Ограниченность потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега

Неравенство Соболева. [2]

kI^a fkLq (Rn) 6 ckf 11 lp (Rn), 1

to, 1/q = 1/p - a/n,            (1)

для потенциала. Рисса.

I ^af ^:= 1 I^х — ^yl^a-nf (y) dy, ⁰<  a < n

Rn в пространствах Лебега Lp(Rn) имеет известные весовые обобщения, полученные в работах В. Кокилашвили [1, 15, 16], Е. Т. Sawyer [25], Е. Т. Sawyer и R. L. Weeden [26], С. Рй« [23, 24]. S. Tord |30].

В этой работе мы рассматриваем потенциалы Рисса. в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега L^(Rⁿ,w). В 1992 г. Т. Iwaniec и С. Sbordone [13] ввели grand Lebesgue spaces (гранд-пространства Лебега^ по ограниченному множеству Н С Rn следующим определением:

θ

Up'⁶ (Щ = f : sup е ^p-E ||f kLp-E(Q) <  to , 1

to, 6 >  0.

0

Операторы гармонического анализа, интенсивно исследовались в таких пространствах в последние годы; они продолжают привлекать внимание исследователей в связи с различными приложениями [5, 6], [8-12], [14], [17-21].

В [27, 28] был предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега, на. множествах неограниченной меры. В наиболее общей форме этот подход реализован в [3] в виде

где 1 < p < то. 6 > 0 ii Q С Rn — произвольное открытос множество: в случае 6 = 1

пишут L^p(Q,w) := L^p,1(Q,w) , и Up'⁶(Rn,w) = Up'⁶(Rn,w) |    — в случае a = 1.

I a=1

Весовое обобщенное гранд-пространство Лебега L^p)'⁶(Q, w) зависит от «функционального параметра » a ii является расширенном классического пространства Лебега L^p(Q,w) при условии a Е L^p(Q,w).

В работах [3, 27] с помощью теремы Рисса. - Торина. - Стейна. - Вейса, об интерполировании с изменением меры показано, что ограниченность произвольного линейного оператора, в двух «близких друг к другу» обычных весовых пространствах Лебега, влечет ограниченность в весовом гранд-пространстве Лебега. На основе этого в [3] доказана. ограниченность операторов Кальдерона. — Зигмунда, и максимального оператора. Харди - Литтлвуда, в весовых гранд-пространствах Лебега.

Основная цель данной работы — исследование действия потенциала. Рисса. во введенных в [3] весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега. Для этого мы сначала, в теореме 3.1, применением той же теремы Рисса. - Торина. - Стейна. - Вейса, получаем двухвесовые оценки для линейных операторов в рассматриваемых весовых гранд-пространствах. Как следствие из этих оценок и свойств весов Макенхаупта. — Уидена, получаем основное утверждение — теорему 4.2 об ограниченности потенциала. Рисса. в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега.

Обозначения. C, c — различные абсолютные положительные постоянные, которые могут иметь различные значения даже в одной и той же строке; Q — открытое множество в Rn: |A| - мора Лебега измерпмого множества A С Rn: v. w - веа на. Q. т. е. неотрицательные локально интегрируемые на Q функции, обращающиеся в нуль на множестве нулевой меры: w(E) = J_E w(x) dx; B(x,r) = {y Е Rn : |y — x| < r}; B(x,r) = B(x,r) П Q: Q - куб в Rn e ребрами, параллельными координатным осям: ^ означает непрерывное p вложение: p = — p—1

2. Предварительные сведения

2.1. Определения и вспомогательные утверждения. Через A_p, 1 < p < ∞, обозначаем класс весовых функций, удовлетворяющих условию Макенхаупта. [22]:

p—1

Q⊂Rn   |Q|

1            - i

w(x) dx I I         w(x) p^-1dx I     < то.

|Q|

QQ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Будем говорить, что пара весов (w,v) принадлежит классу Ap,_q, 0 < a < n. 1 < p, q < то [26]. если

sup |Q|a/n+1/q 1/p f 777 / v(x) dx!   f    / w(x)1 p0 dx!    < то.

Q⊂Rn                     |Q|                     |Q|

QQ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Будем говорить, что пара весов (w,v) принадлежит классу

A*(p, q). 1 < p, q < то [7]. если

™Р

Q⊂Rⁿ |Q|

1/q     1                 0       1/p0

v(x)^qdx             w(x) ^pdx< то

|Q|

QQ

Лемма 2.3. Пусть 0 < a < п, 1 < p, q < той выполнены условия

• 1)    для БОСОВЫх функций w п v существуют числа r > 1 и 0 < Е < q — 1 такие. что

  sup |Q|^{a/n+1/(q-e)-1/p} Q

  
  

  j v(x)^rdx

  Q

  
  

  1 (q-e^r

  
  

  j w(x)^(1-p)r dx

  Q

  
  

  1 _p0 _r

  
  

  < то;

  
  
  
  

• 2)    исотрипательпыс функции a ii b таковы, что существует число 5 > е такое, что δδ

(ap, b^q-E) G A*(p, q — е).

Павла (wa^e,vb^e) G Aa«_..

p,q-ε

C Обозначим

△ := sup |Q|^{a/n+1/(q-e)-1/p} _    v(x)b(x)^e dx

QcRn                        |Q|

Q

1/(q-e)

1                                \ 1/P0

[w(x)a(x)^e]1 ^p dx I |Q|

Q

.

К обоим интегралам применим неравенство Гёльдера с показателем r > 1. Получим

△ 6 sup

Q⊂Rⁿ

|Q|a/n+l/(q-e)-l/p

ТОТ У^{v(x) dx}) Q

1 r(q-e)

г¹! /^{w(x)(1 p0)r dx}] ^|Q|

Q

1 rp⁰

jQ / [^b(x^)C<,,q-C)] "Ч ”' (тот / [a)Cr0^/P] -p dx)

QQ

Откуда следует утверждение леммы. B

В случае 0 < a < п. 1 < p < n/a. 1/q = 1/p — a/n известно соотношение

(w^p/q, w) G Ap,_q<> w G A_1+q/_p0.

• 2. 2. Ограниченность риссова потенциала в весовых пространствах Лебега. Будем говорить, что вес w удовлетворяет условию удвоения. если существует C > 0 такое. Tito w(2Q) 6 Cw(Q) для все.т кчбов Q С Rⁿ е ребрами, пара.тлелвпымп координатным осям.

Основное утверждение данной статьи получено посредством теоремы Сойера. - Уидена [26] об ограниченности оператора потенциала I^a в классических пространствах Лебега:

Теорема 2.4. Пусть 0 < a < п, 1 < p 6 q < то.

(1) Неравенство

III^af Ны(Rn,v) ⁶ckfkLP(Rn,w)

выполняется, если существует r > 1 такое, что

sup |Q|^a/n+1/q-1/py f v(x)rdx

Q

Q

1/(p0r)

< то.

Q

(2) Если предподожить, что p < q и функции v и w^{1 p} удовлетворяют условию удвоения, то (4) выполняется тогда и только тогда, когда (w,v) G A“_q.

• 2. 3. Интерполяционная теорема. Нам понадобится следующая интерполяционная теорема. Рисса. - Торина. - Стейна. - Вейса, с изменением меры [4, 29], которую мы формулируем в весовых терминах.

Теорема 2.5. Пусть pk, qk G [1, то) ii vk, wk - всca па. Q. k — 1, 2, и T - сублинейный оператор, опрелелеппый па Lp (Q,w_i) П Lp²(Q,w₂). Если T : Lp(Q,w_i) ^ Lq¹ (Q,v₁) с нормой M_i 11 T : Lp² (Q, w₂) ^ Lq² (Q, v₂) с no]>мой M₂. to

T : Lp (Q,wt) ^ Lqt (Q,vt)

с нормой M 6 Mi tM2- где

-— (—

Pt   Pi     P2   Pi

= qt    qi      q2    qi

(i-t) pt tpt pp wt - wi 1 w2 2 ,

(i-t) qt t qt vt — vi     q1 v2q2, 0

< t < 1.

• 3.    Ограниченность линейных операторов в обобщенных гранд-пространствах Лебега

Теорема 3.1. Пусть 1 < p, q < то, w и v — два веса на Q С Rn. Пусть линейный оператор T ограничен из пространства Lp(Q,w) в просдыпетво Lq(Q,v) н ограничен из пространства Lp⁰ (Q,wa^p-p0) ii просдпапство Lq⁰ (Q,vb^q-q0) для некоторая двух чисел 1 < Po 1 < q₀двух i юотрппателышх па Q фкшишй a G L^p(Q,w) н b^G Lq (^Q.^v).

Тогда оператор T ограничен из весового обобщенного гранд-пространств а Лебега La)⁶(Q,w) в весовое обобщенное гранд-пространство Лебега L^q),6q/p(Q,v).

C Для произвольного положитолыюго числа 9_i имеем

θ1

kTf k q)i)A(O —= sup £q-E kTf kLq-^(Q,vb^) — max{A, B}, Lb UCv)   0

A — sup £^q-e kTf kLq-_E(n,vb_E), B — sup    £^q-- ||Tf kLq-_E(n,vb_E).         (8)

O

Оценка величины A. По интерполяционной теореме 2.5 с параметрами

Pi — P,  P2 — P0 ,  qi — q,  q2 — q0 ,  vi — w, v2 — wa^p-p0 ,  wi — v, w2 — vb^q-q0

получаем, что kTf kLq-(Q,vbE) 6 Mi tMtkf kLPE(U,waP-PE),

Pe — (p + t (p0 - p))   , t — (q-q^q-e) ДЛЯ ^ECCX£ G [0, q - qo]. Следовательно.

A 6 sup Mi¹ tM2t£^q-E kf |lp.(Q,waP-p_E) O

6 sup O

θ1           _-θ                            θ

Mi M.t£ ^q-- (p - Pe) ^P-     sup    (p - Pe) ^P- kf |lp- (Q,woP-P^E) -

O

Учитывая, что t = pp^p-pj, получим A 6 C(po,qo)kf kLp),e_(Q,_w), где

-8( 1-t+-t                          9i (1-t+-t-

C(Po,qo)= sup M^ tMt 0

tq(q — qo)         q   q°      tp(p — po)         p p° qo + t(q — qo)                po + t(p — po)

Выделив из правой части сомножитель t⁸¹ q-⁸p. можно сделать вывод: константа C (Po,qo) коцепи а. если 91 = p 9.

Оценка величины B. Воспользовавшись неравенством Вёльдера с показателем ^°- > 1. полечим q-ε

q( ^ - ^ kTf ih-^ 6 iwiLq-v) q° kTf kLq° (Q,vbq-q°),

так что

61     q( --- - -

^B 6 SuP    E q^- kbkLq q" q°^j k^Tf |^° (Q,vbq-q° )

q-q°

• - 61    -                      61 KL_             61

= ⁽q^—qo) ^q° k^bkLq^q(°Q v)     sup    ^Eq- IlbllL-(q v)⁽q^—qo) ^q° kTf1Ь°(Q,vbq-q°)

’ q-q°

6 inf    fh-1(q — qo)    sup    h(e)) • A = A- o

-61      - где обозначено h(e) := eq-E ||bkLq(q v). Объединяя оценки для A и B, получим утверждение теоремы 3.1. B

{M1( Р ) ⁶ ,M2( Р ) p° }•

Замечание 3.2. В случае p° = p справедтнво C(po,qo) = max

• 4.    Основное утверждение

В работе [21] получено необходимое и достаточное условие ограниченности потенциала Висса в весовом гранд-пространстве Лебега на отрезке [0,1]:

Теорема 4.1. Пусть 0 < а < 1.1 < p < ж 9 > 0 iiq = p/(1 — ар). Тогда неравенство

III^a(fw^a)kLq⁾,⁶<¹+^aq⁾([o,1],w) ⁶ ckfIIlpI⁶([o,1],w)

выполняется тогда и только тогда, когда w € A_1+q/_po •

Ha основании теоремы 3.1 мы можем получить двухвесовую оценку нормы потенциала Висса по Rn в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега:

Теорема 4.2. Пусть 0 < а< n 11 1

го. Пусть

• 1)    ^(w,v) е A^aq:

• 2)    v и w^{1 p}удовлетворяют условию удвоения;

• 3)    для тжотс>рых ппсел r> 1 н 0 < E_o — 1 выполняется условие

  sup |Q|^a/n+1/(q-=°^)-1/p°f [ v(x)rdx

  Q

  Q

  
  
  
  

  ' °r    .

  < ∞,

  
  

  po 6 q — Eo;

  
  

  Q

  
  

• 4)    неотрннателвiibic (1>ункпнн a ii b таковвк что существует число 5 > Eo такое, что о

ap° , bq-E° I € A*(po, q — Eo) и функции vbe° и (wa 13)1 p° удовлетворяют условию удвое ния.

Тогда оператор Рисса I^a ограничен из обобщенного гранд-пространства Лебега Lp’^(Rn,w) в обобщенное гранд-пространство Лебега Lq^,6q/p(Rn, v), 0 > 0.

C Из условий 1) и 2) в силу теоремы 2.4 следует ограниченность оператора Рисса из пространства Lp(Q, w) в пространство Lq(Q, v), из условий 3) и 4) на основании леммы 2.3 и теоремы 2.4 следует его ограниченность из пространства L^Po(Q,wa^e0) в пространство L^q-e0(Q,vb^e0). Таким образом, условия теоремы 3.1 выполнены и тем самым теорема 4.2 доказана, в

Следствие 4.3. Пусть Q С Rn 0 < a < n, 1

n/a, 1/q = 1/p — a/n, w E A1+_q/_p?

II функции w II w-p/q удовлетворяют условию удвоения.

Тогда I^a : L^p’⁶fowp/q) ^ L^q’^6q/p(Q,w).

C Из соотношения (3) еле дует, что пара функций (wp/q ,w удовлетворяет условию 1) теоремы 4.2. Следовательно, w E A1+ q. Существует число e > 0 такое, что w E A1+q_е. p0p

Решив систему уравнений q-r0 = pq?—e, q—— = p-- а ПОЛУЧИм числа pg и eq, для которых имеет место соотношение A1+q = A q-E0 . Откуда следует выполнимость условия 3) 01+ ppo теоремы 4.2. Первая часть условия 4) выполняется, так как класс Ap,q содержит константу, а вторая — совпадает с условием 2). Таким образом, все условия теоремы 4.2

выполнены и следствие доказано. B

Отметим, что в случае отрезка [0,1] теорема 4.2 содержит достаточную частью теоремы 4.1 при выборе w = w^1-ap, v = w, b = 1, a = w^a.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору С. Г. Самко за. полезные замечания, способствовшие улучшению содержания статьи.