Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования
Автор: Доев Феликс Хамурзаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.2, 2000 года.
Бесплатный доступ
В большинстве работ, посвященных методам суммирования рассматривались частные методы. Этим исследованиям придается некоторый систематизированный характер. Рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318007
IDR: 14318007
Текст научной статьи Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования
В большинстве работ, посвященных методам суммирования рассматривались частные методы. Этим исследованиям придается некоторый систематизированный характер. Рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса, получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.
В большинстве работ, посвященных методам суммирования (=м. с.) рассматривались частные методы. В данной работе попытаемся придать этим исследованиям некоторый систематизированный характер. Ниже рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы, как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.
Пусть 0 < a < 1. Определим класс функций (или в случае дискретного параметра — класс матриц сДп)), задающий регулярные м. с.:
Da = {о < сДА) < 1, к = 1,2,...- А > 0;
supсДА) ~ biA~a при А —> оо;
к
-
(X)
^^сДА) —>1 при А —> оо;
к=1
В2(А) = f^(A) - ДД^ при А^оо}.
fc=i
Легко проверить, что элементами Dy являются м. с. Чезаро порядка т > 1 (С, г), Абеля (А). Множеству D-^ принадлежат методы Эйлера порядка q > О (Е, q), Бореля (В) и др.
Пусть Ху, Х2, .. . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н. о. р. с. в.). Обобщая классическую постановку задачи о законе больших чисел, рассмотрим взвешенные средние
ОО ОО
S(A) = ^cfc(A)Xfc (S(n) = ^cfc(n)Xfc) fc=i fc=i и выясним условия сходимости интеграла
ОО
T(s,q,t) = j Xaqt-a-1P(\S(X)\>£X^q-^)dX, 1
а в случае дискретного параметра — ряда 52^! naqt-a-1P( S(n) > Епа*9-1*).
Сходимость этого интеграла трактуется как информация о скорости сходимости в законе больших чисел для метода суммирования {щ(А)}.
Для сДА) G Da введем в рассмотрение следующий набор индексов по степени убывания сДА) по А:
I = ^к : сДА) = О(А-а) при А —> оо}.
Через с, иногда с индексами, будем обозначать положительные постоянные.
Теорема 1. Пусть Xi,X2,... последовательность н. о. р. с. в., qt > 1, q > |, Cfc(A) G Da. Кроме того, пусть при А —> оо
ЕД^оДД
(o
к
Для сходимости T(s,q,t) при любом е > 0 достаточно, чтобы 5] АД]4< 00 и ЕХ\ = 0 в случае t > 1.
Эти условия необходимы, если при А —> оо card (I) = (ДАД. (2)
-
<1 Зафиксируем зависимость Де, q,t) от а в виде нижнего индекса Ta(E,q,tY Подстановкой А = у“ выражение тДе,у,1) переводится в та(е,у,Д. Соответствующий вид приобретают и условия (1) и (2). Следовательно, доказательство теоремы 1 достаточно провести для случая с ДА) G Dy.
Достаточность. Пусть PlXi^ < оо, 0 < t < 1. Воспользуемся аналогами неравенств Нагаева — Фука [2]. Тогда для любого у > О
ОО
п(е,9Д) = j A9<"2p( s(A) ▻eX^dX i
ОО
< / А9'"2 ^P(cfc(A)|Xfc| ▻ еуА9"1)^
1 k
ОО
+ (eE-tyi"tE\Xi\tyh j Xqt"^" 1
i i/т l,-1'th E-iw
- к
dX — А^ + A^.
Так как нас интересует только сходимость интегралов, то при их оценке будем пользоваться асимптотическими свойствами CkW при А —> оо. Получающиеся при этом интегралы, сходятся и расходятся одновременно с исходными.
Преобразуем Ар.
Ах
оо
/ ОО ОО /
А^^рГ
т к=1г=к
еуА9"1
< \хк\
<
eyXq"x A Сг+1(А)/
dX
<
ОО
/ оо г /
ч-2ЕЕД
х г=1 к=1 Х
gyA^"1 Сг(А)
< \хк\
<
Ci+1(A)
dX
ОО
/ ОО р
^2Е!' /
г-1 L
dP<\XY\ < y^dX,
wL=f^zl/<^_iy v CXO - J Ci+1(A))
Очевидно, L не пусто, если c^A) > с^+1(А). Пусть {сДА)} С {сДА)} убы- 2
вающая последовательность при фиксированных А. Поскольку ^ c'kW —> О к=п
2п при п —> оо и при этом cfc(A) > ИС2П(А), то с'(А) = о(|) при г —> оо. Следо- к=п вательно, из (4) имеем
Л1
<
<
ОО
-
— / xq^
И J
ОО
-
— / xq^
И J
—
^"^ / ydP№\ - 1)"1 у ydP(\Xi\ ■y>e^Xq/bi < bl И2 (X) у Aq(t-2)-l j y2dP№\ (X) ЕТ1Ъ1 У2 у>С7А9 /61 (■уЬг/^уД4 I X^-^dXdP^X^^y^cE^1. Перейдем к оценке Л2. По условию (1), Л2 сходится одновременно с интегралом ОО У X^-^-^^dX. Легко заметить, что при 7 < 1 Л2 < оо. (6) В силу произвольности 7 < 1 из (3), (5) и (6), получаем доказательство достаточности для 0 < t< 1. При доказательстве достаточности для остальных значений параметра t следует воспользоваться соответствующими вариантами неравенств Нагаева — Фука. Необходимость. Нам понадобится Лемма [7]. Если {Хп} последовательность симметричных независимых с. в., то при 0 < а^ < dk, к = 1,2, .. . ,п, для любого е > О Р (|Ё О-кХк гЕ-"^ dkXk 5Е) ^*eZ Обозначим через Xn z~v п _ ^ ck(X)Xk. По неравенствам симметризации к — симметризованные с. в. Sn = 22 Хк, к = 1 z~v S(A) = оо ?(е, ,()= f А«‘-2р(|§(А)| > sXq ^ dX < oo. Применив лемму с dk — ^^(A) и Qk — CkW, О, к е I кё! получим т^л^ > | оо оо / /^(|е z~v cWk kEl > eXq ^ dX. Следовательно, сходится интеграл ОО А = ОО / /^(|е z~v kEl ) Xk > csXq dX. С учетом условия (2) будем иметь оо П+1 Л = ^2 X^P^Sp^cEX^dX И = 1 п > £n^2P( Sn > nq 71 = 1 \ се(1+«)1) ОО >^п^-2р(|5п|>ещ9), П —1 где Ei = 2qcs. Отсюда по известной теореме Баума — Каца [5] следует P|Xi < оо. Согласно следствию из неравенств симметризации получаем -Е^АО^ < оо. Теорема 1 доказана. > Если вместо {с^(А)} взять метод средних арифметических (С, 1), то из теоремы 1 получаем теорему Баума — Каца из [5]. Теорема 1 для м. с. (А) была доказана в [4] для q = 1, t = 2. Теперь рассмотрим асимптотику т(е, q,t) при е —> 0. Очевидно, для м. с. из Da выполнен аналог условия Линдеберга: ВЧА) ОО р 524(A) у ^^ I В(А) Ы>е-- y2dP(Xk < у) —> 0 при А —> оо. УМ Таким образом, справедлива центральная предельная теорема (ц. п. т.) для S(A). Легко устанавливается оценка, аналогичная известной оценке А. Бикя-лиса из [1]. Если ЕХг = О, ЕХ^ = 1, то рД, ж) supcfc(A) ТО^^АП-ФИ^Ц^^зад, где р(\^ < j \u\3dP(Xx< и) + (1 + |ж|)В(А) J и^Р(Хх<и\ I м|<ц±кпвш supc^tA) к ..1^ (1+И)В(А) supct(A) к Обозначим , i = r^i^, ^^ = s, где , (г) — гамма-функция. Теорема 2. Пусть ЕХу = О, ЕХ^ = 1. Тогда справедливы соотношения: а) пш21Ц112=2 ' ЛО 1п| а’ б) Нше2$т(е,дЛ) = ^^^ , 8-ц приЕ\Х^< оо. <1 Ввиду схожести рассуждений, ограничимся докажзательством пункт а). Представим т(е, 1, 1) в виде суммы двух интегралов ОО P(\sw\>^- 2Ч~—£)\ d\ i 00 . /1 / Д1/а \ С учетом этого, легко получаем следующую оценку: е-2/а тц < sup А(А) exp по(е)<А<е-2/а exp no (е) / dX X sup exp по(е)<А<е-2/“ △ (A) f-ln- \а е ^^^^^^^^. По и). Следовательно, при е J. 0 тц In- £ -+ 0. Для оценки Т12 воспользуемся неравенством Нагаева — Фука со вторым моментом. При этом, для любого 7 > 0 получим П2 < [ ^PMX№\>£^dX ААе2/” + СЕ 1/7 I I X4W dX А> е ^^^^™ 2/а к г 1 / Аа/2А + 2 — Ф f — £ —— ) dX = Qi + Q2 + О3. A>e-2/« Пользуясь теми же приемами, 1, выводим что и при доказательстве достаточности теоремы Qi < s7 j А>е-2/а — 1 У ydP(\Xx\ <уДХ Ь1у>езХа оо (biy/(s7))1/Q У^ j У J X-1dXdP (|Х! < у) e-2/q 7£ ± ОО (Ну/Ит))17" < сс /8 / О 5 1 £ — 2 / Q X^dXdP^X^< 7/) ОО = С I y2dP(\Xx\ <у) + ОО с| j ydP(\Xx\ оо <с j y2dP(\X1\ Отсюда следует, что limQi = еДО Используя свойства сДА), будем иметь П2< С£"^ j А"1 А>е-2/а — 2 7 dX = с оо Г J / у 27 dy < оо, поскольку 7 > 0 произвольно. Следовательно, ^2 lim —г = 0. фо In- Очевидно и для Оз выполнено соотношение Оз lim —г = 0. Щ0 hm Из (10)—(17) следует (9). Рассмотрим интеграл Т2, который подстановкой ^-Аа/2 £ = ж приводится К виду ОО Т2 = 2 л» / А"/2 А (/А = ОО 2 [О, , — — Ф( — Vx)dx a J х е2/Ь| — е/Ь2 / t2 ^^^^^^. ОО — е — г 1 , , —dx dt J х E2/b| e/b2 — + 41пЙ2 / ^^^^^^. ОО — t2 е 2 Xnt^dt + е/Ь2 / е — 2 dt оо с + ^^^^^^. оо е/Ь2 1п- / ^^^^^^. ОО е — 11 , 2 dt 21 1 —1п- a Е при е —> 0. Из (8), (9) и (18) получаем утверждение пункта а). Теорема 2 доказана. > При t = 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) из пункта б) теоремы получаем результат Хейди [6]. При t > 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) теорема 2 доказана в [4]. Справедлив равномерный (в смысле исходного распределения) вариант теоремы 2. Пусть Ft — класс функций распределения F(x) = Р(Х< ж) обладающих свойствами: ОО j sdF^ = 0, — оо ОО j ^dF^ = 1, — оо lim sup а^-оо FeF j ^dF^I = 0, ж| >« оо I KdFM < OO. — oo Обозначим ОО T<4(e,g,t) = у A"«‘-"-1Pf(|S(a)| > гА^-ЧЦА, где Рр — вероятностная мера, соответствующая функции распредления РДД Теорема 3. Пусть сДХ) Е Da. Тогда верны соотношения a) lim^0supFeF2 б) lim^osupFeFt T(F)(е,1,1) 2 In- a £ E2s/F4E,q,t) = 0; №2Д , " «Oq-l^s + l = 0, t > 2. В отличие от теоремы 1, рассмотрим критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы. Пусть на [1, оо) заданы строго положительные и неубывающие функции /(ж) и ДхД удовлетворяющие условиям /И t /И । у)2(ж) ’ у)3(ж) Обозначим ОО Я(А) = А“/2ДА), хОЛУ У Д^Р(|А«3(А)|>62Я(А))<1А, 1 где 62 из определения класса Da, Н ^ж) — функция обратная к НД). Теорема 4. Пусть Xi,X2,. .. — последовательность н. о. р. с. в. Предположим, что выполнены условия (19), ЕХ\ = 0, ЕХ^ = 1, сДХ) Е Da, кроме того, Е[Н-1(|Х1|)]а/(Н"1(|Х1|))1пН-1(|Х1|) < оо. (20) Тогда равносильны условия a) x(f,H)< 00; ^ fl \ 1 Я2 (А) б) J уг^тцхуе 2Аа дх< OQ. <1 Запишем xUi Н) в виде суммы двух интегралов: ОО xU.H^jM 1 P(\XaS(X)\ > ЬДЦХУ) - 2Ф( - ДХ)) dX +2 ОО j Мфу^рх — л I 1^. Воспользовавшись неравенством (7), выводим /1 ОО £V /(А) А"а/2 А у)3(А) нм У u3dF(|Xi < u)dX О оо оо + f / u2dP(\XT\ J A МОХ) J i нм Меняя порядок интегрирования, получим ОО оо Г1 = с j u3 j X-a/2-i^^dXdP(\Xi\ ОО 1 < = ( “’ллгМ^ОА^А^!^) J М\Н Au) нм ОО =с/ нм /(Я"1^)) [Я"1^)]" dP^X^< и) / \ Г 1 О < cEHh-^PMVh Н"1^!^ < оо. Аналогично устанавливаются оценки оо Н"гМ 1^ = с [ и2 [ -^-dXdP(pO\ < и) J J Xip (А) НМ 1 оо яц> 2Цн-М v4H”YM Infl^^uliiPd^, < м) оо Л|1> [Я”1(«)]"/(Я-1(«))1пЯ-1(ч)<<Р(|-У1 < «) < сЕ [Н-1(|Х1|)]а/(н-1(|Х1|))1пН"1(|Х1|) < оо. (24) Следовательно, при условиях теоремы из (22)-(24) имеем /, < оо. Так как Ф( — у)(А)) ~ у^щд)6 '2' ’ ПРИ А —> оо, то одновременная сходимость и расходимость Д и интеграла из пункта б) очевидна. Отсюда, учитывая (21) и (25), получаем утверждение теоремы. > В частности, для м. с. средних арифметических, из теоремы 4 получаем соответствующую теорему из [4]. Рассмотрим частный случай, когда <р2Д) = (2+е)1п1пж, е > 0, /(ж) = ^^Y Легко проверить, что при .г д ос х2 _ (2 + е)1п1пж_ 1 а Тогда условие (20) теоремы 4 принимает вид SX^lnjX! < оо. Введем в рассмотрение с. в. ОО С /^l{|S(A)| е > fe2\/(2 + e)A-alnlnA} (/А. Из предыдущей теоремы следует, что при выполнении (26) ЕХе< оо при каждом е > 0, но в то же время Ае растет при е —У 0. Поэтому представляет интерес асимптотика Ае при е —У 0. Теорема 5. Пусть Ху Х2,... — последовательность н. о. р. с. в., ЕХ± = 0, ЕХ^ = 1, выполнено (26). Тогда, при е —> 0 V2...... ЕХе — —/=(1 + °(1))- EVE <1 Представим ЕХе в виде суммы двух интегралов ОО ех,= /дгН№)| е > 62 V(2 + e)A-alnlnA^ +2 -2Ф(^(2 + ДШпА) dX ОО I ^U(-V2 + dnlnA) dX = Л(Д + 2П^. е Покажем, что г^/гА^г) —> 0 при е —> 0. Для этого разобъем Л(Д на два интеграла ехр(е"3/4) Г InlnA (|S(A)| > 62У(2 + е)А-«1п1пА) А^ = J ~ - 2ф( - V(2 +Д1п1пА) dX Очевидно ОО + / ехр(е-3/4) ^KlSI^II > Ь2 V(2 + Д A-alnlnA) - 2ф( - V(2 + s)lnlnA) dX = ЛДД + Л2(Д. ЛДД < 2 ехр(е"3/4) j ^dA < 2е-3/41Пе-3/4. е Отсюда следует, что при е —> 0 Д^ЛДД -д 0. Для оценки Лг(е) воспользуемся неравенством (7): оо , Н(А) / InlnA А"а/2 Г „ д (1п1пА)3/2 / n3dP№\ оо +с / ехр(е-3/4) ^Ш^ / ^^d^ll 5 ") " = Л2 + А'^ hw Меняя порядок интегрирования, будем иметь ОО Л^ = с У Н(ехр£-3/4) оо u3 I ----dX ДР(|Х|<М). J А^^^х/ЫЫ н-ч«1 Так как а > 0, то д' 'Ч2 ОО -с / Я(ехр£-3/4) U3 7ЫпН"ЧД [Я"1^)] а/2 dP^X^ < и\ Используя определение Я(А), легко получаем, что ОО А'2<с / ^dP^X^ <Д< сЕ\Хг\2. Я(ехр£-3/4) Аналогично для А^, ОО л; = с у Я(ехр£-3/4) Н"гЫ 2 / ехр е™3/4 X^dXdP^X^< и) ОО -с / Я(ехре-3/4) иЧпЯ-^и^РОХ! < и). Поскольку Я(ехре 3/4) —> оо при е —> 0, то учитывая асимптотику Н 4(A), получаем ОО А'^<с I u2\nudP(\Xx\ < и) < сЕХ^п\Хх\.(32) Я(ехре-3/4) Итак, из (30)-(32) следует, что при е —> О е3/2А2(е)^0.(33) Следовательно, из (28), (29), (33) имеем е3/2А(е)^0(34) при Е —> 0. С помощью элементарных преобразований получаем при е —> 0 5(e) = eV^e + о(с-3/2). Отсюда, с учетом (27) и (34), вытекает утверждение теоремы. >т^ЛД) = j
Аф сдгт'л = п + Т2'
Покажем, что
lim = 0. (9)
ОО ln| V '
Выберем По(е) :
> 0 так, чтобы По(е) —> оо, ^^ —> 0 при е —> 0. Тогда
п = У + У = г(+Ц. (10)
1<А<ехрпо(е) А>ехрпо(е)
Очевидно, что
т'у < 2 j —dX = ^n°^"
1<А<ехр по(е)
Следовательно,
при е —> 0 выполняется
Рг^0- (И)
Е
Рассмотрим т" и (s-2/а, qq).
и разобьем его на два интеграла по областям (expno(f), s-2/a)
П= j + У =ти + т12. (12)
ехр по (е)<А<е-2/“ e-2/Q
0 при А —> оо. I
1оэтому
lim sup А(А) = 0. е->0 ехрп0(£)<А<е-2/“
Список литературы Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования
- Бикялис А. Т. Асимптотические разложения для сумм независимых m-решетчатых случайных векторов//Лит. мат. сб.-1972.-Т. 12.-С. 118-189.
- Гафуров М. У. Применение аналога неравенств Нагаева С. В. и Фука Д. Х. для взвешенных сумм независимых случайных величин по закону больших чисел//Banach center publication, Warszawa.-1979.-V. 5.-P. 260-271.
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.: Физматгиз, 1963.-1514 с.
- Сираждинов С. Х., Гафуров М. У. Метод рядов в граничных задачах для случайных блужданий.-Ташкент: ФАН, 1987.-140 с.
- Baum L. E, Katz M. Convergence rates in the law of large numbers//Trans. Amer. Math. Soc.-1965.-V. 120, № 1.-P. 108-123.
- Heyde C. C. A supplement to the strong law of large numbers//J. Appl. Probab.-1975.-V. 12, № 1.-P. 173-175.
- Sztencel R. On Boundednes and convergence of some Banach space valued random series//Probab. Math. Statist.-1981.-V. 2, № 1.-P. 83-88.