Оценки радиуса просвета конечного множества единичного шара в Rn

DOI:

Данная работа посвящена изучению ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера

Lu = Au — q(x)u = 0                           (1)

на произвольном некомпактном римановом многообразии М. Здесь q(x) — непрерывная неотрицательная на М функция. Далее решения уравнения (1) будем называть q - гармоническими функциями.

В исследованиях последних десятилетий неоднократно отмечалась глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией уравнений в частных производных и геометрией римановых многообразий. В частности, исторически сложившимися в данной области математики являются следующие постановки задач:

• 1)    найти условия, гарантирующие, что всякое решение из заданного класса — тривиально (теоремы типа Лиувилля);

• 2)    найти условия, обеспечивающие однозначную разрешимость краевых задач.

Одним из истоков указанной проблематики считается классификационная теория двумерных некомпактных римановых поверхностей. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического типа является выполнение для них теоремы Лиувилля, утверждающей, что всякая положительная супергармоническая функция на данной поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство послужило основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на произвольные римановы многообразия.

А именно, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.

К числу одного из первых геометрических результатов в определении типа риманова многообразия относится теорема С.Я. Ченга и С.Т. Яу [6], утверждающая, что полное многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее, чем R 2 при R > то . В работе [3] А.А. Григорьян доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия М эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта в М равна нулю. Вообще, поиски признаков параболичности типа имеют большую историю. Общее представление о современных исследованиях в данном вопросе, а также о теоремах типа Лиувилля, можно получить, например, из работы А.А. Григорьяна [7].

Вопросы существования нетривиальных гармонических и супергармонических функций естественным образом приводят к теоремам типа Лиувилля. Считающаяся в настоящее время классической формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая функция в Rⁿ есть тождественная постоянная.

Традиционно осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций Л и эллиптический оператор L . Будем говорить, что на М выполнено (Л, L) -лиувиллево свойство, если любое решение уравнения Lu = 0, принадлежащее функциональному классу Л , является тождественной постоянной.

Заметим, что в случае, когда q(x) нетривиальна, ненулевая постоянная не является решением уравнения (1), и лиувиллево свойство формулируется для него несколько иначе.

А именно, говорят, что на М выполнено лиувиллево свойство для ограниченных решений уравнения (1), если любое такое решение есть тождественный нуль.

Заметим, что в последнее время наметилась тенденция к более общему подходу к теоремам типа Лиувилля, а именно, оцениваются размерности различных про- странств решений линейных уравнений эллиптического типа (см., например, [2; 4; 5; 7– 10]). В частности, в работе [2] была доказана точная оценка размерностей пространств ограниченных гармонических функций на некомпактных римановых многообразиях в терминах массивных множеств.

Целью данной работы является доказательство аналогичного результата для ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть М — гладкое связное некомпактное риманово многообразие. Непрерывную функцию и , определенную на открытом множестве Q С М , будем называть / -субгармонической, если для любой области G b Q и / -гармонической функции

У е С (G), u I -g = vl d_G ,

выполнено и <  у in G.

Следуя [7], открытое собственное подмножество Q С М будем называть / -массивным, если на М существует нетривиальная / -субгармоническая функция такая, что и = 0 на М \ Q и 0 <  и <  1 (в случае / = 0 множество Q называется массивным). Такую функцию и будем называть внутренним потенциалом множества Q .

Свойства / -массивных множеств вполне аналогичны свойствам массивных множеств, подробно изложены в [2] и [1]. Сформулируем некоторые из них.

Лемма 1. Пусть Q 1 С Q 2 — открытые собственные подмножества М. Тогда:

• 1)    если Q 1 — / -массивно, то и Q 2 — / -массивно;

• 2)    если Q 2 — / -массивно и Q ₂ \ Q 1 — компакт, то и Q 1 - / -массивно.

Доказательства почти дословно повторяют доказательства аналогичных утверждений для массивных множеств, приведенные в [2].

Основным результатом данной работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть /(х) — нетривиальная, неотрицательная на М функция, а т >  >   1 — натуральное число. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    размерность пространства ограниченных / -гармонических функций на М не менее т ;

• 2)    в М найдется т попарно не пересекающихся / -массивных подмножеств.

Замечание. В случае /(х) = 0 данное утверждение верно только для т >  2 (см. [2]).

Доказательство. Обоснование того, что если на М существует т попарно не пересекающихся / -массивных множеств Q 1 ,..., Q _m , то размерность пространства ограниченных / -гармонических функций на М не менее т — почти дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для гармонических функций (см. [2]). Однако, для лучшего понимания утверждения, приведем его.

Обозначим через и 1 , ..., и _т — внутренние потенциалы множеств Q 1 ,..., Q _m . Пусть {В _к } — гладкое исчерпание многообразия М предкомпактными областями с гладкими границами (трансверсальными к дМ, если край многообразия не пуст). Решим в В _к краевые задачи

Ау _к - /(хУ к = 0,х е В к ^ \ -в _к = и-Д-в _к (О

-v^

,       -д^~ | дМ пв _к = ⁰

Напомним, что и = 0 вне Qj. В силу /-субгармоничности и имеем v^ > и в Вк. Аналогично, хк+1 > и в Вк+1, в частности, хк+1 > и^ на дВк. Таким образом получаем, что uk+1 > Ui = u^ на ЭВк. Применяя принцип сравнения, получаем ик+1 > и^ в Вк. Из условия Ui < 1 следует, что и^ < 1. Таким образом, последовательность (/-гармонических функций {и^} не убывает и ограничена. Следовательно, существует предел

u ⁽ⁱ = lim и к\ к >^

являющийся / -гармонической функцией в М. При этом выполнены неравенства

• 1    >  u ⁽ⁱ⁾ >  u _i >  0.

Можно с самого начала считать, что sup u _i = 1. Тогда справедливо равенство sup и^г = 1.

Покажем, что /-гармонические функции {u(i)} являются линейно независимыми. Заметим, что из условия ^i П ^j = 0 (при г = /) следует, что ui + Uj < 1. Таким образом, заключаем, что и^ + U^ < 1, и, соответственно,

0 <  u ⁽ⁱ⁾ + u ^(j) <  1.                                        (2)

Выведем из условий (2) и supu ⁽ⁱ⁾ = 1 линейную независимость { u ⁽ⁱ⁾ } . Действительно, так как sup V = 1, то для любого е > 0 можно найти такую точку x _i Е М, что

• 1 >  u ⁽ⁱ⁾ (x _i ) > 1 — е.

В силу неравенства (2) получаем, что u^xj < е. Учитывая неотрицательность u ^(j) , заключаем, что матрица

Hu(j)(x,)||”_i при достаточно малом е является невырожденной. Последнее объясняется тем, что на диагонали стоят числа, близкие к единице, а вне диагонали — близкие к нулю. Тем самым {u(i)} — линейно независимые /-гармонические функции, что означает, что размерность пространства ограниченных /-гармонических на М функций не меньше т.

Вторая часть доказательства теоремы достаточно серьезно отличается от доказательства аналогичного факта для гармонических функций, предложенного в [2]. В последнем случае по существу использовался тот факт, что ненулевая константа является элементом пространства ограниченных гармонических функций, что не выполняется в нашем случае.

Пусть на М существует т линейно независимых ограниченных / -гармонических функций. Докажем, что на М найдутся т попарно непересекающихся / -массивных множеств.

Сразу отметим, что на М существует / -массивное множество. Не умаляя общности, мы можем считать, что на М существует нетривиальная / -гармоническая функция и такая, что sup и = а >  0. В качестве массивного множества можно взять, например, множество {х : и >  2 } . Внутренним потенциалом данного множества будет / -субгармоническая функция и — 2 .

Построим функцию Лиувилля многообразия М. Пусть {h _k } — решения краевых задач

Ah k — /(х) h k = 0, х Е В к <             hk ¹ дв _к = ¹            .

.       3^ ¹ 9М в ^ = ⁰

Последовательность {hk} — монотонно убывает и, следовательно, имеет предел h = lim hi., к^ к, причем

Ah — q(x)h = 0.

Из существования на М q -массивных множеств и принципа максимума следует, что h >  0 на М.

Обозначим

A _h / = 1 (Mh 2V /).

h ²

Тогда справедливы равенства

A h / = Л (h ² A/ + 2h V h V /) = A/ + ² V / V h.

h 2                               h

Предположим далее, что g — q -гармоническая функция в некоторой области Q. Пусть

£ h.

д          0 = Ag — q^g = A( h-h) — q(x) hh = A(/h) — q^/h =

= A/h + 2 V / Vh + / (Ah — q(^)h) = hA h /.

Таким образом, заключаем, что если g — q -гармоническая функция, то / — решение уравнения

A h / = 0.                                     (3)

Решения уравнения (3) далее будем называть h -весовыми гармоническими функциями.

Обозначим через g1,...,gm т линейно независимых на М, ограниченных q-гармонических функций (существование которых следует из предположения второй части теоремы). Не умаляя общности, можем считать, что одна из них, например gm, совпадает с h. Кроме того, можем считать для всех г выполнено |gt | < 1. Из q-субгармоничности функций |gt | и принципа максимума заключаем, что на М выполнено |gt| < h. Обозна- чим

U t =

g h’

соответствующие h -весовые гармонические функции. Несложно показать, что { u _t } являются линейно независимыми и ограниченными.

Дальнейшая часть доказательства почти дословно повторяет рассуждения из [2]. Пусть ММ — компактификация Чеха многообразия М, то есть ММ — компактное топологическое пространство, М — открытое всюду плотное множество в ММ, и всякая непрерывная ограниченная функция в М непрерывно продолжается на М. Обозначим р = М \ М, и пусть u _t , непрерывно продолженные на М, равны на р функциям / _t . Из принципа максимума для весовых гармонических функций следует линейная независимость функций / 1 , . . . , / _т . В качестве искомых массивных q -множеств мы могли бы попробовать взять множества { ж : u _t > supu _t — е } , если бы они попарно не пересекались. Последнее эквивалентно тому, что множества точек на р , в которых / _t = sup / _t попарно не пересекаются. Однако это не всегда так. Чтобы обойти эту трудность, как и в [2], воспользуемся доказанной там леммой.

Лемма 2 (см. [2]). Пусть р — компактное топологическое пространство, f1,..., fm — линейно независимые непрерывные функции на р. Тогда найдутся функции F1,..., Fm, являющиеся линейными комбинациями f1,..., fm, такие, что множества р = {ж : F = maxF} попарно не пересекаются.

Так как функции F j являются линейными комбинациями функций f 1 ,...,f _m , то существуют функции ж 1 ,..., ж _т , являющиеся линейными комбинациями и 1 , ..., и _т , причем v _j | _р = F. Очевидно v _j являются h -весовыми гармоническими функциями.

Обозначим Q j = { ж Е М : v _j > maxF j — е } - Из утверждения леммы, как впрочем и из ее доказательства, не следует, что maxF j > 0. Положим С = max _j =1 ,...,_m max | F j | +1. Тогда, учитывая, что и _т = 1 и рассматривая в случае необходимости вместо v _j функции v _j + Си _т , мы можем рассматривать случай maxF j > 0 при всех г.

Покажем вначале, что при достаточно малом е > 0 множества Q j попарно не пересекаются. В предположении противного можно считать, что Q j П Q j = 0 при некоторых г = ] и е = е & (к = 1, 2,...). Здесь последовательность { е ^ } стремится к нулю при к ^ то . Обозначим через ж & некоторую точку из Q j ^fe П Q j ^fe . При к ^ то последовательность { ж ^ } имеет предельную точку ж ₀ Е ММ. Очевидно, ж / (ж ₀ ) = maxF _/ = sup Ж / , / = = i,j. Если ж ₀ Е М, то по строгому принципу максимума v _j = const, V j = const, откуда F j = const, F j = const, что противоречит тому, что функции F j и F j не имеют общих точек максимума. Если ж ₀ Е р , то ж ₀ является общей точкой максимума функций F j и F j , что опять противоречит их выбору. Итак, при некотором е > 0 множества Q j (г = 1, 2,..., т) попарно не пересекаются.

Учитывая, что maxF j > 0, для всех г = 1,2, ...,т, заключаем, что при достаточно малом е > 0 все указанные множества Q j являются массивными относительно h -весового оператора Лапласа. Последнее означает, что на М существуют нетривиальные h -весовые субгармонические функции w _j такие, что w _j = 0 на М \ Q j и 0 <  w _j <  1.

Таким образом, на М существуют ^ -субгармонические функции g _j = w _j h такие, что g _j = 0 на М \ Q j и 0 <  g _j <  1. Стало быть множества Q j (г = 1, 2,..., т) являются ^ -массивными, непересекающимися подмножествами многообразия М. Последнее доказывает теорему.