Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

Широкий круг задач из теории гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости сводится к решению следующей граничной задачи. Функция Дх,гД должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению эллиптического типа с переменными коэффициентами dx2 ЭД В Эх Эх В dz dz

и следующим начальным и граничным условиям,

dp р = — = 0, при t = 0, z = О, v dt ’     1

dp

dp dz

= о, z=-h

dz )

2=0

= О,

g = const, где хи z пространственные координаты, t — время, ВД, z) и / (г, х, t) — произвольные дифференцируемые функции в промежутках 0 < х < L, -Н < г < 0, t > 0.

В частном случае, при задании функции B^z) в виде экспоненциальной зависимости

ВД, г) = Bq ехр(зж),

коэффициенты уравнения (1) становятся постоянными, а само уравнение принимает следующий вид:

d2p dx2

+ s^- = Дх,гДе sx. dz2 dx

Введем вместо функции Дж,.гД) функцию р^^х, z,t), определяемую следующим образом:

р = pi exp

Метод решения краевой задачи для дифференциального уравнения

2-11

Подставим выражение (7) в соотношениях (2)—(6), получим

д2д d22              ( s \ Я 2 + Я 2     , УЛ = / ехр     Ж ,                         8 ox2    oz2 4           \ 2 / уд =     = 0 при 1 = 0, z = 0,                         (9) 9t 9Vv s           Э^ s - 2V1    "°’       - 2V1     "°'                 |10) дул                   > 9^Л      n ^_Л°' U+9aJ„0 = °'        1111

Применим в выражениях (8)—(11) интегральное преобразование Лапласа относительно переменной t

Ф1 = j дде pt dt.                                  (12) 0

Тогда выражения (8)—(11) в изображениях запишутся следующим образом:

Э2<Р1 Э2ф! S2 ~    ~ Эх2 1 Oz2 4^-А’                      (13) Эфу S~       ex 9M -tt-^1   =0’ Р1-^   =0’           I14) 9x   2   Ж=0        9x   2 x=L 17,    =0. ^m+g —    = 0.           (15) /^z         /^z           i               \ /1 = / exp f --x V

Введем функцию ф, равную

7 9V1   s~                             мех 'Ф=д; --д^х-                             (16) ox 2

Краевая задача (13)-(15) относительно введенной функции запишется так:

Z>eZ                   Z>eZ                                        Z>eZ Э2ф  Э2ф  S2 ~ ЭК s~ s^+<17) Z>eZ                                       Z>eZ Ф = 0, Ф     = 0,                             (18) ж=0          $=L Э'ф                  / 9 ~ Э'ф \                                      . . —    =0, yp^^g^-N =o.              (19) 9zz=-h      V       9A ,=o

Приступим теперь к решению граничной задачи (17)-(19). Разложим правую часть

уравнения (17)

в ряд Фурье относительно переменной х по синусам в интервале (0,L) Q Т           00 8 7 v^ ~ х • П7Г =-^“П^)8ШТЖ’                  (20)

2-12

И. Д. Музаев

где «1, «2, • • • — коэффициенты Фурье разложения (20).

Z>eZ

Далее, представим функцию -ф в виде ряда

ОО                _ ффЕ^р) = У^ фиД,рДт "^х-

Непосредственной проверкой убеждаемся, что граничные условия (18) автоматически удовлетворяются.

Подставив выражения (21) и (20) в (17), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнения для функции -фД^р')

С^п ( 2 , S²A 7    ~   \         ^П7Г         0 19               /991

--l°n + j№=^a>M ^{ап =} Д7' п = 0ДД,....       (22)

Решение этого уравнения с граничными условиями (19) имеет следующий вид:

ZXZ

ФДД

—т— -Т_п sh X_nz—— -Т_п ch X_nz + -—

Р + 7»        Р + 7»           К

I аДО^ А„Д

- €) ^

где

-н

Гп = + .₂ А „ / ЙДДсН ХДН ₊ №, Ч ^ch КН J

о

Хп = V^an + s²/4, 7» = VgKthX_nH.

В выражении (16) функцию ф будем считать заданной, определяемой по выражению (23). Тогда его можно рассмотреть как линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет следующий вид:

ZXZ

Ф(ж, z,p)

е2

J*^4'fc

Таким образом, определено изображение функции относительно преобразования Лапласа. Для нахождения оригинала достаточно использовать таблицы операционного исчисления и теорему о свертке.

Окончательно решение поставленной граничной задачи получается в явном виде.