Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетках

Пусть E - векторная решетка. Y - произвольное векторное пространство, s - целое пиело > 1. Отображеиие P : E ^ Y называется однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-лнпейпый оператор P : E^s ^ Y. именуе мый поролсдаюгрим оператором полинома P, такой, что

P (x) = P(x,..., x)                                           (1)

для всех x Е E. Равенство (1) показывает, что отображение P : E ^ Y является композицией двух отображений

E -4→s Es -P→ˇ Y, где отображение Ps-линей но, a 4s : E ^ Es обозначает диагональное отображение

4_s(x) = (x,..., x) Е E^s.

Говорят, что полином P : E ^ Y ортогонально аддитивен или ортоаддитивен, если для любых дизъюнктных x,y Е E выполняется P(x + y) = P ( x ) + P ( у). Напомним, что дизеюнктность элементов x и у означает |x| Л |у| = 0. Однородные ортогонально аддитивные полиномы подробно рассмотрены в [2].

Для любой конечной последовательности (x1, ... ,x_N ) в равномерно полной векторной решетке E выражение вида f (xi,..., x n ) может быть корректно определено, если только f Е H (R N). т. о. f - положительно однородная (f ( Ax ) = Af ( x ) для всех x Е R N и A Е R) непрерывная функция на RN Изучение таких выражений называется однородным функциональным исчислением, см. [5]. Функциональное исчисление позволяет, в частности, корректно определить в произвольной равномерно полной векторной решетке E сум мы S_s пор!1дка s ii геометрпчеокне средние G.

Для элементов xi,... ,xn равномерно полной векторной решетки E равенство

N         1s

S s (x i , ... ,xn ) := p s (x i , ... ,x n ): = ( ^ | xi l s )

i=1

корректно определяет среднее степени s или сумму порядка s, если в качестве непрерыв ной положительно однородной взять p _s( t i ,...,t N) = (P^ | t i|s) s (( t i ,...,t N) G RN ). так как p_s G H ( R N). Аналогично вводится геометрическое среднее

G(x₁ ,... ,xn ) := b (x_i,... ,xn ) :=

N

П1 x,i

i=i

1 N

где функция q(t i ,..., tN) = (ON^ I ti I)^N ((t i , • • •, tN) G R N) также непрерывна и положительно однородна.

Основной результат данной статьи устанавливает связь однородного полинома со средними степенными и средним геометрическим. Необходимые сведения из теории векторных решеток имеются в [1] и [6].

Теорема. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, Y — выпуклое борнологическое пространство, P : E ^ Y - ортогонально аддитивный ограниченный s-олпоролпый полипом. P : Es ^ Y — порожлаюпшй сто симметричный s-лппсйпый оператор. Для любых x₁ ,...,x _k G E₊. k = max { s, N } имеют место слелуюшпе равен ства:

P(Ss(x i ,..., xn )) = P(x i ) + ... + P (xn );

P (G(x i ,...,Xs)) = P (X i ,...,Xs).

Доказательство опирается на понятие степени векторной решетки, введенное в [3, определение 3.1], и установленный в [7, теорема 4] результат о линеаризации ортогонально аддитивных полиномов. Сначала, приведем необходимые сведения о степени векторной решетки.

Пусть 2 6 s G N 11 E - архимедова векториая решетка. Пара (E s® , ©_s ) называется s-ой степенью равномерно полной векторной решетки E, если выполнены следующие условия:

• (1)    E^s® - векторная решетка:

• (2)    ©_s : Es ^ Es® - ортосиммстршшьш решеточный s-морфизм называемый кано ническим полиморфизмом или каноническим s-морфизмомом степени;

• (3)    для любой (архимедовой) векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма у : E^s ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S : E^s® ^ F такой, что S о ©_s = р.

В [3] установлены существование степени векторной решетки и ее единственность с точностью до решеточного изоморфизма. В той же работе показано, что в случае, когда. E - равномерно полная подрешетка, точной f-алгсрбы. степень допускает удобное описание.

Рсшсточно упорядоченная алгебра. A (xy G A ₊ для всех x,y G A₊) пазывастея f-алгеброй. если из того, что х ± y 1i 0 6 z G A. следует xz ± y ii zx ± y. Напомним, что f-алгебрах назывался точной, если нуль — ее единственный нильпотентный элемент. Необходимые сведения об f-алгебрах приведены в [1].

Лемма 1. Пусть f-алгебра A с умевпением • тош ia. a. E - полрешетка. А. Топа существуют полрешетка. F С Ан изоморфизм i из Es® п a F такие, что i ( x_i © ... © X _s) = X i • ... • x s .тля всех x_i,..., x _s G E.

C См. [3. теорема 4.1]. B

В частности, i(xs®) = xs и, следовательно, получаем обычную степенную функцию, действующую из E в F. В случае равномерно полной векторной решетки E имеем также (см. [3, теорема 4.1]):

F = E ( s ) := {x i • ... • xs : xi E E } = {x|x|s^-1 : x E E} ,

F₊ = (E₍s ) ) + := {|x|^s : x E E } .

Нам также потребуется функциональное исчисление в f-алгебрах с единицей (см. [5, теорема. 4.10]). Будем говорить, что f : RN ^ R - функция полиномиального роста, если f E C( RN ) ii существуют n E N 1i 0 6 M E R. для коте>рых что | f | 6 M (1 + | e ₁| + ... + | e N |)n- гД.о 1 - функция. тождествешю равная единице на. RN Сим волом A (RN) обозначим множество всех функций f : RN ^ R полиномиального роста, для которых существует предел lim_{4 0} f (tx)t ^-1 равномерно на. ограни лепных множествах в RN

Введем следующие обозначения: пусть hx₁,...,x_N) обозначает подрешетку в E. порожденную множеством {x₁ ,...,x_N} С E. a Ti - k-то коордннатш-ю функцию в RN т. е. ^Ti : ^(t 1,...,tN) । ^ ti.

Лемма 2. Пусть E - равномерно полная точная f-алгебра. Дтя любого x := (x1 ,...,xN) E EN существует единственный мультипликативный решеточный гомоморфизм b : f ^ x(f) := f(x1,..., xn) (f E A(RN)), отображающий A(RN) в E. тако!к что x(ri) = xi (i = 1,..., N).

C Cm. [5. теорема 4.10]. B

Лемма 3. Пусть A -равномерно полная f -алгебра. s,N E N i ix = (x₁,... ,x_N) E A N. Тогда выполняются равенства:

N

^S s^(x 1 , . . . , ^x N )            | ^xi |     ^(x 1 , . . . , ^xN ^{E A)},                               Oi)

i =1

N

G(x 1 , ...,xn)ⁿ = JJ|xi| (x 1 , ...,xn E A).                       (4)

i =1

C В силу леммы 2, Ф:= x служит мультипликативным решеточным гомомрфизмом из A ( R N) в E. Если s > 1. то фу икния Tis входнт в A ( R N) ii Ф(КН = | Ф(т_i) | ^S = | xi |^s. Следовательно, учитывая равенство pS = |t₁ |^s + ... + |t_n |^s, выводим

Ss(x 1 ,.. .,xn )^s = Ф(ps)^s = Ф(pS) = Ф(|T 1 |^S + ... + |tn |^s)

= Ф(|T 1 |^S) + ... + Ф(|TN |^s) = Ф(|T 1 |)^S + ... + Ф(|TN |)s = |x 1 |s + ... + |xn |^s.

Тем самым установлено (3). Аналогично, используя соотношение q^N = |T1| • ... • |tn |, приходим к цепочке равенств

G(x 1 ,..., xn )^N = Ф(q)^N = Ф(q^N) = Ф(|т 1 | • ... • |tn |)

= |Ф(Т1)| • . . . • |Ф(TN)| = |x11 • ... • |xn|, доказывающей соотношение (4). B

Лемма 4. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, s,N Е N и > >  2. Тогда для любых x1,... ,x_N Е E+ справедливы представления:

Ss ( x i , . . . , XN ) s® = x i ® + . . . + XN®, G ( x 1 ,..., x_N )^N ® = x 1 © ... © x_N.

C Пусть A - универсальное расширение E. являвшееся f-алгеброй с л-множенном • В силу леммы 1, существует решеточный изоморфизм is из E ^s ® нa F С A и i_N из EN ® на G С A. В то же время, привлекая лемму 3, можем написать следующие равенства:

S _s(x1, . . . , XN ) • . . . • S _s(x1, . . . , XN ) = X1 • . . . • X1 + . . . + XN • . . . • XN,

|----------------------------------- z-----------------------------------} '----------.----------}               |----------- z-----------'

s раз                              s рал                     s pan

G ( x 1 ,..., x n ) • ... • G ( x 1 ,..., x n ) = x1 • ... • x n . ^s                     {z                     }

N рал

Палее, в силу того, что S _s(x1, ...,x_N ) Е Ei i G (x1,... ,x_N ) Е E. левые части послед них равенств входят в F и G соответственно, следовательно, к ним можно применить i^-1 11 iN¹. С учетом равенств (см. лемма. 1)

xi © ... © xn = iN1(xi • ... • xn), xs® := x © ... © x = is1 (x • ... • x), '-------v-------}           '------z------'

s раз                s раз получим требуемое. B

Прежде, чем приводить доказательство основного результата, сформулируем теорему о линеаризации ортоаддитивных полиномов.

Теорема о линеаризации. Пусть E — равномерно полная векторная решетка, Y — выпуклое борнологическое пространство. Тогда любой ортоаддитивный порядково ограниченный s-однородный полином P из E в Y может быть представлен в виде

P(x) = S(xs®) (x Е E), где S : Es® ^ Y - ограниченный линейный оператор.

C Доказательство основной теоремы. В условиях сформулированной теоремы применима теорема о линеаризации ортоаддитивных полиномов, в силу которой существует единственный ограниченный линейный оператор S : E^s® ^ Y такой, что P ( u ) = S (u © ... © u) для всех u Е E. Подставив в эту формуту u = S _s( x 1 , ...,x_N ) ii привлекая лемму 4, получим следующее:

P ( Ss ( xi, . . . ,XN )) = S ( Ss ( xi, . . . ,XN ) © . . . © Ss ( xi, . . . ,XN ))

= S ( x1 © ... © x1 + ... + x_N © ... © x_N )

= S(x1 © ... © x1 ) + ... + S (x_N © ... © x_N ) = P ( x1 ) + ... + P(x_N ) .

Рассуждая подобным образом и подставляя на этот раз u := G ( x1,... ,x_N ), вновь на основе теоремы о линеаризации и леммы 4 заключаем:

P ( G ( x1,..., x_N )) = S ( G ( x1 ,... ,x_N ) © ... © G (x1,... ,x_N ))

= S(x1 © ... © x_N ) = P ( x1,..., x_N ) .

Последнее равенство имеет место в силу того, что соотношения P = S oQsoAs и P = S o©s равносильны. B

Следствие. Пусть E и F — векторные решетки, причем E равномерно полна. Тогда для любого порядково ограниченного s-однородного ортогонально аддитивного полино ма P : E ^ F имеют мест о равенства (2).