Одно обобщение открытой космологической модели Фридмана при наличии вязкости

В последние десятилетия значительное внимание уделяется построению и уточнению космологических сценариев эволюции Вселенной. В этой связи точные космологические решения уравнений тяготения представляют интерес как возможность введения в теорию математического описания новых физических свойств Вселенной, так и возможность нахождения новых точных решений уравнений Эйнштейна, обобщающих решение Фридмана для открытой Вселенной [1] . В [2] и [3] приводится один из таких примеров, обобщающий результаты [1] на случай наличия равновесного излучения. В работах [4] и [5] обобщаются не только результаты работы [1] , но и ( [2] – [3] ) при дополнительном учете объемной вязкости. В кратком сообщении [6] была сделана попытка обобщить и результаты [4] и [5] . Более полно получение этих результатов будет рассмотрено в настоящей статье.

Прежде всего воспользуемся модельным подходом, основанном на введения эквивалентной задачи о движении частицы единичной массы в некотором силовом поле [7] . Этот подход уже был применен для конструирования точных космологических решений для открытой Вселенной в работах ( [8] – [10] ). Здесь в этом подходе ставится задача получения класса точных решений для изотропной открытой конформноплоской модели Вселенной, соответствующей эквивалентному осциллятору с переменной частотой и рэлеевской диссипацией, когда коэффициент затухания уже не является линейной функцией как это было в ( [4] - [5] ). Таким образом, целью настоящей работы является нахождение точного решения уравнений тяготения для открытой Вселенной с объемной вязкостью и функции состояния материи, в каждый момент являющейся уравнением состояния.

2.    Описание модели

Суть используемого здесь подхода заключается прежде всего в том, чтобы записать уравнения Эйнштейна в виде, пригодным для дальнейшего решения. Для этого возьмем 4D метрику, конформную метрике Минковского (как это сделано для открытой модели Фридмана в [11], [12] и в наших работах, упомянутых выше)

ds² = exp(2cr)5 _M, dx ^ dx^{1 7} ,                                        (1)

с конформным множителем exp(2cr), зависящим от переменной S , квадрат которой представляет равен S ² = 5_ц , x ^ x^v а ст = c(S) и 5 _ц, = diag(1; — 1; — 1; — 1) — метрический тензор Минковского; д, v = 0,1,2, 3; скорость света и гравитационная постоянная Ньютона равны единице, поэтому эйнштейновская гравитационная постоянная здесь равна к = 8т.

В качестве источника гравитационного поля возьмем тензор энергии-импульса (ТЭИ) вязкой жидкости ( [13] , с.220-221)

Т ц, = Еи д и , + р * Ь^, с     р * = р — С • и "" ,                      (2)

где е = e(S) — плотность энерги; р = p(S) — давление; С = С(S) — коэффициент объемной вязкости; р * = p * (S) — эффективное давление с учетом вязкости; и _ц = exp(c)S ,_M — 4-скорость, удовлетворяющая условию нормировки и _ц и ^ц = 1; точка с запятой обозначает ковариантную производную; Ь ц, = и _ц и , — д _ц, — метрика 3-пространства, ортогонального временноподобному направлению, задаваемого 4-скоростью, Ь _ц, u ^v = 0 (проектор на 3-пространство).

Далее произведем (1+3) – расщепление уравнений Эйнштейна

G _M, = Я д, ^— ^ д ^, Я = ⁸ т7 Д,                             ⁽³⁾

без космологического члена для метрики ( 1 ) путем проецирования этих уравнений на временноподобное направление ( G^u ^ M ), задаваемое 4-скоростью и ^ц , и 3-площадку (G ^„ Ь ^цр Ь ^,х ), определяемую 3-проектором Ь _ц, . Это так называемый монадный подход, известный благодаря работам ( [14] — [16] ). Здесь G ^_v — тензор Эйнштейна; Я _ц, — тензор Риччи; Я — скалярная кривизна.

В результате (1+3)–расщепления приходим к системе дифференциальных уравнений, которая при заменах у = exp(c/2) и S = 1/х приводится к виду у'(ху' — у) = (1/12) • 8те • у6/х3;                                    (4)

у" = — (1/4) • 8тр * • у ⁵ /х ⁴ ,                                        (5)

где штрихом обозначена производная по х.

В дальнейшем уравнение (4) будем рассматривать как определение плотности энергии е, а правую часть уравнения (5) определим как некоторую функцию F* (х), считая ее в дальнейшем аналогом силы, что позволяет рассматривать уравнение (5) в качестве аналога уравнения второго закона Ньютона для частицы единичной массы, если переменную х считать новой временной переменной, у" = F *(х).                                             (6)

Это означает, что основное внимание будет уделено решению этого уравнения, позволяющему заменить основную проблему о нахождении функции c(S ) (или у(S )) задачей об одномерном движении частицы в некотором силовом поле. Таким образом, удается перейти к решению эквивалентной задачи из механики для нахождения космологической модели для открытой Вселенной.

Такой подход уже был ранее использован для получения точных открытых космологических моделей в работах ( [4] – [10] ).

• 3.    Нахождение точного космологического решения

Ограничим теперь наше рассмотрение потенциальным подходом в такой эквивалентной задаче, предположив, что

F ’« = — ^ — £;   " = ( ; ^v = ^AW (? у,          (7)

9у   оу^           у/ (х)7    2                  dx где U — аналог потенциальной энергии упругой силы с переменным коэффициентом жесткости к(х) = (В/f (х))2 (закон Гука здесь не выполняется); В0 — некоторая постоянная; V — аналог рэлеевской диссипативной функции, а у’ = dy/dx — аналог скорости; А = А(х) — коэффициент затухания как функция «времени» х.

В итоге уравнение (7) переписывается в виде уравнения для осциллятора с переменными коэффициентом затухания и частотой d2y + 2А(х) dy + (^Ч V, = 0.

dx²         dx   fj (х)

В отличие от [4] и [5], где А(х) взята в виде линейной функции по х (А(х) = 70 • х), потребуем теперь, чтобы                           2А(х) = 2^ + у .„f(х),

j(х)

где Л ₀ = const.

Такой выбор позволяет уравнение ( 8 ) преобразовать к виду

f(х)ff(х)+2Лof(х)dy + В2у = 0.

dx dxdx

При переходе к новой «временной» переменной £, dx., ,, d^(x) = 777,(11)

уравнение (10) трансформируется в уравнение для свободного осциллятора с затуханием d2y । ox d,2 - п

d^ ^+2Л 0 de ^{+ В} 0 ^у = ⁰

в отличие от ( [4] – [5] ), где было получено уравнение для свободного осциллятора без диссипации с постоянной собственной частотой (Л 0 = 0).

При этом вопрос о выборе функции f (х) остается открытым. Поэтому сначала запишем решение уравнения ( 12) в общем виде, а затем снова вернемся к выбору функции f (х). Дело в том, что в отсутствии вязкости (А = 0 или С = 0) и при постоянном коэффициенте жесткости, то есть f = const, необходимо потребовать от решения уравнения ( 12) галилеевости и асимптотического ( S ^ то , то есть х ^ 0) прохождения через фридмановское решение для открытой Вселенной (в записи Фока [ 11] )

у(х) _Р = 1 -Аох,                                       (13)

где постоянная Л ₀ связана с плотность некогерентной пыли ( [11] , с. 477).

Более того, следует потребовать асимптотического исчезновения как вязкости, так и непостоянства коэффициента жесткости осциллятора, чтобы на асимптотике обеспечить наличие негорентной пыли (модель Фридмана).

Так как уравнение ( 12 ) хорошо известно, то общее решение запишем сразу, используя обозначения и параметры, используемые в работе,

у(€) = ^0 • ехр(—Лое) • cos(Be + а), где Y0 — амплитуда, которую еще предстоит определить; В2 = В2 — Л2; а — «начальная фаза».

Выбор функции f (х) в виде f (х) = ехр(7х2), позволяет удовлетворить выше изложенные требованиям (7 — некоторая постоянная). В самом деле, в этом случае «временная» переменная e может быть записана как

е(х) = /о exP(—7x2)dx =2• erf(V7x), где erf(—yx) — функция ошибок, определяемая здесь как erf(V7x) =     /   exp(—X2)dX.

^ Jo

Воспользуемся тем, что для очень малых ж (S ^ то )

2           12

/(ж)=exp(7ж) « 1 + уж « 1; erf(Vyx) ~—p(Vxx — x(V7x)3) ~—p(V7x);  ^(x) « x,

^       3^

тогда решение (14) в приближении малости ж записывается как у (ж) « Y0 cos а(1 — (В tan а + Л0)ж).

Требования галилеевости и асимптотической фридмановости (см. ( 13 )) с учетом ранее выписанных определений параметров позволяют записать

Y0 = ---- = V1 + tan2 а; tan а = cos а

tan а о — Ло / В о

V1 — Л о² /В 2

^А о

; ^{tan а} 0         ,

^В 0

где параметр В0 отвечает за наличие равновесного излучения в открытой космологической модели без диссипации [2] , [3] , [7] , а А0 — за наличие вещества.

В итоге запишем окончательное решение рассматриваемой космологической задачи

у(£(ж)) = V 1 + tan ² а • exp( — Л ₀ ^(ж)) • cos(В^(ж) + а),

с параметрами, определенными выше и связанными с предыдущими работами. При этом конформный множитель в метрике ( 1 ) связан с функцией у как exp(2a) = у ⁴ .

Отметим, что при Л _о = 0 и у = 0 решение ( 21 ) совпадает с решением, приведенным в [7] , которое описывает открытую космологическую модель с веществом и излучением. Подробное исследование эволюционного поведения этой модели было проведено в [17] .

• 4.    Давление, плотность энергии и функция состояния модели

Используя полученное решение ( 21 ) не представляет большого труда на основе уравнений ( 4 ) и ( 5 ) записать выражения для давления, коэффициента объемной вязкости, плотности энергии и функции состояния 2, р = р*/е.

Подставляя ( 21 ) в ( 5 ), получим общее выражение для эффективного давления (гидростатическое и обусловленное объемной вязкостью)

где

В2 к р (ж) = 4 f —

²⁽ 7^ж/ ^{( ж ) + Л} о )Ь ⁽ ^ ^{( ж ))} У / ^ж У ⁴ / ² (ж)(1 + tg ² а) ²           Y ^(ж))   ,

Y (^(ж)) = exp( — Л ₀ £(ж)) cos(В^(ж) + а);

Ь ⁽ € ^{( ж ))} = ^{В t} g ^{( В}^ ^{( ж )} + ^{а )} + ^Л о ;

переменная ^(ж) определена в ( 16 ); функция /(ж) задана выражением ( 15) ; параметры В, В0, у, Л _о , а введены выше.

Что касается той части эффективного давления, которая определяется объемной вязкостью, то она равна

v of (7ж/(ж) + ЛоЖ£(ж)) \/   ж У к< '    = 8 (  /2(ж)(1 + 1§2 а)2 ) (РСё<ж))) .

²О введении функции состояния см. работы [18] - [21] .

Отсюда легко находится коэффициент объемной вязкости к ^(ж) при учете

7 =        . < ) ,, ,                                    (26)

’     V-9

где д — определитель метрического тензора из ( 1 ), а запятая обозначает частную производную по координатам ж ^г .

Общее выражение для плотности энергии получим из ( 6 )

(UI^WW^^ А ( ^ж А ³

^{к ( ж )  12} (/.-■ > (^J (у(.ewJ .                 ⁽ )

Асимптотически (при S ^ го или ж ^ 0) до фридмановской стадии некогерентной пыли, когда равновесное излучение еще учитывается, выражение для плотности энергии можно представить как кЕ ~ KEr ad + KEdust,

где K e _rad — плотность энергии равновесного излучения,

K E _Tad

12В22

V 22^'1-

а K E _dust — плотность энергии некогерентной пыли,

^{K E} dust ~ ¹²^ ² 0 ^{ж (1 +} _А д ^{ж )} .

При этом это выражение совпадает с асимптотикой для плотности энергии пыли в работах [2] – [3] и [7] .

Аналогичная асимптотика поведения давления определяется только равновесным излучением и связана с асимптотической плотностью энергии излучения как кр* = 1 KETad « 4В2 f1 - 22020/) ж4. 3              \      В0 /

Другими словами, в рассмотренном приближении имеем ультрарелятивистское уравнение состояния.

При Л _о = 0 выражение ( 30) совпадает с асимптотикой для давления равновесного излучения в работах [2] – [3] и [7] .

Зная теперь функциональные зависимости эффективного давления и плотности энергии, нетрудно записать функцию состояния полученной открытой космологической модели:

*

/3(ж) = ^Е E

₌ ¹ ( ^{( В} о - ²⁽ 7^ж/ ^{( ж )) +} Л о ^{) и (} ^ ^{( ж ))} А з^ L(e(-))(-L(e(-)) + /(-))   ;^ж.

Подчеркнем, что при Ло = 0 и 7 = 0 функция состояния (32) совпадает с приведенной в [7] функцией состояния о Г Л _ 1 В0ж ctg Нж)                                   /оох

^{/Зо ( ж )} 3(1 + В о ж tan ^(ж)),                                     ⁽ )

где <^(ж) = В0ж + а д .

5.    Заключение

Использование модельного подхода, основанного на рассмотрении эквивалентной задачи о движении частицы единичной массы в некотором силовом поле [7] , позволяет получить новое точное решение для открытой космологической модели с излучением и объемной вязкостью. При этом корень четвертой степени из конформного множителя есть решение уравнения для осциллятора с затуханием.

Асимптотически (при больших временах) это решение связано как с решением для открытой Вселенной с излучением (без вязкости), так и с решением Фридмана.

Следует отметить, что рассмотрение эволюционного поведение такой модели требует дополнительного тщательного исследования.