О некоторых интерполяционных неравенствах, полученных О. А. Ладыженской, и нелинейных уравнениях в частных производных

В статье рассмотрены некоторые мультипликативные интерполяционные неравенства между пространствами Гельдера и Лебега. Мультипликативные интерполяционные неравенства типа Гальярдо - Ниренберга широко используются в исследованиях по дифференциальным уравнениям вчастных производных. Ранее были доказаны и применены несколько типов таких неравенств, включающих норму (полунорму) Гельдера. Настоящая статья обобщает имеющиеся результаты на случай анизотропных "параболических" пространств, предлагая простое доказательство, основанное на идее О. А. Ладыженской. В работе приводится применение такого неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера. Используя более слабую интегральную оценку, это неравенство позволяет легко получить априорную оценку решения квазилинейной параболической задачи в гладких классах Гельдера. На основании этой априорной оценки устанавливается существование решения этой задачи. Для доказательства мультипликативного неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера используется эквивалентная нормировка пространств Гельдера высоких порядков в терминах поведения конечных разностей высокого порядка. Ключевой технический прием заключается в представлении значения функции u(x,t) в произвольной точке (x,t) в терминах ее конечной разности высокого порядка вэтой точке, а также добавочной суммы значений функции в соседних точках. После этого производится интегрирование по соседним точкам по шарам Br((x,t)) малого радиуса r с центром в (x,t). Оценивая конечную разность через полунорму Гельдера, мы приходим к аддитивному неравенству с параметромr, которое включает полунорму Гельдера и интегральную норму. Наконец, оптимизируя полученное аддитивное неравенство по параметру r, приходим непосредственно к мультипликативному неравенству, включающему нормы Гельдера и Лебега.