Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

Автор: Музаев Илларион Давидович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.1, 1999 года.

Бесплатный доступ

Рассматривается задача из теории гравитационных волн, образующихся на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Задача сводится к решению дифференциального уравнения эллиптического типа с граничными условиями. С помощью определенных подстановок и применения преобразования Лапласа решение может быть получено в явном виде.

Короткий адрес: https://sciup.org/14317978

IDR: 14317978

Текст научной статьи Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

Широкий круг задач из теории гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости сводится к решению следующей граничной задачи. Функция Дх,гД должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению эллиптического типа с переменными коэффициентами dx2 ЭД В Эх Эх В dz dz

и следующим начальным и граничным условиям,

dp р = — = 0, при t = 0, z = О, v dt ’     1

dp

dp dz

= о, z=-h

dz )

2=0

= О,

g = const, где хи z пространственные координаты, t — время, ВД, z) и / (г, х, t) — произвольные дифференцируемые функции в промежутках 0 < х < L, -Н < г < 0, t > 0.

В частном случае, при задании функции B^z) в виде экспоненциальной зависимости

ВД, г) = Bq ехр(зж),

коэффициенты уравнения (1) становятся постоянными, а само уравнение принимает следующий вид:

d2p dx2

+ s^- = Дх,гДе sx. dz2 dx

Введем вместо функции Дж,.гД) функцию р^^х, z,t), определяемую следующим образом:

р = pi exp

Метод решения краевой задачи для дифференциального уравнения

2-11

Подставим выражение (7) в соотношениях (2)—(6), получим

д2д d22              ( s \

Я 2 + Я 2     , УЛ = / ехр     Ж ,                         8

ox2    oz2 4           \ 2 /

уд =     = 0 при 1 = 0, z = 0,                         (9)

9t

9Vv s           Э^ s

- 2V1    "°’       - 2V1     "°'                 |10)

дул                   9      n

^_Л°' U+9aJ„0 = °'        1111

Применим в выражениях (8)—(11) интегральное преобразование Лапласа относительно переменной t

Ф1 = j дде pt dt.                                  (12)

0

Тогда выражения (8)—(11) в изображениях запишутся следующим образом:

Э2<Р1 Э2ф! S2 ~    ~

Эх2 1 Oz2 4^-А’                      (13)

Эфу S~       ex 9M

-tt-^1   =0’ Р1-^   =0’           I14)

9x   2   Ж=0        9x   2 x=L

17,    =0. ^m+g —    = 0.           (15)

/^z         /^z           i               \

/1 = / exp f --x V

Введем функцию ф, равную

7 9V1   s~                             мех

'Ф=д; --д^х-                             (16)

ox 2

Краевая задача (13)-(15) относительно введенной функции запишется так:

Z>eZ                   Z>eZ                                        Z>eZ

Э2ф  Э2ф  S2 ~ ЭК s~

s^+<17)

Z>eZ                                       Z>eZ

Ф = 0, Ф     = 0,                             (18)

ж=0          $=L

Э'ф                  / 9 ~ Э'ф \                                      . .

—    =0, yp^^g^-N =o.              (19)

9zz=-h      V       9A ,=o

Приступим теперь к решению граничной задачи (17)-(19). Разложим правую часть

уравнения (17)

в ряд Фурье относительно переменной х по синусам в интервале (0,L)

Q Т           00

8 7 v^ ~ х • П7Г

=-^“П^)8ШТЖ’                  (20)

2-12

И. Д. Музаев

где «1, «2, • • • — коэффициенты Фурье разложения (20).

Z>eZ

Далее, представим функцию в виде ряда

ОО                _ ффЕ^р) = У^ фиД,рДт "^х-

Непосредственной проверкой убеждаемся, что граничные условия (18) автоматически удовлетворяются.

Подставив выражения (21) и (20) в (17), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнения для функции -фД^р')

С^п ( 2 , S2A 7    ~   \         П7Г         0 19               /991

--l°n + j№=a>M ап = Д7' п = 0ДД,....       (22)

Решение этого уравнения с граничными условиями (19) имеет следующий вид:

ZXZ

ФДД

—т— п sh Xnz—— -Тп ch Xnz + -—

Р + 7»        Р + 7»           К

I аДО^ А„Д

- €) ^

где

Гп = + .2 А „ / ЙДДсН ХДН + №, Ч ch КН J

о

Хп = Van + s2/4, 7» = VgKthXnH.

В выражении (16) функцию ф будем считать заданной, определяемой по выражению (23). Тогда его можно рассмотреть как линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет следующий вид:

ZXZ

Ф(ж, z,p)

е2

J*^4'fc

Таким образом, определено изображение функции относительно преобразования Лапласа. Для нахождения оригинала достаточно использовать таблицы операционного исчисления и теорему о свертке.

Окончательно решение поставленной граничной задачи получается в явном виде.

Список литературы Один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

  • Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики.-М., 1970.
  • Музаев И. Д. Некоторые новые задачи, связанные с волновым движением воды в водохранилищах//Тезисы докладов второй Всесоюзной конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ и эстуариев".-1984.-Т. 1.-C. 9-11.
  • Музаев И. Д. Задачи о волновом движении воды в водохранилищах//Гидрофизические процессы в реках и водохранилищах.-М.: Наука, 1985.-C. 22-26.
Статья научная