Один из случаев решения задачи Маркушевича в замкнутой форме

В предложенной работе получил дальнейшее развитие метод нахождения решения задачи Маркушевича в явном виде, разработанный в статье [1]. Этот метод отличается от рассмотренного в статьях [2-4], что обусловлено различными постановками задачи.

Рассмотрим трехэлементную задачу Маркушевича

¥+ ( t ) = a ( t > - ⁽ t ) + b ( t X ⁽ t ) + f ( t ) (1) на единичной окружности L . Здесь a ( t ), b ( t ), f ( t ) e H ( L ) - гельдеровские функции, a ( t ) Ф 0, t e L . Пусть к = IndLa ( t ), a ( t )= a ₊ ( t ) t^кa - ( t ) - факторизация коэффициента a ( t ) по формулам Га-хова. Перепишем краевое условие (1) в виде

Ф+ ( t ) = Гф- ( t ) + b ( t Щ1) + f 0 ( t ), (2)

где ф± ( t ) = ^, b i( t ) = b ( t ) a ^, f _}( t ) = ft ) .

a ± ( t )                 a ₊ ( t )             a ₊ ( t )

Наложим следующие ограничения на коэффициент b 1 ( t ) задачи (2):

• а)    b 1( t ) +1 ^ 0, t e L ;

• 6)    b 1 ( t ) +1 является краевым значением аналитической и отличной от нуля всюду в области D- функции, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок к 1.

Тогда краевое условие (2) можно записать следующим образом:

Ф+ ( t ) =        Ф- ( t )+ ттфтм ^ке Ф + ( t ) + f 1( t ),                       ⁽³⁾

b1 ( t ) +1           b 1( t ) +1

где f ( t ) =       f ⁽ t >       .

^1X’ a + ( t )( b 1( t ) +1)

Рассмотрим соотношение (3) как неоднородную задачу Римана, считая Кс ф ₊ ( t ) известной.

tκ

Пусть Ко = IndL        = к - К1, К1 = IndL ( b ( t ) +1).

^b 1⁽ t )⁺¹

Если к ₀ > 0, то общее решение задачи (3) будет иметь вид [5] ^{ф (} z ) = Х⁽z ^)[ F ⁽ z )^{+ Р}к₀ -1⁽ z ^)].

, z .            1

Здесь F ( z ) = 2 ni

L L

2 b1(T )Кс ф ₊ ( т ) ( Ь 1 ( т ) +1)

+ f(т )

dτ т - z ’

Р_к0 _1( z ) - произвольный многочлен степени не

выше к ₀ -1,

• 1,    z е D +,

  Х ^{( z} ) = 1 6 1 ( z ) +1

  
  

  K z

  
  

  , z е D -

  
  

  - каноническая функция.

Если к ₀< 0, то условия разрешимости задачи Римана запишутся следующим образом:

^{2 6} i⁽ t ^{)Re ф} ₊ ⁽T ) - - I

L L   ( 6i ( t )+1)

dT - 1 f (т)т^{к 1} dT = 0, k = 1,—, - k ₀. L

Сравним на контуре L краевое значение функции ф ₊ ( z ), аналитической в области D ₊, решения задачи Римана (3), с краевым значением ф ₊ ( z ), которое является решением задачи Шварца для этой области. Приходим к вырожденному сингулярному интегральному уравнению

2Re ^ ( t ) относительно неизвестной функции-----⁺-- f ( t ):

6 1( t ) +1 ⁷¹⁷⁷

1 2Re ф ₊ ( t ) 2 L ( 6 1 ( t ) +1)

^- f i ⁽ t ) ⁺        ■

2 п L _

2Re ф ₊ (т ) ( 61(т ) +1)

^^^^^^^B

№) - dT = d + р^ - 1 ( t ).

T -t

1   Re ф ₊ ( т )

Здесь d =        +^-^ 7 - c ₀, где c ₀ - произвольная мнимая постоянная.

2 П L   т

d где

где

ПИ I

L L

2Re ф ₊ (т ) 61(т ) +1

rdx dT , ,

^- Ш ) — = ^{d +} a 0 , т

a ₀ = P_K0 -1(0) — произвольная постоянная. Если к ₀< 0, то a ₀ = 0.

Решение сингулярного интегрального уравнения (6) запишется в виде [6]

2Re ф ₊( t )                             —. .

——   ^- f । ⁽ t ) = d + ^рк ₀ - 1 ⁽ t )^- Ф1 ⁽ t ),

⁶ 1 ⁽ t )⁺¹

Ф1 ( t ) - произвольная аналитическая в области D - функция, исчезающая на бесконечности.

Тогда

Re ф+ ( t ) =¹ ( 6 1 ( t ) +1)[ d + P k - 1 ( t ) - Ф1 ( t )] + - f ( t )-2                   ⁰                 2 a ₊ ( t )

как f 1 ⁽ t ) =

f(t >   -. Учитывая, что правая часть соотношения (7) - функция действи- a + (t)(61(t) +1)                        r

тельнозначная, приходим к неоднородной задаче Гильберта

Re[- z ( 6 1 ( t ) + 1) ^ f ( t )] = Im J ( 6 1 ( t ) +1)[ d + P k - 1 ( t )] + f ^ t ) [, [                     ⁰           a +⁽ t )

в классе функций, исчезающих на бесконечности.

Общее решение задачи (8) задается формулой [7]

^- i^ i ^{( z} ) =

6 1 ( z ) +1L

Fo(z ) + F ( z ) + Q_K.₁-i(z ) + Q_K1 - i ( z ) .

_ z x 1

Здесь F o⁽ z ) = —f 2 n?L

c (т )( т + z ) (т - z ) т

dT , F 1 ( z ) =—— flm <  ^{f (} t ) >  ^{T +} z dT, Q_K _ 1 ( z ) - произвольный 2 nz'L    [ a ₊ ( t ) ( t - z ) t         ¹

многочлен степени к 1 -1, c ( t ) = Im{( 6 1 ( t ) +1)[ d + P_K0 - 1 ( t )]}. Если K 1 < 0 , то полагаем Q_K1 - 1 ( z ) = 0 . Тогда функция

^{2п ( 6} 1 ⁽ z )⁺1) l L

c(t)(t + z)            I f (t) I T + z , dT + Im ^     ^-------dT

( t - z ) t       L    [ a ₊ ( t ) ( t - z ) t

будет исчезающим на бесконечности решением задачи (8) тогда и только тогда, когда выполня ются условия разрешимости г c(т)                         [ f (t) 1 dT   , „

dT = a , a =- Im            , k = 0, •-, -K •

LT^{k +1 k} ’ k {    [ a ₊ ( t ) \т^{к +1},        ’ ’ ¹

На основании формул (7), (9) мы можем теперь выписать в явном виде выражение для Re ф ₊ ( t ), а также общее решение ф(z ) задачи Римана (3). Тогда общее решение неоднородной задачи Маркушевича для единичной окружности определится формулой

^ ( z ) = <

a +^{( z} )

1 f g(т )

2ni LT - z

^dT + G ^{( z} ) + PK ₀- 1 ^{( z} ) , ^z e D +,

a -⁽ z ⁾⁽ b 1 ⁽ z ) + 1)

zκ

П 1

— dT + G ( z ) + P k — 1 ( z )

T - z              ⁰

, z e D -.

Здесь      g ( t ) = b 1 ( t ) [ d + P k — 1 ( t )] - -b^ [ F_o ( t ) + Q^ - 1 ( t ) + Q^ - 1 ( t )],      G ( z ) =     J— dT ,

L 0 J b1(t) +1L             1           1 J                 2nzJ t-z g1( t) =

^b 1 ⁽ t ) b 1 ( t ) +1

f ( t ) a +⁽ t )

- iF f( t )

Если f ( t ) = 0, то мы имеем однородную задачу Маркушевича. В этом случае G ( z ) = 0.

В итоге были получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть коэффициенты однородной задачи Маркушевича (1) (f (t)=0) a(t), b(t) e H(L), a(t) * 0, t e L, к=IndLa(t), а также функция b1(t) +1 является а-аевым значением на контуре L, аналитической и отличной от нуля всюду в облаemu D-и L, за есключе-,                            ,                                                          , в                                                                                       - док кх, к0 = к - кх.

Тогда однородная задача (1) ( f ( t )=0) в классе кусочно-аналитических функций, исчезающих

,

• 1)    при к_х >  0, к 0 > 0 имеет общ ее решение, определяемое формулой (12) ( G ( z ) = 0) , ооторое линейно зависит от 2 к 0 + 2 к _х = 2 к произвольных вещеетвенных ;остоянных;

• 2)    при к_х >  0, к 0 < 0 общее решение задается формулой (12) ( G ( z ) = 0) , ( P_K 0 _-х( z ) = 0) , ооторое содержит 2 к 1 - r1 произвольных вещеетвенных постоянных, r 1 - -анг матрицы коэффициентов однородной системы (5) (если r 1 = 2к:_х, то задача имеет только тривиальноерешение);

• 3)    при к_х < 0, к 0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (12) ( G ( z ) = 0, Q^.1 _-1( z ) = 0), которое содержит 2к 0 - r произвольных вещеетвенных постоянных, r - ранг матрицы коэффициентов однородной системы (11) (если r = 2 к 0 , то задача, отличного от ,                              );

• 4)    при к_х < 0, к 0 < 0, если функция b1 ( t ) +1 удовлетворяет условиям (11) ( f ( t ) = 0) и условиям (5) ( f ( t ) = 0), имеет одномерное пространство решений, определяемое формулой (12) ( G ( z ) = 0, Q_fC1-1 ( z ) = 0, P_K 0_-х ( z ) = 0); в противном случае имеет только тривиальное решение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты неоднородной задачи Маркушевича a(t), b(t) e H(L), функция f (t) e H(L), a (t) * 0, t e L, а также функция b1 (t) +1 является краевым значением на L         ,                                           в         D- ∪ L,- о                                     , в.

в                      -                                 ,о

:

• 1)    при к_х >  0, к 0 > 0 имеет общ ее решение, определяемое формулой (12), которое линейно зависит от 2 к произвольных вещеетвенных ;остоянных;

• 2)    при к1 > 0, к ₀< 0 общее решение задается формулой (12) ( Р_к0 - 1 ( z ) = 0) , если -ыполняют-ся - к ₀ - r1 условий разрешимости, выписанных явно (r 1 - ранг матрицы коэффициентов с-сте-мы (5)),которое с одержит 2 к 1 - 2 r 1 произвольных вещественных постоянных (если r 1 = к 1 , ее);

• 3)    при к 1 < 0, к ₀ > 0 имеет общ ее решение, определяемое формулой (12) (Q_K1-1( z ) = 0 ), если выполняются - к 1 +1 - r условий разрешимости, выписанных явно (г - ранг матрицы коэффициентов системы (11)), которое линейно зависит от 2 к ₀ - 2 r произвольных вещественных постоянных (при r = к ₀ решение будемi единственным);

• 4)    при к 1 < 0, к ₀< 0 имеет единспгенное решение, определяемое формулой (12) (Q_K1 - 1 ( z ) = 0, Р_к0 - 1 ( z ) = 0 ), тогда и только тогда, когда выполняются - к 1 +1 условий разрешимости (11) - -к₀ условий разрешимости (5).

L :

¥+ ( t ) = (2 t +1)² ¥ - ( t ) + (3 t +1) ¥ ₊ ( t ), t e L .

-,.

(2 t +1)²   ,_x 2(3 t + 1)_n ,_x

¥+ ⁽ t ) = _{3 t +} 2 ^¥— ⁽ t )⁺ 3 t ₊ 2 Re ^¥+ ⁽ t ).

(2t +1)2 . _.

В нашем случае к = IndL (2 t +1)² = 2, к1 = IndL (3 t + 2) = 1, к₀ = IndL —-— = 1. Очевидно, функ-

(21 +1)2                                       ,                          гж - в области D-.

ция ——— является краевым значением функции на контуре L , мероморфнои

,                                                            ,

, _х 3t +1_П     . _х 1 г(3 т + 1)Re ¥ ( t ) dT

• ¥+    (t) =     W+ (t)+              ++

3 t + 2            niL (3 t + 2)( t - 1 )

где a - произвольное комплексное число.

,

, х „ ,х 1 rRe¥(t)dT ¥+(t) = Re¥+(t)+         +------ ni L    T

^^^^^^^в

^^^^^^^в

1 Re ¥ ₊ ( t ) dT

t      2ni L     T

^{+ c} 0 ,

c0 –                                          .                                    (15), (16)                        - денному сингулярному интегральному уравнению

Re ¥ ₊ ( t )   1   Re ¥ ₊ ( t ) dT

3t + 2 ⁺ П J (3 t + 2)( t - 1 )

1                  1

= 2 d , d = — а + c 0 +---

2          2ni L

Re ¥ ₊ ( t ) dT

T

.

Re ¥ + ( t ) = (3 t + 2)( d - ф ( t )),

где ф ( z ) - произвольная аналитическая в области D_ функция, исчезающая на бесконечности. (18) –                                     ,

:

Im [ (3 t + 2)Т^- ( t )] = 0,

где Т ( t ) = d - ф ( t ) - краевое значение функции, аналитической в области D- , Т (~) = d . За-(19)        :

3     ------

(3t + 2)Т-(t) - (t + 2)Т-(t) = 0, или

Функция

^ + ( t ) =

(3 t + 2) t 3 + 2 t

T 1 ( t ), T 1 ( z ) = ^

T ( z *), | z < 1, T^- ( z ), | z | > 1.

z

Xi(^z ) =‘

3 + 2 z

1 3 z + 2

I z <  1,

I zI> 1,

очевидно, удовлетворяет условию симметрии %1 ( z *) = %1 ( z ) и является канонической симмет-

• (20 ).                      ,         :

^T - ^{( z} ) = Т-^ДТ ^(2a0 ^{+ a} 1 ^{( z + z 1} ) ^{+ a}2i ^{( z} - ^{z 1} )) ,

3 z + 2

где a ₀, a ₁, a ₂ е R .

Re у₊ ( t ) = 2 а ₀ + а 1 ( t + t ^{- 1} ) + а ₂ i ( t -t ^{- 1} ).

a + ia     a + ia  1 /          ,

Заметим здесь, что, так как T ( ^ ) = ——-—2 , то ——-—2 = —( a + c 0 + 2 а ₀), где

_ 1    (2 а ₀ + а1(т + т 1 ) + a ₂ i (т - т 1 )) dT

1 Re ^ ₊ ( т ) dт

2ni L     т

^2ao = д : I

2п1^                 т

2a₀ + 2( a 1 + ia₂ ) z - c 0 , | z <  1,

^ ⁽ z ) = <

3 z + 2 ( 4 a ₀   11( a 1 + ia ₂)

(2 z + 1) ² ( 3 z + 2     3 z + 2

a 1 - ia₂  2( a 1 + ia ₂)

+     ;       c о z3

-

2 a ₀

I z\> 1.

где a ₀, a ₁, a ₂, ic 0 е R .