Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа
Автор: Музаев Илларион Давидович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается задача из теории гравитационных волн, образующихся на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Задача сводится к решению дифференциального уравнения эллиптического типа с граничными условиями. С помощью определенных подстановок и применения преобразования Лапласа решение может быть получено в явном виде.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317978
IDR: 14317978
Текст научной статьи Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа
Широкий круг задач из теории гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости сводится к решению следующей граничной задачи. Функция Дх,гД должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению эллиптического типа с переменными коэффициентами dx2 ЭД В Эх Эх В dz dz
и следующим начальным и граничным условиям,
dp р = — = 0, при t = 0, z = О, v dt ’ 1
dp
dp dz
= о, z=-h
dz )
2=0
= О,
g = const, где хи z пространственные координаты, t — время, ВД, z) и / (г, х, t) — произвольные дифференцируемые функции в промежутках 0 < х < L, -Н < г < 0, t > 0.
В частном случае, при задании функции B^z) в виде экспоненциальной зависимости
ВД, г) = Bq ехр(зж),
коэффициенты уравнения (1) становятся постоянными, а само уравнение принимает следующий вид:
d2p dx2
+ s^- = Дх,гДе sx. dz2 dx
Введем вместо функции Дж,.гД) функцию р^^х, z,t), определяемую следующим образом:
р = pi exp
Метод решения краевой задачи для дифференциального уравнения
2-11
Подставим выражение (7) в соотношениях (2)—(6), получим
д2д
d2 Я 2 + Я 2 , УЛ = / ехр Ж , 8 ox2 oz2 4 \ 2 / уд = = 0 при 1 = 0, z = 0, (9) 9t 9Vv s Э^ s - 2V1 "°’ - 2V1 "°' |10) дул > 9^Л n ^_Л°' U+9aJ„0 = °' 1111 |
Применим в выражениях (8)—(11) интегральное преобразование Лапласа относительно переменной t
Ф1 = j дде pt dt. (12) 0 |
Тогда выражения (8)—(11) в изображениях запишутся следующим образом:
Э2<Р1 Э2ф! S2 ~ ~ Эх2 1 Oz2 4^-А’ (13) Эфу S~ ex 9M -tt-^1 =0’ Р1-^ =0’ I14) 9x 2 Ж=0 9x 2 x=L 17, =0. ^m+g — = 0. (15) /^z /^z i \ /1 = / exp f --x V |
Введем функцию ф, равную
7 9V1 s~ мех 'Ф=д; --д^х- (16) ox 2 |
Краевая задача (13)-(15) относительно введенной функции запишется так:
Z>eZ Z>eZ Z>eZ Э2ф Э2ф S2 ~ ЭК s~ s^+<17) Z>eZ Z>eZ Ф = 0, Ф = 0, (18) ж=0 $=L Э'ф / 9 ~ Э'ф \ . . — =0, yp^^g^-N =o. (19) 9zz=-h V 9A ,=o |
Приступим теперь к решению граничной задачи (17)-(19). Разложим правую часть
уравнения (17) |
в ряд Фурье относительно переменной х по синусам в интервале (0,L) Q Т 00 8 7 v^ ~ х • П7Г =-^“П^)8ШТЖ’ (20) |
2-12
И. Д. Музаев
где «1, «2, • • • — коэффициенты Фурье разложения (20).
Z>eZ
Далее, представим функцию -ф в виде ряда
ОО _ ффЕ^р) = У^ фиД,рДт "^х-
Непосредственной проверкой убеждаемся, что граничные условия (18) автоматически удовлетворяются.
Подставив выражения (21) и (20) в (17), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнения для функции -фД^р')
С^п ( 2 , S2A 7 ~ \ П7Г 0 19 /991
--l°n + j№=a>M ап = Д7' п = 0ДД,.... (22)
Решение этого уравнения с граничными условиями (19) имеет следующий вид:
ZXZ
ФДД
—т— -Тп sh Xnz—— -Тп ch Xnz + -—
Р + 7» Р + 7» К
I аДО^ А„Д
- €) ^
где
-н
Гп = + .2 А „ / ЙДДсН ХДН + №, Ч ch КН J
о
Хп = Van + s2/4, 7» = VgKthXnH.
В выражении (16) функцию ф будем считать заданной, определяемой по выражению (23). Тогда его можно рассмотреть как линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет следующий вид:
ZXZ
Ф(ж, z,p)
е2
J*^4'fc
Таким образом, определено изображение функции относительно преобразования Лапласа. Для нахождения оригинала достаточно использовать таблицы операционного исчисления и теорему о свертке.
Окончательно решение поставленной граничной задачи получается в явном виде.
Список литературы Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа
- Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики.-М., 1970.
- Музаев И. Д. Некоторые новые задачи, связанные с волновым движением воды в водохранилищах//Тезисы докладов второй Всесоюзной конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ и эстуариев".-1984.-Т. 1.-C. 9-11.
- Музаев И. Д. Задачи о волновом движении воды в водохранилищах//Гидрофизические процессы в реках и водохранилищах.-М.: Наука, 1985.-C. 22-26.