Однозначная разрешимость одной задачи типа задачи Бицадзе - Самарского для уравнения с разрывными коэффициентами

Следующим этапом в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф. И. Франкля [3, 4], где он заметил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Академик И. Н. Векуа указал на важность уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а так же в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

Трехмерный аналог задачи Трикоми был впервые предложен А. В. Бнцадзе [5] в случае, когда поверхность изменения типа уравнений является поверхностью временного типа. В задаче Трикоми часть характеристического многообразия Г свободна от граничных условий. Следовательно, точки Г не являются равноправными как носители граничных данных. Этот факт не дает возможность найти непосредственный аналог задачи Трикоми для уравнений смешанного типа в многомерных областях, особенно в случае, когда поверхность изменения типа пространственно ориентирована.

В связи с этим в шестидесятых годах А. В. Бнцадзе была выдвинута проблема поиска правильной постановки краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, когда все точки характеристической части границы равноправны как носители краевых данных.

В 1969 г. А. М. Нахушев [6, 7] предложил ряд нелокальных задач нового типа, которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Они являются обобщением задачи Трикоми, а также содержат широкий класс корректных самосопряженных задач. Эти задачи сразу вызвали большой интерес многих авторов.

В последние годы исследования задач со смещением для уравнений смешанного и гиперболического типа ведутся особенно интенсивно. Но в этих работах краевые условия, как правило, содержат классические операторы Римана — Лиувилля. Нелокальным краевым задачам, содержащим операторы более сложной структуры, посвящено сравнительно мало работ. Начало исследований краевых задач со смещением для гиперболического уравнения Эйлера — Дарбу — Пуассона, где имеются обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования, было положено работами японского математика М. Сайго [8].

Результаты О. А. Репина [9] являются продолжением исследований в этом направлении и посвящены локальным и нелокальным краевым задачам для уравнений гиперболического и смешанного типов с вырождением первого и второго рода. Поставленные и исследуемые задачи отличаются от изучавшихся другими авторами прежде всего тем, что краевые условия содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса.

В работах для вырождающихся гиперболических и эллиптико-гиперболического типов уравнений многими авторами исследовались задачи со смещением (по терминологии А. М. Нахушева) и задачи типа задачи Бнцадзе — Самарского, когда на гиперболической части границы области задано локальное условие, поточечно связывающее значения искомого решения или производной, вообще говоря, дробной определенного порядка, зависящего от порядка вырождения уравнения. Этими авторами не были рассмотрены задачи со смещением, когда в краевых условиях участвуют дробные производные или интегралы произвольных порядков, не зависящих от порядка вырождения уравнения [9, 10].

Естественным обобщением теории нелокальных краевых задач явились нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений с операторами более сложной структуры — обобщенными операторами дробного интегро-диффе- ренцирования с гипергеометрической функцией Гаусса. Этому направлению посвящено немало работ, среди которых работы таких авторов как М. С. Салахитдинова, О. А. Репина, С. К. Кумыковой, А. В. Псху и др. В опубликованных работах, краевые условия содержат классические операторы или операторы дробного в смысле Римана — Лиувилля интегро-дифференцирования [10-15].

В данной работе рассматривается смешанное гиперболо-параболическое уравнение с разрывными коэффициентами, краевое условие которого содержит оператор дробного интегро-дифференцирования. Путем редукции задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода определены промежутки изменения порядков операторов дробного интегро-дифференцирования, при которых решение существует и единственно. Также установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной в уравнении на разрешимость задачи.

• 2.    Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

J CUxxx + P2(x,y)Uxx + P1(x,y)Ux + po(x,y)u - Uy,     у >  0,

((-y)mUxx — Uyy + p(-y)"2-1Ux,                     y< 0, m > 2, где p = const = 0 — вещественная постоянная в односвязной области П, ограниченной отрезками AAo. A0B0. B0B прямых x = 0. у = 1, x = 1 соответствешю при у > 0. и характеристиками

2        m+2                     2        m+2

AC : x ^- m+2^{(-y) 2} =⁰,   B^{C :} x ⁺ m+A-^{у) 2} =1

уравнения (1) при у <  0.

Пусть П1 = П П (у > 0). П2 = П П (у < 0). I = AB — шперва.т 0 < x < 1 прямой у = 0: 2

ЗАДАЧА 1. Найти функцию и (x,y) такую, что u(x, у) E C(П) П C 1(g) n C^) П C^)

являющуюся решением уравнения (1) в области П пр и у = 0 и удовлетворяющей условиям

^и(0,у) = У1Ы,    ^и(1,у) = ^2⁽у),    ^их^(0,у)= Уз (у), ⁰<  у ^ 1,           (2)

p(x)Dax5(x)u [0o(x)[ + c(x)u(x, 0) — 7(x)u_y(x, 0) = f (x) (Vx E I ),          (3)

где c(x), p(x), Y(x), f (x), У_i(y) (i = 1,2,3) — заданные известные функции, причем c(x), p(x), y(x) f (x) E C‘(I ) П c³(I); p_i(x,y) E C i(n); выполняется неравенство c²(x) + p²(x) + Y²(x) = 0; yi(у) E C [0,1] П C ²]0,1[; Dax — оператор дробного интегродифференцирования [4].

Подобного типа задачи изучались ранее в работах Репина О. А. [9], Кумыковой С. К. [10].

3. Основные результаты

Обозначим

m — 2p       m + 2p              m         2 а = 2(m + 2) ’ в = 2(m + 2) ’ " = а ' в = m + 2 ’ Y = m + 2" Теорема 1. Пусть |p| < m Тогда решение задачи (1)—(3) в Q единственно, если выполняются следующие условия: P2(x, 0) > 0, P2x(x, 0) — P1x(x, 0)+2P0(x, 0) ^ 0, Pi(x,y) G Ci(Q1), (4) и в случае a = а, d(x) = x-Y (5) выполняются условия Ai(x) = ^.1^ + c(x)x1-e = 0 (Vx G I), (6) sin(ne) / p(x) X‘         x1-e7(x) p(1) = °'      2   U1(x)) Y °'    A1(x)  ^ ”’ (7) а в случае a = 1 — в, d(x) = 1 (8) выполняются условия A2(x) = p(x) + l1xay(x) = 0 (Vx G I) (9) p(1)=°■ s-n T ()' < 0- xOc# > 0 (V x G I), 2 A2(x)            A2 (x) (10) где l Г(1 - а) / 4 V

¹   Г(2 - е) m + 2   ‘

<1 Устремляя у ^ +0 в уравнении (1), получим основное функциональное соотношение между функциями т (x) = u(x, 0) и v(x) = Uy (x, 0), принесенное на In з Qi в виде [16]

v(x) = т ‘‘‘(х) + P2(x, 0)т‘‘(x) + pi(x, 0)т‘(x) + po(x, 0)т(x),

(П)

при этом граничные условия (2) принимают вид

т(0) = П(0), т(1) = ^2(0), т ‘(0) = ^3(0)-

Умножим выражение (11) на v(x) и, интегрируя от 0 до 1, после некоторых преобразований получим

J * = j т (x)v(x) dx = —

2(т‘(1))2 — i P2(x, 0)т‘²(x) dx 0

+ |/ (P2x(x, 0)

— p _1x (x, 0)+2po(x, 0)т² (x) dx) = 0.

При выполнении условий (4) теоремы 1 получаем, что

J∗

j ^т(*) dx < 0.

Решение задачи Коши для уравнения (1) в области Q2 имеет вид [17]

^u(x,y⁾ = _Г (^Г)Г( в ) / ^Т [x ⁺ Y⁽-y)”+" ⁽²t — 1)] t^e-1(1 — t^)a-1 ^dt 0

^{+      Г(}2 - S т • ^(-у ) / v [x ^{+ 7(-}у) m+2^{(2t -} 1)] t^{-a(1 - t)-e dt}-

Г(1 - а)Г(1 - в)

Удовлетворяя последнее условию (3), получим функциональное соотношение между т(x) 11 v(x). прииесешк>0 на лшшто AB 11 з Q2 вида [17. 18]

^{Г(2 е)} ( m ^{+ 2} | na X(_T\nb^-1 -a

^Р(Х)Г(1 a) \ 4 ) D0x ^^(x)Dxi ^{x v(x)}

+ pOxS DaMxV DoXX^ ¹т (x) - Y(x)v(x) + c(x)r(x) = f (x). ^Г(в)

При выполнении условия (5) теоремы 1 последнее соотношение принимает вид

SS p(x)xe 1+c(x) Г(в)

т (x)

Sr—fmT"2) P(x)Doxx YDox1x av(x)+ Y(x)v(x) + f(x).    (13)

1(1 - a) \ 4

Так как x = da -Y -a1,(T\ = - Г(2  i)r(1  e) T-a--1 г-- 1

J^{1    D}0x^{x x v(x)} З'г-,^/..      x/-.     2xV2^{x D}0x ^v(x),

[r(1 - a)(1 - e)]

то после некоторых преобразований (13) принимает вид [2]

т (x) = B(x)D0x 1v(x) + Yi(x)v(x) + fi(x),

где

.   K • p(x)        1 /m + 2 -m+2 Г(2 - е)Г(1 - e)

B(x) = TA^xr’ K = 2           Ё3(Г-?Ю(Г-5) - r(e)               1-e                  x1-ef(x)    . x1 e y (s

Ailx^re)p(x) + ctox-5 = 0- /1И= A - 25И = -A1(x)

Выражение (14) есть основное функциональное соотношение между функциями т(x) и Y(x). пршкаалшое на AB из Q2.

Пусть выполнены условия (6), (7) теоремы 1. Умножая (14) на v(x), в случае (5) при fi(x) = 0, и рассматривая интеграл jт (x)v(x) dx

J∗ получим, что J* ^ 0 для лтобого x G I. Следовательно. J* = 0 ^ v(x) = 0 ii it; (14) при fi(x) = 0 полу чаем т (x) = 0. Таким образом, u(x,y) = 0 в Q2, как решение задачи Коши уравнения (1) с нулевыми данными, а в Qi — u(x,y) = 0, как решение однородной задачи (1), (2).

Для доказательства существования решения задачи в случае (5) проинтегрируем трижды соотношение (11) от 0 до x. С учетом краевых условий (2) получаем т (x)

-

у у k(1,t)T(t) dt + 2

x j k(x,t)T(t) dt

x

=2 /(x - t)2v(t)

^dt— "2 У⁽¹ - ^t)2v^(t)

dt + g(x),

где

k(x,t) = 2p2(t, 0) + 2(x - t) [pi(t, 0) - 2p2(t, 0)] + (x - t)² [po(t, 0) - pi(t, 0) + р’ДД, 0)] ; g(x) = ^3(0)(x - x²) + ^2(0)x² + ^з(0)(1 - x² + p2(0, 0)(x - x²)).

Подставляя (14) в (15) и проделав некоторые преобразования, получим

v

(x) +

N (x, t)v(t) dt = M (x),

где

J N_i(x, t),     0 < t < x;

[N2(x, t),      x < t ^ 1,

Ni^(x,t) = x-Ki^(1,t)Yi^{(t) + 1} K ^(x,t)Yi^{(t) +} fTT^-Bx м2 2                   2                 Г (1 — L ) (x — t)

t

+

1 - x²    fK (1,z)B(z) _л

2(x -1)2 + y(1 -1)2,

2Г(1 - _£) J (z - t)^e dz

N2(x,t) = -x-K(1,t)Yi(r) -

t

x2      ?

2Г(1 - £) J

K(1,z)B(z)^ + x2(l t)2 (z - t)e   dz + 2 (1 - t) ,

x2

M(x) = g(x) - fi(x) + y у K(1,t)fi(t) dt

x

- 2 j K(x,t)fi(t) dt.

Уравнение (16) есть уравнение Фредгольма 2-го рода относительно функции v(x), безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи. Единственное решение уравнения (16) находится по формуле

v

(x) = F (x) + j 0

R(x, t)F (t) dt,

где R(x,t) — резольвеита ядра N(x,t)

При выполнении условий (9)—(11) доказательство единственности и существования решения задачи проводится аналогичным образом. >

Пусть теперь p = ±m2-

Теорема 2. В области П существует единственное решение задачи (1)-(3), если выполняются условия (4) теоремы 1, и при p = mm выполняются условия a = 1 — E,  ^(x) = 1 P(1)=0, sin   f p-)) > 0,  -cx- < 0,

2 U(x)7        A7(x)

m + 2 /m + 2 \ Y

A3(x)=r(1 — e)P(x) — nY(x)=0, n =—2——J , а при p = — mm выполняются условия a = 1, 5(x) = 1, c^x\ С 0, A4(x) = p(x) — nxeY(x) = 0. A4(x)

<1 Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. >