On Proofs of the Existence of Non-Composite Polyhedra with Rhombic Vertices
Автор: Subbotin V.I.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
Previously, the author considered closed convex polyhedra in E3 with symmetrical rhombic vertices and regular faces, the so-called RR-polyhedra, in two cases: 1) regular faces of such polyhedra are of the same type, 2) regular faces are of different types, but the polyhedra are composite. From the author’s previously published works, it follows that in both cases the list of RR-polyhedra is complete. In the first case, there were twenty-four of them, and in the second, fifty-four. A vertex V of a polyhedron is called rhombic if the vertex star Star(V ) consists of n equal and identically located rhombi (not squares) having a common vertex V . If the vertex V lies on the rotation axis of order n of the star Star(V ), then V is called symmetric. A symmetric rhombic vertex V is called obtuse-angled if the rhombi of the star Star(V ) at the vertex V meet at their obtuse angles. The star Star(V ) is then called symmetric rhombic. The faces of an RR-polyhedron can be divided into two non-empty disjoint sets: the set of equal symmetric rhombic stars that do not have common edges, and the set of regular faces. An example of an RR-polyhedron is an elongated rhombododecahedron. If an RR-polyhedron has regular faces of one type, then such an RR-polyhedron is classified as the first type. Some regular-faced polyhedra with conditional edges, such as the extended rhombododecahedron and the doubly complemented cuboctahedron, are special cases of RR-polyhedrons. In this case, the rhombic faces of regular-faced polyhedra with conditional edges, unlike the rhombi of RR-polyhedra, are composed only of regular triangles. In this paper, constructive proofs are given for the existence of four non-composite RR-polyhedra. For two of them the author previously found the angles of the rhombi that form symmetrical faceted stars of the vertices. In the case of the 25-sided polyhedron, the rhombic vertex has an acute-angled faceted star, i. e. the rhombi in it meet at their acute angles. And in the case of a 31-sided polyhedron the faceted star is obtuse. The existence of two other non-composite RR-polyhedra is proven on the basis of the regular dodecahedron and the cube.
Non-composite RR-polyhedron, faceted vertex star, symmetrical rhombic vertex
Короткий адрес: https://sciup.org/143185860
IDR: 143185860 | УДК: 514.172.45 | DOI: 10.46698/v9042-5763-8845-q
О доказательствах существования несоставных многогранников с ромбическими вершинами
Ранее автором рассматривались замкнутые выпуклые многогранники в E3 с симметричными ромбическими вершинами и правильными гранями (так называемые RR-многогранники) в двух случаях: 1) правильные грани у таких многогранников одного типа, 2) правильные грани различного типа, но многогранники являются составными. Из ранее опубликованных работ автора следует, что в обоих случаях список RR-многогранников является полным. В первом случае их оказалось двадцать четыре, а во втором пятьдесят четыре. Вершина V многогранника называется ромбической, если звезда Star(V ) из граней вершины V многогранника состоит из n равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной V . Если вершина V лежит на оси вращения порядка n звезды Star(V ), то V называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина V называется тупоугольной, если ромбы звезды Star(V ) в вершине V сходятся своими тупыми углами. Звезда Star(V ) называется при этом симметричной ромбической. Грани RR-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества: множество равных симметричных ромбических звезд, не имеющих общих ребер, и множество правильных граней. Примером RR-многогранника является удлиненный ромбододекаэдр. Если в RR-многограннике правильные грани одного типа, то такой RR-многогранник отнесен к первому типу. Частными случаями RR-многогранников являются некоторые из правильногранников с условными ребрами, например удлиненный ромбододекаэдр и дважды дополненный кубооктаэдр. При этом ромбические грани правильногранных многогранников с условными ребрами в отличие от ромбов RR-многогранников, составлены только из правильных треугольников. В настоящей работе даны конструктивные доказательства существования четырех несоставных RR-многогранников. Для двух из них (25-гранника и 31-гранника) ранее автором были найдены углы ромбов, образующих симметричные гранные звезды вершин. В случае 25-гранника ромбическая вершина имеет остроугольную гранную звезду, т. е. ромбы в ней сходятся своими острыми углами, а в случае 31-гранника гранная звезда тупоугольная. Существование двух других несоставных RR-многогранников (132-гранника и 54-гранника) доказано на основе правильного додекаэдра и куба.
