Операторные интегралы Лапласа и устойчивость открытых течений идеальной несжимаемой жидкости

результат ляпуновской теории устойчивости — принцип линеаризации — гласит, что равновесие у асимптотически устойчиво, если все собственные числа А принадлежат полуплоскости Re А < 0 и неустойчиво, если найдется хотя бы одно собственное число А : Re А > 0.

В прикладных задачах, как правило, исследуются не изолированные равновесия, а семейства равновесий, зависящие от физических параметров системы. Поскольку собственные значения линеаризованной системы меняются вместе с равновесием, возможно так называемое возникновение неустойчивости, т. е. появление экспоненциально растущих мод вследствие пересечения мнимой оси ветвью (или сразу несколькими ветвями) собственных значений при плавном изменении параметров семейства. Если такое пересечение происходит в ненулевой точке мнимой оси, говорят о колебательной неустойчивости, иначе — о монотонной.

Возникновение неустойчивости — прекурсор изменения динамики нелинейной системы вследствии локальных бифуркаций, т. е. ответвления вторичного режима движения от семейства равновесий. Если нет дополнительных вырождений, и неустойчивость монотонная, то ответвляются равновесия, если колебательная — предельные циклы (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа) [1]; в случае дополнительного вырождения, такого, например, как кратность нейтрального спектра, имеют место более сложные бифуркации, см. [2].

Эволюционные уравнения с частными производными часто рассматривают как бесконечномерные ОДУ. Такой подход широко используется в математической физике, и, в частности, в механике сплошной среды. Равновесиям бесконечномерных ОДУ могут соответствовать, например, стационарные течения жидкости или напряженно-деформированные состояния упругих тел. Спектры малых возмущений таких равновесий представляют интерес как сами по себе, так и в связи с возникновением неустойчивости и нелинейными динамическими явлениями, сопровождающими ее. При этом методы теории устойчивости и бифуркаций часто применяются эвристически, хотя во многих важных частных случаях их удается обосновать [3–5].

В настоящем сообщении речь идет о спектрах малых возмущений стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости. Такие спектры изучались многими авторами, см. [6, 7] и ссылки в этих работах. Особенность рассматриваемых нами течений в том, что они открыты, т. е. граница области течения содержит проницаемые части, через которые жидкость подается в область течения (вход) и выводится из нее (выход). Такие течения относительно мало изучены. Тем не менее известно, что устройство их спектров может существенно отличаться от того, что наблюдается в случае непроницаемых границ, или условий пространственной периодичности. Например, в случае непроницаемых границ, идеальная жидкость представляет собой гамильтонову систему [8]; соответственно, спектр стационарных течений, выступающих в роли равновесий, симметричен относительно мнимой оси, причем имеется как точечный, так и непрерывный спектр (возможно, неустойчивый!). В случае открытого течения спектр может потерять симметрию относительно мнимой оси, может стать чисто точечным, расположиться в левой полуплоскости, и даже исчезнуть совсем [9, 10].

В этой статье мы приводим новые примеры конкретных открытых течений, спектры которых располагаются в открытой левой полуплоскости. Доказательства этого не были известны, несмотря на элементарность этих течений. (Здесь мы имеем в виду рассмотрения качественного характера, не связанные с приближенными вычислениями и т. д.). Упомянутые примеры мы рассматриваем в контексте более общего результата; именно, мы указываем класс открытых течений, спектры которых представляют собой «нули»

некоторой целой операторнозначной функции. Вопрос об устойчивости всех собственных мод таких течений сводится, следовательно, к своего рода операторнозначной проблеме Рауса — Гурвица. Во многих важных частных случаях эту операторную функцию удается выразить как мультипликаторное преобразование рядов Фурье, и тогда проблема Рауса — Гурвица становится скалярной. Хотя общее решение последней известно [11], его применение к решению конкретных задач часто затруднительно. В нашем случае, к счастью, работает более простое достаточное условие: теорема Пойа о нулях интегралов Лапласа [12].

Исследованные нами классы течений отличаются от открытых течений, рассмотренных в [9, 10], и топологическим типом рассматриваемых областей течения, и граничными условиями, которыми снабжаются уравнения движения жидкости. Оба отличия существенны: во-первых, стационарные течения, которые мы рассматриваем здесь, не всегда совместны с граничными условиями рассмотренными в [9, 10]; во-вторых, те граничные условия, которые мы рассматриваем здесь, несовместны с методами работ [9, 10].

• 2.    Постановка начально-краевых задач

Уравнения движения идеальной несжимаемой и однородной жидкости — уравнения Эйлера — имеют вид vt + ш x v = —VH;  H = P + v2/2;  rot v = ш; div v = 0.          (1)

Здесь векторное поле v (скорость течения) и скалярное поле P (давление) неизвестны, и должны быть определены в каждый момент времени в каждой точке области, занятой жидкостью (область течения). Давление, как и функция Бернулли H = P + v 2 /2 , определяются с точностью до постоянной. В наших рассмотрениях область течения D С R 3 (или D С R ² ) задана, неизменна, ограничена, и, во всяком случае, кусочно гладкая. Орт внешней нормали к S = dD обозначается n .

Уравнение (1) записано в форме Громеки — Ламба. Эквивалентная форма уравнения Эйлера vt + (v, V)v = —VP,                               (2)

где через (v, V) обозначена ковариантная производная вдоль поля v, индуцированная стандартной римановой метрикой на R3 или R2. В декартовых координатах, ((v, V)v)i = vj vixj (где по повторяющимся индексам i, j производится суммирование, а индексы xj обозначают частные производные по одноименным координатам). Уравнение в форме (2) получается из (1) преобразованием ш x v + Vv2/2 = (v, V)v.

При каждом t имеет место разбиение S = S ⁺ (t) U S ^- (t) U S 0 (t) (c точностью до множества (n — 1)-мерной меры нуль), где S ⁺ (t) = { x € S : v (x,t) • n < 0 } — вход потока (сквозь него жидкость втекает), S ^- (t) = { x € S : v (x,t) • n > 0 } — выход, и S 0 (t) = { x € S : v (x, t) • n = 0 } — непроницаемая стенка. По определению, в открытом течении вход и выход не пусты.

Если поставлено граничное условие v • n = y(x, t), x € S = dD;

j Y ds = 0, t ^ 0, S

где Y — заданная функция, то вход и выход известны. Если Y = 0 так, что S ⁰ = S для всех t, то достаточно поставить начальное условие, и полученная начально-краевая задача будет корректна. Ей посвящена обширная литература, см. ссылки в [13].

Граничное условие (3) с Y Ф 0 приводит к открытым течениям. При этом, однако, корректная постановка начально-краевой задачи для уравнений Эйлера требует дополнительного граничного условия. Выбор такого условия не прост. Вероятно, его всегда следует ставить на входе; по крайней мере, известно несколько способов сделать это. Можно, например, задать тангенциальный вихрь так, что n х (ш — ш+) = 0 на S+,                            (4)

где ш+ — заданное векторное поле на S + . Первоначально это условие предложил В. И. Юдович для плоской задачи протекания, где D С R ² , v = u e i + v e 2 , rot v = ш е з , где e i , i = 1, 2, 3, — орты декартовой системы координат, причем орт е з ортогонален плоскости течения Ox i X 2 , ш = v _x 2 — u _x 1 — скаляр [14]. В таком случае условие (4) принимает вид ш — ш ⁺ = 0 на S ⁺ , при заданной скалярной функции ш ⁺ . В. И. Юдович установил, что классическое решение существует, единственно и неограниченно продолжаемо по времени при любых данных, удовлетворяющих ряду условий регулярности, включавших, помимо естественных требований гладкости, предположение о том, что вход, выход и непроницаемые стенки суть объединения компонент связности границы. Позже эти условия были ослаблены [15, 16].

• А. В. Кажихов распространил граничное условие Юдовича на трехмерный случай [17], а также показал, что вместо (4) можно поставить условие

• 3.    Функционалы Ляпунова

n х ( v — v ⁺ ) = 0 на S + ,                             (5)

где v ⁺ — заданное векторное поле на S ⁺ , т. е. вместо вихря на входе можно задавать тангенциальную скорость (см. [18]). Отметим, что для двумерной задачи Кажихова неограниченная продолжаемость решения не установлена, и примеры коллапса также неизвестны. Для трехмерных задач та же проблема существует при всех типах граничных условий, включая и полностью непроницаемые стенки, и условия пространственной периодичности.

Условие Кажихова на входе (5) возникает при рассмотрении открытых течений вязкой несжимаемой жидкости в пределе исчезающей вязкости, если при ненулевой вязкости полный вектор скорости задается как на входе, так и на выходе потока [19, 20]. Такие граничные условия в первом приближении описывают подачу/забор вязкой жидкости через пористые стенки [21].

С целью описания движения материальных частиц потока жидкости, рассматриваемого в заданной области D при t > 0, поставим задачу Коши dsX = v(X, s); X|s=t = x,                              (6)

где v = v (x,t ) — поле скорости течения. Предположим, что v G C 1 (D х { t > 0 } ). Найдутся т 1 = T 1 (x, t) G (0, t) и т ₂ = T ₂ (x, t) > t такие, что решение X = X(s, x, t) определено для всех s G (r i (x, t), r ₂ (x, t)). Отображение X определено для произвольной векторной функции v . Если известно, что эта функция — решение уравнений гидродинамики (1), то отображение (6) параметризует путь материальной частицы жидкости, находящейся в момент времени t >  0 в точке x G D. Этот путь — характеристика уравнений (1).

Пусть W : Y ^ R — функционал на фазовом пространстве Y некоторой динамической системы St : Y ^ Y, t ^ 0; пусть x G Y, положим wx(t) = W(Stx). Существование такого функционала W, что wx монотонна (и не постоянна) для всех x из «достаточно представительного» множества X С Y — существенное проявление неконсервативности системы St. Допуская некоторую вольность речи, будем называть такие W функционалами Ляпунова (классичекую теорию см. в [22]). Приведем примеры задач Кажихова и Юдовича, допускающих функционалы Ляпунова.

Пусть Ω и U — постоянные векторы, положим V = fixx+U. Поле V — поле скорости твердотельного движения жидкости, т. е. движения без деформации. Рассмотрим задачу Кажихова (3), (5) с y = V• n и v+ = V, и пусть v = v(-, t) — ее решение. В данном случае уравнения движения удобно взять в форме (2). Непосредственно проверяется тождество dt/(v — V)2 dx =

D

j y ( v - V ) ² dS ^ 0.

S ^-

Таким образом, имеем убывающий положительный функционал Ляпунова v —

(

D

-

V ) ² dx.

Рассмотрим плоскую задачу Юдовича. Как уже говорилось, в этом случае rot v можно отождествить со скаляром ш. Пусть y задана произвольно, но ш+ = fi = const. Пусть f = f (r) > 0 при r = 0, f (0) = 0. Тогда s/f(ш -fi) dx =

D

j f (ш — Q) y ds ^ 0.

S ^-

Тождество следует непосредственно из уравнения вихря, которое получается применением rot к (1). Следовательно, в данном случае есть целое семейство положительных невозрастающих функционалов Ляпунова ш ।——

У f(ш

D

— fi) dx,

ш = rot v ,

где функция f играет роль параметра семейства. На самом деле, функционалы Ляпунова существуют при довольно широких классах граничных условий (4) [9, 10].

Теперь рассмотрим плоскую задачу Юдовича (4), (5) в неодносвязной области.

Пусть γ задана так, что вход содержит замкнутый контур c . Тогда

d

— ф v • dx = dt

c

j ш + Yds, c

где ш+ и y заданы. Тождество (9) проверяется непосредственным интегрированием уравнений (1). Таким образом, вдув завихренной жидкости генерирует, вообще говоря, линейный рост циркуляции вокруг входа, т. е. система имеет линейно растущий функционал Ляпунова v —    v • dx.

c

В частности, пусть ш ⁺ , y не зависят от времени и придают ненулевое значение правой части тождества (9). При таких данных задача Юдовича (4), (5) в неодносвязной области не имеет стационарных решений. Если при этом ш ⁺ = fi = const = 0, то сосуществуют возрастающий (по абсолютной величине) функционал Ляпунова (10), и убывающий положительный функционал Ляпунова (8).

• 4.    Мотивирующий пример

Рассмотрим плоскую задачу Кажихова в полосе D — {(x,y), 0 < x < 1} c условием 21-периодичности по у и с граничными условиями v|x=0 — ex, v • ex|x=1 — 1,

где e x — орт оси Ox. Таким образом, S + — {x — 0 } , S + — {x — 1 } , S ⁰ — 0. При граничном условии (11) есть стационарное решение V — e x , H — const. Спектр малых возмущений этого решения определяется задачей на собственные значения для линеаризованных уравнений (1), причем линеаризация производится на стационарном решении e _x :

Xu — —hx, Xv + ш — —hy,(12)

Vx — Uy — ш, Ux + Vy — 0,(13)

u|x=0 — v|x=0 — 0, u|x=1 — 0,(14)

где функции u, v, h неизвестны. Исключаем h из уравнений (12) и приходим к уравнению

Хш + Ш х — 0.

Его решение ш — ш + (y)e ^{- Xx} , где функция ш ⁺ произвольна. Подставляем ш во второе уравнение в (12), полагаем x — 0 и, с учетом граничных условий (14), находим ш ⁺ — — h y (0, у). Теперь восстановим скорость (u, v) по вихрю и дивергенции. С этой целью вводим функцию тока ф — ф(x,y), полагая и — ф у , v — — ф _х . Данная подстановка разрешает уравнение неразрывности (второе в (13)), а первое принимает вид

—Аф — ш — — еЛ 0 Ху, (15) где введены обозначения: х(у) — h(0, у), ел — e Лх. Решение данного уравнения должно быть определено в полосе D, 21-периодично по у и удовлетворять краевым условиям фх|х=0 — 0, ф|х=1 — 0.

Данные граничные условия эквивалентны второму и третьему граничному условию в (11), c учетом того, что функция тока определена с точностью до аддитивной постоянной. Полагаем ф — — О(еЛ 0 Ху), где G : ш Н- у — оператор Грина смешанной задачи для уравнения Пуассона — Аф — ш в полосе D с условием периодичности ^(x, у + 21) — ^(x, у) и с граничными условиями (16). Найденное выражение ψ подставляем в первое из граничных условий (14) и находим ду lx=0G(eX 0 Ху) — 0.

Определяем оператор K(X) : х ^ д у | x=o G(e ^Л 0 Х у ). Тогда х Е kerK(X) определяет собственную моду

x

U — д у О(х у 0 е ^Л ), v — — д х О(х у 0 е ^л ),  h(x,y) — х(у) — X J u(y,s)ds.

Выражаем оператор K(X) явно. Разлагаем х в ряд Фурье и находим, что искомые решения — единичные гармоники e ^iв , в € aZ \ { 0 } , где а — п/l, при этом K(X) действует как мультипликаторное преобразование: K(X)e ^iв — K(X,e^ i^e ,

1 k ( x, в) — в ² У g e (0,0e ^{- M}^ 0

dξ,

^в Е ^aZ \ ^{{ 0 }} , ^{а — П}1,

где g β — функция Грина задачи

- w ‘‘ (y)+ 5 ² w = f (y),    y е (0,1),   w ‘ (0) =

w(1) = 0.

Функция gβ имеет вид ge (x,^) =

1 J sh | в | (1 - €)ch вх, ^{| в |} ch^в |sh | в | (1 - х) ch в^,

x

x

< €;

> ξ.

Итак, мультипликатор к(А, в)

имеет вид

/ sh(|e|T)еЛт dT,  в е aZ \ {0}, а=п

ch в J

о

Нули этих интегралов на плоскости λ — искомые cобственные значения. Нетрудно видеть, что применима теорема Пойа о нулях интегралов Лапласа, и она показывает, что все нули интегралов (17) лежат в левой полуплоскости при всех a = 0.

Замечание 1. Вывод о принадлежности собственных значений открытой левой полуплоскости согласуется с существованием функционала Ляпунова (7). Однако, существование функционала Ляпунова (7) само по себе влечет лишь принадлежность собственных значений замкнутой левой полуплоскости.

Замечание 2. Оператор K (А) ограничен, например, в пространстве L 2 , состоящем из квадратично-суммируемых 21-периодических функций с нулевым средним.

Замечание 3. Задача Юдовича в полосе D также имеет стационарное решение V = e x , H = const при граничных условиях

V • e x | x=0 = 1, v • e x | x=i = 1, rot v | x=o = 0.

Собственные моды малых колебаний в этом случае — решения спектральной задачи, состоящей из уравнений (12), (13) и граничных условий u|x=0 = 0, u|x=1 = 0,   ^|x=o = 0.

Но при таких граничных условиях задача имеет только одно собственное значение: А = 0, и ему соответствует собственная мода u = 0, v = const, h = 0.

В дальнейшем мы сосредоточим усилия на граничном условии Кажихова и в определенной степени обобщим анализ рассмотренного выше примера на более широкие классы течений.

• 5.    Гармонические течения

Определение 1. Поле V назовем гармоническим в области D, если rot V = 0 и div V = 0 в D.

Гармонические поля, определенные в достаточно регулярной области и касательные к ее границе, образуют конечномерное линейное пространство, размерность которого равна одномерному числу Бетти данной области. Определение 1 не предполагает, что гармоническое поле касается границы области.

Любое гармоническое в D поле удовлетворяет уравнениям Эйлера (1) с H = const.

Определение 2. Область D С R ² с гладкой границей S назовем кольцевой, если верно одно из двух: или многообразие с краем D U S гомеоморфно прямому произведению единичного отрезка на окружность, или на DUS действует дискретная подгруппа группы сдвигов плоскости, изоморфная Z, причем пространство ее орбит гомеоморфно прямому произведению единичного отрезка на окружность.

Определение 3. Область D С R ³ с гладкой границей S назовем кольцевой, если верно одно из двух: или многообразие с краем D U S гомеоморфно прямому произведению единичного отрезка на двумерное замкнутое ориентируемое мноообразие, или на D U S действует дискретная подгруппа группы сдвигов пространства R ³ , изоморфная Z или Z ² , причем пространство ее орбит гомеоморфно прямому произведению единичного отрезка на 2-тор.

Например, к числу плоских кольцевых областей относятся: собственно кольцо { x G R ² : 1 <  | x | < 2 } , а также зазор между прямыми; к числу трехмерных — зазоры между сферами, торами, цилиндрами и плоскостями.

Если в кольцевой области действует дискретная группа сдвигов (это может быть зазор между цилиндрами, прямыми или плоскостями), то все рассматриваемые в такой области поля по умолчанию считаются периодическими.

Пусть D — кольцевая область. Непосредственно из определений 2 и 3 следует, что dD = S i U S 2 , где S i и S 2 — непересекающиеся связные гладкие поверхности, гомеоморфные друг другу, и любой замкнутый путь в D стягиваем к (гомологичен) некоторому пути на S 1 .

Из равенства (9) следует, что задача Юдовича в плоской кольцевой области не имеет стационарных решений при граничных данных общего положения. В исключительных случаях стационарное решение все же существует, например, при нулевой завихренности, заданной на входе (и при произвольно заданной нормальной скорости). Однако, в этом случае существует бесконечно много гармонических решений. C целью снятия указанного вырождения обратимся к граничным условиям Кажихова (3), (5). При этом, по умолчанию, считаем, что на S = dD задана нормальная скорость 7, не зависящая от времени, и такая, что S i = S + и S 2 = S ^- . Предполагаем, что тангенциальная скорость v + в условии (5) также не зависит от времени и задана так, что задача имеет гармоническое решение V . Это решение единственно в классе гармонических полей. В самом деле, граничное условие (5) определяет, в частности, циркуляции поля вокруг всех граничных контуров, принадлежащих входу, и потому — вокруг любого замкнутого пути в D (это следует из определения кольцевой области).

Пусть V = V (x) G C 1 (D) — векторное поле на области D, X — эволюционное семейство задачи Коши (6), где v = V .

Определение 4. Будем говорить, что векторное поле V = V (x) G C 1 (D) безотрывно в D U S , если в D U S определена положительная и ограниченная функция t + такая, что для любого x G D U S

X(max(t — t + (x), 0),x, max(t, t + (x))) def a + (x) G S + .                (18)

Образ точки x G D U S при отображении x H- a + (x) назовем местом рождения материальной частицы (находящейся в момент времени в точке x).

Так как задача Коши (6) в данном случае решается для автономного ОДУ Xs = V(X), a+(x) = X( max(t — t+(x), 0), x, max(t, t+(x))) = X(0, x, t+ (x)).

При этом, независимо от выбора t > t + (x), отображение s Н- X(s,x,t), s Е (t — t ⁺ (x),t), параметризует отрезок ℓ _x линии тока (т. е. траектории поля V или траектории материальной частицы соответствующего течения), соединяющий точку x со входом. Поэтому отображение x H- a ⁺ (x ) — не что иное, как проекция D ^ S ⁺ вдоль линий тока течения V .

Пример 1. Пусть D = { (х,у) : 0 < у < 1 } . Выберем функцию U Е C ⁱ (R) и определим векторное поле V : (х,у) Н- (U (у), 0). Поле V — стационарное решение уравнений (1). Соответствующее ему течение называют сдвиговым. Рассмотрим такое течение в полосе D. Пусть U(у) > 0 для любого у Е R. Тогда S - = { х = 0 } , S ⁺ = { х = 1 } , S ⁰ = 0,

X⁽^^х,у,^ = (^{х — (t — s)U(}у^),у), ^{t + (x,}y⁾= ^x/U (у), ^{а + (х,}у) = ^(0,у).

Если inf r U (у) > 0, то поле V безотрывно, при этом sup t ⁺ = t * = sup R U ^-1 (y). Безотрывное поле V порождает течение, полностью обновляющее состав материальных частиц за интервал времени длины t _∗ ; в частности, при t > t _∗ поток полностью состоит из частиц, прошедших через вход.

Пусть D — кольцевая область. Рассмотрим задачу Кажихова в D и предположим, что данные в ее граничных условиях (3), (5) таковы, что она имеет гармоническое решение V , причем S i = S ⁺ и S 2 = S - . Линеаризуем задачу вблизи V . Точечный спектр Л( V ) оператора линеаризации состоит из собственных значений λ следующей краевой задачи

A v + ш х V = —V h; rot v = ш; div v = 0,               (19)

v х n = 0 на S ⁺ , n • v = 0 на S,                           (20)

где h — возмущение функции Бернулли H = P + V ² /2.

Определение 5. Пусть L 2 (S ⁺) — пространство квадратично-суммируемых функций на S ⁺ с нулевым средним, В ⁺ — пространство ограниченных операторов в L 2 (S ⁺ ).

Теорема 1. Пусть поле V в кольцевой области D гармоническое и безотрывное. Тогда найдется целая функция K + : A Н- K + (A) Е В ⁺ такая, что

Л(V) = {A : kerK+(A) = {0}}, причем функцию K+ можно выразить через основное течение явно, с точностью до восстановления соленоидального поля в D по его вихрю при граничных условиях u • n = 0 на S-, u х n = 0 на S+ .

Лемма 1. В кольцевой области D рассмотрим краевую задачу rotv = ш, div v = 0 в D; v х n = 0 на Si, v • n = 0 на S2,           (21)

где ш — гладкое поле такое, что div ш = 0 в D и ш • n = 0 на S i . Тогда имеется ровно одно гладкое решение v .

<1 В силу граничного условия на S i , любое решение задачи (21) имеет нулевую циркуляцию вокруг любого лежащего на S i замкнутого пути. Следовательно, решение u однородной задачи (21) имеет нулевую циркуляцию вокруг любого замкнутого пути в D (так как D — кольцевая область), и потому потенциально, т. е. u = V ф, где ф — однозначная скалярная функция. Тогда Аф = 0 в D, dф/dn = 0 на S 2 , ф = const на S i ; отсюда ф = const и u = 0 в D. Обратимся к построению решения. Будем, не нарушая общности, считать, что S i лежит внутри S 2 - Продолжим поле ш до поля ш на R ³ , полагая ш = 0 внутри S i и ш = V c во внешности S 2 , где Ас = 0, dc/dn = ш • n на S 2 , и

^(x) = o(1), | x | ^ то . Поле ш имеет тангенциальный разрыв на S 2 , но остается соленоидальным на R ³ в обобщенном смысле, и хорошо затухает на бесконечности. Положим G o = (4n | x | ) ^-1 , b = Gq * ш, где * — знак свертки. Заметим, что rot rot b = ш в R ³ , в частности, rot rot b = ш в D. Так как ш • п = 0 на S i и D — кольцевая область, найдется гармоническое и тангенциальное к S поле h такое, что b o = rot b + h имеет нулевые циркуляции вокруг любого замкнутого пути на S i так, что найдется скалярная функция ф о : ( b o — V ф o ) х n = 0 на S i . Наконец, положим v = b o + V ф, Аф = 0 в D, ф = — ф о на S i и dф/dn = — b o • п на S 2 . >

⊳ Доказательство теоремы 1. Коммутатор

[a, b] = (b, V)a — (a, V)b векторных полей a, b выражается в виде

[a, b] = rot(a х b) — (div b)a + (div a)b.(22)

Отсюда, применив rot к (19), выводим уравнение вихря

Аш + [ш, V] = 0.(23)

Данное уравнение интегрируется вдоль характеристик, так что ds (eAs (X ‘(s,x,t))-1 ш (y)) =0, y = X (s,x,t), s E (t — t+(x),t),(24)

где x E D и t >  t ⁺ (x) произвольны, X ‘ (s,x,t) — дифференциал отображения x H- X(s,x,t) в точке x. Таким образом, точка x задает линию тока l x поля V (т. е. траекторию материальной частицы соответствующего течения жидкости), которая сталкивается со входом в месте рождения материальной частицы, координата которого a ⁺ (x) определена в (18). В силу (24)

X‘(s,x,t)ш (x) = eЛ(s-t)ш(y), y = X(s,x,t), s E (t — t+(x),t), а отсюда, устремив s ^ t — t+(x), найдем

ш(x) = e ^{- At + ( x )} X ⁺ (x)ш ⁺ (a ⁺ (x)), x E D,                     (25)

где ш ⁺ — след ш на S ⁺ , и введено обозначение

X ⁺ (x) = X ‘ (t ⁺ (x), a ⁺ (x), 0).                                (26)

Итак, решение ш уравнения (23) в D определено своим следом ш+ на S+. Однако, построенное таким образом поле ω не обязано быть представимо в виде ротора какого бы то ни было поля в D. Чтобы такое представление имело место, достаточно равенства div ш = 0 и равенства нулю потоков поля ш через каждую компоненту границы S . Так как граница кольцевой области имеет ровно две компоненты, достаточно удостовериться в равенстве нулю дивергенции и одного из потоков решения ω . С этой целью проектируем уравнение (19) на касательные плоскости к входу и находим ш+ = —y-1n х Vh,   y = V • n                      (27)

Выбираем ш+ в формуле (25) в соответствии с (27). Тогда ш+ • п = 0 на S+, и его поток через S+ равен нулю. Заметим, что равенство ш+ • п = 0 согласует наш выбор ш+ с граничным условием (20). Действительно, нормальная компонента вихря rotnv на S не содержит нормальных производных поля v и не зависит от его нормальной компоненты, а касательная компонента поля v на S + равна нулю.

Полагаем р = div ш. Уравнение (23) в силу тождества (22) записываем так

А ш + rot( ш х V ) + p V = 0.                         (28)

Взяв дивергенцию уравнения (28), находим

Ар + V • V p = 0.

Интегрируем это уравнение вдоль характеристик и находим, что р = 0 при условии р+ = 0, где р+ — след р на S+. Проектируем (28) на нормаль к S+, принимаем во внимание (27) и заключаем, что р+ = Y-1rotn((Y-1n х Vh) х V) |S+ = Y-1rotn(Vh) |s+ = 0.            (29)

На самом деле тождество (29) выполняется для произвольной функции h, так как поле

(Y-1n х Vh) х V -Vh нормально к S+ даже при произвольной h.

Пусть x — скалярная функция на S ⁺ с нулевым средним и А G C. Определим оператор

К + (А) : x ^ n • (GL + (A)x) l s+ ,                           (30)

где оператор L + (А) : x ^ ш определен в (25)-(27), где в (27) следует положить h = x, а через G обозначен оператор восстановления векторного поля по вихрю, описанный в лемме 1. Заметим, что образ К + состоит из функций с нулевым средним, так как по построению n • (GL + (A)x) = 0 на S ^- и поле GL + (A)x имеет нулевую дивергенцию. Итак, каждому ненулевому x x G kerK + (A) соответствует собственное поле v x = GL + x x задачи (19), (20), что и требовалось. ⊲

Замечание 4. Если χ λ изменить на постоянную, то поле v λ не изменится. Поэтому исключение тождественных функций из области определения K + не приводит к потере собственных полей.

Замечание 5. Функцию χ можно интерпретировать как след возмущения h функции Бернулли или давления на входе. Эти возмущения на входе совпадают в силу граничного условия (20). Поэтому подчинение χ требованию нулевого среднего на входе согласуется с тем, что функция Бернулли, равно как и давление, определены с точностью до произвольной постоянной. В частности, нулевое среднее χ на входе, с учетом граничного условия (20), можно трактовать как сохранение среднего давления на входе при возмущении потока.

Замечание 6. Мы опускаем детальное доказательство ограниченности К(А).

• 6.    Течения в зазоре между цилиндрами

Пусть D — зазор между круговыми коаксиальными цилиндрами радиусов 1 и a > 1, r, θ, z — цилиндрические координаты в D, e _r , e _θ , e _z — орты координатных направлений. В D рассмотрим задачу Кажихова со следующими данными:

Y |r=1 = -1; Y |r=a = 1/a, так что S+ = {r = 1}, S = {r = a} и n x (v - ree)|S+ = 0,                                  (32)

где Г G R — параметр, определяющий циркуляцию потока вокруг входа (она равна 2пГ). Вдоль оси z — условия периодичности с периодом 21. Данная задача имеет гармоническое решение

V = r ^-1 ( e r + r e e ).                                  (33)

Нетрудно убедиться, что оно безотрывно. Рассмотрим линеаризацию возле поля (33). Введем гармоники bna = exp i(n6 + az), n G Z, a G agZ, ag = п/l, n2 + a2 = 0.

Ввиду симметрии задачи, K + (A) представляет собой мультипликаторное преобразование рядов Фурье, так что

K+(A) : bna н- Kr,a(n, a, A)bnα , а потому точечный спектр Л(V) совпадает с объединением множеств нулей всех мультипликаторов Kr,a(n, a, A,), n2 + a2 = 0, на плоскости комплексной переменной A.

Вычисляем оператор L+(A). Полагаем v = bnav(r), ш = bnac5(r), где ш = ^er + nee + Zez, v = uer + vee + wez;

при этом граничные условия (20) примут вид

u(1) = v(1) = w(1) = 0;  u(a) = 0.

В соответствии с (27), ш ⁺ = ib _na (a e e — n e z ), так что уравнение (23) (записанное с учетом (22)), граничные условия на S ⁺ и условие div ш = 0 примут вид

A( — inr ² (n — Г£) — iar 1 Z = 0; ^ | _{r =1} = 0; (35) An — iarr - 1 Z + (r ^-1 (n — Г£)) _г = 0; n l r=1 = ia; (36) AZ + r ^-1 Z r + ier ^-2 Z = 0; Z | r=i = — in; (37) r ^-1 ((r^) r + inn) + iaZ = 0. (38)

C помощью (38) исключим η, ζ из (35). Получим rAe+

Отсюда следует, что £ = 0. В таком случае уравнения (36), (37) и (38) зависимы, и легко интегрируются, так что

• -г-,      A(r2-1)

Z = —inE(r);  n = iarE(r); E(r) = E(r, A,nr) = r^-in^re    2 .           (39)

Вычисляем оператор GL+(A). Восстанавливаем скорость по найденному вихрю, с учетом граничных условий (34). Получаем

r

w

(r)=/

(iau — n) ds;

rv

r

(r)=/

(sZ + inu) ds.

Подставив эти выражения в условие div v = 0 и положив

r

ф(г) = У 1

u(s) ds,

получим неоднородную краевую задачу для уравнения Бесселя — Макдональда:

Г2фгг + гфг - (n2 + а2r2)ф = -r2Fn,a; ф(1) = о, фг(a) = 0, где Fn,a(r,A,nr) = ((n/r)2 +

r а2) У E(s,A, пГ) sds.

Теперь к_п,_а(А, Г, a) = u(1) = ф_г(1). Более явно,

a

κn,α

(А, Г, a) = К-,П,а(1) У

Ka,n,a(s)Fn,a(s, А, пГ) S ds,

где K_α,n,a— решение задачи Коши

r²K_rr + rKr - (n²+ r²a²)K = 0; K(a) = 1; K_r(a) = 0.

Введем обозначение

в = пГ.

Запишем мультипликатор (40) в форме интеграла Лапласа:

a

^Kn,a^(A,e,a) = ^-K-,n,a⁽¹⁾ У r-^e-^A(r2-1)/2Ka^Дф²^

где ‘ обозначает производную по r. Преобразование (40) в (43) сводится к интегрированию правой части (40) «по частям» с учетом уравнения и данных задачи Коши (41).

Обозначим через Л_п,_а,в,_амножество нулей интегралов Лапласа (43) на плоскости комплексного параметра λ. Из сказанного выше вытекает

Лемма 2. Пусть a > 1, D = {(r, 6,z) : 1 < r < a}, Лг,_а— точечный спектр задачи (19)-(20) в D, где V — поле (33). Тогда

ЛГ,а        [J Лп,а,в,а- aEaoZ, в=пГ, nEZ, n2+a2=0

В силу леммы 2, вопрос о расположении спектра поля (33) относительно мнимой оси сводится к проблеме Рауса — Гурвица для интегралов Лапласа (43).

Лемма 3.

Лп,а,о,а С {А : Re А < 0} (Vn G Z, а Е R).

⊳ Доказательство состоит в применении теоремы Пойа о нулях интегралов Лапласа (см. [12]) к интегралам вида

a

У e^-A(r^2-1)/2(-rKr) rdr, K = Ka,n,a.

С целью сделать это, убедимся, что для любого r Е (1, a)

• (i)    Kr(r) < 0; (ii) (rKr(r))r > 0.

В силу задачи Коши (41),

a j (a2r + n2/r)K2 dr =

s

-

a

K(s)Kr(s) - У

K²r dr

(V s : 1 < s < a).

s

Следовательно, K(s)K_r(s) = 0 при s Е [1,a). Отсюда следуют утверждения (i)-(ii), с учетом уравнения и начальных условий задачи Коши (41). >

Непосредственно из лемм 2 и 3 следует теорема 2.

Теорема 2. Пусть в условиях леммы 2 Лг,_аП {А : Re Л ^ 0} = 0. Тогда в = пГ = 0.

Таким образом, теорема 2 утверждает, во-первых, что потенциальное течение (Г = 0, поток радиален) не имеет ни нейтральных, ни неустойчивых мод вида V (r)e(^tA+i(^az+⁶ⁿ)), Re Л ^ 0, a²+ n²= 0, и, во-вторых, вращательно-симметричные моды (п = 0) не могут быть ни нейтральными, ни неустойчивыми.

Утверждение теоремы 2 верно и в том случае, если в основном течении источник заменить на сток, т. е. положить

V = r^-1(-er +Ге₆).

В таком случае вход и выход потока меняются местами: S- = {г = 1} и S⁺= {r = а}. Соответствующая линеаризованная задача будет состоять из уравнения (19) и граничных условий

u(a) = v(a) = w(a) = 0; u(1) = 0.

Если Л Е Л_п,_а,в,_а, то малое возмущение давления на входе имеет вид exp(At + in6 + iaz) (это вытекает из сказанного на стр. 41). Однако, течение (33) в зазоре между цилиндрами допускает малые возмущения, сохраняющие давление на входе. Такие возмущения обращаются в нуль за конечное время. В самом деле, линеаризуем уравнение Эйлера на потоке (33) и будем разыскивать малые возмущения, представимые в виде v = v(r, t)eg + w(r, t)e_z, p = p(r, t) (p — возмущение давления). Придем к системе

^ = Pr,   (rv)t + (rvr = 0,  wt + wrr = 0,  t> 0, r Е (1,a),

v|r=i = 0, w|r=i = 0, p|r=i = 0, где основное течение — источник. В случае стока граничные условия нужно перенести в точку a. Граничное условие для p вытекает из сохранения среднего давления на входе. В любом случае система (44)–(45) интегрируется явно и любое ее решение обращается в нуль для всех r Е (1, а) при любом t > (a2 — 1)/2. Отсюда, в частности, следует неполнота системы спектральных проекторов, соответствующих дискретному спектру Ла,г-

• 7.    Течения в зазоре между сферами

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнений Эйлера (1) в сферическом слое D = {1 < |x| < a}, a > 1, с граничными условиями Кажихова (3), (5), где y = Т1 при r = 1 и y = ±a-2 при r = a, и v+ = 0. Данная задача вращательно-инвариантна, и при каждом выборе знаков имеем вращательно-инвариантные решения

V = ±er/r², H = 0.

Если в (46) выбран знак « + », то S⁺= {x Е S : r = 1}, иначе S+ = {x Е S : r = a}.

Пусть S+ — сфера меньшего радиуса. Вычисляем оператор L+(A). С этой целью переходим к сферическим координатам x = r sin 9 cos ф, y = r sin 9 sin ф, z = r cos 9, и пусть er , eθ , eφ — соответствующие орты. Полагаем

^ = ^er + nee + Z еф и приходим к задаче Коши

А^ -    Ц{(nsin 9)e + Zф} = 0, ^ls+ = 0,(47)

r³ sin 9

An + 4{rnr - n} =0, n|s+ =     , r3

AZ + r3 {rZr — Z} = 0, Z |s+ = -xe •

Решив задачу (47)–(49), с учетом граничных условий, найдем

£ = 0, n = E^-rX^, Z = -E (A,r)xe, E (A,r) = re-— •(50)

sin 9

Вычисляем оператор GL+(A). Имеем

(w sin 9)e = Vф, sUn^g - (rw)r = rEXl, (ry)r - ue = -rExe•(51)

Интегрируем второе равенство в (51) с учетом граничных условий. Находим w = ФфГ—1ёХФ, v = 1 (фe - Eixe),(52)

Ф(г, 9, ф) = J u dr, Ei(A, r) = J E(А, s)s ds.(53)

Заметим, что первое уравнение в (51) следует из выражений (52). Подставляем эти выражения в уравнение div v = 0 и находим

АФ + Ei(A,r)r-2A+x = 0,(54)

где A+f = - sine (fe sin 9)e - sinre fфф — оператор Бельтрами на сфере. Полагаем x = bm, Ф = Ф(r)b_m, где bm — собственная функция оператора Бельтрами, соответствующая собственному значению ^m = m(m + 1), m Е N, и приходим к краевой задаче

(г2Фm)‘ - Цт (Фm - Ei(A,r))=0,(55)

Ф m(1) = 0, Ф m(1)=0, Ф m(a) = 0.(56)

Итак,

K+(A)bm = u|r=1 = Фт(1)Ьт (^ bm Е Нт), где Hm — собственное подпространство оператора Бельтрами на сфере, соответствующее собственному числу ^m = m(m + 1), m G N. Таким образом, мультипликатором служит Km(A,a) = Фт(1), где Фт — решение задачи (55)-(56). Записываем это решение с помощью функции Грина и находим

a

Km (A, a) =

K^) У Km,a^(r)E1^(A,r)dr, m,a ₁

где Km,a — решение однородного уравнения (55), удовлетворяющее условиям K_m,a(a) = 1, Kma(a) = 0. Выражаем ^_mKm,a из указанного уравнения, интегрируем по частям и получаем интеграл

a

Km(A, a)

= - К 1(1) / Km,a^(r)E(A,r)r3^dr = ⁰

m,a ₁

Данный интеграл приводим к интегралу Лапласа, к которому применяем теорему Пойа, и устанавливаем, что все его нули — в открытой левой полуплоскости. Точно также разбираем случай, когда вход потока расположен на сфере радиуса a.

Подведем итог.

Теорема 3. Пусть D = {x : 1 < |x| }c R³и Л_а— точечный спектр задачи (19)-(20) в D, где V = ±|x|^-3x. Тогда Re(A) < 0 для любых A G Л_аи a G (1, то).