Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетках
Автор: Кусраева Залина Анатольевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
Установлена связь однородного полинома со средними степенными и средними геометрическими.
Векторная решетка, степень векторной решетки, однородный полином, линеаризация полинома, среднее степенное, среднее геометрическое
Короткий адрес: https://sciup.org/14318478
IDR: 14318478
Текст научной статьи Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетках
Пусть E - векторная решетка. Y - произвольное векторное пространство, s - целое пиело > 1. Отображеиие P : E ^ Y называется однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-лнпейпый оператор P : Es ^ Y. именуе мый поролсдаюгрим оператором полинома P, такой, что
P (x) = P(x,..., x) (1)
для всех x Е E. Равенство (1) показывает, что отображение P : E ^ Y является композицией двух отображений
E -4→s Es -P→ˇ Y, где отображение Ps-линей но, a 4s : E ^ Es обозначает диагональное отображение
4s(x) = (x,..., x) Е Es.
Говорят, что полином P : E ^ Y ортогонально аддитивен или ортоаддитивен, если для любых дизъюнктных x,y Е E выполняется P(x + y) = P ( x ) + P ( у). Напомним, что дизеюнктность элементов x и у означает |x| Л |у| = 0. Однородные ортогонально аддитивные полиномы подробно рассмотрены в [2].
Для любой конечной последовательности (x1, ... ,xN ) в равномерно полной векторной решетке E выражение вида f (xi,..., x n ) может быть корректно определено, если только f Е H (R N). т. о. f - положительно однородная (f ( Ax ) = Af ( x ) для всех x Е R N и A Е R) непрерывная функция на RN Изучение таких выражений называется однородным функциональным исчислением, см. [5]. Функциональное исчисление позволяет, в частности, корректно определить в произвольной равномерно полной векторной решетке E сум мы Ss пор!1дка s ii геометрпчеокне средние G.
Для элементов xi,... ,xn равномерно полной векторной решетки E равенство
N 1s
S s (x i , ... ,xn ) := p s (x i , ... ,x n ): = ( ^ | xi l s )
i=1
корректно определяет среднее степени s или сумму порядка s, если в качестве непрерыв ной положительно однородной взять p s( t i ,...,t N) = (P^ | t i|s) s (( t i ,...,t N) G RN ). так как ps G H ( R N). Аналогично вводится геометрическое среднее
G(x1 ,... ,xn ) := b (xi,... ,xn ) :=
N
П1 x,i
i=i
1 N
где функция q(t i ,..., tN) = (ON^ I ti I)N ((t i , • • •, tN) G R N) также непрерывна и положительно однородна.
Основной результат данной статьи устанавливает связь однородного полинома со средними степенными и средним геометрическим. Необходимые сведения из теории векторных решеток имеются в [1] и [6].
Теорема. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, Y — выпуклое борнологическое пространство, P : E ^ Y - ортогонально аддитивный ограниченный s-олпоролпый полипом. P : Es ^ Y — порожлаюпшй сто симметричный s-лппсйпый оператор. Для любых x1 ,...,x k G E+. k = max { s, N } имеют место слелуюшпе равен ства:
P(Ss(x i ,..., xn )) = P(x i ) + ... + P (xn );
P (G(x i ,...,Xs)) = P (X i ,...,Xs).
Доказательство опирается на понятие степени векторной решетки, введенное в [3, определение 3.1], и установленный в [7, теорема 4] результат о линеаризации ортогонально аддитивных полиномов. Сначала, приведем необходимые сведения о степени векторной решетки.
Пусть 2 6 s G N 11 E - архимедова векториая решетка. Пара (E s® , ©s ) называется s-ой степенью равномерно полной векторной решетки E, если выполнены следующие условия:
-
(1) Es® - векторная решетка:
-
(2) ©s : Es ^ Es® - ортосиммстршшьш решеточный s-морфизм называемый кано ническим полиморфизмом или каноническим s-морфизмомом степени;
-
(3) для любой (архимедовой) векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма у : Es ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S : Es® ^ F такой, что S о ©s = р.
В [3] установлены существование степени векторной решетки и ее единственность с точностью до решеточного изоморфизма. В той же работе показано, что в случае, когда. E - равномерно полная подрешетка, точной f-алгсрбы. степень допускает удобное описание.
Рсшсточно упорядоченная алгебра. A (xy G A + для всех x,y G A+) пазывастея f-алгеброй. если из того, что х ± y 1i 0 6 z G A. следует xz ± y ii zx ± y. Напомним, что f-алгебрах назывался точной, если нуль — ее единственный нильпотентный элемент. Необходимые сведения об f-алгебрах приведены в [1].
Лемма 1. Пусть f-алгебра A с умевпением • тош ia. a. E - полрешетка. А. Топа существуют полрешетка. F С Ан изоморфизм i из Es® п a F такие, что i ( xi © ... © X s) = X i • ... • x s .тля всех xi,..., x s G E.
C См. [3. теорема 4.1]. B
В частности, i(xs®) = xs и, следовательно, получаем обычную степенную функцию, действующую из E в F. В случае равномерно полной векторной решетки E имеем также (см. [3, теорема 4.1]):
F = E ( s ) := {x i • ... • xs : xi E E } = {x|x|s-1 : x E E} ,
F+ = (E(s ) ) + := {|x|s : x E E } .
Нам также потребуется функциональное исчисление в f-алгебрах с единицей (см. [5, теорема. 4.10]). Будем говорить, что f : RN ^ R - функция полиномиального роста, если f E C( RN ) ii существуют n E N 1i 0 6 M E R. для коте>рых что | f | 6 M (1 + | e 1| + ... + | e N |)n- гД.о 1 - функция. тождествешю равная единице на. RN Сим волом A (RN) обозначим множество всех функций f : RN ^ R полиномиального роста, для которых существует предел lim4 0 f (tx)t -1 равномерно на. ограни лепных множествах в RN
Введем следующие обозначения: пусть hx1,...,xN) обозначает подрешетку в E. порожденную множеством {x1 ,...,xN} С E. a Ti - k-то коордннатш-ю функцию в RN т. е. Ti : (t 1,...,tN) । ^ ti.
Лемма 2. Пусть E - равномерно полная точная f-алгебра. Дтя любого x := (x1 ,...,xN) E EN существует единственный мультипликативный решеточный гомоморфизм b : f ^ x(f) := f(x1,..., xn) (f E A(RN)), отображающий A(RN) в E. тако!к что x(ri) = xi (i = 1,..., N).
C Cm. [5. теорема 4.10]. B
Лемма 3. Пусть A -равномерно полная f -алгебра. s,N E N i ix = (x1,... ,xN) E A N. Тогда выполняются равенства:
N
S s(x 1 , . . . , x N ) | xi | (x 1 , . . . , xN E A), Oi)
i =1
N
G(x 1 , ...,xn)n = JJ|xi| (x 1 , ...,xn E A). (4)
i =1
C В силу леммы 2, Ф:= x служит мультипликативным решеточным гомомрфизмом из A ( R N) в E. Если s > 1. то фу икния Tis входнт в A ( R N) ii Ф(КН = | Ф(тi) | S = | xi |s. Следовательно, учитывая равенство pS = |t1 |s + ... + |tn |s, выводим
Ss(x 1 ,.. .,xn )s = Ф(ps)s = Ф(pS) = Ф(|T 1 |S + ... + |tn |s)
= Ф(|T 1 |S) + ... + Ф(|TN |s) = Ф(|T 1 |)S + ... + Ф(|TN |)s = |x 1 |s + ... + |xn |s.
Тем самым установлено (3). Аналогично, используя соотношение qN = |T1| • ... • |tn |, приходим к цепочке равенств
G(x 1 ,..., xn )N = Ф(q)N = Ф(qN) = Ф(|т 1 | • ... • |tn |)
= |Ф(Т1)| • . . . • |Ф(TN)| = |x11 • ... • |xn|, доказывающей соотношение (4). B
Лемма 4. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, s,N Е N и > > 2. Тогда для любых x1,... ,xN Е E+ справедливы представления:
Ss ( x i , . . . , XN ) s® = x i ® + . . . + XN®, G ( x 1 ,..., xN )N ® = x 1 © ... © xN.
C Пусть A - универсальное расширение E. являвшееся f-алгеброй с л-множенном • В силу леммы 1, существует решеточный изоморфизм is из E s ® нa F С A и iN из EN ® на G С A. В то же время, привлекая лемму 3, можем написать следующие равенства:
S s(x1, . . . , XN ) • . . . • S s(x1, . . . , XN ) = X1 • . . . • X1 + . . . + XN • . . . • XN,
|----------------------------------- z-----------------------------------} '----------.----------} |----------- z-----------'
s раз s рал s pan
G ( x 1 ,..., x n ) • ... • G ( x 1 ,..., x n ) = x1 • ... • x n . s {z }
N рал
Палее, в силу того, что S s(x1, ...,xN ) Е Ei i G (x1,... ,xN ) Е E. левые части послед них равенств входят в F и G соответственно, следовательно, к ним можно применить i-1 11 iN1. С учетом равенств (см. лемма. 1)
xi © ... © xn = iN1(xi • ... • xn), xs® := x © ... © x = is1 (x • ... • x), '-------v-------} '------z------'
s раз s раз получим требуемое. B
Прежде, чем приводить доказательство основного результата, сформулируем теорему о линеаризации ортоаддитивных полиномов.
Теорема о линеаризации. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, Y — выпуклое борнологическое пространство. Тогда любой ортоаддитивный порядково ограниченный s-однородный полином P из E в Y может быть представлен в виде
P(x) = S(xs®) (x Е E), где S : Es® ^ Y - ограниченный линейный оператор.
C Доказательство основной теоремы. В условиях сформулированной теоремы применима теорема о линеаризации ортоаддитивных полиномов, в силу которой существует единственный ограниченный линейный оператор S : Es® ^ Y такой, что P ( u ) = S (u © ... © u) для всех u Е E. Подставив в эту формуту u = S s( x 1 , ...,xN ) ii привлекая лемму 4, получим следующее:
P ( Ss ( xi, . . . ,XN )) = S ( Ss ( xi, . . . ,XN ) © . . . © Ss ( xi, . . . ,XN ))
= S ( x1 © ... © x1 + ... + xN © ... © xN )
= S(x1 © ... © x1 ) + ... + S (xN © ... © xN ) = P ( x1 ) + ... + P(xN ) .
Рассуждая подобным образом и подставляя на этот раз u := G ( x1,... ,xN ), вновь на основе теоремы о линеаризации и леммы 4 заключаем:
P ( G ( x1,..., xN )) = S ( G ( x1 ,... ,xN ) © ... © G (x1,... ,xN ))
= S(x1 © ... © xN ) = P ( x1,..., xN ) .
Последнее равенство имеет место в силу того, что соотношения P = S oQsoAs и P = S o©s равносильны. B
Следствие. Пусть E и F — векторные решетки, причем E равномерно полна. Тогда для любого порядково ограниченного s-однородного ортогонально аддитивного полино ма P : E ^ F имеют мест о равенства (2).
Список литературы Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетках
- Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.-N. Y.: Acad. Press, 1985.-xvi+367 p.
- Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices//Bull. London Math. Soc.-2006.-Vol. 38, № 3.-P. 459-469.
- Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: $f$-algebras and functional calculus//Comm. Algebra.-2006.-Vol. 34, № 4.-P. 1435-1442.
- Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey//Positivity/Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.-Basel a. o.: Birkh\"auser, 2007.-P. 97-126.
- Buskes, G., de Pagter.B., van Rooij. A. Functional calculus on Riesz spaces//Indag. Math. (N. S.).-1991.-Vol. 4, № 2.-P. 423-436.
- Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.-Berlin etc.: Springer, 1991.-395 p.
- Кусраева З. А. О представлениии ортогонально аддитивных полиномов//Сиб. мат. журн.-2011.-Т. 52, № 2.-С. 315-325.