Один из случаев трехэлементной краевой задачи линейного сопряжения на прямой

Рассмотрим трехэлементную задачу линейного со пряж ения

¥ + ⁽ t ) = a ⁽ t ) ¥ - ⁽ t ) ^{+ b (} t ) ¥ - ⁽ t ) ⁺ f ⁽ t )

на вещественной прямой Г :Im z = 0. Здесь a ( t ), b ( t ), J ( t ) е H ( Г ) - гельдеровские функции, a ( t ) ^ 0, t еГ , бесконечно удаленная точка включается в Г .

Требуется найти функции ¥₊ ( z ), ¥ - ( z ), аналитические соответственно в верхней полуплоскости S ₊ и нижней полуплоскости S - , непрерывно продолжимые на прямую Г , если граничные значения этих функций связаны линейным соотношением (1). Решение будем искать в классе функций, исчезающих в точке z = - i .

Пусть к = М_Г a ( t ) = ^2^^[ln a ( t )]| ⁺ , где под [in a ( t )]| ⁺ следует понимать приращение in a ( t ), когда точка t пробегает прямую Г от t = -^ до t = +^ .

Для того, чтобы привести рассматриваемую задачу к граничной задаче для единичной окружности, рассмотренной в статье [1], применим следующее дробно-линейное преобразование:

. f - i .z - i z — — i -----, f — — i ----.

f + i z + i

При этом преобразовании прямая Г плоскости z переходит в единичную окружность L : | Т = 1 плоскости f .

Дробно-линейное преобразование (2) конформно преобразует область S ₊ во внутренность единичного круга D ₊ , а область S - - во внешность D_ _ ; при этом точке z = ^ соответствует точка f = - i , а точке f = ^ - точка z = - i .

Для упрощения записи мы, следуя [5], будем обозначать функцию

¥ ( z ) = ¥

- i^-i I ^{c +} i

просто через ¥ ( f ); аналогичное обозначение используется в дальнейшем для a ( t ), b ( t ), f ( t ) и других функций.

Тогда граничное условие (1) запишется в виде:

¥₊ ( т ) = a( т ) ¥ - ( t ) + b( т )¥- ( t ) + f ( т ), т е L .

Математика

Наложим следующее дополнительное ограничение на коэффициент b ( t ) краевой задачи (1): функция b ( t ) есть граничное значение функции, мероморфной в верхней полуплоскости S + . Очевидно, что в этом случае функция b( т ) краевой задачи (3) будет являться краевым значением функции, мероморфной в круге D + .

Воспользуемся теперь результатами статьи [1]. В этой работе трехэлементная краевая задача линейного сопряжения для единичной окружности на основании аналитического продолжения по симметрии ф (5) =

• ^{5 ф ( 5} ), ^ ^е D + , где      ф ± ( т ) = v ± ( т ) a ± ¹( т ), a( т ) = a + ( т ) т^к a - ( т ),

5Ф(5 ^, 5е D-, a± (5) = exp B± (5), B(5) =

2 n i L

1п[т-Ka(т)]dт _______ п _

------------, сводится к матричной задаче Римана: τ - ς

Ф₊ ( т ) = G( т ) Ф - ( т ) + F( т ), т е L .

Здесь

Ф(5) = ( Ф(5) 1 [ф^ (5) J

,

ф ^{5 ),} 5 ^е D + ,        К

ф(5) = - , х , G(т) = т

ф(5),5e D_,

b₁ ( т ) = b ( т ) a - ( т ) a - ¹ ( т ), F ( т ) =

' f i ( т ) -т^к Ь 1 ( т ) f i ( т )

v    -тк-1 лГо

1 - | Ь 1 ( т )     т Ь 1 ( т )

к - т Ь 1 ( т )       1

к

’ J

, f ( т ) = f ( т ) a . 'u ). J

Решение задачи (4) ищется в классе симметричных, исчезающих на бесконечности вектор функций. При факторизации матрицы G( т ) используется метод существенных многочленов [2-4].

В итоге строится каноническая матрица

г

Х(5) =

к.

Z 11 C 5 )   X i2 ⁽ 5 ) ]

Х 21 5 )   X 22 ( S ) J ’

X ii ⁽ 5 ) =

X i2 ⁽ 5 ) =

. ^[ v ⁽ 5 ) ^- и ⁽ 5 ^{) в} + ⁽ 5 ^)] R i ⁽ 5 ) + 5 q⁽ 5 ) ^b i ⁽ 5 ^{)[ а} + 5 ) R i ⁽ 5 ) ⁺ К ^{( Z )]}, 5е D + , 5 ^{- K} q ^{- 1}( 5 ) R i ( 5 ), 5 е D - ,

^{- [} v⁽ 5 ) ^- и 5 ^{) в} + ⁽ 5 ^)] R 2 ⁽ 5 ) ^- 5 q ⁽ 5 ) ^b i ⁽ 5 ^{)[ а} + ⁽ 5 ) R 2 ⁽ 5 ) ^{+ в ( Z )]}, 5 е D ₊ , 5^-K q ^'5 ) R 2 ( 5 ), f e D - ,

Х215) = -

q ( 5 )[ а + ( 5 ) R 1 ( 5 ) + в 1 ⁺ ( Z )] - и ( 5 ) R 1 ( 5 ), 5 e D + ,

_ 5" ^K q "*( 5 ) R i ( 5 ) e ₊ ( 5 -¹) - 5 "^Kq ( 5 )[ а - ( 5 ) R i ( 5 ) - в Г ( Z )], 5 e D - ,

Хи5 = -

^- q ⁽ 5 ^{)[ а} + ⁽ 5 ) ^R 2 ⁽ 5 ) ^{+ в ( Z )] +} и ⁽ 5 ) ^R 2 ⁽ 5 )> 5e D + , -5"^K q '( < ) R 2 ( 5 ) в + ( 5 Z - 5"^K q ( 5 )[ а - ( 5 ) R 2 ( 5 ) - в ( Z )], 5e D - .

Здесь в ₊ ( 5 ), P ( 5 ), q ( 5 ) определяются из равенства 5 b ₁( 5 ) = p ^{( 5 )} + в ₊ ( 5 ); функции и ( 5 ), v ( 5 ) q ( 5 )

являются решением уравнения Безу p ( 5 ) и ( 5 ) + q ( 5 ) v ( 5 ) = 1; R ₁( 5 ), R₂( 5 ) - существенные многочлены последовательности a _{2 N - 1}, ^ , а ₁:

2 N - 1

P2 N-1 (т) Rj (т) = ^ «j (т) + т 2 Ne+ (т)» j = 1, 2, P2 N-1 (т) = Е а2 N - к1 , к=1

где ц ₁, ^ ₂ = 2 N - r - индексы последовательности, а - ( т ) - многочлены от т ^{- 1}, в^ ( т ) - много-

члены от т степени не выше

^ j - 1, N - число полюсов функции 5 b ( 5 ) в области D ₊ ,

r = rankT N , T k = | ^а 2 N - i + J I , = к ,.

7=0,

1,•

,2 N - 1 ., к - 1

,

(

ак = к

_

к

1г..

---f т а ( т ) d т , 1 <  к <  2 N - 1, 2 n i 1

последовательность

------------/ -----------\ -1

теплицевых матриц; а ( 5 ) = а + ( 5 ) + а - ( 5 ) = и ( 5 ) q "*( 5 ) - p ( 5 ^-1) ( ( q ( 5 ^-1) ) q "²( 5 ).

При нахождении решения неоднородной задачи используются кусочно-аналитические функции

1 r 5 (t)dT

O j ( ? ) = — J ^ ^, J = 1,2, 2 n i L T - ?

где ом ) = —[ x + ^{( T} ) f^{( T} ) ^{- T} ' ^{- 1} q - ^{( T} ) R 2 ^{( T} ) f . ^{( T} ) ] ^{, 5} 2 ^{( T} ) =^- —[ x + ^{( T} ) f^{( T} ) ^{- T} ' ^{- 1} q ^{( T} ) R 1 ^{( T} ) f^{( T} ) ] . ^ 0                                          ^ 0

z - i

Вернемся теперь к переменной z по формуле ? = -i---. Результаты статьи [1] позволяют z+i сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1. Если κ ≤ r - N , то однородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости допускает в классе исчезающих в точке z = - i кусочно-аналитических функций только нулевое решение.

Если r - N <  κ ≤ N - r , то размерность над R пространства решений однородной задачи равна к + N - r. Любое решение у (z ) этой задачи имеет вид

V ( z ) = а 1 ( z ) Ф ( z ),

I a + ^{( z} X ^{z G} S _+: а д z ) = л

[a_ ( z ), z g S_ ,

, г ч ч a 1 +L z + i ^ln a ₀ ( t ) dt a ± ^{( z} ) = exp B ± ^{( z} ), B ^{( z} ) = — I ---;--

,                                   2 n i ^J t + i t

-

-∞

- z

k

( t+i I

■, а0(t) = I------I a(t), V t - i)

( z - i I

Ф ( z ) = П 1 ( z ) X 11 ( z ) + ---- ; П 1 ( z ) X 21 ( z ),

V z + i )

.        . .                                                                          (z - i |                                         , где n1(z) - произвольный полином относительно --- с комплексными коэффициентами

V z + i)

степени не выше к + N - r -1, а х11(z), х21(z) - элементы канонической матрицы х(z), опреде- z-i ляемой формулой (5), в которой ς= -i    .

z + i

При к >  N - r пространство решений однородной задачи имеет размерность 2 к , и любое решение может быть представлено в виде

V ( z ) = а 1 ( z ) Ф ( z ),

( z - i I              ( z - i I

Ф ⁽ z ) = П 1 ⁽ z ) X 11 ⁽ z ) ⁺ П 2 ⁽ z ) X 12 ⁽ z ) ⁺ I----; | П 1 ⁽ z ) X 21 ⁽z ) ⁺ I----; | П 2 ⁽ z ) X 22 ⁽ z ).

Vz+i)               Vz+i)

(z - i|

Здесь n 1 ( z ), n ₂( z ) - произвольные полиномы относительно I---I с комплексными коэф- V z + i )

фициентами степени не выше к + N - r - 1, к - N + r - 1 соответственно.

Теорема 2. Неоднородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости имеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда к = 0, r = N . Это решение находится по формуле

^ 0 ^{( z} ) = ^а 1 ^{( z} ) Ф 0 ^{( z} ),

Ф 0 ^{( z} ) = ¹ X 11 ^{( z ) O} 1 ^{( z} ) ⁺ X 12 ^{( z ) O} 2 ^{( z} ) ^{+ (} —" I X 21 ^{( z ) O} 1 ^{( z} ) ^{+ (} — I X^ ^{( z} ) ^ 2 ^{( z} ) , 2                                 v z + i )                v z + i )

z + i I 5 j ( t ) dt .

— I —---, J = 1,2.

j      2ni J I t + i) t - z

-∞

Задача имеет не более одного решения при к< r - N. При к< 0 решение существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие 2| к] условия разрешимости:

7 ( t - i I j " * <  t ) dt = 0 . =

-L V t + i ^J ( t + i )^{2      ,J} ’ ’

j j 5 ^=^0, J = ^1, ₂ ^, ^^,_l k - N + r . ( t + i )

Единственное решение в данном случае строится по формуле (6).

Математика

Задача разрешима при любой правой части только при κ ≥ N - r . Общее решение в этом случае имеет вид

¥ ^(z ) = ^ ^{( z} ) + a ⁽ z ) n ^{( z}) x i^{( z} ) + n ^{( z} ) x ₂ ^{( z} ) +1 z— i I П *^{( z} ) X 21^{( z} ) +1 z— i I ⁿ 2^{: ( z} ) x ₂2^{( z} ) ,

V z +1)              V z +1)

где ψ ₀( z ) определяется формулой (6), а π ₁( z ), π ₂( z ) - произвольные полиномы относительно

(z - i 1

с комплексными коэффициентами степени не выше κ + N - r - 1, κ - N + r - 1 соответ-

V z + i)

ственно.

Наконец, при r - N <  κ < N - r формула

-

V (z ) = ^ ° ( z ) + « i ( z ) n i ( z) х_И (z ) + I —i | П ( z) X 2 i (z ) ,

z + i

( z - i 1

где n ₁(z ) - произвольный полином относительно I| с комплексными коэффициентами V z + i )

степени не выше κ + N - r - 1 , дает общее решение неоднородной задачи (1) при выполнении следующих κ - N + r условий разрешимости

+∞

-∞

I j 7^ = °’ ^j = ¹-²— I k — N + ^r l .

( t + i )