Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами

В работе получены H p — H q оценки, 0 < p 6 1, p 6 q <  го , для многомерного оператора свертки

(S ^e,₊ ^)(x)=    j   s^y) ^(x ^— y) dx,                    ⁽¹⁾

1-56Ы61 где s (y) = 9(Ы) (1 — |y|2)+-1, 0 0, 0(1) = 0.

Здесь 0(r) — гладкая функция, называемая характеристикой оператора К ^в .

Для операторов (1) установлены также BMO — L “ , L ¹ — H ¹ и BMO — BMO оценки.

Заметим, что символ оператора (1) осциллирует на бесконечности, что существенно используется при доказательстве соответствующих теорем. Для получения указанных результатов, в статье развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для «модельных» мультипликаторов т±(Ш)= v(l£|2Mrbe±i^|, b> 0,                         (2)

где v(r) Е C “ (0, го ) такова, что v(r) = 0, если r 6 1, v(r) = 1, если r > 2 и 0 6 v(r) 6 1.

Отметим также, что указанные оценки были установлены ранее только для мульти-пликаторных операторов (см., например, [1, 2]). Получить их в ситуации, когда оператор изначально задается как оператор свертки, — такая ситуация намного труднее — удалось благодаря описанному выше методу.

Заметим еще, что L p — L q оценки для оператора (1), 1 6 p <  го , были получены в [3, 4].

(с) 2010 Гиль А. В, Ногин В. А.

• 2.    Вспомогательные сведения

  • 2.1.    Обозначения. Всюду ниже используются следующие обозначения:

• 2.2.    Некоторые пространства функций и распределений. Через H p = H p ( R ⁿ ), 0 < p 6 1, обозначим множество всех S 0 -распределений таких, что

• f +(x) = sup |(f * ,? пл G Lp, 0

(Ff Ж)^:= f (€):= JiR n f (x) e i^x dx — преобразование Фурье функции f;

(F ^-1 f )(£) := f (£) := (2n) ^-n (Ff)( — £ ) — обратное преобразование Фурье;

S — класс Шварца быстро убывающих гладких функций;

S ⁰ — пространство обобщенных функций медленного роста.

где у G S и JR n ^(x) dx = 0, y _e (x) = e ⁿ ^( f ) и (f * y _e )(x) = hf,^ e (x - * ) ) • Положим k f k H p = k f ⁺ k l p (см. [5; 6, гл. 3-4]).

Так как класс S не содержится в H ^p , то в качестве плотного множества в H ^p мы берем S ∩ H ^p [2, с. 275].

Через BMO = BMO(Rn) обозначим множество всех локально интегрируемых функ- ций, для которых

^{k f} k BMO =^sup {ib B I f^(x) - ^f B I dx^

< ∞ ,

где f B = pB J_B f (x) dx и супремум берется по всем шарам B из R n . Заметим, что пространство BMO является сопряженным к H ¹ [6, с. 142].

Ниже, при доказательстве теоремы 5 существенно используется неравенство Феф- фермана [7]: если f G H 1, g G BMO и fg G L1, то j f (x) g(x) dx 6 C kf IIhi kgkBMo.

R ⁿ

Пусть, далее, каждое из X и Y — одно из пространств Hр, 0 < p 6 1, L^ или BMO. Следуя [2], через K(X, Y) обозначим пространство всех k G S0 таких, что kkkK(X,Y) = suP {Ilk * f kY/ kf kX : f G S П X, Ц/ kX = 0} < ro

Через M(X, Y) обозначим множество обобщенных функций m G S0 таких, что kmkM (X,Y) =suP {kF-1(m/)kY / kf kX : f G S П X, kf kX = O0 < ГО.

Таким образом, k m k M (X,Y) = k F ^-1 m k K (X,Y) .                            ⁽⁴⁾

Ниже нам понадобится равенство K(L 1 ,L q ) = L q , 1 < q 6 го , содержащееся в теореме 3.3 из [2, с. 278].

• 2.3.    О некоторых H ^p - H ^q мультипликаторах. Нам понадобятся следующие теоремы.

Теорема 1 [2, с. 284] . Имеют место соотношения:

• a)    m ± ( I € I ) G M (H ^p , H ^q ) , 0 < p 6 q <  го О 1/p + 1/q 6 1 , 1/p — n/q 6 b — (n — 1)/2

или 1/p + 1/q > 1 , n/p — 1/q 6 b + (n — 1)/2 ;

• b)    m ± ( | € I ) G M (H 1 ,H 1 ) = M (BMO, BMO) О b > (n — 1)/2 ;

• c)    m ± ( I ^ I ) G M (L ¹ ,H 1 ) = M (BMO,U ^) О b> (n — 1)/2 .

• 2.4.    Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя J _v (z) . Пусть — п/2 <  a <  п/2. Представляя J _v (z) в виде линейной комбинации функции Ганке-ля H ±V (z) и H ±V (z) (где берется +v, если v >  — 1/2 и — v в противном случае) и применяя результаты [9, с. 220], получаем равенство

  -NN

Теорема 2 [8, с. 163-171] . Пусть 0 < p 6 2 и k = [n( p — |)] +1 . Если m ограниченная функция класса C k (R n \ { 0 } ) и | D ^a m(£) | 6 (A | ^ | ^-1 ) ^|a| , при | a | 6 k и A > 1, то m G M(H ^p ,H p ) и kmk M(HpH) 6 CA ⁿ⁽V^p-V²) .

( ⁿ z ^        'V X C^{( v})z-U z?^{( v})         eiz( X C^) z-l 4- Z?^{( v)}

Jv(z) = у 2 / e \ ' v Cl,-z   + RN,-(Z) I + e I / у Cl,+ z + RN,+ (Z) I ,

L l=0^^1=0

где c0V± = 2 eT(in/4)(2v+1), ± rN± (z)=    ■ • qNAm-(6)

1             ^•exp(ia)

qN^z^ j(I — t)N dt j e-uuv+N+1/2 (1 — u±2izy N 2du.(7)

• 2.5.    Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [10], показывает, что справедлива следующая

• 3.    Hp — Hq оценки для оператора Sg +

Лемма 1. Пусть в >  0 , f (x) G C “ ([0, a]) и f ^(j) (a) = 0 (j = 0,1,...) . Тогда

a j xe-1 f (x) e±iAx dx = a±A-e + W±,e(A), A > 1, a± = f (0)Г(в)(±i)e;      (8)

W ±^,e (A)) ^(j)

6 C ±^,j /A ^1+e+j , A> 1, j = 1,2,...,                (9)

постоянные C ^±,j не зависят от λ .

На _p , _q -плоскости рассмотрим множество:

L (в, n) = |Q, q) : 0

6 1, p 6 q <  to, p + q > 1, ^ — 1 6 в + (n — 1)

Через H (K ) обозначим множество всех пар ( p, q j, для которых ||K к к ( h p,Hq ) <  to .

Основным результатом статьи является следующая

Теорема 3. Справедливо вложение

L (в,п) С H(S e, +) .

C Представим оператор S^ + в виде

/ С в     \ / А / с*в,1 А / А \ ( 0,2/2 А / \

(S ^P _A^ ^(x) = (S ^;+^) ^{(x) +} (S y;+^) ^(x)

где

№ y)(x)= j

1-5 6Ы6 1

ЦЫ) ^{s p},₊ ⁽y) ^^{(x —} y) ^dx ,

(S, /² v)^{( x )}=   j (1 ^— ЦЫ)) 4,+^) ^^{(x —} y) ^dx ,

1-5 6Ы6 1

функция ^(r) € C “ (0, то ) такова, что 0 6 w(r) 6 1, w(r) = 0, если r / (1 — 5,1 + 5) и w(r) = 1, если r € [1 — 5/2,1 + 5/2], 0 < 5 < 1.

Вначале докажем вложение

L (в,п) C H (S^).                          (12)

Изложим схему доказательства вложения (12). Допустим мы доказали, что

^( | У | ) s ^ + ( | У | ) € K (Hp, H q ), Q, 1) € L (в, n).

\ β

Заметим, что функция m p,g (£) = (w • s @ + )(€) является мультипликатором в S. (Это видно из равенства (15).) Тогда оператор (1) определен на всем S ⁰ (поскольку w( | y | ) s ^ + ( | y | ) является свертывателем в S ) и, следовательно, на всем H ^p . Как показано в [2] (см. замечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство

°<+ ^IIh a ⁶ 11^ш • s e + ° K(H P , H q )IMI H p ,   ( p, q ^ ^{€ L( e,n )},            ⁽¹³⁾

справедливо для всех ϕ ∈ H ^p . Из (13) вытекает (12).

Так как °w • Sg^K(Hp,Hq) = ||mp,g°м(Hp,Hq), то (13) (а вместе с ним и (12)) будет следовать из соотношения mpg (О € M (Hp, Hq), Q, q) € L (в, n).

Докажем (14). Запишем mp,g (£) в виде m8,(0= 1 Pn-1(1 — p2)6^Xp)*)dp J ep^^'d^-1-6                                 Sn-1

Имеем mpe(^) = (1 - v(|€|2))mp,e(0 + v(|€|2) mp,e(0 = m°,e(€) + т“е(€)• Заметим, что mpe(^) € M(HpHq),  0

Действительно, m pg (^) € M (H ^p ,H ^p ), 0 < p 6 1, по теореме 2. Так как m pg (^) € S, то m° p g (£) € M(L ¹ ,L⁴ ), 1 <  q <  то . Тогда, в силу вложения H ¹ C L ¹ [6, с. 112], m p g (^) € M (H 1 ,L ^q ), 1 < q <  то . Пользуясь соображениями выпуклости, получаем (16).

Рассмотрим m p^g (£). Применив формулу:

n вг(х^ da = ^^2- Jn-1(|x|),

J                        | x | 2 ^{1 2}

_S n - 1

и формулу (5) с N = [n^"¹] + 1, получаем

N m^«) = Е (hf’k’-(|€|) + hE+(|€|)) + Rf’N’— (|€|) + RE+ № k=0

где

hE ± ( | € | ) =

v( | € | ² ) | € | n - 1 ^+k

i j (1 - p)e-1 gk(p) e±ip^|

1-5

dp, 0 6 k 6 N,

g k (p) = Y k,± P n^-1 k (1+ Р) ^в W) ^(p),   Y o,± = (2n) n^-1 e ? i^{n (n 1)} ,

R i’N’± ( | €) =      ■' • S / (1 - ■   •(p) е ±*ЧТ )(p | € | ) dp.

^{Y o},±       I € I ² J

1-5

Рассмотрим мультипликатор (18). После замены 1 — p = т получаем hl' k’ ±( I € I) =

e ±i|^ v( | € | ² ) | € | n - ^{1 +k}

δ jтe-1gk (1 0

— т ) e ?i^|^T dr.

Пусть функция v(|€|2) такова, что v(r) E C“(0, to), v(r) = 0, если r 6 1, v(r) = 1, если r > 2 и 0 6 v(r) 6 1. Тогда v(r2) v(r2) = v(r2). Преобразуем мультипликатор (20), используя лемму 1. С учетом (8), будем иметь h^±(|€|) = v(|€|2)e±i^| • |€|-k-e • v(|€|2) (a>? +1€|e W?’9(|€|)), где a^ = Yk,±^(1) (^i)e Г(в) и для W?,e(|€|) справедливо неравенство (9). Заметим, что v(|€|2) e±i|5| • |€| 1-n-в E M(Hp,Hq) по теореме 1 (a), если (1/p, 1/q) E L(в,n). Кроме того,

v(|€|2) 0^ + |€|e W?,3(|€|)) e M(Hp, hp), 0

Аналогично доказывается, что h ^e’k’± ( | € | ) E M (H ^p ,H q ), 1 6 k 6 N , если (1/p, 1/q) E L (в + 1, n).

Рассмотрим (19). После замены 1 — p = т и с учетом равенства (6), получаем дe’N’±— BN e 1^1 v(|€| ) /т-11ам+д - т) e?i|5|TQ(n-2) 6(1 т)|£|) di

^R 1      ^{( | € | )} =    ^| n - 1 +n +1 J ^{т    g} N +1 ^{(1    т} ) e     Q N,± l^{(1 т ) |€}Ь/ ^ит -

Применяя лемму 1, будем иметь

R f’N’± ( | € | ) = B N v( | € | ² )e ±^i|5| • | € | ^{-N -1-e} • v( | € | ² )(a NN⁺¹’? ( | € | ) + | € | ^e W ?’^e ( | € | )),

( n—2 )             ( n — 2 )

где а в + "(| £ | ) = Y N+1,± ^(1) ( ^ i) ³ Г(в) Q N,± 4| £ | ), a Q N,± \z) имеет вид (7). Тогда

BNv(KI2) e±i|5| • KI-n+1 -N-3 g M(HpHq), если (1/p, 1/q) G L(в + 1,n), по теореме 1 (а). Применяя теорему 2, имеем

W) ' ⁺¹’^T ( IW + К I ³ W   (K I )) G M (H p , H ^p ),

0 < p 6 1. Кроме того, эта функция является мультипликатором в S . Тогда R ³’N’± ( | £ | ) G M (H ^p , H ^q ), если (1/p, 1/q) G L (в + 1, n).

Резюмируя сказанное, получаем, что m^6(0 G M(HpHq), (1/p, 1/q) G L(в,п), откуда, с учетом (16), следует (14).

Докажем вложение

L(в,п) C H(S1^).(21)

Обозначим через m^ + (y) ядро оператора S^ +. Очевидно, что m3+(y) = (1 - Ц|у|)) s3,+ (y) G C .

Тогда,

m[+(0 G M(Hp, Hp), 0

Покажем далее, что m[,+ (^) G M (H 11Lq), 1

Применяя неравенство Гельдера, имеем mg + (y) G K(L^q,L^'), 1 < q⁰< ro. Тогда, в силу вложения L” C BMO и, с учетом равенства K(L^q0, BMO) = K(H 1,L^q), 1/q⁰+ 1/q = 1, получаем (23). Из (22) и (23), используя соображения выпуклости, получаем (21). Из (12) и (21) следует (10). B

Замечание. Используя идею доказательства точности H^p — H^q оценок (0 < p 6 1) для мультипликаторного оператора с символом (2), применявшуюся в [2], можно показать, что знак вложения в (10) можно заменить знаком равенства.

Из доказанной выше ограниченности оператора (1) в пространстве H¹вытекает

Теорема 4. Оператор (1) ограничен в пространстве BMO.

• 4.    L¹- H¹и BMO - L^∞оценки для оператора (1)

Представляет интерес вопрос об ограниченности оператора (1) из X в Y в случае, когда Y ⊂ X . Здесь, мы получим оценки для этого оператора из L¹в H¹и из BMO в L^∞.

Теорема 5. Пусть j Pn-1(1 — р2)3-1 0(р) dp = 0.                           (24)

1-δ

Тогда оператор S_θ^β_,+ограничен из L¹в H¹и из BM O в L^∞.

C Докажем, что s^G) g M(L1, H 1) = M(BMO, L^}.                  (25)

Тогда, с учетом (4) и замечания 2.3 из [2], получаем

Н^+^Нн 1 ⁶ks9,+ kK(L1,H¹)^k^kL¹,

• т. е. оператор S^+ ограничен из L¹в H¹и, в силу (25), — из BMO в L^T. Преобразование Фурье ядра s^:

sd (G) = j -^Ч-- Р2)в-19(р) dp I eip^da, 1-8S d       d запишем в виде sf, + (G) = (1 - v^|2)) sf, + (G) + v(|£|2) sf, + (G) = sf,’+(^) + sf,’+ (^), гДе функция v(r) описана во введении.

Покажем, что sf,+°(G) G M(L\H 1).(26)

dddd

Имеем sf,+ ^(G) = sf,1 ⁽^) ⁺ sf,2 (G), sf,1 ^(G) = ^v(IGI2) me,g(G), где me,g(G) ^— функция ⁽¹⁵⁾,

■«) = v(^I2) I Pn-1(1 - dU - -(p)) «(P) dP / е*’^1 da; 1-8S функция —(r) описана в § 3.

Повторяя выкладки, приведенные в §3 для s^ (G) и применяя теорему 1 (c), получаем sf^(G) G M(LX,H 1).(27)

Применив далее к sf’2 (G) формулу (17), а затем формулу (5) с N = £2] +1, будем иметь

N se."(4) = Е (h,-.k (1Я) + h+,k (KI)> + R-,N (KD + R+,N (KI), k=0

где

1-8/2

h±k(IGI) = ^(nM [ gk(P) ^e±iP^| dp,  ⁰ 6 k 6 N,

IGI 2 ^+k

1-8

gk(p) = Yk,±Pn^-k(1 - P²)^e-1(1 --(p)) 9(p), Yo,± = (2n)n^-1 e^Tir^(n-1),

1-8/2

R±_n(|G I) = ^YN±M• V(© [ go(p) ^±^R⁽J)(p|G I)dp.

^Yo,±    IGI ~                        ’

Рассмотрим мультипликаторы (28). После замены 1 - p = т получаем h±k (IGI) =

_е±^| v(IGI²) IGI n-^1+k

δ j gk (1 - т)

8/2

e∓i|ξ|τ _dτ_.

Проинтегрировав по частям интеграл в (30) l + 1 раз, будем иметь р ±i(1-8)|£| f |^|2\                                             л 'М — h±kw = e ,.|Si k ) • <|2)((±i)gk(1 -^ + (±i) g    6)

|ξ| 2

+ ⁽_±i^)l+-^ - ₆) + (ур j gkl₊₁)(i - т) е_Т„(т-„„).

8/2

Положим l = [П2] + 1. Заметим, что v( I € |2) e±i(1-8)| 51 • | € |1-n-1-k G M (L\H 1)

по теореме 1 (c). Кроме того, второй множитель в (31) принадлежит M(H 1,H 1) по теореме 2. Тогда h±,k(|€|) G M(L1,H 1).

Рассмотрим (29). После замены 1 — р = т и с учетом равенства (6), имеем

R±,N (I€I)

BN e±^i|5v( |€ ²) I€| n^-1+N+¹

δ gN+1(1 - т)

8/2

n-2

'QN,± ) «1

^{— т)|€|}) ^dT-

Заметим, что

BNv(|€|²) e±i^|5| -|€| 1-n ^-1G M(L1,H 1)

по теореме 1 (c) и v(|€|2) |ξ|N

δ j gN+1(1 — т) eT<|TqNj) ((1 — T)|€|) dT G M(H\H 1) 8/2

также по теореме 2. Тогда R±n(|€|) G M(H 1,H 1).

Резюмируя сказанное, получаем se;2°°(€) g M(H\H1).

Из (27) и (32), следует (26).

Покажем теперь, что sf;+ (x) = F-1^sd+ (€))(x) G K(BMO,L^), тогда из (33) и (25) будет следовать, что sd+ (€) G M(BMO,^.

Заметим, что se+ (x) G S sd,+(o) = |sn-1| j pn-1(1 — р2)в-19(р) dp = o

1-8

в силу (24). Тогда s^ + (x) G H 1.

Далее, с учетом (3) и инвариантности нормы в пространстве BMO(Rn) относительно сдвига, имеем

||⁽s^e+ * ^^)(x)||L_M6 iis^e+kH 1 inx - ^)kBMo = s/'¹IIH k^kBMo •          ⁽³⁵⁾

Из (35) следует (33) и, следовательно, (34). B

Замечание 2. Легко видеть, что условие (24) является необходимым для ограниченности оператора Sg^ из U¹в H¹и из BMO в U”.