Оценки возмущенной полугруппы Озеена в Rn и устойчивость стационарных решений системы Навье - Стокса

Пусть v — стационарное решение системы Навье — Стокса в пространстве R n (n > 2)

( du = 4 u - (u, V )u — V p + f, (div u = 0.

Будем предполагать, что поле v имеет вид v = u ^ e 1 + w, где u ^ = const, а w в определенном смысле стремится к нулю на бесконечности (это условие в дальнейшем будет уточнено).

Осуществляя замену u : = u + v, приходим к уравнению для возмущений

{ d^ = 4 u — u ^ d 1 u — (w, V )u — (u, V )w — (u, V )u — V p, div u = 0.

Систему (2) будем называть возмущенной системой Озеена. Обозначим через в L n (R ⁿ ) пространство n-мерных векторных полей с координатами из L _p (R n ) и пусть S _p = S _p (R n ) (1 6 p 6 го ) — подпространство в L n (R ⁿ ), являющееся замыканием множества всех гладких финитных соленоидальных полей. Применяя к системе (2) гидродинамический проектор П : L n (R n ) ^ S _p (R n ) (1 < p <  го ), сведем возмущенную систему Озеена к ОДУ в пространстве S _p (R n )

du

— = Au + Bu + Ku, dt где A, B , K — операторы вида:

Au = n( 4 u — u ^ d 1 u), Bu = — H ( (w, V )u + (u, V )w ) ,   Ku = — H ( (u, V )u ) .   (4)

(° 2010 Сазонов Л. И.

Далее уравнение (3) будем исследовать методами теории полугрупп, следуя методике, развитой В. И. Юдовичем в [1] для исследования гидродинамических задач в ограниченных областях пространства R3. Полугрупповой подход для исследования эволюционных уравнений развивался в работах Э. Хилле, Р. Филлипса, М. А. Красносельского, С. Г. Крейна, П. Е. Соболевского, Т. Като, В. И. Юдовича и многих других авторов. В частности, отметим работу Т. Като [2], в которой для уравнения (3) при B = 0, и^ = 0 установлены теоремы существования локальных и глобальных при малых начальных данных решений в пространстве Sn(Rn) и их асимптотика при t ^ го. Сошлемся также на работу [3], в которой установлена одна абстрактная теорема об устойчивости и доказана асимптотическая устойчивость нулевого равновесия системы Навье — Стокса в пространстве R3. Следует отметить, что полугрупповой подход к системе Навье — Сток- са активно развивается в последние десятилетия и в его рамках исследованы вопросы глобальной разрешимости в различных функциональных пространствах (правда, в основном при условии определенной малости начальной скорости и поля внешних сил). По этому поводу смотрите, например, [4] и имеющуюся там библиографию.

В случае B = 0 (w = 0) главная линейная часть уравнения (3) представлена оператором Озеена (Стокса при и^ = 0) A, который в каждом пространстве Sp(Rn) (1 < p < го) с областью определения D(A) = Wp(Rn) ПSp(Rn) порождает аналитическую полугруппу Озеена T(t), совпадающую на соленоидальных полях с полугруппой теплопроводности с переносом. Отсюда непосредственно следует, что для полугруппы Озеена справедливы оценки

1Г ^Т (t) H p - q

6 c pq t ^{-| a | / 2 - ( n/ 2)(1 /}p ^{- 1 /}q )

где 1 6 p 6 q 6 го .

Для применения полугруппового метода к возмущенной системе Озеена (3) необходимо выяснить при каких условиях возмущенный оператор Озеена A = A + B порождает аналитическую полугруппу, которая удовлетворяет оценкам вида (5). Эти вопросы исследуются в § 2 с использованием результатов работы [5], в которой получены оценки возмущенной полугруппы Озеена во внешней области пространства R ³ . Результаты об устойчивости и неустойчивости стационарных решений содержатся в § 3 и § 4.

• 2.    Возмущенная полугруппа Озеена

Как уже отмечалось во введении, оператор Озеена

A = П( 4 — u ^ d i )

с областью определения D(A) = S _p (R n ) П Wp(R ⁿ ) порождает в любом пространстве S _p (R ⁿ ) (1 < p <  го ) аналитическую полугруппу T ( t ), для которой справедливы оценки (5). В случае всего пространства этот факт является простым следствием из оценок полугруппы теплопроводности. Однако для других неограниченных областей получение таких оценок связано с определенными техническими трудностями. В частности, для внешних областей пространства R ³ при фиксированном значении и ^ = 0 оценки установлены в [6] методом гидродинамических потенциалов, в [7] они получены иными методами, причем доказана их равномерность по параметру и ^ Е (0,r), многомерный случай рассмотрен в [8]. Следует также отметить, что для внешних областей происходит сужение области изменения параметров p и q .

Вместе с оператором Озеена A рассмотрим возмущенный оператор Озеена A = A + B , где Bu = — П((и, V )w + (w, V )u).

Лемма 1. Пусть w — соленоидальное поле, причем w,d j w G L^_o(R ⁿ ). Тогда возмущенный оператор A с областью определения D(A) = D(A) порождает в любом пространстве S p (R n ) (1 < p <  го ) аналитическую полугруппу T (t).

C Доказательство по существу повторяет доказательство из [5] и опускается. B

Пусть u o — финитное соленоидальное поле в R n . Тогда u(t) = T (t)u g — решение линейной возмущенной системы Озеена, т. е. системы (3), в которой следует положить K = 0. Для получения оценок полугруппы T (t) достаточно оценить u(t) для указанных начальных данных u o . Заметим, что u(t) является решением интегрального уравнения

t

u(t) = T (t)u o + j T(t - s)Bu(s) ds. o

Рассмотрим оператор-функцию T(t)B . Ввиду соленоидальности поля w ее можно представить в виде

T(t)Bu = — T (t)n [( V , u) w + ( V , w) u] .

Тогда из неравенств (5) вытекают оценки

° T(t)B ° _p ^ q 6 Cp,qt ^{- 1 / 2 - ( n/ 2)(1 /p} +V % ^{- 1 /q )} ||w||%,                         (7)

причем должны выполняться условия

1/q 6 1/p + 1/% 6 1, 1 6 p,q 6 го, и если 1/p + 1/% = 1, то q = 1, го.

Пусть q > n/(n — 1) и дополнительно к условиям леммы 1 w G Ln(Rn) для всех % G [%1, го], где %i < n. Тогда в силу (7) для оператор-функции T(t)B справедлива оценка kT(t)Bkq_q 6 Cqt-1/2(1 + t)-Y, где y = min(n/(2%1), n/2(1 — 1/q)), причем y + 1/2 > 1 (q > n/(n — 1)!). Для оператор-функции T(t)B определим ее преобразование Фурье

+ ^

F z

[T (t)B ]= j

T (t)Be i^tz dt

o

при z G { Im z >  0 } .

Предположим, что оператор I — F _z [T(t)B] для любого z с Im z >  0 обратим в пространстве S _q (R n ) (q > n/(n — 1)). Тогда, как установлено в [5], существует оператор-функция A(t) G End(S _q (R n )), удовлетворяющая оценкам

° A(t) ° q ^ q 6 С а,в (1+ t) ^-                             (8)

для любого a G (1/2,1) с a + в = 1/2 + Y > 1, такая, что решение уравнения (6) представляется в виде

u(t) =

t

T (t)u o — j o

A(t — т )T (т )u o dT.

Далее, из представления (9) и неравенств (8) вытекает оценка

t ku(t)kq 6 kT (t)uokq + Cqf ( - T )-a(1

+ t — T ) ^e T ^Y dT sup ||t ^Y T ( t )u o k q , τ

где 0 <  y < 1- Анализ неравенства (10), выполненный в [5], приводит к неравенству

^||^ T(t)u o ^|| _q 6 C q t ^Y sup ° t ^Y T (t)u o q_q ,    n/ ( n — 1) 6 ro , 0 1-        (11)

Полагая u o = Пд ⁶ v o и используя оценки невозмущенной полугруппы (5), получаем

|| T(t)nd ⁶ || p _ q 6 C pq t -^{| 6 | /} 2 - ( ^n/ 2)(l ^{/p -} l ^/q )                            (12)

при выполнении следующих условий:

| 0 | 6 1, | У | /2 + n/2(1/p — 1/q) < 1, q > n/(n — 1), 1 6 p 6 q 6 ro .

Некоторые ограничения на p, q можно ослабить. Из полугруппового свойства следует, что неравенство (12) выполняется, если q > n/(n — 1) и 1 6 p 6 q 6 ro .

Возвращаясь к интегральному уравнению, определяющему u(t) = T (t)nd ⁶ v o , имеем при 1 < q 6 n/(n — 1)

t

|u(t) — T (t)nd6 vo|q 6 C I ||T (t — T )B|r_q |u(t)|r dT, o где r > n/(n — 1).

Для интеграла с учетом (12) и (7) справедлива оценка t j ||T(t — t)B11q|u(t)kr dT 6 ct1/2-|6|/2-n/(2%)-(n/2)(1/p-1/q), o причем должны выполняться условия

1/2 + n/2 ( 1/r + 1/% — 1/q ) < 1, | 0 | /2+ n/2 ( 1/p — 1/r ) < 1,

1/q 6 1/r + 1/% 6 1, r>n/(n — 1), p 6 q-

Простой анализ предыдущих неравенств приводит к следующему результату.

Теорема 1. Предположим, что оператор I — F z [T(t)B] для любого z E { z;Im z >  0 } обратим в пространстве S _q (R ⁿ ) при любом q > n/(n — 1). Тогда для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки

11 T(t)nd ⁶W_p ^ _q 6 C pq t ^{-| 6 | / 2 - ( n/ 2)(}l ^{/p -} l ^{/q )}                            (13)

при выполнении следующих условий | У | 6 1 , 1 6 p 6 q <  ro , q >  1 при | У | = 0 , 1 < p 6 q <  ro при | У | = 1.

Условия теоремы можно сформулировать в терминах возмущенного оператора Озе-ена. Опуская выкладки, отметим, что при Im z >  0 справедлива формула

Fz [T (t)B] = —R-iz (A)B, где R-iz(A) — резольвента оператора Озеена. В свою очередь, резольвенту R^(A) при Re А > 0 на финитных соленоидальных гладких полях можно представить в виде

R _x (A)u = - F - 1        ¹       F и,                   (14)

|512 + iu∞ 51 + А где F — преобразование Фурье.

Здесь следует сделать одну оговорку. Точка А = 0 является точкой спектра оператора Озеена, однако оператор, определяемый правой частью (14) при А = 0 можно рассматривать как неограниченный оператор и для него удобно сохранить обозначение R o (A). Применение теорем Михлина и Лизоркина о мультипликаторах преобразования Фурье (см., например, [9]) приводит к следующим утверждениям:

при А = 0, Re А >  0 оператор R ^ (A) является ограниченным оператором из S p (R n ) в пространство Соболева Wp(R n ) для всех p Е (1, го ) ;

при А = 0 оператор д ⁸ R o (A) является ограниченным оператором из S p (R n ) в пространство L q (R n ) при выполнении условий

| # | 6 2, 1 <р 6 q< го , ² | ^ | 6 1/p - 1/q 6 ²---— .

n + 1                 n

Далее, ввиду компактности вложения W ^ (D) С L _p (D) для гладких ограниченных областей оператор R ^ (A)B является вполне непрерывным оператором из S p (R n ) в S p (R n ) при (n + 1)/n < p <  го , если А = 0, 1 < p <  го , если А = 0, Re А >  0.

Теперь из теории Фредгольма следует, что оператор I — F z [T(t)B] для любого z Е { z : Im z >  0 } обратим в пространстве S q (Q) при любом q > n/(n — 1) тогда и только тогда, когда ядро Ker q (I + R ^ (A)B) оператора I + R ^ (A)B, действующего в пространстве S q (R n ), тривиально для всех q > n/(n — 1) и Re А >  0. Кроме того, из сглаживающих свойств операторов R ^ (A)B вытекает, что Ker q (I + R ^ (A)B) = Ker _p (I + R ^ (A)B), Ker q (I + R ^ (A)B) = Ker q (A + B — АI) при p,q > (n + 1)/n. Поэтому, говоря далее о собственных числах возмущенного оператора Озеена, мы будем иметь в виду его собственные числа, отвечающие собственным функциям из пространства S q (R n ) при любом фиксированном q > (n + 1)/n. Из изложенного следует, что множество собственных чисел из полуплоскости { А : Re А >  0 } не зависит от q.

Таким образом, установлена

Теорема 2. Пусть w ∈ L ρ ₁ ∩ L _∞ , ρ 1 < n и возмущенный оператор Озеена не имеет собственных чисел в полуплоскости { А : Re А >  0 } . Тогда для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки, сформулированные в теореме 1 .

Для получения степенных оценок для операторов д ⁸ T (t) перейдем к сопряженным операторам T * (t)Hd ⁸ . При этом следует иметь в виду, что у оператора A * нарушается дивергентная структура. Это приводит к некоторым изменениям в оценках.

Заметим, что сопряженный оператор имеет вид A * = A * + B * , где A * = П(А + u ^ d i ), B * u = n(( V ,w)u + 52n =i ( V w j )u j ). Оператор A * по существу совпадает с оператором A, если заменить и ^ на — и ^ . Поэтому сопряженная полугруппа T * (t) удовлетворяет тем же оценкам, что и T (t). Далее аналогично предыдущему u(t) = T ^* (t)u 0 определяется из уравнения

t

u(t) = T * (t)u o + У T * (t — s)B * u(s) ds.

Для оператор-функции T * (t)B * справедливо неравенство

°T*(t)B*Цр^ 6 Cp,q(^Ш-п/Ш/р+Ш-Ш М% + t-(n/2)(l/p+l/a-l/q) ^^), причем должны выполняться условия 1/q 6 1/p + 1/% < 1, 1/q 6 1/p + 1/a < 1, 1 < p, q < ∞. Анализ этих условий показывает, что нужная оценка

° T * (t)B * |^ 6 C q t - ^{1 / 2} (1 + t) — ^Y , 1/2 + Y > 1

выполняется при q > n/(n — 2), если дополнительно к условию w Е L p 1 П L ^ , p i < n потребуем, чтобы V w Е L _{T 1} П L ^ , a i < n/2. Далее мы должны потребовать отсутствия у оператора A * собственных значений в полуплоскости { А : Re Л >  0 } , отвечающих собственным векторам из пространств S _q (R n ) для всех q > n/(n — 2) (а на самом деле достаточно для одного из таких q ). Однако это условие не является новым, а следует из отсутствия собственных значений у возмущенного оператора Озеена. Теперь дословно повторяя доказательство для полугруппы T (t), приходим к выводу, что при выполнении условий теоремы 2 справедливы оценки

|| T * (t)nd ⁶ || _p ^ _q 6 c pq t-\ ⁸\^{/ 2 - n/ 2(1 /p - 1 /q )} ,                           (15)

если только n/(n — 1) < p 6 q <  го . Отсюда из соображений двойственности вытекает

Теорема 3. Пусть w Е Lp1 П L^, pi < n, Vw Е LCT1 П L^, ai < n/2 и выполняются предположения теоремы 2. Тогда l|VT"(t)||p_q 6 Cpqt-1/2-n/2)1/p—1/q) ,                             (16)

если только 1 < p 6 q < n.

• 3.    Теоремы об устойчивости

Определения устойчивости. Предварительно сформулируем используемые ниже определения устойчивости из [1]. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X dv

a = F ^(м)-

Пусть vg(t) — его решение, определенное на [0, го). Устойчивость основного решения vg(t) отождествляется с устойчивостью равновесия ug = 0 для уравнения возмущений du dt = F(vg + u, t) — F(vg, t).

Пусть для этого уравнения определен, по крайней мере, в некоторой окрестности нуля пространства X эволюционный оператор U t , дающий решение u(t) = U t u g , удовлетворяющее начальному условию u | _t =g = u g .

Равновесие u g = 0 называется устойчивым (X, U ), если U t определяет отображение некоторой окрестности нуля в X в некоторое банахово пространство U вектор-функций на [0, го ), непрерывное в точке u g = 0.

В частности, устойчивость (X, С х ) называется устойчивостью по Ляпунову, а устойчивость (X, C X ) — асимптотической устойчивостью. (В этих обозначениях С х =

C([0, ro],X) — пространство непрерывных на [0, го) вектор-функций со значениями в X с конечной нормой llukCx = sup ||u(t)kx,

0 ∞

C X — его подпространство вектор-функций с условием | u(t) | x ^ 0 при t ^ го .)

Если CX,σ — подпространство в CX с нормой kukCx,7 = suP e’'^/) X, а> 0, то устойчивость (X, Сх,7) называется экспоненциальной устойчивостью в X.

Важно отметить, что решение при одном выборе нормы может быть устойчивым, а при другом — неустойчивым.

Абстрактная теорема об устойчивости. Рассмотрим в банаховом пространстве X нелинейное дифференциальное уравнение dU = Au + Ku                           (18)

dt при следующих предположениях.

• I.    Пусть Y — банахово пространство, имеющее с пространством X общее плотное множество, и A — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы T (t) в X и Y , удовлетворяющей условию

°TМх_х 6 '"     (а > 0).(19)

• II.    Нелинейный оператор Ku имеет вид Ku = DK g (D i u, ...D m u), m >  2, где K g : Y 1 x Y 2 x ... x Y m ^ Y — полилинейный ограниченный оператор, так что

• °Kg(ui,...,um)°Y 6 С fl |uj Цу, .(20)

j =1

• III.    а) Замкнутый оператор D : Y ^ X имеет дробную степень Y o (0 < Y o < 1) относительно оператора A справа в том смысле, что

• °T(t)D°Y ,X 6 c■ ".(21)

• б)    Замкнутый оператор D j : X ^ Y j (j = 1, 2,...,m) имеет дробную степень Y j (0 <  Y j < 1) :

°DjT(t)°X-lj 6 ce-‘,(22)

m

Y = X Yj = 1 - Yg,(23)

j =1

причем пересечение областей определения операторов D j не пусто.

• в)    Оператор-функции t ^ t ^{Y j} D j T (t) со значениями в Hom(X, Yj ) сильно непрерывны и сильно сходятся к нулю при t ^ 0.

Небольшая модификация доказательства из [3] приводит к следующему результату.

Теорема 4. При выполнении условий I–III нулевое решение уравнения (18) асимптотически устойчиво по Ляпунову в пространстве X, причем при а > 0 устойчивость экспоненциальная.

Более точно, устойчивость в теореме 4 понимается как устойчивость (X, Z ), где Z — банахово пространство всех вектор-функций и : [0, го ) ^ X, для которых конечна норма

m kukZ = lie u(t)°c([0,^),X) + X Xje Dju(t)|Co([G,^),Yj) j=0

где Cg([0, го ), Y j ) = { v E C ([0, го ), Y j ), v(0) = 0 } .

Решение задачи Коши для уравнения (18) с начальным условием u | _t =o = а понимается в обобщенном смысле как решение интегрального уравнения

u(t) =

t

T (t)a + j 0

T (t — s)Ku(s) ds,

а доказательство теоремы получается при исследовании его разрешимости в пространстве Z.

Учитывая оценки (19)–(22), получим для оператора B, определяемого правой частью уравнения (24), неравенства

\W\z 6 c( k a k x + k u km) , (25)

|° Bu i — Bu 2 °_z 6 c || u i — U 2°_z sup k u i k m ^{- 1} . (26) i =1 , 2

Из (25) и (26) вытекает существование чисел 6 >  0 и R >  0 таких, что при ||a k x 6 6 оператор B является сжимающим оператором в шаре B (0, R) пространства Z . Следовательно, уравнение (24) имеет в этом шаре единственное решение u , причем справедлива оценка | u | z 6 2c | a | x . На самом деле имеет место единственность во всем пространстве Z . Поэтому нулевое решение уравнения (18) устойчиво (X, Z ). Тем самым теорема доказана при a > 0.

Если a = 0, то устойчивость (X, Z ) влечет лишь устойчивость по Ляпунову в пространстве X . Для доказательства асимптотической устойчивости устанавливается принадлежность последовательных приближений u ₁ (t) = T (t)a, u n (t) = Bu _{n - 1} (t) пространству C ⁰ ([0, го ), X).

Теорема об устойчивости стационарного решения. Пусть v = w + u^e1 — стационарное решение системы (1). Для исследования его устойчивости применим теорему 4 к уравнению (3), которое представим в форме du

— = Au + Ku, dt где A — возмущенный оператор Озеена, Ku = —П{(и, V)u}. Предположим, что поле v удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда для возмущенной полугруппы Озеена выполняются оценки (13). Будем исследовать устойчивость решения u = 0 уравнения (27) в одном из пространств Sp(Rn), т. е. полагаем X = Sp(Rn). Учитывая, что для а из Sp(Rn) при 1 6 p 6 q < го, выполняется оценка

k:T(t)akp-q 6 С„t-(n/2)(1/p-1/q) kakp, получаем, что

t ^{( n/}2 ^{)(1 /p - 1 /q )} T(t)a e C o ( [0, ro ),S q (R ⁿ ) ) .

Нелинейный член системы Навье — Стокса ввиду соленоидальности поля u допускает представление Ku = —n{(V,u)u}. Поэтому пространства Yj будем выбирать в виде Y1 = Y2 = Sr(Rn) (r > p). Тогда в качестве пространства Y следует выбрать Sr/2(Rn) (r > 2). Из оценок (13) следует, что Yo = 1/2 + n/2(2/r — 1/p), причем должно быть 1/p 6 2/r < 1, и Yi = Y2 = n/2(1/p — 1/r). Тогда из соотношения Yo + 2yi = 1 вытекает, что p = n, и тогда должно быть n < r 6 2n. Выберем в качестве Z пространство всех вектор-функций u : [0, го) ^ Sn(Rn), для которых конечна норма kukZ = ku(t)kC([0,^),X) + ktY1 u(t)kCo([O,^),Yi), где X = Sn(Rn), Yi = Sr(Rn), причем r — любое фиксированное число, принадлежащее (n, 2n]. Учитывая зависимость от r будем использовать обозначение Zr. В качестве следствия теорем 2 и 4 устанавливаем следующий результат.

Теорема 5. Пусть для стационарного решения w + u ^ e i выполняются условия: w, d j w E L^/R n ) , w E L _p (R ⁿ ) при некотором p < n; возмущенный оператор Озеена не имеет в пространстве S n (R n ) собственных векторов, отвечающих собственным значениям из правой полуплоскости ReX >  0. Тогда решение w + u ^ e i асимптотически устойчиво по Ляпунову в пространстве S _n (R ⁿ ) . ( Более точно, устойчиво (X, Z r ).)

Следующие рассуждения уточняют поведение возмущений в случае, когда t → ∞ .

Пусть u(t) — решение интегрального уравнения для возмущений

t

u(t) =

T(t)a + j o

T(t — s)(Ku)(s) ds

с начальным условием a E S _n (R ⁿ ), принадлежащее пространству Z _r с некоторым r E (n, 2n] и w(t) = u(t) — T (t)a. Существование и единственность таких решений при достаточно малой норме k a k _n по существу устанавливается при доказательстве теоремы 5.

Из неравенства ku(t)kp 6 ku(t)k?,ku(t)H-9, где n < p < r, 9 = (1/p — 1/r)/(1/n — 1/r), получаем, что u(t) E Sp(Rn) при p E [n, r] и ku(t)kp 6 cpt-(n/2)(1/n-1/p).

Учитывая это неравенство, устанавливаем, что t kw(t)kq 6 cq j(t — т)-1/2-(n/2)(2/s-1/q)T-n(1/n-1/s) dT 6 cqt-(n/2)(1/n-1/q) o при выполнении условий s E (n, r], 0 6 2/s — 1/q < 1/n.

Отсюда следует, что справедлива следующая

Теорема 6. Пусть для стационарного решения задачи обтекания выполнены условия теоремы 2. Тогда при достаточно малой норме kakn интегральное уравнение (29) имеет единственное решение u(t), которое принадлежит всем пространствам Sq(Rn) при всех q E [n, го) и выполняется неравенство ku(t)kq 6 Cqt-(n/2)(1/n-1/q).

• 4.    Теорема о неустойчивости

Теорема 7. Пусть возмущенный оператор Озеена, для которого w ∈ L _s ⁿ ∩ L ⁿ _∞ , d j w E L ^ , имеет собственный вектор в некотором пространстве S q (R n ) (1 < q <  го ) , отвечающий собственному значению А с положительной вещественной частью Re Л = а > 0. Тогда стационарное решение v = w + u _a e i неустойчиво в любом пространстве S p (R n ) при 1 < p <  го .

C При указанных предположениях собственный вектор φ принадлежит всем пространствам S p (R n ) при p E (1, го ). Будем считать, что Л — собственное значение с максимальной вещественной частью Re Л = a >  0. В этом случае для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки

° T (t)n» p

< _г   р ( a + e )t^ ^{-| a | /} 2 ^- ( n^/ 2)(^{1 /}p ^{- 1 /}q )

6 c pqε e     t

где Е >  0 — любое число, | а | = 0,1, 1 < p 6 q <  го . Рассмотрим сначала случай p > n. Выберем начальное поле в виде u g = Еф, ||ф|| _р = 1. Тогда

T(t)u g = Ефe ^Лt

• и интегральное уравнение для возмущений имеет вид

t u(t) = Ефe ^лt + У T(t — s)(Ku)(s) ds. о

Теорема Банаха о неподвижной точке позволяет при достаточно малом е > 0 установить существование решения u в пространстве C([0, £], Sp(Rn)). Пусть [0,^) (£ = £е,р) — максимальный интервал существования решения u. Тогда либо £ = го, либо sup ku(t)kp = го. t<ξ

Пусть [0, b] — максимальный отрезок, на котором выполняется неравенство ku(t)kp 6 EReat, где R — некоторое число из интервала (1, 2).

Для вектор-функции

t u2(t) = У T(t — s)(Ku)(s) ds о на [0, b] справедлива оценка

t ku2(t)kp 6 У cne(a+n)(t-s)(t — s)-YE2R2e2as ds, о где n > 0, Y = 1/2 + n/(2p) < 1. Осуществляя в интеграле замену t — s = т и выбирая П = а/2, получаем, что t

• k u 2 (t) k p 6 c _a/2 E ² R ² e ^{2 at} У e ^{- a/ 2 T} т ^{- Y} dT 6 се ² R ² e ^{2 at} ,

о где c = ca/2Г(1 — y)(a/2) 1+Y. С учетом установленного неравенства получаем ku(t)kp 6 Eeat (1 + cER2eat).

При достаточно малых ε существует такое b 1 , что

(1 + cER ² e ^{ab 1} ) = R.

Ясно, что b1 6 b. Но тогда ku(bi)kp > Eeab1 - cE2R2e2ab1 = (R  ^  R)

Ввиду произвольности e > 0 полученное неравенство означает неустойчивость в пространстве Sp (Rn). Заметим, что рассматриваемое решение принадлежит всем пространствам Sp(Rn) при 1 < p < го. Действительно, если u Е C([0, b], Sp(Rn)) при некотором p > n, то ввиду неравенства ku2(t)ke 6 cee^R2

j e (3 / ²) a ( t - _S ) (t — s) - 1 / 2 - ( n/ 2)(2 /p — 1 /^e ) e 2 as ds 6 c^R ² eM

для всех 9, удовлетворяющих условиям 0 6 2/p — 1/9 <  1/n. Так как в качестве p можно взять любое p > n, то u(t) Е C ([0,b],S e (R n )) при n/2 <9 6 n. Используя этот результат, аналогичным образом устанавливаем, что u(t) Е C ([0, b], S _p (R ⁿ )) при выполнении условия 0 6 2/9 — 1/p < 1/n, 2/9 < 1, т. е. при 1 < p 6 n/2.

Теперь пусть p Е (1,n]. Положим po = p, p1 = 2p, p2 = 4p, ..., pk = 2k p > n, причем k — первое из целых с условием 2kp > n. Пусть [0, ст] — максимальный отрезок, на котором выполняются неравенства ku(t)kpj 6 ERkФkpjea, j = 0,1,...,k.

Тогда последовательно полагая в неравенстве (31) 9 = pk, p = pk; 9 = pk-i, p = pk; 9 = pk-2, p = pk-i;...; 9 = po, p = pi устанавливаем, что на [0, ст] выполняются оценки ku2(t)kpj 6 cjE2R2e‘2at, j = 0,1,...,k, где константы cj не зависят от e. Следовательно, на [0, ст] имеем ku(t)kpj 6 EkФkpjeat(1 + cER2eat), где c = SUPj(cj/кфкр,).

При достаточно малых e существует такое ст1 6 ст, что 1 + cER2eaa1 = R. Но тогда выполняется неравенство ки(ст1)кр > ЕкФкрб""1 (1 - ceR2 e“") = k*kp(R "У2 - R), которое устанавливает неустойчивость при p Е (1, n]. B