Один быстрый метод приведения квадратичных форм к каноническому виду

При решении задач экономического содержания, в частности, при анализе инвестиционных портфелей часто используются квадратичные формы или суммы алгебраических слагаемых второй степени. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (то есть соответствующие им коэффициенты равны нулю). По каноническому виду квадратичных форм классифицируются кривые и поверхности, дифференциальные уравнения 2-го порядка и их системы и другие объекты математики, с помощью которых описываются важные прикладные задачи, что оставляет всегда актуальным вопрос приведения квадратичных форм к каноническому виду.

Целью данной работы является демонстрация применения одного матричного метода, позволяющего найти линейное преобразование координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

Рассмотрим следующий пример. Пусть дана квадратичная форма (к.ф.):

9 x ² + 6 y ²

+ 6 z ² + 12 xy - 10 xz .

Сначала приведем ее к каноническому виду методом Лагранжа (выделения полных квадратов [1]) с условием, что, перед выделением полного квадрата по текущей переменной, перед ней предварительно формируется коэффициент 1:

(     2

9x2 + 6y2 + 6z2 +12xy —10xz = 9 x" + —

I      3

2 + 2

+ - xy + 0 • yz

xz

= 9

= 9 x '2

2    5   1

- y -- z

3    9 J

2   2   2 2   4     10

— y + — z + — xy--xz

2 (

2   ,.2

29 2   10

+--z +--yz

18     3

2 II

z

21 2

z

= 9 x '2 + 2 y '2

7   '2

--z

, (2)

где замена переменных, приводящая к.ф. к каноническому виду (2) имеет вид:

‘         2      5

^Х = х + з у ₊ 9 ^z .            5

Г = ■ ⁺ 3 ^z z = z

а ее матрица –

г 1  2/3

0   15/3

<00   1>

Рассмотрим матрицу исходной к.ф.:

г 9   6

6  60

<-5  06,

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса (разновидность текущего минора [2]):

Г 9

6 U

6   - 5 3  ^f 9

6   0  □   1

0   6 I - 5

<

6  -53  Г9

1   0  □  0

I

<

- 5 з		Г 9	6	- 5 3		f 1	2/3	- 5/9 3
5		0	3	5		0	1	5/3
29 I		1 0	0	- 63 V		< 0	0	1 V	,(6)

При последнем преобразовании каждая строка полученной ступенчатой матрицы разделена на ее диагональный элемент. Нетрудно убедиться, что элементы строк последней матрицы являются коэффициентами линейной замены переменных, приведшей к.ф. (1) к каноническому виду и, соответственно, совпадают с матрицей (4).

Таким образом, без применения метода Лагранжа матричным методом найдена линейная замена переменных, приводящая к.ф. к каноническому виду. Отметим, что выражения старых переменных (x,y,z) че- рез новые (x`,y`,z`) можно получить из системы (3) с помощью обратного хода метода Гаусса. После подстановки новых переменных в выражение исходной квадратичной формы, в соответствии с найденным линейным преобразованием старых координат в новые, можно получить канонический вид к.ф., независимо от размерности пространства, в котором она задана. Полученный результат был проверен на нескольких примерах, причем выдвигаемая гипотеза в них была подтверждена.

Так как решение указанной задачи осуществляется с использованием матричного метода, как правило, имеющего алгоритмическую формализацию на компьютере, то полученный результат позволяет аналитику, при необходимости, автоматизировано получить замену переменных, приводящую к.ф. к каноническому виду, а пре- подавателю – облегчить освещение такой важной темы в преподавании высшей математики, как «Приведение квадратичных форм к каноническому виду», особенно для обучающихся информационнотехнологического профиля.