Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.968                                     

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса не всегда сводится к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стилтьеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега. Поэтому изучение интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса представляют самостоятельный интерес.

Материал и методы исследования

В работе используется метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Получена оптимальная оценка приближенного решения линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.

Одновременно рассматриваются следующие линейные интегральные уравнения

m(t)i9(t) + f

t o

a(t)b(s)i9(s)d(/)(s) = f (t),

T >  t o ,

(г + m(t))d(t, г) +

f to

a(t)b(s)d(s, £)d((s) = f(t) + £^(t0),

t G [t o , T],

где m(t), a(t), b(t) и f(t) — известные непрерывные функции на [t 0 , T], m(t) — неубывающая непрерывная функция на [t o , T], m(t o )=O, d(t) и d(t,£) — искомые функции, ((t) -возрастающая известная непрерывная функция на [t 0 , T], 0 < г — малый параметр, (t, s) G G = {(t, s): t₀< s < t

Здесь [t₀, T] — пространство всех непрерывных функций ^(t), определенных на [t 0 , T] с нормой ^d(t)^_c = sup |^(t)|.

tG[t o , T]

Будем обозначать через C^[t₀, T],  0 < у < 1, линейное пространство всех функций

v(t), определенных на [t 0 , T] и удовлетворяющих условию lv(t) — v(s)| <  М[ф(Ь) — ^(s)|^y, где M — положительная постоянная, зависящая от d(t) , но не от t и s, ^(t) = / a(s)b(s)d((s) + m(t), t G [t₀, T]. ^t 0

Различные вопросы для интегральных уравнений первого и третьего рода исследованы в работах многих авторов. Исследованы линейные интегральные уравнения второго рода и их системы на конечных и бесконечных интервалах. Здесь все интегралы понимается в смысле Стилтьеса [1].

Дан обзор результатов по интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Для линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами доказано существование многопараметрического семейства решений. Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [2-4].

Исследованы уравнения Вольтерра первого рода и обратные задачи. Доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. Для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [5-8].

Для линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [9].

Исследованы вопросы сушествования и единственности решения для линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода c особенностью в одной точке на конечном промежутке [10].

Изучен класс интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на конечном промежутке [10, 11].

Разработан улучшенный новый подход исследования линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностьями на конечном промежутке [1013].

На основе понятия производная функции по возрастающей функции введенный исследовались линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса первого и второго родов [13].

Для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности [14].

Предположим выполнение следующих условий:    a)m(t), a(t), b(t), f (t) G

C[t0, T],m(t0) = 0, m(t) > 0, a(t) >0 и b(t) > 0 при t G [t0, T]; б) при t > T,t,T G [t0, T]

справедлива оценка |a(t) — a(T)| <  C₀[J a(T)b(T)d((T) + m(t)] ^r 1 , где 0 < / 1 < 1.

Теорема. Пусть выполняются условия a), б), d(t) является решением уравнения (1) удовлетворяющих условию: -d(t) G C^[t₀, T], 0 < / < 1    |^(t) — ^(t₀)| <  C 1 a(t),t G

[t₀, T], 0 < C 1 - постоянная. Тогда решение d(t, £) уравнения (2) при £ ^ 0 сходится по норме C[t₀, T] к ^(t). При этом справедлива оценка:

ll^(t,£) — d(t)\c < М(М1 + М3)^ + M2£Y1,                          (3)

где                  М = supld(t) — d(s)l/l^(t) — ^(s)lr, М1 = esup(vYe-v), М2 =

V>0

C0C1e J° e-vvY1dv ,М3 = e J° e-vvYdv.

Доказательство. В интегральном уравнении второго рода (2) сделаем замену:

d(t,£) =d(t)+^(t,£)                                   (4)

где ^(t) - решение уравнения (1). Подставляя (4) в (2) имеем [£ + m(t)]^(t, £) + £

J a(t)b(s)%(s, £)d((s) = —£[d(t) —d(t0)] , t G [t0, T]. Отсюда получим:

^£ 0

a(t) £  , .  ,   4    . .    s\^(t) — d(t0)\

f(t,£) =---—— | b(sX(s,£)d((s)---——--,t G [t0, T]

£ + m(t)                      £ + m(t)

Находим решение уравнения (5), используя резольвенту:

_     „        a(t)                  1 a(T)b(r)

R(t,s,£) = —        b(s)exp{—l         d((T)\,(t,s) G G

£ + m(t)           s £ + m(T)

ядро K(t,s) = — ^^ b(s) (t,s) G G. Тогда:

_f (t, _£) = ——.—J b^-t^MliM^d^ s+m(t)      s+m(t) t o                          s+m(r)

t G [t0, T]

Нетрудно показать следующее тождество:

rta(s)b(s) .^ч^^юе^о-^)] ..„ e^o - >w] «m-ж)] I ----- e s £+m(T)     -------- ---d(p(S) =--------—---— to e + m(t)                 e + m(s)              e + m(t)        e + m(t)

t а!т)Ь!т)

*e k_0£+mWW ^(T) , t g [t₀, Т].

Учитывая (8), из (7) получим:

£[.(t)-.(t₀)]  - £ ^а (? ^ь ( ^т) дф(т) ,

^(t, e) = —~^^)^{e tto m}    +

’ t £(£)Ь(£)_e ^- ^_s ^tа |+^ dф(т) _£ [£(s)-£(to)] _d((s) _ ft ^(^^ _e ^- ^^tа^^^Ф( ^T ) ^\^^^ _d((s) t o £+m(t)                    £+m(s)               ^t o £+m(t)                    £+m(s)

t G [t o , Т]

Вводя обозначения:

^(t.E) = _£[£«_^_ еЧ»ф(т).

, ^J         e + m(t)

*Mt, e)

= f [a( ^t ) ^- a(s)]      -g^^y .......

J to £+m(t)      J                     £+m(s)^

*M^t,E) = ^_

Jt a(s)b(s) -Х^дфу £[.(t)-.(s)] ,,(s to £+m(t)                     £+m(s)

Из (9) имеем:

^(t,E) = ^(t,E) +^2(t,E) +^(t,E), tG[to, Т].(13)

Оценим ^ 1 (t,E) . В силу условия теоремы из (10) получим: \^₁(t,e)\<

£М             —Т(^   T^7jSr а(Т)Ь(т)дф(Т)            £         Ф(.)        —^(t),.

----l^(t)l ^r ee ^£+m ( ^t)e z+mw^o              = Me^y( ----—) 1 ^Y[      ] ^Y * ee ^£ + ^m ( ^t)< ME ^Y esup(v ^Y e ^-V ). V>0

Отсюда имеем:

ll^ 1 (t,E)||_c<  ММ 1 Е^Г .

Оценим ^₂ (t, e) . В силу условия теоремы из (11) получим

№2(1, e)¹

^t a(t^{) _} a(^s)       -4 ^{t a}_£⁽T⁾_a^bf(T⁾ gФ(т) ^El^(^s) — ^^(s o )|

d((s)

------77— b(s)e ^{s £+a(T)}     --------—--- e + m(t)                      e + m(s)

d to

C o [f s a(^E)b(r)d((T) + m(t)] Y 1 e + m(t)

- ^m(V - ^а(Т)^Ь(т1дф(т) EC^s) b(s)ee ^£+m(t) e ^{J s £+m(T) ф(} ) -l-^-j-d((s) <

C0C1E^i(—^—')r^ie f e

^{0 1}     £++m(t)         t o

-

[~^т^+С^а'Т⁾Т^дф(т)] г m(t)      t а(т)Ь(т)

^LE+m(t) s _£ +m(r)        [ ---LJ--+ |            d((Т)у 1 *

£+m(t)    s £+m(т)

a(s^d((s) < CCeE^ f ° e-vVidv. £+m(s)          01

Отсюда имеем:

ll^2(t,E)||c

Оценим ^₃(t,E)   . В силу условия из (12) получим |^(t, e)|<

m(t)    ta(T)b(T)

^Ef_to7+ml)^{ee £+mm S£+mW T} ms^^h^^)^^

.             ^£          ft —[ ™^(t)_f+Ss^a(I^)b(T)d4  , m(t)     a(s)b(s) , , , ₄

<Ме8^г(----у ^KLe ^£+m(t) ^+т«    И -^²dd(i)+——]^{y   v 7}db(s) <

£+m(t)      to                           s £+m(r)          £+m(t) s+m(s)

Ме^ f' e~vvYdu.

Отсюда имеем:

\^3(tf8)\c

В силу неравенств (14), (15) и (16), из (13) вытекает оценка (3). Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполняются условия а), б), a(t) >a₀> 0при всех t Е [t₀, Т] и t

существует t1 Е (t0, Т] такое, что ^(t) = m(t) + I a(s)b(s)db(s) > 0 при t Е (t0,t1) ,

^t0

• 1    t

lim^^I b(s)db(s) = а Е (0,»).Тогда решение интегрального уравнения третьего рода (1) единственно в пространстве С^[t₀, Т],  0 < у < 1.

Доказательство. Пусть ^(t) Е С^[t₀, Т] является ненулевым решением уравнения (1) при f(t) = 0. Тогда m(t)fl(t) + I a(t')b(s')-d(s)db(s') = 0, t Е [t₀, Т].

^t0 t                                                                                   t

Далее           m(t)^(t0) + f a(s)b(s)db(s)d(t0^ + m(t)[d(t) - д(^)] + f [a(t) -

^0                                                                                  ^0

a(s)] b(s)d(s)db(s) + f a(s)b(s)[^(s) — d(t0)] db(s) = 0.

^t0

Отсюда, в силу условия а) и б), имеем [d(t₀)l< ^m(t)|^(t) —d(t₀)l + [ sup |^(s) —

V^(t>                           SЕ[to, t]

I a(s')b(s')dф(s')                                |^(t)   fi b(s)dф(s)

^O] ——T77---+ sup |a(t) —a(s)|*    c ⁰   --^ ^(0—^0+ sup №(s)—

^^(t)           SЕ[to,t]                                    ^^(t)                                SЕ[to,t]

^О + sup la(t) — a(s)1 * ^d(t)^ch1zLt b(s)db(s)], t Е (t0,ti).

SЕ[to,t]                                    ^^{(t) t0}

Отсюда переходя к пределу при t ^ t₀ получим d(t₀) = 0.

Далее, из (3) имеем:

\\ti(t)\\c = \\ti(t,8)—d(t)\\c^0                                 (17)

при 8^0. Так как d(t, 8) = 0 при всех t Е [t₀, Т], 8 > 0. Из (17) вытекает, что d(t) = 0 при всех t Е [t₀, Т].

Результаты и обсуждение

Для решения линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса III рода построены регуляризирующие операторы.

Заключение

Для решения линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода были сделаны следующие выводы:

• 1.    Найдены достаточные условия единственности и регуляризации решений линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода;

• 2.    Доказаны теоремы единственности решений для линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.