Ограниченные решения модели Баренблатта - Желтова - Кочиной в квазисоболевых пространствах

Введение. Пусть последовательность {Xk} С R+ таков а, что lim Xk = + то. В ква-k→∞ зисоболевых пространствах последовательностей lr [1 ] (r G R, q G R+) рассмотрим аналог модели Баренблатта. - Желтова - Кочиной

( X — Л) U( t )= а Л u ( t )+ g ( t ) ,                           (1)

где параметры а, X G R. вектор-сфункция g : R ^ lr. oner>атор Л : iq ⁺² ^ lr - квазиоператор Лапласа. [2]. В силу того, что оператор в правой части уравнения (1) может зануляться, то оно относится к уравнениям Соболевского типа [3]. Уравнения Соболевского типа в квазибанаховых пространствах начали изучаться совсем недавно [4]. Интерес к таким уравненям в этих пространствах продиктован не столько практическими приложениями, сколько желанием пополнить теорию, распространив ее результаты в эти пространства.

Вопросы разрешимости уравнения (1), а. также задачи Коши и (0) = и о                                       (2)

для него в квазисоболевых пространствах рассмотрены, например, в работах [4, 5]. Экспоненциальные дихотомии для уравнения (1) рассмотрены в работе [6]. Целью данной статьи является изучение ограниченных решений модели (1) и задачи Коши (2) для него. При этом будем ориентироваться на аналогичные результаты, полученные при рассмотрении данных вопросов в банаховых пространствах [7].

1. Относительно ограниченные операторы в квазисоболевых пространствах. Квазибанахово пространство - это полное линейное пространство, наделенное квазинормой. Пусть монотонная последовательность {Xk} С R+ такова, что lim Xk = + то. a, q Е R+. Рассмотрим k→∞ r ℓq

∞ _{r q}

S u = {uk} : 2^( Xk |uk И <  + то У .

Линейное пространство lr при всех r Е R, q Е R₊ с квазинорм ой элемента u = {uk} Е r

ℓq

/ ^              1 /q rq

Г М = E( xk u 0

\ k=1           / является квазибанаховым пространством (при q Е [1, + то) — банаховым). В [1] пространства 1m предложено называть квазнсоболевымн. Кроме того, эти пространства являются метризуемыми [4]. Причем, имеют силу плотные и непрерывные вложения iq ^ ■ iq ni>п r ^ i

Пусть пространства (U; U|| • ||) и (F; f|| • ||) являются квазисоболевыми, линейный оператор L : U ^ F, определенный на domL = U, назовем непрерывным, если lim Luk = L I lim uk) для всех поеледовательностей {uk} С U, сходящихся в про-k→∞ k→∞ странстве U. Отметим, что, как и вслучае банаховых пространств, линейный оператор L : U ^ F непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (т.е. отображает ограниченные множества в ограниченные). Обозначим через L(U; F) линейное пространство непрерывных операторов (линеал над полем R). Оно будет являться квазибанаховым пространством с квазинормой

L (U;F)ll ^{L |} l = sup f|| Lu||. U 1Ы1=1

Теперь, пусть операторы L,M Е L (U;F) По аналогии с [3, п. 2.1], рассмотрим L -резольвентное множество p ^L ( M ) = {p Е C : ( pL — M ) ~ ¹ Е L (F; U) } 11 L спектр a ^L ( M ) = C \ p ^L ( M ) оператора M. Аналогично банаховому случаю (см. замечание 2.1.2 [3]), множество p ^L ( M ) открыто, поэтому L -спектр a ^L ( M ) оператора M замкнут. Кроме того, если p ^L ( M ) = 0, то L -резольвента ( pL — M ) ~ ¹ оператора M аналитична, в p^L ( M ) [3. теорема, 2.1.1]. Оператор M пазывается ( L, иУограниченним. если За Е R₊ Vp Е C ( |p| > а ) ^ ( p Е p ^L ( M )) .

Теперь. пусть M ( L, и )-ограппчеп. Тогдгв выбрав контур y = {p Е C : |p| = h > а} , построим следующие операторы

P =

У [ RL ( M ) dp

2 ni     ^

γ

и Q =     / LL ⁽ M ) dp,

2 ni     ^

γ где интегралы понимаются в смысле Римана и существуют по теореме 2 [8] в силу

аналитичности правой RL ( M ) = ( pL — M ) ¹ L и левой LL ( M ) = L ( pL — M ) ¹ L- резольвент оператора M. Также в силу аналитичности RL ( M ) и LL ( M ) операторы

P и Q не зависят от радиуса h контура Y' Рассуждая аналогично доказательству [3, лемма 4.1.1], нетрудно показать, что операторы P Е L(U) (= L(U;U)) и Q Е L(F) ^ проекторы. Положим U0 = keiP. U1 = irnP. F0 = кqQ- F1 = imQ: п через Lk (Mk) обозначим сужение оператора L (M) нa Uk, k = 0, 1.

М.А. Сагадеева, Ф.Л. Хасан

Теорема 1. [4] Пусть операторы L,M Е L (U; F), причем оператор M ( L,a )- ограничен. Тогда

• (1)    операторы L_k, Mk Е L (U ^к ; F ^к ). к = 0 , 1:

• (ii)    существуют операторы L- ¹ Е L (F¹;U¹) и M0 ¹ Е L (F⁰;U⁰).

Положим H = M₀ ¹ L o- S = L- ¹ M 1 Очевидно, операторы H Е L (U⁰). S Е L (U¹).

Определение 1. Оператор M назовем

• (1)    ( L, 0)-ограниченныли если H = O:

• (ii)    ( L,p)-ограниченним, если H^k = O пр и к = 1 , p, и H^{p +1} = O;

• 2. Ограниченные решения модели Баренблатта - Желтова - Кочиной. Рассмотрим уравнение (1) как конкретную интерпретацию уравнения Соболевского типа

(Ui) ( L, то)-ограниченным. если H^k = O nr>n к Е N.

LU( t) = Mu (t) + g (t), рассматриваемого в пространствах U и F. Модель Баренблатта - Желтова - Кочиной является одной из наиболее известных неклассических моделей математической физики [9]. Будем рассматривать уравнение (1) в квазисоболевых пространствах U = lq+2 11 F = lr П1)П r Е Rii q Е R+. Положим операторы L = А — Л i1 M = а Л. которые принадлежат классу L(U; F) по построению.

Лемма 1. [4] Пусть а Е R \ { 0 } а Е Е R. тогда оператор M является ( L, 0)- ограниченым.

В силу результатов ы ( m ) = {^k = TkT λ - λk u∈U

[4, 5] относительный L -спектр оператора M имеет вид

Ак = А^

, разрешающая группа операторов для любого

Utu = <

∞ eµkt⟨u,ek⟩ek, к =1

e ^{µ k t} ⟨ u,ek ⟩ ek, к = l

если Ак = А для всех к Е N, если Al = А для некоторого l Е N, а пространство U1 уравнения (1) имеет вид

1 _ ( lr ⁺² , если А_к = А для всех к Е N; U = | {u Е iq ⁺² : Uk = 0 , Ак = А}.

Так как а = 0, то относительный L -спектр оператора M не пересекается с мнимой осью, то в силу замкнутости относительного спектра [4] существуют конечные контуры y + С {д Е C : Re р >  0 } 11 Y - С {д Е C : Re д <  0 } . ограничивающие ^а ₊ = {д_к Е a ^L ( M ) : д_к >  0 } и д - = {д_к Е a ^L ( M ) : д_к<  0 } соответственно. В силу чего мы можем определить функцию Грина.

Определение 2. Оператор-функцию

<

G' = <

2 ni

[ RL ( M ) e ^M 'dp = - ^ e ^{M k} 'ek, _{Y +}                        k : M k > ⁰

2 П / RL ( M ) e^dp = V e" > 'k,, _Y -                       k : M k <  0

t <  0;

t >  0 ,

назовем функцией Грина уравнения (1).

Используя вид функции Грина G', а также относительно спектральную теорему [10], получим следующие результаты.

Лемма 2. Пусть оператор M ( L,p)-ограничен и L-спектр оператора M не пересекается с мнимой осью. Тогда

• (i)    G' : U ^ U¹, и выполнена оценка r ⁺2 ||G'u|| < C ( u ) e^vl'¹;

• (ii)    при t Е R \ { 0 } функция Грина G¹ непрерывно дифференцируема и удовлетво- t                         dG^t

ряст уравнению LdG = MG¹, кроме того. —— : U ^ U¹ ограничена: dt                               _dt

(Ш) G ⁰⁺ - G ⁰ - = P.

Доказательство. (i) Действие оператор-функции G' из U в U1 следует из вида функции G'. Рассмотрим оценку. В силу замкнутости aL(M), так как L-спектр не пересекается с мнимой осью, существуют положительные константы v_ = max{pk Е aL(M) : pk < 0}. v+ = min {pk Е aL (M) : pk > 0}. При отри нательных t в силу метризуемости пространств Ir получим r+2

r ⁺ 2 G «Л’ =

q

-      e ^{µ k t} ⟨ u,ek ⟩ ek

k : M k > 0

ρ с t r+      q q

E ( e" k X¹ lukl)    <

.k : Mk > 0                         /

ρρ

( _x /    . r +       q q         Щ _x / r +2       q q                 ...

< E k ^{e + +} 'kk¹ W) < e’' ⁺ *   E  ( kk² W) < C ( u ) e^-1" ^{+ l}'|.

\k : M k > 0                       /                \k : M k > 0                 /

Аналогично, при t >  0 получим ^{r +}2 |G'u|’ < C ( u ) e’ ^{v -}'. Возьмем v = min {—v_-,v ₊ } и получим нужную оценку.

• (ii)    В силу того, что ряды, определяющие функцию Грина, сходятся равномерно и справедливы равенства

dG = - V Pke ^{M k 1} dG = V Pke ^{M kt}ek, t> 0 , dt                   dt

k : M k > 0                    k : M k < 0

следует непрерывная дифференцируемость G' по параметру. Кроме того, справедли во равенство

t

L-— - MG = щ — ( pL - M ) RL ( M ) e ^M dp = 0 , dt               2 ni

γ± где y± ограничивает соответствующун) наств отиосителвиого спектра aL (M).

М.А. Сагадеева, Ф.Л. Хасан dGt

Ограниченность проверяется аналогично (1).

• (iii)   G ⁰⁺ = Hm 1-. [ RL ⁽ M ) e^pd = ^ ek = Q-.

t^ 0+ 2ni /                   ^z—'

• _{Y -}                       k : ^ k < 0

Аналогично. G ⁰ = —Q ₊ , а. следовательно. G ⁰⁺ — G ⁰ = Q- + Q ₊ = Q.

□

Также в силу результатов [4, 5] оператор для любых v Е F

/

L - ¹ v = <

∞

52 ( X — ^k ) - ¹ ^v,ek ^ek, k =1

52 ( X — ^k) - ¹ ^v,ek ^ek, k=l

если Xk = —X для всех k Е N, если Xl = —X для некоторого l Е N.

Функцию f : J ^ F- г,те J C R. будем называть ограпичешюй. если sup F||f (t) || < t∈J то. Пусть k Е N. Q Е L(F) - проектор. Обозначим через Ck,l(J, F; Q) класс функций f. таких, что f0 = (I — Q) f Е Ck(J, F). f1 = Qf Е Cl(J, F). Символом BCk(J, F) обозначим множество функций f Е Ck(J, F), для которых f, f(1),..., f(k- 1) : J ^ F -ограниченные функции. И наконец, через BCk,l(J, F; Q) обозначим множество таких функций f. что (I — Q) f Е BCk(J, F). Qf Е BCl(J, F).

В силу леммы 2 справедлива следующая

Теорема 2. Пусть оператор M ( L,p)-ограничен и L-спектр оператора M не пересекается с мнимой осью. Тогда для любой функции g Е BC^{p +1 ,} 1(R , F; Q ) уравнение (1) имеет единственное решение и Е BC 1(R , U). Это решение имеет вид

+^

• и(t)= / Gt-sL-1 Qg(s)ds — ^HqM-1 g0(q)(t).(3)

^Aq

+A

Если к тому oicc и0 Е U имстn вид и0 = / G-sL-1 Qg(s)ds — 52 HqM-1 g0(q)(0), mo q=0

-∞ функция (3) является единственным ограниченным на R решением задачи (1), (2).