Тогда для всех T >  ^R _q

| z | ³ | λ j | ³

∞

= | z | 3 / d^ .

T

E Vp (У C C(p,q) E |A j I ^ T ^{V j/}                 |A j I ^ T

Отсюда, интегрируя по частям, для z g B(0, R), учитывая предположение (1), получим

∞

■     ==

^|A j | ^ T                                     T

_C 3C(p,q)R ³

T

.

Значит,

E ^{V p} (A;)    ' ⁰

|A j I ^ T         ^j'

2 | z |

= -q-1, имеем

равномерно по |z| C R при T —> от. Полагая в этой оценке T a (|z) pWdt "Ч¥Г

.

Заменой переменных |t| = x в интеграле эту оценку запишем в виде

|z|

^E v_r(x\ < , firn lna ( q ) + /ои„ rm dx ^_w^p W \q/    2iJ J x)^X \ = )

_{| λ j | <} 2 | z |                                                                         ₂

qq и используем предположение (1):

E v p (^ < C ‘ПЫ 2

_{| λ j | <} 2 |₂ z |             ^j

|z|

4 qq\ f a'(x) dx q ^{2 ln} a Ы ⁺ J x ² a(x)

q ²

.

Непосредственно вычисляя

логарифмическую производную a(t), имеем a ‘ (t) = P         P + 2 | a | ² t

a(t)    1 + t + 1 + pt + | a | ² t ²

Поскольку | а | ² = ^p( p ⁺¹⁾ и неравенство 2\а\ 2 х ^ р, то

в интервале интегрирования можно считать выполненным

aW < a(t)

5p

, x

тем самым,

|z|

/ a'(x)dx x ² a(x)

q

< ±

Учитывая оценку (4), имеем

Е |λ j |<2|z|/2

v p (fj) <  c ‘ nC i (p,q)lzl ² ,

где

C 1 (^p,^{q )} = 4 ^ln a (!)    2 8.

Последнее соотношение вместе с (3) доказывает утверждение леммы 1. >

<1 Доказательство теоремы 2. Применим лемму при p = 1. В этом случае а =

¹⁺ ₂ ³ⁱ — кубический корень от 1 и

V 3 (w) = (1 - w ³ ), w € C-

Постоянную C(p) в лемме 1 можно определить более точно. Полагая a(t) = (1 + t ³ ), получим оценку

∞

u(z) = E v3 (f:) < /ln (1+ Ш-) d^(t)’ j1

Проинтегрируем по частям, с учетом условия ^(1) = 0 и предположения (1) получим

∞∞ u(z) <  - У ^(t) dt ln У + | t3-) dt <  3C ‘ n | z | 3 У 10

t dt t3 + |z|3 ’

После замены переменных t = \z\y имеем

u(z) С 3C ‘ n | z | 2 J3^y = -2= П 2 С ‘ | z | 2 , z G C.                     (5)

Рассмотрим бесконечное произведение

-■'=пК-s Ж az)(-az \

Поскольку

In | F(z)| = u(z), z G C, то F(z) — целая функция, причем в силу (5) она удовлетворяет оценке

| F(z) \ <  e А23 ^C ‘ ^{n 2 |z| 2} ,     z g C.

Если допустим, что C ‘ <  4-3 , то для некоторого в <  1 имеем

|F(z)\2 С een|z|2, z G C, и эта функция, обращающаяся в 0 в точках Л, принадлежит пространству F, и множество Л не является множеством единственности. Таким образом, C‘ ^ 43, следовательно, D+ (Л) ^ 43. Теорема 2 доказана. >

Заметим, что оценка (5) — точная в классе всех множеств Л, удовлетворяющих условию (1). В самом деле, если Л G R + , то

∞∞

u( - x) = /ln(_{1 +} 4) Mt) = 3j " , 01

x ∈ R +

Если взять Л = { у/(C ‘ п) 1 n, n G N}, то y(t) = [C ‘ nt ² ] С C ‘ nt ² ([x] означает целую часть x) и ^(t) ^ C ‘ nt ² — 1. Значит,

2 u(—x) > —= n2C‘x2 — A, x G R+, где

∞

A = 3/

J y(y ³ + 1)

Замечание. С применением функции v p , p = 2, целой функции

«■ ' = ^п(- i ; ) ' (' — az)(- az)

и аппроксимационной теоремы из [5] можно получить оценку D + (Л) ^ 0, 279/n, которая хуже, чем оценка, полученная в теореме 2.

С применением функции v p , p = 2 , и целой функции

^F 1 »= пи - z)(' - az) ' (' — a z ) '

можно получить оценку D + (Л) ^ 0, 243/n, которая хуже, чем предыдущая.