Один из подходов решения противоречивых задач «мягкого моделирования» управления медицинским учреждением

Вопросы медицинской проблематики в современных реалиях все больше возникают и привлекают свое внимание как учёных-теоретиков, так и практиков. Годы пандемии новой коронавирусной инфекции выявили проблемы и узкие, наиболее болезненные места системы здравоохранения как в целом, так и на местном уровне. Безусловно, благодаря быстрой реакции со стороны государства и самоотверженному труду медиков нашей стране удалось, правда, не без потерь, но все же достаточно быстро справиться с ситуацией. Однако возникшая ситуация показала необходимость проведения работы над различными конструкциями сферы здравоохранения, такими как быстрая диагностика заболеваний, эффективное распределение врачей и машин скорой помощи по объектам, оценка качества медицинской услуги, оценка результативности деятельности медицинского учреждения.

Все вышеописанные проблемы требуют быстрых решений, которые необходимо принимать осознанно и желательно, используя математические методы как наиболее подходящие и обоснованные.

• 1.    Обзор литературы

• 2.    Материалы и методы

В вопросах медицинской проблематики использование математических методов в данный момент является наиболее актуальным, о чём говорят многочисленные научные статьи на данную тему. Это касается таких аспектов, как диагностика заболеваний, «электронный помощник врача», управление медицинским учреждением. И если к первым двум сами врачи относятся очень настороженно, что и понятно, так как пациенты – индивидуальны и требуют такого же уникального подхода, то вот вопросы управления, а также оценки его эффективности вполне могут быть решены с помощью математического моделирования. Однако чаще всего традиционный подход, как, например, в экономике или промышленности, здесь может не подойти, и предлагается использовать «мягкое моделирование» [1]. Здесь стоит обратить внимание на специфику деятельности, так как в отличие от, например, промышленного предприятия оценка результата автоматизации медицинской организации осуществляется с помощью трех составляющих эффективности – клинической, организационной и экономической [2]. При этом методы, связанные с экономической составляющей, не стоит отделять от первых, а необходимо рассматривать в совокупности [3]. При таком подходе часто задача сводится к плохо формализуемой [4]. Используемые на данный момент методы управления порой не показывают нужный результат и не оправдывают цель [5, 6]. При этом попытки решения поставленной задачи иногда вскрывают новые проблемы данной области. Так, приходится учитывать вероятностную природу проблемы и применять стохастический подход, например, цепи Маркова, которые уже показали свою определенную результативность [7], или системы массового контроля [8]. Имеет свою ценность и результативность такой нередко применяемый метод, как имитационное моделирование [9]. Хорошо описываются с помощью математического моделирования экономические и финансовые инструменты управления [10].

При этом все указанные методы всё ещё не решили проблему целиком, так как направлены на решение только конкретно узконаправленной её части. В связи с этим возникает необходимость разработки новых более качественных и в то же время понятных и простых в реализации методов управления.

Как показал анализ литературы, для решения большей части проблем, связанных с эффективным управлением в медицине, необходимо использование математических методов. При этом нет чёткого описания проблемы, иными словами, постановка задачи является плохо формализуемой. В связи с этим предлагается использовать так называемый подход «мягкого моделирования». В отличие от известных методов, например, статистических или эконометрических (регрессионный анализ), где необходимо чётко отслеживать связь между причиной и следствием, при указанном подходе достаточно попытаться установить связь между несколькими следствиями, которые были порождены одной причиной. Таким образом, для решения медицинских проблем приходится искать некоторые прогрессивные, «мягкие», неформальные шаги. Часто в таких ситуациях модели плохо формализуемые из-за противоречивости условий. Одним из решений противоречивости является использование метода комитетов [11].

«Мягкое моделирование» позволяет знать не обязательно точный механизм явления, а лишь его абстрактную структуру [12]. Так, часть медицинских задач можно свести к моделям с неравенствами.

Пусть х Е X - некоторый план решения. На х накладываются некоторые требования в виде систем:

bj(VjEj);                                                                      (1)

(d j ,x> <  V j (yj Е/).                                                                             (2)

Предположим, что системы несовместны. Тогда строим p -комитет системы (1), лежащий в множестве всех решений системы (2). Число p максимизируется.

При такой постановке мы выбираем один из рациональных путей частичного удовлетворения всех потребностей. План (комитетный) К = {х_т, ^,х_ч} можно использовать, либо принимая решения х_г, ™,x_q в циклически повторяющейся последовательности, либо как случайный вектор х ; Е К с вероятностью 1/q.

Итак, пусть M – множество векторов, допустимых по расходу ресурсов, по технико-экономическим и другим показателям. Требуется найти max{p: К - p-комитет системы (2), К с М}.

Для решения поставленной задачи находим максимальные совместные подсистемы (μ-под-системы) системы

(с у , х) >  b j (yj е 1, m), х е М.                                                              (3)

Здесь включено ограничение х е М. Пусть индексы подсистем из (1), включаемых в эти максимально совместные подсистемы, суть I₁, ..., I_q, x_s - решение подсистемы (c j , х) >  b j (yj е I_s), х е М.

Затем решаем задачу:

max { p: К - p-комитет системы (1); К состоит из точек х ^ , ..,X q (каждая, возможно, в нескольких экземплярах)}.

Эта задача имеет вид задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим вопрос о нахождении ц-подсистемы (3), включающей ограничение х е М. Это можно сделать с помощью метода свертывания. Найдя полную свертку системы (3), получим индексы v -подсистем: /_т, ... ,/_s. Затем отыскиваем максимальные

• 5:    Sc]_k (к = 1 s) S^J, где ] - индекс системы неравенств x е M .

• 3.    Классификация противоречий и пути решения по их устранениюна основе комитетных методов

Приведем еще один пример комитетного решения задачи, являющейся абсолютизацией некоторой действительной ситуации.

Пусть имеется система уравнений

fj(x') = bj (Уjе1,m).                                                                   (4)

Действительные ограничения должны быть неравенствами, но мы не знаем, какими именно (некоторые ≤ , некоторые ≥ ).

Тогда комитет K системы (4) – хорошее приближение для действительной системы, так как любое ограничение действительной системы на нем выполнится с вероятностью, большей 1/2.

Комитетные решения могут также использоваться в некоторых ситуациях, связанных с принципом неопределенности.

Как уже было показано ранее, система часто противоречива. Для того чтобы обойти этот момент, предлагается использовать комитет, однако следует подробно проклассифицировать все виды противоречий, чтобы сделать выводы о существовании комитета.

Противоречие 1-го рода: несовместное неравенство, например, 0 > 0. В этом случае (т. е. в системе линейных неравенств имеются противоречия 1-го рода) ни при каком p > 0 p -комитет не существует.

Противоречие 2-го рода: существует пара неравенств, составляющая несовместную подсистему. Если нет противоречий 1-го рода, но есть противоречия 2-го рода, то существует слабый комитет. Если нет противоречий ни 1-го, ни 2-го рода, то существует комитет с числом членов, не большим m (m - число неравенств).

Противоречие k -го рода: существует k неравенств, составляющих несовместную подсистему.

Если система состоит из m неравенств и нет противоречий ( m – 1)-го рода, то существует комитет из трех членов.

Если нет противоречий m -го рода, то существует комитет из одного члена (решение).

Возникает вопрос: что можно сказать о числе членов минимального комитета, если нет противоречий к -го рода, но есть противоречия ( к + 1)-го рода (1 < к < m — 1)?

Ответ зависит также от размерности n , так как, по теореме Хелли, если нет противоречий (и + 1)-го рода, то существует решение.

Некоторая информация по этому вопросу для произвольной системы соотношений содержится в следующей теореме.

Теорема [13]. Если в произвольной системе из m соотношений относительно x нет противоречий к -го рода, то при к/m > p существует -комитет этой системы.

Конечные системы выпуклых неравенств сводятся разными способами к бесконечным системам линейных неравенств в совокупности всех µ - и ν -подсистем для таких бесконечных систем. Точнее, необходимо исследовать цепочку аппроксимаций: система выпуклых неравенств аппроксимируется бесконечной системой, эта система – счетной системой линейных неравенств, а последняя – конечной системой. Необходимо исследовать соотношение между ν - и µ -подсистемами, комитетами и минимальными комитетами этих систем.

Задача распознавания образов непосредственно связана с бесконечными системами линейных неравенств: в непрерывном случае обучающие выборки потенциально бесконечны, а сами образы представляют собой бесконечные множества [14].

Для нахождения ν -подсистем можно использовать метод свертывания [15]. Этот метод предложен и использован С.Н. Черниковым для случая произвольных (не обязательно совместных) конечных систем линейных неравенств и для случая совместных полиэдрально замкнутых бесконечных систем линейных неравенств.

Ограничения, входящие в модель планирования (проектирования, управления), имеют приоритеты, различную степень эластичности; в частности, в системе ограничений можно выделить директивные и факультативные. В связи с этим необходимо находить ν -подсистемы методом свертывания для некоторой области значений параметра t для системы

<С а ,х)^{- в}_а< Y_a ^{t (V a} ЕА), где у_а - коэффициент эластичности.

Кроме метода свертывания, как правило, связанного с использованием большого объема памяти, необходимо иметь и более простые алгоритмически и программно-реализованные методы.

Исследование множеств μ-подсистем для различных классов задач и изучение возможности построения достаточно эффективных комитетных конструкций из решений таких подсистем может пролить некоторый свет на природу соответствующих реальных задач.

Принципиальная схема метода анализа μ-подсистем системы выпуклых неравенств может иметь следующий вид.

• 1.    Системе выпуклых неравенств

• 2.    Система (6) аппроксимируется некоторой конечной системой линейных неравенств

• 3.    Находим все ν - и μ-подсистемы системы (5), по ним – все ν - и μ-подсистемы (7) и по последним – все ν - и μ-подсистемы системы (6).

fj(x) <0 (VJЕ1,m)(5)

соответствует бесконечная система линейных неравенств

Это может быть сделано многими способами.

Рассмотрим подробнее первый этап этой схемы.

Пусть функции f j выпуклые, дифференцируемые. Системе (5) поставим в соответствие систему

(Vf j (p), х - р) + f j (p) < 0 (Vp Е R¹¹, Vj Е 1, m).                                            (8)

Каждому неравенству системы (8) отнесем его индекс (р, j). Таким образом, получаем решение, которое помогает формализовать условия задачи с медицинской проблематикой.

Выводы

Предложенный авторами подход «мягкого моделирования» имеет свою действенность при решении задач управления медицинскими учреждениями, так как является достаточно простым, легко реализуемым и понятным для менеджера управляющего звена. При этом реализуется он при помощи известных математических методов, таких как система неравенств, которая в общем случае является несовместной из-за противоречивости требований (ограничений). Здесь как раз и предлагается использовать p -комитет, и задача сводится к уже известным теоремам, которые и обосновывают качественный подход авторов с теоретической точки зрения.