Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования

В большинстве работ, посвященных методам суммирования рассматривались частные методы. Этим исследованиям придается некоторый систематизированный характер. Рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса, получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.

В большинстве работ, посвященных методам суммирования (=м. с.) рассматривались частные методы. В данной работе попытаемся придать этим исследованиям некоторый систематизированный характер. Ниже рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы, как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.

Пусть 0 <  a < 1. Определим класс функций (или в случае дискретного параметра — класс матриц сДп)), задающий регулярные м. с.:

Da = {о <  сДА) < 1, к = 1,2,...- А > 0;

supсДА) ~ biA~^a при А —> оо;

к

• (X)

^^сДА) —>1 при А —> оо;

к=1

В²(А) = f^(A) - ДД^ при А^оо}.

fc=i

Легко проверить, что элементами Dy являются м. с. Чезаро порядка т >  1 (С, г), Абеля (А). Множеству D-^ принадлежат методы Эйлера порядка q > О (Е, q), Бореля (В) и др.

Пусть Ху, Х2, .. . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н. о. р. с. в.). Обобщая классическую постановку задачи о законе больших чисел, рассмотрим взвешенные средние

ОО                           ОО

S(A) = ^cfc(A)Xfc (S(n) = ^cfc(n)Xfc) fc=i                         fc=i и выясним условия сходимости интеграла

ОО

_T(s,q,t) = j X^aqt-^a-¹P(\S(X)\>_£X^^q-^)dX, 1

а в случае дискретного параметра — ряда 52^! n^aqt-a-1P( S(n) > Еп^а*^9-1*).

Сходимость этого интеграла трактуется как информация о скорости сходимости в законе больших чисел для метода суммирования {щ(А)}.

Для сДА) G D_a введем в рассмотрение следующий набор индексов по степени убывания сДА) по А:

I = ^к : сДА) = О(А^-а) при А —> оо}.

Через с, иногда с индексами, будем обозначать положительные постоянные.

Теорема 1. Пусть Xi,X2,... последовательность н. о. р. с. в., qt > 1, q > |, Cfc(A) G D_a. Кроме того, пусть при А —> оо

ЕД^оДД (o

к

Для сходимости T(s,q,t) при любом е > 0 достаточно, чтобы 5] АД]⁴< 00 и ЕХ\ = 0 в случае t > 1.

Эти условия необходимы, если при А —> оо card (I) = (ДАД.                            (2)

• <1 Зафиксируем зависимость Де, q,t) от а в виде нижнего индекса T_a(E,q,tY Подстановкой А = у“ выражение тДе,у,1) переводится в т_а(е,у,Д. Соответствующий вид приобретают и условия (1) и (2). Следовательно, доказательство теоремы 1 достаточно провести для случая с ДА) G Dy.

  Достаточность. Пусть PlXi^ < оо, 0 <  t < 1. Воспользуемся аналогами неравенств Нагаева — Фука [2]. Тогда для любого у > О

  
  

  ОО

  п(е,₉Д) = j A^9<"²p( s(A) ▻eX^dX i

  
  

  ОО

  < / А⁹'"² ^P(c_fc(A)|X_fc| ▻ еуА⁹"¹)^

  1 ^k

  
  
  
  

  ОО

  + (eE-^tyⁱ"^tE\X_i\^ty^h j X^qt"^" 1

  
  

  i i/т ^l,-¹'^th E-iw

  - к

  
  

  dX — А^ + A^.

  
  

  Так как нас интересует только сходимость интегралов, то при их оценке будем пользоваться асимптотическими свойствами CkW при А —> оо. Получающиеся при этом интегралы, сходятся и расходятся одновременно с исходными.

  Преобразуем Ар.

  
  

  Ах

  
  

  оо

  / ОО ОО /

  А^^рГ

  _т        к=1г=к

  
  

  еуА⁹"¹

  
  

  < \х_к\

  
  

  <

  
  

  eyX^q"^x A Сг+1(А)/

  
  

  dX

  
  

  <

  
  

  ОО

  / оо г /

  ч-²ЕЕД

  _х        г=1 к=1 ^Х

  
  

  gyA^"¹ Сг(А)

  
  

  < \х_к\

  
  

  <

  
  

  Ci₊1(A)

  
  

  dX

  
  
  
  

  ОО

  / ОО р

  ^²Е^!' /

  г-1 _L

  
  

  dP<\X_Y\ < y^dX,

  
  
  
  

wL=f^zl/<^_iy v CXO - J Ci+1(A))

Очевидно, L не пусто, если c^A) > с^₊1(А). Пусть {сДА)} С {сДА)} убы- 2

вающая последовательность при фиксированных А. Поскольку ^ ^c'kW —> О к=п

2п при п —> оо и при этом cfc(A) > ИС2П(А), то с'(А) = о(|) при г —> оо. Следо- к=п вательно, из (4) имеем

Л1

<

<

ОО

• —    / x^q^

И J

ОО

• —    / x^q^

И J

—

^"^ / ydP№\

• - ¹)"¹ у ydP(\Xi\

■y>e^Xq/bi

<

bl

И2

(X)

у _Aq(t-2)-l

j y2dP№\

(X)

ЕТ1Ъ1

У2

у>С7А9 /61

(■уЬг/^уД4

I X^-^dXdP^X^^y^cE^1.

Перейдем к оценке Л2. По условию (1), Л2 сходится одновременно с интегралом

ОО

У X^-^-^^dX.

Легко заметить, что при 7 < 1

Л2 < оо.                                   (6)

В силу произвольности 7 < 1 из (3), (5) и (6), получаем доказательство достаточности для 0 < t< 1.

При доказательстве достаточности для остальных значений параметра t следует воспользоваться соответствующими вариантами неравенств Нагаева — Фука.

Необходимость. Нам понадобится

Лемма [7]. Если {Х_п} последовательность симметричных независимых с. в., то при 0 < а^ < d_k, к = 1,2, .. . ,п, для любого е > О

Р

(|Ё

О-кХк

гЕ-"^

dkXk

5Е)

^*eZ

Обозначим через X_n

z~v

п _

^ c_k(X)X_k. По неравенствам симметризации к

— симметризованные с. в. S_n = 22 Хк, к = 1

z~v

S(A) =

оо

?(е, ,()= f А«‘-²р(|§(А)|

> sX^q ^ dX < oo.

Применив лемму с

d_k — ^^(A) и Qk —

CkW, О,

к е I кё!

получим

т^л^ > |

оо

оо             /

/^(|е

z~v

cWk

kEl

> eXq ^ dX.

Следовательно, сходится интеграл

ОО

А =

ОО             /

/^(|е

z~v

kEl

)

Xk > csXq dX.

С учетом условия (2) будем иметь

оо П+1

Л = ^2 X^P^Sp^cEX^dX

И = 1 п

> £n^²P( S_n > n^q

71 = 1           \

се(1+«)1)

ОО

>^п^-2р(|5п|>ещ9),

П —1

где Ei = 2^qcs.

Отсюда по известной теореме Баума — Каца [5] следует P|Xi

<

оо.

Согласно следствию из неравенств симметризации получаем -Е^АО^ < оо. Теорема 1 доказана. >

Если вместо {с^(А)} взять метод средних арифметических (С, 1), то из теоремы 1 получаем теорему Баума — Каца из [5]. Теорема 1 для м. с. (А) была доказана в [4] для q = 1, t = 2.

Теперь рассмотрим асимптотику т(е, q,t) при е —> 0. Очевидно, для м. с. из D_a выполнен аналог условия Линдеберга:

ВЧА)

ОО              р

524(A) у

^^      I В(А)

Ы>е--

y²dP(Xk < у) —> 0 при А —> оо.

УМ

Таким образом, справедлива центральная предельная теорема (ц. п. т.) для S(A). Легко устанавливается оценка, аналогичная известной оценке А. Бикя-лиса из [1].

Если ЕХг = О, ЕХ^ = 1, то рД, ж) supcfc(A)

ТО^^АП-ФИ^Ц^^зад,

где

р(\^ <

j \u\³dP(X_x< и) + (1 + |ж|)В(А) J и^Р(Х_х<и\

I _м|<ц±кпвш supc^tA) к

..1^ (1+И)В(А) supc_t(A) к

Обозначим , i = r^i^, ^^ = s, где , (г) — гамма-функция.

Теорема 2. Пусть ЕХу = О, ЕХ^ = 1. Тогда справедливы соотношения:

• _а)    п_ш21Ц112₌2

' ЛО 1п| а’

• б)    Нше^2$т(е,дЛ) = ^^^ , ₈-ц приЕ\Х^< оо.

• <1    Ввиду схожести рассуждений, ограничимся докажзательством пункт а). Представим т(е, 1, 1) в виде суммы двух интегралов

  ОО

  
  

  т^ЛД) = j

  
  

  P(\sw\>^-

  
  

  ²Ч~—^£)\

  
  

  d\

  
  

  i

  ⁰⁰         .

  /1   / Д1/^а \

  А^ф сдгт'^{л = п + Т2}'

  
  
  
  

Покажем, что lim = 0.                                   (9) ОО ln|                                         V ' Выберем По(е) : > 0 так, чтобы По(е) —> оо, ^^ —> 0 при е —> 0. Тогда п = У + У = г(+Ц.            (10) 1<А<ехрпо(е) А>ехрпо(е) Очевидно, что т'у < 2 j    —dX = ^n°^" 1<А<ехр по(е) Следовательно, при е —> 0 выполняется Рг^0-                     (И) Е Рассмотрим т" и (s-2/а, qq). и разобьем его на два интеграла по областям (expno(f), s-2/a) П=     j     + У =ти + т12.           (12) ехр по (е)<А<е-2/“  e-2/Q 0 при А —> оо. I 1оэтому lim sup А(А) = 0. е->0 ехрп0(£)<А<е-2/“

С учетом этого, легко получаем следующую оценку:

е-2/а тц < sup А(А)

exp по(е)<А<е-2/а exp no (е)

/

dX

X

sup exp по(е)<А<е-2/“

△ (A) f-ln-

\а е

^^^^^^^^.

По

и).

Следовательно, при е J. 0

тц

In-

£

-+ 0.

Для оценки Т12 воспользуемся неравенством Нагаева — Фука со вторым моментом. При этом, для любого 7 > 0 получим

П2 < [ ^PMX№\>£^dX

ААе2/”

+ СЕ

1/7

I I X4W

dX

А>

е

^^^^™

2/а

к

г 1 / Аа/2А

+ 2      — Ф f — £ —— ) dX = Qi + Q2 + О3.

A>e-2/«

Пользуясь теми же приемами, 1, выводим что и при доказательстве достаточности теоремы

Qi

<

s7

j

А>е-2/а

—

¹ У ydP(\X_x\ <уДХ Ь1у>езХ^а

оо (biy/(s7))1/Q

У^ j У J X^-1dXdP (|Х! < у)

e-2/q

7£ ±

ОО

(Ну/Ит))17"

<

сс /8 /

О 5  ¹         £ ^{— 2} / ^Q

X^dXdP^X^< 7/)

ОО

= С I y2dP(\Xx\ <у) +

ОО с| j ydP(\Xx\

оо

<с j y2dP(\X1\

Отсюда следует,

что

limQi = еДО

Используя свойства сДА), будем иметь

П₂< С£"^ j А"¹

А>е-2/а

—

² 7 dX

= с

оо

Г J / у 27 dy < оо,

поскольку 7 > 0 произвольно. Следовательно,

^2 lim —г = 0. фо In-

Очевидно и для Оз выполнено соотношение

Оз lim —г = 0. Щ0 hm

Из (10)—(17) следует (9).

Рассмотрим интеграл Т2, который подстановкой ^-Аа/2

£ =

ж приводится

К виду

ОО

Т2 = 2

л»

/ А"/2 А

(/А =

ОО

2 [О, , — — Ф( — Vx)dx a J х

е2/Ь|

—

е/Ь2

/

t2

^^^^^^.

ОО

—

е

—

г 1 , ,

—dx dt J х

E2/b|

e/b2

—

+

41пЙ2

/

^^^^^^.

ОО

—

t2

е ² Xnt^dt +

е/Ь2

/

е

—

2 dt оо с +

^^^^^^.

оо

е/Ь2

1п-

/

^^^^^^.

ОО

е

—

11 , 2 dt

21 1

—1п-

a

Е

при е —> 0.

Из (8), (9) и (18) получаем утверждение пункта а). Теорема 2 доказана. >

При t = 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) из пункта б) теоремы получаем результат Хейди [6]. При t > 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) теорема 2 доказана в [4].

Справедлив равномерный (в смысле исходного распределения) вариант теоремы 2.

Пусть F_t — класс функций распределения F(x) = Р(Х< ж) обладающих свойствами:

ОО j sdF^ = 0, — оо

ОО j ^dF^ = 1,

— оо

lim sup а^-оо FeF

j ^dF^I

= 0,

ж| >«

оо

I KdFM

< OO.

— oo

Обозначим

ОО

T<4(e,g,t) = у A"«‘-"-1Pf(|S(a)| > гА^-ЧЦА, где Рр — вероятностная мера, соответствующая функции распредления РДД

Теорема 3. Пусть сДХ) Е D_a. Тогда верны соотношения

a) lim^0supFeF2

б) lim^osupFeFt

T^(F)(е,1,1)      2

In-       a

£

E2s/F4E,q,t)

= 0;

№₂Д , " «Oq-l^s + l

= 0,

t > 2.

В отличие от теоремы 1, рассмотрим критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы.

Пусть на [1, оо) заданы строго положительные и неубывающие функции /(ж) и ДхД удовлетворяющие условиям

/И t /И । у)2(ж) ’   у)3(ж)

Обозначим

ОО

Я(А) = А“/²ДА), хОЛУ У Д^Р(|А«3(А)|>6₂Я(А))<1А, 1

где 62 из определения класса D_a, Н ^ж) — функция обратная к НД).

Теорема 4. Пусть Xi,X2,. .. — последовательность н. о. р. с. в. Предположим, что выполнены условия (19), ЕХ\ = 0, ЕХ^ = 1, сДХ) Е D_a, кроме того,

Е[Н-¹(|Х₁|)]^а/(Н"¹(|Х₁|))1пН-¹(|Х₁|) < оо. (20)

Тогда равносильны условия

• a)    x(f,H)< 00;

^ fl \ 1        Я² (А)

• б)    J уг^тцхуе 2Аа дх< OQ.

<1 Запишем xUi Н) в виде суммы двух интегралов:

ОО xU.H^jM 1

P(\X^aS(X)\ > ЬДЦХУ) - 2Ф( - ДХ)) dX

+2

ОО j Мфу^рх

— л I 1^.

Воспользовавшись неравенством (7), выводим

/1

ОО

£V

/(А) А"а/2

А у)3(А)

нм

У u³dF(|Xi < u)dX

О

оо                 оо

+ f          / u²dP(\X_T\

J A МОХ) J i        нм

Меняя порядок интегрирования, получим

ОО        оо

Г1 = с j u3 j X-a/2-i^^dXdP(\Xi\

ОО              1

< = ( “’ллгМ^ОА^А^!^)

J М\Н Au) нм

ОО ^=с/ нм

/(Я"¹^)) [Я"¹^)]" dP^X^< и)

/                 \ Г                1 О

< cEHh-^PMVh Н"¹^!^  < оо.

Аналогично устанавливаются оценки

оо Н"^гМ

1^ = с [ и² [ -^-dXdP(pO\ < и) J        J Xip (А)

НМ    1

оо яц>

₂Цн-М v4^H”^YM

Infl^^uliiPd^, < м)

оо

Л|1>

[Я”1(«)]"/(Я-1(«))1пЯ-1(ч)<<Р(|-У1 < «)

< сЕ [Н-¹(|Х₁|)]^а/(н-¹(|Х₁|))1пН"¹(|Х₁|) < оо.         (24)

Следовательно, при условиях теоремы из (22)-(24) имеем

/, < оо.

Так как Ф( — у)(А)) ~ у^щд)⁶ '²' ’ ^ПР^И А —> оо, то одновременная сходимость и расходимость Д и интеграла из пункта б) очевидна.

Отсюда, учитывая (21) и (25), получаем утверждение теоремы. >

В частности, для м. с. средних арифметических, из теоремы 4 получаем соответствующую теорему из [4].

Рассмотрим частный случай, когда <р²Д) = (2+е)1п1пж, е > 0, /(ж) = ^^Y Легко проверить, что при .г д ос

х2

_ (2 + е)1п1пж_

1 а

Тогда условие (20) теоремы 4 принимает вид

SX^lnjX! < оо.

Введем в рассмотрение с. в.

ОО

С /^l{|S(A)| е

> fe2\/(2 + e)A-alnlnA} (/А.

Из предыдущей теоремы следует, что при выполнении (26) ЕХ_е< оо при каждом е > 0, но в то же время А_е растет при е —У 0. Поэтому представляет интерес асимптотика А_е при е —У 0.

Теорема 5. Пусть Ху Х₂,... — последовательность н. о. р. с. в., ЕХ± = 0, ЕХ^ = 1, выполнено (26). Тогда, при е —> 0

V2......

ЕХ_е — —/=(1 + °(1))-

EVE

<1 Представим ЕХ_е в виде суммы двух интегралов

ОО

ех,= /дгН№)|

е

> 62 V(2 + e)A-alnlnA^

+2

-2Ф(^(2 + ДШпА) dX

ОО

I ^U(-V2 + dnlnA)

dX = Л(Д + 2П^.

е

Покажем, что г^/гА^г) —> 0 при е —> 0. Для этого разобъем Л(Д на два интеграла ехр(е"3/4)

Г InlnA

(|S(A)| > 62У(2 + е)А-«1п1пА)

А^ = J ~

- 2ф( - V(2 +Д1п1пА) dX

Очевидно

ОО

+ / ехр(е-3/4)

^KlSI^II

> Ь2 V(2 + Д A-alnlnA)

- 2ф( - V(2 + s)lnlnA) dX = ЛДД + Л₂(Д.

ЛДД < 2

ехр(е"3/4)

j ^dA < 2е-3/41Пе-3/4.

е

Отсюда следует, что при е —> 0

Д^ЛДД -д 0.

Для оценки Лг(е) воспользуемся неравенством (7):

оо                    , Н(А)

/ InlnA А"а/2 Г „ д (1п1пА)3/2 / n3dP№\

оо

+с / ехр(е-3/4)

^Ш^ / ^^d^ll 5 ") " = Л2 + А'^

hw

Меняя порядок интегрирования, будем иметь

ОО

Л^ = с У

Н(ехр£-3/4)

оо u3 I ----dX ДР(|Х|<М).

J А^^^х/ЫЫ н-ч«1

Так как а > 0, то д' 'Ч2

ОО

-с /

Я(ехр£-3/4)

U3

7ЫпН"ЧД

[Я"¹^)] ^а/2 dP^X^ < и\

Используя определение Я(А), легко получаем, что

ОО

А'2<с

/

^dP^X^ <Д< сЕ\Хг\2.

Я(ехр£-3/4)

Аналогично для А^,

ОО л; = с у Я(ехр_£-³/⁴)

Н"^гЫ ² / ехр е™³/⁴

X^dXdP^X^< и)

ОО

-с /

Я(ехре-3/4)

иЧпЯ-^и^РОХ! < и).

Поскольку Я(ехре 3/4) —> оо при е —> 0, то учитывая асимптотику Н 4(A), получаем

ОО

А'^<с I u2\nudP(\Xx\ < и) < сЕХ^п\Хх\.(32)

Я(ехре-3/4)

Итак, из (30)-(32) следует, что при е —> О е3/2А2(е)^0.(33)

Следовательно, из (28), (29), (33) имеем е3/2А(е)^0(34)

при Е —> 0.

С помощью элементарных преобразований получаем при е —> 0

5(e) =

eV^e

+ о(с-3/2).

Отсюда, с учетом (27) и (34), вытекает утверждение теоремы. >