Односторонние интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега

Мы рассматриваем многомерные интегральные операторы

K f (x) := j K (x,y)f (y) dy, K⁺f (x) := J

K ⁺(x,y)f (y) dy, x G Rn, n >  2,

|y|6|x|                                                                       |y|>|x| с ядрами K -(x,y) 11 K +(x,y) однородны ми степени —n. а при n = 1 — их версии для полуоси:

x∞

K -f (x) := J

к-(x,y)f (y) dy, K +f (x) := J K +(x,y)f (y) dy, x G R+, в гранд-пространствах Lp)(Rn) и Lp)(R+) соответственно.

Гранд-пространства Лебега L^p) (П), 1 < p <  то, по ограничение>му множеству П С Rn ввели Т. Iwaniec и С. Sbordone [6] в связи с приложениями в дифференциальных уравнениях. Операторы гармонического анализа, интенсивно исследовались в таких пространствах и они продолжают привлекать внимание исследователей в связи с различными их приложениями. Некоторые из этих результатов отражены в книгах [8] и [9].

В статьях [3, 11, 12] предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега L^p)(H), 1 < p <  то, на множествах П С Rn не обязательно конечной меры. Этот

подход основан на введении в норму гранд-пространства малой степени неотрицательной функции a(x) (см. (1)). Эту функцию, определяющую гранд-пространство La)(Q), называем грандизатором. Такие гранд-пространства L^p) (Q) и действия в них некоторых операторов гармонического анализа исследовались в работах [2, 4, 5, 15]. Предложенные в этих работах подходы позволили рассматривать в гранд-пространствах такие операторы, как потенциал Рисса, операторы Харди и др. В работе [13] были найдены условия на a(x)

Рисса в гранд-пространствах La)(Rn), и исследовано их взаимодействие с гиперсингулярными интегралами (см. [10] относительно гиперсингулярных интегралов).

Интерес к интегральным операторам с однородными ядрами связан с тем, что класс таких операторов содержит огромное количество разнообразных классических операторов, возникающих в приложениях, например, операторы Харди, оператор Гильберта, весовые потенциалы Рисса, мажоранты коммутантов сингулярных операторов Кальдерона — Зигмунда со степенными весами и многие другие.

a щие ограниченность односторонних интегралных операторов одномерных с однородными ядрами степени — 1 я многомерных с радиальными однородными ядрами степени —n в гранд-пространствах Лебега, а также получены оценки сверху их норм. Основные результаты содержатся в теореме 3.1 в одномерном случае, в теореме 4.4 в случае радиального грандизатора и в теореме 4.5 в случае нерадиального грандизатора.

Обозначения. Rn — n-мерное евклидов о пространство, R₊ = (0, то); Sn^-1 — единичная сфера в Rn с центром в иа^тюле координат. |S^n-1| — ее плотладь: S ^n-1 = {x G Rn : n

|x| = 1}, |S^n-1| = ГП²)- B (xo,r) ~ шар в Rn ращiyca r с центром в точке x₀; p = p-д.

где

kf kLP (Q ,w ) =

|f (x)|pw(x)

. Q

1 ^p

В случае w = 1 будем писать L^p(Q,w) = L^p(Q).

Следуя работе [3], определяем гранд-пространства Лебега на множествах Q произвольной (не обязательно конечной) меры равенством

W)- ^ff ^{: kf} II pP)_(U ) ^:= SUP ^{Е P} - ^{Е kf} IL-e _fo_ah < ^ТО| , ¹

TO,    (1)

La ^(Q)     0 1           ^LP " ^(Q,a ^P )

где a(x) — произвольная измеримая псотршигтелыпгя функция на. Q. которую мы называем грандизатором. Выбор грандизатора для определения гранд-пространства может диктоваться задачами для исследования таких пространств. В работах [3, 11, 12] предполагалось, что a G L¹ (Q), что гарантирует вложение L^p(Q) ^ La)(Q). В данной статье мы имеем дело с Q = R₊ ил и Q = Rn и при рассмотрении операторов с однородными ядрами мы находим удобным не обязательно предполагать интегрируемость грандизатора в начале координат и на бесконечности, но всегда предполагаем его локальную интегрируемость вне начала координат:

a(x) G L^BsN) для любых 0 < 5 < N < то, где B§n = {x : 6 < |x| < N}, с заменой слоя B§n на iiiiтервал (5, N) в одномерном случае.

Определенное таким образом гранд-пространство зависит, вообще говоря, от выбора грандизатора, хотя разный выбор грандизаторов может привести к одному и тому же гранд-пространству (см. [14]).

При a Е L¹ (И) имеет место цепочка вложений

Lp(Q) ^ L^p)(Q) ^ L^p-e1 (Q,a p ) ^ L^p-e2(Q,a p ), 0 < _£1<£2

- 1.     (2)

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. При обычно используемом определении гранд-пространства Лебега на ограниченных множествах с a(x) = 1 всегда справед либо вложение L^p(Q) ^ Lp^Q), т. е. в этом смысле гранд-пространство является расширением классического пространства Лебега. Согласно (2), аналогичное вложение на множествах бесконечной меры гарантируется условием a Е L¹ (И). Это условие часто предполагается при рассмотрении гранд-пространств на неограниченных множествах (см., например, [3, 13]), хотя гранд-пространства на таких множествах могут рассматриваться и без этого условия.

Пусть a(x) — положительная встоду конечная на полуоси R+ функция. Функцию

a(xt) a* (t) = sup

x> 0 ^a(x)

называют растяснсением функции a (см. [1, с. 75]). Отметим следующие свойства растяжений:

(ao) Если фуикция x^Ya(x). 7 Е R, не возрастает на R₊. то a*(t) 6 tY д.ля t >  1.

(bo) Если фуиктщя x^Ya(x). 7 Е R, не убывает на R₊. то a*(t) 6 tY дтя t <  1.

Пример 2.1. Для функции a(x) = x^-A(1 + x)^A-Y, А,7 Е R, x Е R+, имеем

a*(t) = t X sup x>0

_t - max {λ,γ} _{, t} - min {λ,γ} _,

0 < t 6 1, t > 1.

• 2.2.    Об операторах с однородными ядрами. Будем рассматривать одномерные операторы K в предположении (щиородпости ядра K(x,y) степeiiii —1 11 многомерные операторы K в следующих предположепиях на. ядро K(x,y):

(ai) K(x, y) однородно степени —n:

(bi) K(x, y) инвариантно относ•ителыю вращений K(w(x),w(y)) = K(x,y). г,те ш — Rn.

В книге [7, с. 69] доказано, что интегралы j |K(a,y)||y|-П dy, a Е Sn-1,

Rn

У |K ( y,0 ) ||y| ^p0 dy,     0 Е Sn^-1, 0

to,

Rn при условиях (a1) 11 (b1) не зав!юят от a Е Sn-1 11 0 Е Sn-1 соответствеппо ii j |K(a,y)| |y|-n dy = j |K(y,0)| |y|-pn0 dy, p0 = p—-у. Rn                    Rn

Легко видеть, что в рассматриваем случае j |K-(a,y)||y|-П dy = j   K-(y,0)||y|-p0 dy.

Ы>Ы                                 |y|6|x|-1

Мы будем пользоваться обозначениями

^                           1

K- := j ¹K^-(1,y)¹ y^-p dy, K⁺ := j ¹K ⁺(y, 1)¹ y p⁰ dy, n = 1.

Для удобства изложения материла статьи в случае радиальных ядер:

K (x,y) = k (|x|, |y|), K + (x,y) = k+(|x|, |y|), и в одномерном случае введем две функции

κ _n

^{(а) :}= 1

|k (t, 1)|tn ¹ р⁰ dt,

^к + ^(а)

∞ j |k+(t, 1)|tn-1-a dt, 1

α ∈ R .

Отметим, что к- (1) = к и к+(1) = k ⁺ .

• 3.    Одномерный случай

Обозначим c (a) :=

sup

0 1

∞ j |K " (x, 1) | 1

__1                 E x (p-E) a* (x)p(p-E) dx,

c ⁺( a ) :=

sup 0

j | K ⁺ (x, 1) | 0

__1                 E x (p-E)0 a* (x)p(p-E) dx.

Теорема 3.1. Пусть 1 < p <  то, функции K - (x, y) и K ⁺ (x,y) однородны степени — 1 11 a — грани г затор па R₊.

I. Если выполнены условия c-(a) < то и c+(a) < то, то операторы K- и K+ соответственно ограничены в гранд-пространстве Лебега Lp)(R+), при этом kK') 6 c-W,   kK +kL?(R+) 6 c+W-                    <5)

• II.    Если x^ a(x) нс возрастает па. R + для иск второго y € R такого. что к- (min{1, y }) < то, то kK^- 1| р),     6 к1 (min{1, y } ). Если x^x a(x) не убываст па R + для иск второго А € R

La ^(R + )

такого, что к + (тах{1,А}) < то, т о ||K ⁺kLP ) (r ) 6 к + (тах{1, А}).

• III.    Пусть a € L 1 (R + ). Е<_зти K ^-(x,y) > 0 в случае (эпсратора K^- 11 K ⁺(x,y) > 0 в случае оператора K ⁺, то условия к^-< то и к⁺< то необходимы для ограниченности операторов K ^- и K ⁺ соответственно в гранд-пространстве L^p)(R + ) н при этом

  
  

• IV.    В случае грандизатора a(x) = x^-A(1 + x)^A-Y, A, y € R, условия к- (min{1, Л, y }) < то 11 к+ (max{1,A, y } ) < то достало¹ шы. при K ^-(x,y) >  0 ii K ⁺ (x,y) > 0 условия к^- (max{1, A}) <  to ii к+ (min{1, y }) < то необходимы для оградпчсппостп операторов K - и K ⁺ соответственно в гранд-пространстве L^ ) (R₊) и при этом справедливы оценки

^K-^(max{1,^A}) 6 kK -kLp ) _(R+) 6 ^к-^(min{1,^A,Y^}),                    (7)

^{к+ (min{1},Y^}) 6 kK ⁺kLp ) _(R+) 6 ^к+(max^{1,^A,Y^}).                    (8)

В частности, при A = y = 1- K^-(x,y) > 0 i1 K ⁺(x,y) > 0 онера торы K - i1 K ⁺ ограничены в гранд-пространстве L^ ) (R + ) тогда и только тогда, когда к^- < то и к⁺ < то соответственно, при этом ^K ^-|| _тР) = к^- ii ||K⁺1| p) = к⁺.

L_a ( R + )                     L_a ( R + )

<1 I. Докажем первое неравенство в (5), второе доказывается аналогично. Так как K^- f (x) = J1 K ^-(1,t)f (xt) dt, то силу неравенства. Минковского в Lp^-5 получим

∞

^kK ^{f k}LP^-pR₊,a ^p )

j |K (1,t)| * j If (ty)|^{p e}a(y) ^p dy

i p-ε

dt

о

о

= j |K^-(1,t)|t M⁷ о

∞ j If (ПГ-П (x) p

<0

dx

1 p-ε

dt

= j |K^-(1,t)|t p^-E<  о

6 j |K^-(1,t)|t^-p-7a* о

∞ j If (x)\p-ea(x)p 0

ε alti p a(x)

dx

ε

1 \ p^p-e)

t

dt

1 p-ε

∞ j If (x)|p-ea(x)p dx

, о

dt

1 p-ε

После инверсии в первом интеграле можно получить доказываемое неравенство.

• II.    Докажем опенку для |K^-| p) В силу свонтва растяжения (ag) имсм a*(t) 6 L_a (R+ )

t^-Y nj)ii t >  1. Поэтому

∞

_— 1 ^eY

|K -kLp>(R+) 6 06™ 1/ lK - (t' ''I t

Опенка для |K ⁺|Lp)_(R ) получается аналогично. L_p (R+ )

K- ство функций в виде

-¹+8 f8 (x) = |x ^p ’

0 < x 6 1, x > 1.

Так как fg € L^p(R+) и a € L1(R+), то fg € La)(R+) в силу (2). Из ограниченности оператора K^- в гранд-пространстве La)(R+) следует, что он определен на функции fg.

При x < 1 плюем

K ffs (x) = У о

K (1, t)fs(xt) dt > Kp(6)fs(x), где Kp(6) = R1 K (1,t)fs(t) dt. Следовательно.

\\K-II         > ^kK f^kL^p)(R+)

> Kp(6).

^{k    k}L^p)'^ >   IfkL^p)(R+)

Остается перейти к пределу при 6 ^ 0 под знаком интеграла, определяющего к_р(6), что обосновывается теоремой Леви.

Оценка нормы оператора K⁺ доказывается аналогично.

• IV.    Правые оценки в (7) и в (8) получается из (5) непосредственными вычислениями с учетом того, что в этом случае справедливо равенство (см. пример 2.1)

  a* (x) =

  
  

  {t-max{A,Y} t-*},

  
  

  0 < t 6 1, t > 1.

  
  

  Получим оценку снизу нормы ||K ||lp)(r ). функций в виде

  fs (x) = {Г^’

  
  

  Возьмем минимизирующее семейство

  0 < x 6 1,

  x > 1,

  
  

  где 6 > 0, v = 1 — map¹^} ц_меем

  
  

  ^{kfs k}LP⁾(R+)

  
  

  sup e^p-E 0-1

  
  

  dx

  x^vP+ f 'X-vpt-S'p-e) 0

  
  
  
  

  1 p-ε

  
  

  Отсюда простыми рассуждениями получаем, что fs Е Lp) (R+) Оценим K fs поточечно 0

  
  

  Kff_s(x) = KX^-(1,t)fs(xt) dt = x^-v+s о

  
  

  У K-^tK^+sd dt о

  
  

  Отсюда получаем

  
  

  1 x

  = fs(x) У K^-(1,t)t о

  
  
  
  

  ^v+s dt > fs(x) jx^-(1,t)t^-v+s dt.

  
  

  »^K’ ^kL?'R+) >

  
  

  ^kK ^{fs k}LP) (R+) ^{kfs k}LP⁾(R+)

  
  

  >

  
  

  У K^-(1,t)t^-v+s dt.

  о

  
  

  Чтобы получить оценку снизу для ||K |l

  
  

p),_m . остается пере!гти к пределл- при 6 ^ 0. a^(R+)

Предельный переход под знаком интеграла возможен в силу теоремы Леви.

Оценка снизу для ||K ⁺kLp)₍R₊₎

получается аналогично посредством функции

fs (x) = x µ δ,

0 < x 6 1, x > 1,

min{1,Y} где о > 0. ц = 1 -   p—. B

• 4.    Многомерный случай

  • 4.1.    Случай радиального ядра. Оценки через сферические средние. В этом пункте мы рассмотрим случай радильных ядер k^-(|x|, |y|) и k⁺(|x|, |y|). В этом случае мы

K- K+ гранд-пространстве. Именно, мы получим оценки для норм ||K- f || р)    и ||K+f || р)

La (^Rn)             La (^Rn)

через сферические средние

F⁽Р^):= |SMT| / ^f(p^{a) da}

Sn-1

функции f (см. теорему 4.1).

a

А(Р) :=

Р Е R+

|^-Т| / ^а(Р^{а) da}’

_Sn-1

Многомерные оператор K и K⁺ сводятся к одномерным операторам K и K⁺ с ядрами k- ii к⁺ по формулам

K -f (x) = K-F (|x|),   K⁺f (x) = K⁺F (|x|),                     (9)

где k-(p, r) = |S^n-1|p^n-1k^-(p,r) 1i k⁺(p, r) = |S^n-1|p^n-1 k⁺(p, r). что позволит воспользоваться результатами для одномерного случая на основании доказываемой ниже леммы 4.1. Отметим следующие следствия из неравенства Несена:

j a(pa)^x da 6 |Sⁿ1|A(p)^A, 0

Sn-1

IF(p)lq6 TS^ /

Sn-1

Лемма 4.1. Справедливы неравенства «K -^f «L^p)(Rn) ⁶«KK-^F «LpA)(R+),

|f (pa)|q da, q > 1.

1^K +f ^L^p)(R.) 6 «K^+F«_t;?(R+)-

где

∞

K F(p) = I ^- (p,r)F(r) dr,

1 n-1

F^(p) = |S^n-1|^pp — F (p),

∞

KK⁺F(p) = у fc⁺(p,r)F(r) dr, 0

-4(p) = |S”^-1|p"^-1A(p),

^^

k-(p, г) =

|Sn 1| fpprp⁰

n—1

k-(p, r),

1 1 \n-1   । k+ (p, r) = |Sn Hpprp0 j     k+ (p,r).

C Согласно (9) имеем

У |K f (x) |^{p e}a(x) p dx =

Rn

∞ j pn—1 K- F (p) |p- J

0                       Sn-1

ε

a(p^) p d^dp.

Тогда в силу (10)

∞ j |K—f (x) |p ea(x)p dx 6 |Sn—11j pn—11K—F(p) |p eA(p)p dp.

Rn                                   0

Отсюда прямыми преобразованиями приходим к первому неравенству в (12). Второе

B

Лемма 4.2. Для радиальной функции f справедливо соотношение kfkLp)(Rn) 6 kfkLA(Rn), где A(x) := iS1-^ JSn-1 a(|x|a) da.

C Для доказательства достаточно в левой части применить неравенство (10), перейдя

B

Следующая лемма доказывается аналогично с помощью неравенства (11).

Лемма 4.3. Пусть A(x) = A(|x|). Тогда kFkLpA(Rn) 6 kfkLA(Rn), тле F(x) := |sn-ii JSn-i f (|x|a) da.

В следующей теореме мы рассматриваем неравенства вида kK-f kL»(Rn) 6 C -kF kLA (Rn), IK+ f kLj'(«n) 6 C+kF kLA (Rn),         (14> где F(x) = F(|x|), a — произвольный грандизатор на Rn, сферическая средняя которого равна функции A(x) = A(|x|), а также даем оценки снизу и сверху для наилучших константC—I ic+b(14).

Обозначим

∞

ε

1A*(t)^p(p-E) dt,

ε

1A*(t)^p(p-E) dt,

d^—(A) := |S^n—11 sup [ |k^— (t, 1) | tpn^ 0

1 d⁺(A):=| S^l—11 sup [ | k⁺ (t, 1) | t p^-^ 0

κn

∞

:= j^| k-(1,y)^|yn

¹dy,

Kn := j^|k⁺ (y, 1)^|yn-¹dy.

Теорема 4.1. Пусть 1 < p < то, A(|x|) — грандизатор на Rn, функции k (|x|, |y|) и k+(|x|, |y|) однородны степени —n.

• I.    Если d-(A)< то, d+(A) < то, то неравенства (14) выполняются с C- = d-(A) п C + = d+ (A) соответственно.

• II.    Если t^Y A(t) не возра стает па. R₊для пекоторого y € R таков о. что K-(min{n, y})< то, то C- 6 |S^n-1|K-(min{n, y})• E<.мп t^xA(t) не убывает па R₊для пекоторово А € R таково, пто к⁺(тах{п, А}) < то, то C⁺ 6 |S^n-1|K⁺(max{n, А}).

• III.    Если A € L1(Rⁿ) 11 k^-(|x|, |y|) > 0. k⁺(|x|, |y|) > 0. то ус-ловня к-< то. к+ < то необходимы для отрадпчеппостп операторов K- ii K- соответственно в грапд-пространстве L^p)(R₊). При этом для наилучших констант в неравенствах (14) справедливы оценки

|Sn->- 6 C-, |Sп-1|к+ 6 C+.(15)

• IV.    При a(x) = |x|^-A(1 + |x|)^A-Y, A,y € R, и неотрицательных ядер наилучшие константы в (14) удовлетворяют неравенствам

|Sn-11к- (max{n, А}) 6 C- 6 |Sn-11K-(min{n, A,y}),(16)

|Sn-11K+(min{n,Y}) 6 C+ 6 |Sn-11K+(max{n, А,7})•(17)

В частности, при А = y = n имеют место равенства

C-- = | Sn-11 к-, C+ = | Sn-11 к+ ∗              n∗n

C Доказательство теоремы подготовлено леммой 4.1. Применяя теорему 3.1 в правых частях неравенств (12), после ряда простых преобразований получаем утверждение теоремы в достаточной части.

Для получения оценок норм снизу в пунктах III и IV неравенства (12) неприменимы. Но мы воспользуемся тем, что на радиальных функциях неравенства (10) и (11), а следовательно, и неравенства (12), превращаются в равенства.

Получим первую оценку из (15). Рассмотрим минимизующую функцию

, , х \|x| p +,      0 < |x| 6 1, fg(x) =

0,                 |x| > 1, где 5 > 0. Очевидио fg € Lp(Rn) ii. следовательно, в силу включения A € L1(Rn). fg € Lp)(Rn). Ввиду радиальности fg имеем kK fgkLA)(Rn)    WK Fg HlA)(R+) ,

1 ⁿ__¹

где ?l(p) = |S^n-1|p^n-1A(p), .Fg(p) = is;^^ RSn_i fg(pa) do = |S^n-1|^pp ^p fg(p).

Воспользовавшись первым из неравенств (6), после несложных преобразований по лучим

^WK ^{fg W}LA)(Rn) > ^К- W^FgIIlA⁾(R₊)    ^|S    |^Kn k^{fg k}L^pA (Rn).

Тем самым первое из неравенств (15) доказано. Второе получается аналогично посред ством функции

fg^(x) = 11 ’,-n-g

0 < |x| 6 1, |x| > 1,

|x| p , где 5 > 0.

Доказательство неравенств (16) и (17) аналогично доказательству неравенств (7) ii (8). в

• 4.2.    Общий случай. Обозначим

  ^КР^:=

  
  
  
  

  /

  
  

  |x|61

  
  

  K (ei, x) -—р dx,

  
  

Г(о):= sup [ |K- (x^lM™^ dx. 0(p^-e)⁰

|x|>1

Заметим, что ' (a) 6 J|x|>1 |K (x,e1)| max

[a. (|x|)] ^р(р—) Ч11СЛС1ШСМ SUPo<_e<_p-1^J  n —.

|x| (Р—Д*

I ЫЫ^)]p0

n

|x| ^p0

dx,

Теорема 4.2. Пусть 1 < p < то, a = a(|x|), я/тро K (x,y) однородно степени —n и инвариантно относительно вращений. Если '-(a) < то, то оператор K- ограничен в гранд-пространстве L^)(Rn) н

IKНд)№ 6 Г (a)-

Если K (x,y) > 0 na G L1(Rn), то условие к_р< то необходимо для такой ограниченности и

^Kp⁶k^{K k}Lp⁾(Rn)^-

C Оценим ||K f kLp-e(Rn ap) сверху. Для этого представим K f (x) в виде k-f(x)= j |y| qn K-(x,y) 1 |y|6|x|

E ^{a(|x|) p}

E ^a(|y|)^p

)

qq⁰      _n

|y|^qq0 K (x,y)^q

E ^a(|y|)^p

E ^{a(|x|) p}

!    f (У) dy-

Применяя неравенство Гёльдера, получим

|K^-f (x)| 6 {A}7    j |y|n|K^-(x,y)|

Jy|6|x|

E ^a(|y|)^p

E ^{a(|x|) p}

q

q

If(y)|^qdy > ,

A = |x| ^p-E j |y| |y|61

n

p-ε K

x

|x|,y

Е

a(|y|)      ■■

a(|x||y|)               y-

В последнем интеграле сделаем замену вращения y = w(z), при котором ш(е1) = |Х|, где e1 = (1, 0, - - - , 0),

a(t) sUP3AJT t<1 a(xt)

6 a∗

x

x > 0,

K

А 6 |x|

p j |y| p K (ei,y)| |y|6i

a*

ε

p⁽p^-E)

dy.

_ n

Сделав в интеграле преобразование инверсии, получим А 6 |x| p^-E'~(a), где

ε

Щ_О):= [ |K_ (x,ei)' pp dx.

|x|^(p-E)0

|x|>1

Таким образом, получаем

| K^-f (x) | 6

['-(a)] (p^-)⁷

n

|x| ⁽p^-e)(p^-e)0

■ у ^|yl

. |y|6|x|

n

(p-E)⁰ |K^-(x,y)|

aCM)p

^{a(|x|) p}

1 ⁽p^-E)0

1 p-ε

|f . dy\

Далее, имеем

kK-fkLp

ε

Rn,ap

6 ['-(a)] ^(p-E)0

|f . x (p-E)0

n

x

j |x| ^(p-E)0 |K (x,y)|

^a(|y^{|) p a(|x|) p}

⁽p^-e)0

a(|x|)^p dxdy

p-ε

|y|6|x|

=['-(a)] <p—7

nε

(p-E)0 a(|y|)p(p-E)0

|x|

nε

^(p-E)0 |K^-(x,y)|a(|x|)^p(p-E)dxdy

1 p-ε

.

|y|6|x|

После замены x ^ |y|x и вращения во внутреннем интеграле, получим

1 I Г                               E kK-fkLp-E/RпДА 6 ['-(a)](p-E)0      |f(y)|p-ea(|y|)p(p—T dy

L R ,ap

Rn

^x У ^|x^| |x|>1

П                                  E         p^-E

^(p-E)0 |K (x,e1 )|a(|x||y|)^p(p-E)dx

['-(a)] ~

|f(y)|p ^ea(|y|)^pdy x

У |x| ^(p-E)0 |K (x,e1 )| |x|>1

a(|x||y|)   p(p-E)

^a(|y^|)У

dx

) p—E

6 ['^-(a)] (p—T Ilf ||      , ex

ε                Lp-ε Rn,ap

|x|

nε

^(p-E)0 |K^-(x, e1 )| [a*(|x|)]^p(p-E) dx

^ p—E

1                    1

['^-(a)] (p-E)⁰ ['^-(a)]p^ ||f ||       , ex = '^-(a)|f II , ex .

ε             ε              Lp-ε Rn,ap      ε         Lp-ε Rn,ap

Отсюда с учетом (1), приходим к (18).

Для доказательства оценки снизу в (19) возьмем минимизирующее семейство функций в виде fs(x) = |x|-П^+s(1 + |x|)-²^. Так как fs E L^-(Rⁿ) 1i a E L¹ (Rn). то fs E La) (Rn) в силу (2). Из ограниченности оператора K- в гранд-пространстве La)(Rⁿ) следует, что f_δ

K -fs (x) = I

|y|6i

К (ei,y)fs(|x|y) dy.

Легко проверить, что fs(xy) > fs(x)fs(y) Тогда

K fs(x) > к-(б) f5 (x), где к- (б) = J|y|61 К (ei, y)fs(y) dy. Следовательно.

k^{K k}LP)(Rn) >

^kK ^{fs k}LP)(Rn) ^kfs ^LP) (Rn)

>^к- ^(б)

Остается перейти к пределу при б ^ 0 под знаком интеграла, определяющего к_р (б), что обосновывается теоремой Леви. B

Аналогичное утверждение справедливо и для оператора K+ с заменой к- и '-(а) на к+

/К⁺ (x, e₁) —n dx

|x| ^p0

|x|>1

И

'+(a) = sup

01

У |К⁺ (e₁, x) | |x| |x|61

n

ε

p - [a* (|x|)] ^p(^p-E) dx

соответственно.

Автор выражает благодарность профессору С. Г. Самко за. полезное обсуждение результатов работы и анонимному рецензенту за. цепные замечания.