On fixed point theory and its applications to equilibrium models

Для заданных множества и (вообще говоря, многозначного) отображения этого множества в себя рассматривается вопрос о существовании неподвижных точек такого отображения, то есть точек, содержащихся в своем образе. Относительно заданных множества и отображения предполагается, что множество не пусто, а отображение определено на всем множестве. В этих условиях дается описание (переопределение) множества неподвижных точек в теоретико-множественных терминах. Это общее представление конкретизируется для случаев, когда множество наделено той или иной топологической структурой, а отображение имеет дополнительные свойства с ней связанные. В частности, предложены необходимые и достаточные условия существования неподвижных точек для случая отображений с замкнутым графиком как в хаусдорфовых топологических пространствах, так и в метрических пространствах. Приведен пример, иллюстрирующий возможности и преимущества предлагаемого подхода. Также даны непосредственные приложения этих результатов к поиску равновесных состояний в игровых задачах: описаны множества седловых точек (аналог теоремы Фана) в задаче о минимаксе и точек равновесия по Нэшу в игре со многими участниками для случаев, когда множества стратегий игроков являются хаусдорфовыми или метризуемыми топологическими пространствами.