Оперативное планирование выпуска бумаги на основе моделей с интервальными переменными

Задача оптимального раскроя тамбура бумагоделательной машины (БДМ) в ее классической постановке известна с середины прошлого века и является хорошо изученной. Однако простая модель и сформулированная в ее рамках задача оптимизации не подходят для реального планирования и управления работой комплекса БДМ крупного целлюлозно-бумажного комбината (ЦБК). Для автоматизации производства потребовалось создание новых моделей, адекватно отражающих производственные процессы.

При выпуске бумаги "на БДМ получаемое бумажное полотно наматывается на металлический вал, называемый тамбуром. К’ основным характеристикам раскроев тамбуров'БДМ относятся плотность и диаметр, качество выпущенной''бумаги. За одну смену работы БДМ производится несколько съемов тамбура. Съем - это небол1(шаяр}асть тамбура, которая получается в результате его размотки и резки на продольнорезательном станке (ПРС). Бумажное полотно, получаемое в результате резки на ПРС и наматываемое на гильзу, называется рулоном.

Каждая БДМ характеризуется целым рядом технологических показателей, но с точки зрения рассматриваемых задач интерес представляют лишь некоторые из них. Прежде всего, это длина тамбура БДМ -

• ⁷ Авторы - соответственно доцент, старший преподаватель и аспирант кафедры прикладной математики и кибернетики

  © Поляков В. В., Воронов Р. В., Визерова А. В., 2005

именно она определяет общую ширину производимого бумажного полотна. Это полотно в свою очередь с помощью ножей разрезается на отдельные форматы. Бумага наматывается в рулоны некоторого диаметра, упаковывается и отправляется заказчикам. Максимальное количество форматов, на которое можно разрезать тамбур, определяется количеством ножей, имеющихся на ПРС.

При этом каждый заказ характеризуется следующими параметрами: формат; плотность бумаги; диаметр рулонов, при этом рулон заданного диаметра может быть получен из рулона большего диаметра срезанием лишней бумаги; сроки выполнения заказа; объем или верхняя и нижняя границы объема заказа [2].

В соответствии с требованиями заказчика к бумаге для каждого заказа можно выделить одну или несколько приемлемых БДМ, допустимые смены работы БДМ.

Не все раскраиваемые форматы обязательно предназначены для конкретного заказчика. Имеются так называемые стандартные форматы, которые являются ходовыми на внутреннем рынке и могут включаться в раскладки. Выпуск стандартных форматов может быть ограничен либо по массе, либо по их количеству в раскладке, например, не более двух. Среди заказов могут быть срочные, то есть такие, для которых необходимо выпустить бумагу как можно скорее. Это связано с тем,'что время простоя вагонов под погрузкой бумаги ограничено.

Перейдём к построению математической модели. Введём обозначения ряда конечных индексных множеств:

А-множество БДМ ЦБК.

М - множество заказов на выпуск бумаги. Считаем, что каждый заказ не содержит в себе других подзаказов.

Каждому заказу Z 6 М соответствуют:

• - формат заказа (см);

N_; - непустое множество допустимых БДМ, подмножество N , чаще всего состоит из одного элемента;

• ТС_; - плотность бумаги (г/см²);

d_i,D_j - нижняя и верхняя границы приемлемых диаметров рулонов бумаги (см);

• Ь,, Bj - минимальная и максимальная границы объёма заказа (в тоннах);

• (7_; - максимальное количество рулонов заказа Z в

схеме раскроя;

Каждой БДМ j G N соответствуют:

Lj - длина тамбура БДМ;

• 5 ■ - максимальная длина кромки (остаток полотна);

Rj - максимальное количество ножей ПРС;

Кj - максимальное количество разных форматов в раскладке.

^j - производительность БДМ (объем выработки бумаги за некоторый промежуток времени, например, за смену).

Любой рулон бумаги производится на конкретной БДМ, имеет определенную плотность и диаметр. Более того, значения этих параметров будут одинаковыми для всех рулонов, выработанных за один съем тамбура.

Раскрой 5 определяется вектором A[M,s3> ^гД^е A_is - количество рулонов длиной ^ при раскрое тамбура по схеме раскроя 5. Кроме набора параметров, определяющих содержание задачи, необходимо ввести множество Sj - совокупность раскроев тамбура БДМ с номером j на множество форматов заказов множества М. Множества Sj ( j G N ) будем считать дизъюнктивными. Обозначим: y(s) - номер БДМ, которой принадлежит раскрой 5 (т.е. 5 G S j). Для каждой схемы раскроя должен выполняться ряд условий [1], отметим некоторые из них:

• 1.    Если A_is > 0 , то j(s) G Nj , т. е. БДМ j должна быть приемлема для заказа L

• 2.    При A_is > 0 и A j_s > 0 необходимо выполнение

• 3.    Существует такой диаметр рулона d^S^ , что для любого Z G М из условия А, > 0 следует d. < d(s) < Dj , т. е. d(s) является приемлемым диаметром для всех заказов способа раскроя s.

• 4.    Ширина раскраиваемого полотна должна находиться в интервале [Д-СТрДДО^Д^)):

• 5.    Число различных форматов не должно превышать

• 6.    Общее число рулонов ограничено числом ножей ПРС:

• 7.    Должно выполняться ограничение на число рулонов одного формата:

= еМ) , т. е. все входящие в одну схему раскроя заказы имеют одинаковую плотность бумаги.

L^S.^AJ^L, ieM

К:^signA^K;

ieM

^A^R,-! j = j(O ■

Ajs < cr, i е М .

Объединим множества раскроев: s = Uy jeN

Обозначим:

L_s - длина раскраиваемого по схеме 5 тамбура БДМ (Д = Lj^Y

CO_S - масса одного съема тамбура при использовании способа раскроя 5.

^_s - производительность БДМ j(s).

Введем переменные задачи:

И5 - количество съемов тамбура при применении способа раскроя 5.

Х_$ - объем выработки бумаги в течение периода планирования, нарезаемой способом раскроя s (в тоннах).

Объем выработанной бумаги равен произведению массы одного съема на количество съемов:

Х$ = со sns.

Будем предполагать, что объем выработки бумаги пропорционален времени работы БДМ, т. е. машина работает с постоянной производительностью.

Пусть множество заказов М разбито по срочности на // непересекающихся непустых подмножеств: