Один быстрый метод приведения квадратичных форм к каноническому виду
Автор: Баранов С.В.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 7-2 (82), 2023 года.
Бесплатный доступ
В данной статье рассмотрен матричный метод нахождения линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду. Проведен анализ дифференциальных уравнений 2-го порядка и их системы. На основании проведенного исследования акцентированы положительные стороны описанного приема для обучающихся информационно-технологического профиля.
Метод, квадратичная форма, канонический вид, матрица, минор
Короткий адрес: https://sciup.org/170200263
IDR: 170200263 | DOI: 10.24412/2500-1000-2023-7-2-74-76
Текст научной статьи Один быстрый метод приведения квадратичных форм к каноническому виду
При решении задач экономического содержания, в частности, при анализе инвестиционных портфелей часто используются квадратичные формы или суммы алгебраических слагаемых второй степени. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (то есть соответствующие им коэффициенты равны нулю). По каноническому виду квадратичных форм классифицируются кривые и поверхности, дифференциальные уравнения 2-го порядка и их системы и другие объекты математики, с помощью которых описываются важные прикладные задачи, что оставляет всегда актуальным вопрос приведения квадратичных форм к каноническому виду.
Целью данной работы является демонстрация применения одного матричного метода, позволяющего найти линейное преобразование координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.
Рассмотрим следующий пример. Пусть дана квадратичная форма (к.ф.):
9 x 2 + 6 y 2
+ 6 z 2 + 12 xy - 10 xz .
Сначала приведем ее к каноническому виду методом Лагранжа (выделения полных квадратов [1]) с условием, что, перед выделением полного квадрата по текущей переменной, перед ней предварительно формируется коэффициент 1:
( 2
9x2 + 6y2 + 6z2 +12xy —10xz = 9 x" + —
I 3
2 + 2
+ - xy + 0 • yz
xz
= 9
= 9 x '2
2 5 1
- y -- z
3 9 J
2 2 2 2 4 10
— y + — z + — xy--xz
2 (
2 ,.2
29 2 10
+--z +--yz
18 3
2 II
z
21 2
z
= 9 x '2 + 2 y '2
7 '2
--z
, (2)
где замена переменных, приводящая к.ф. к каноническому виду (2) имеет вид:
‘ 2 5
Х = х + з у + 9 z . 5
Г = ■ + 3 z z = z
а ее матрица –
г 1 2/3
0 15/3
<00 1>
Рассмотрим матрицу исходной к.ф.:
г 9 6
6 60
<-5 06,
Приведем эту матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса (разновидность текущего минора [2]):
Г 9
6 U
6 - 5 3 f 9
6 0 □ 1
0 6 I - 5
<
6 -53 Г9
1 0 □ 0
I
<
- 5 з |
Г 9 |
6 |
- 5 3 |
f 1 |
2/3 |
- 5/9 3 |
|||
5 |
0 |
3 |
5 |
0 |
1 |
5/3 |
|||
29 I |
1 0 |
0 |
- 63 V |
< 0 |
0 |
1 V |
,(6) |
При последнем преобразовании каждая строка полученной ступенчатой матрицы разделена на ее диагональный элемент. Нетрудно убедиться, что элементы строк последней матрицы являются коэффициентами линейной замены переменных, приведшей к.ф. (1) к каноническому виду и, соответственно, совпадают с матрицей (4).
Таким образом, без применения метода Лагранжа матричным методом найдена линейная замена переменных, приводящая к.ф. к каноническому виду. Отметим, что выражения старых переменных (x,y,z) че- рез новые (x`,y`,z`) можно получить из системы (3) с помощью обратного хода метода Гаусса. После подстановки новых переменных в выражение исходной квадратичной формы, в соответствии с найденным линейным преобразованием старых координат в новые, можно получить канонический вид к.ф., независимо от размерности пространства, в котором она задана. Полученный результат был проверен на нескольких примерах, причем выдвигаемая гипотеза в них была подтверждена.
Так как решение указанной задачи осуществляется с использованием матричного метода, как правило, имеющего алгоритмическую формализацию на компьютере, то полученный результат позволяет аналитику, при необходимости, автоматизировано получить замену переменных, приводящую к.ф. к каноническому виду, а пре- подавателю – облегчить освещение такой важной темы в преподавании высшей математики, как «Приведение квадратичных форм к каноническому виду», особенно для обучающихся информационнотехнологического профиля.
Список литературы Один быстрый метод приведения квадратичных форм к каноническому виду
- Утешев А.Ю. "Квадратичная форма", "Метод Лагранжа привидения квадратичной формы к каноническому виду". - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://vmath.ru/vf5/_export/xhtml/2form#kvadratichnaja_forma (Дата просмотра 12.01.2023).
- Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учебно-методическое пособие / сост. А.В. Медведев; Кемеровский государственный университет. - Кемерово: КемГУ, 2021. - 106 с.