Операторы обобщенного дифференцирования Гельфонда - Леонтьева и полиномы Бренке

Представление операторов обобщенного дифференцирования. Пусть G – односвязная область, и последовательность ограниченных расширяющихся областей {Gn} Т G исчерпывает G . H(G) - пространство аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Под оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда – Леонтьева понимаем линейный непрерывный в H(G) оператор, действующий на последовательности степеней по правилу

Dzⁿ : = d n - 1 z n ^{- 1} , n e N, D 1: = 0 .

to en     /    / d 0... dn-1

e ₀ : = 1 , называется обобщенной экспонен-

При этом функция e(z):=^enzn, n=0

to той, а функция d(z):=^ dnzn - порождающей функцией ООД . Мы получили [6] такую характе-n=0

ризацию и представление ООД.

ТЕОРЕМА 1. Определенное на последовательности степеней {zn} отображение D: Dzn := dn-1 zn-1, n e N, D1:= 0, расширяется до линейного непрерывного в H(G) тогда и to только тогда, когда ряд d(z):=^ dnzn сходится в окрестности начала координат, и функцио-n=0

~                        Г z ^            1                                                                                                      . .      . . .

нальный элемент d 1 — 1, |t1>-, | z - z01< е, аналитически продолжается в каждую односвязную k t) е область Gn х GN(n), n е N. Имеет место такое интегральное представление:

[ Ly ]( z ) = —J y ( t )- d | z I dt .

2 n i C      t k t )

ПРИМЕР. Оператор обобщенного дифференцирования

[ Л „ _р y ]( z ): = y'(z ) + a y ⁽ z ) - y ⁽⁰⁾ -p y⁽ - z ) - y ⁽⁰⁾ , a , P> 0, ^£N , z              z                  2

на H(G) (где G - центрально-симметричная область относительно начала координат) обобщает оператор Данкла, у которого a = в [напр., 7].

Связь полиномов Бренке и операторов обобщенного дифференцирования. Пусть даны два формальных степенных ряда:

a (- ' ) = У V • n =o n !

да

V ^{( z} ) = & n z n .

n =0

да

Их произведение  a(w)v(zw) = Уpn (z)w” порождает последовательность полиномов Бренке n=0

n

(ППБ) p n ( z ) = У k v _kz , n = 0, 1, ... [1]. k =0 ( n - k )!

В частном случае, когда v ( z ) = e ^z , получается последовательность полиномов Аппеля:

n p„(z) = У----n=k— zk, n = 0, 1, ...,

^PnV '   k ^^ ( n - k )! k !

связанных равенствами — p ( z ) = p j ( z ), n е N .

dx ”"         " "¹

Оказывается, между классом полиномов Бренке и классом ООД Гельфонда – Леонтьева существует тесная связь.

ТЕОРЕМА 2. Последовательность полиномов Бренке { p_n ( z )} (где V n >  0 v _n * 0 ) порождает ООД D на пространстве многочленов     span{z ⁿ } по следующему правилу:

Dz n . = V n -L z n ^-1 , D 1: = 0 , причем v _n

^DP n ⁽ z ) = P n -1 ⁽ z X ^{[ D}P n ^](0) =

a n -1 v 0

( n - 1)!’

n е N ; e ( z ) = —v( z ) .

v ₀

^да a

Обратно, ООД D , V n >  0 d_n * 0 , на span{z ⁿ } и формальный ряд a ( w ) = У - n w ” порож- n =0 n !

да дают ППБ {pn(z)} с порождающей функцией a(w)e(zw) = y pn (z)wn, причем n=0

DP n ^{( z} ) = P n -1 ^{( z} ), ^[ DP n ^](0) = y a n ^b, ” ^{е N} .

( n - 1)!

Доказательство. По условию

[ Dp ]( z ) = f^ ” =^ V_kDz k = y^ n -^ V_k i z k ^-1 = У a n ^{-1- k} V_kz k = P„ i( z ) , ” f^ 1 ( ” - k )!^{V k} k ^K n - k )!^{V k -1} k ^^( n - 1 - k )!^{V k P}" ^-Л '

Y1

n

■ z

г

e ( z)^ ^...^=1-

to

n = 0 1

V

n 7

1     .

=— v ( z ) .

V о

to

Обратно, положим v ( z ) : = e ( z ) = ^

n = 0

d ₀... d,

n z .

n - 1

По этой функции

и   a (w) = Y — wn n=0 n!

построим порождающую функцию

to a ( w) e (zw) = £ Pn ( z ) wn .

n =0

n a

В соответствии с определением pn (z) = У —— k=0(n - k)! d0...d

z k , n = 0, 1, ... Остается подей-

n -1

ствовать на это равенство оператором D .

ПРИМЕР. Введенная выше обобщенная производная Данкла   ^Л а,р ^{z :} = ⁽ n ^{+ a +}

+ ( - 1) ^{n 1} p ) z ^{n 1} , n e N, D 1: = 0 ,   порождает последовательность полиномов Бренке вида

P n ^{( z} )

у  an -k__1_____________

z ^k , n = 0, 1, ...

k : 0 ( n - k )! (1 + a + p )...( k + a + ( - 1) ^{k -1} p )

Обозначим Z D множество линейных операторов на пространстве многочленов, которые коммутируют с ООД D .

ТЕОРЕМА 3. Между классом линейных операторов ZD и множеством всех последовательностей полиномов Бренке с порождающими функциями вида a (w)e(zw) = £ pn (z) wn, Vn > 1 en * 0, e0 = 1

n =0

(где e ( z ) - обобщенная экспонента ООД D ) существует изоморфизм, задаваемый правилом:

L ^{( e} n ^z" ) = P n ^{( z} ), ⁿ >  ⁰ .

При этом (формально) L ( e ( X z )) = a ( X ) e ( X z ) .

Доказательство. Положим p_n (0) = e_n • [ Lz ⁿ ](0) =: — .

n !

Так как D ^{n +1} p_n ( z ) = L ( D ^{n +1} e_nz ⁿ ) = 0 , то degp n <  n .

Найдем коэффициенты этого многочлена p n ( z ) : = ^x.z k . [ D ^k p_n ( z )](0) = x_kd_{k - 1}... d ₀ .

k =0

С другой стороны,

( n - k )!

Приравнивая правые части, получаем последовательно x = an-k--1— ^ p (z) = у -n-k--1— zk - многочлен Бренке.

Обратно, каждая ППБ с порождающей функцией a ( w ) e ( zw ) = ^ p n ( z ) w n определяет ли- n =0

нейный оператор по правилу L ( e_nz" ) = p_n ( z ) . Операторы L и D коммутируют, так как L ( De n z" ) = L ( e n d n -1 z ^{n -1} ) = L ( e n -1 z ^{n -1} ) = p n -1 ( z ) ,

D^{L ( e} n ^z n ) = Dp n ^{( z} ) = p n -1 ^{( z} ), ⁿ >  ⁰ .

Последнее равенство следует из предыдущей теоремы.

Критерий непрерывности операторов обобщенного дифференцирования. Сопоставим да целой функции экспоненциального типа f (X) = У fnXn [8] с помощью обобщенной экспоненты n=0 да

e ( z ): = У e n z n степенной ряд n = 0

I n I f ^{п 1 B} e I У fn ^X I * У    п +1 ,

• V n =0       у     n =0 e n

называемый обобщенным преобразованием Бореля этой функции.

ТЕОРЕМА 4. Пусть ООД D непрерывен в H ( G ), 0 e G , e ( z ) является целой функцией экспоненциального типа. Оператор L e Z D расширяется до непрерывного в H ( G ) тогда и только тогда, когда выполнены условия:

• 1)    lim n /l[ Lz n ](0) • e„\n ! <да ; n ^да

• 2)    limmax n /| [ Lz k ](0) e n - k e k | <да , откуда следует аналитичность суммы ряда У p^{n (}zz) как ⁿ .. о < k < „^                 e_n                                                                                        n = 0 e n t"

функции двух переменных в некотором бикруге D (0, е ) х D ( да , е ) ;

• 3)    V n 3 N = N ( n ) >  n сумма ряда У ^Pn n z ) аналитически продолжается в бицилидиндри- n = 0 e n t

ческую область G n х G N . При этом L представим в виде оператора обобщенной комплексной свертки

[ Ly ]( z ) = j y ( t ) B e [ a ( X ) e ( X z )]( t ) dt .

C

Доказательство. ^ Так как оператор L непрерывен в H ( G ) , то по предыдущей теореме да                         да          n                                             да                             да

Le ( X z ) = У Х n Lez n = £ X ⁿ £ [ Lz n ^{— k} ](0) e n — Az* = £ [ Lz n ](0) e n X n У e n ( X z ) n = * a ( X ) e ( X z ) .

n = 0                 n = 0 k = 0                                n = 0                     n = 0

Vn 3N = N(n) > n VX eC | a(X) | max | e(Xz) |= max | Le(Xz) |< Cmax | e(Xz) |< Aexp{BIX |}, z e Gn             z e Gn                  z e Gn откуда целая функция a(X) имеет экспоненциальный тип, т.е. условие 1 имеет место.

Так как ^{Pk (} z ) = Lz^k , то max ^{Pk (} z ) <  C max l z k I = CR N .

e _k                    z ^eGn e _k          ^{z e}GN^{1 1}

Отсюда, в частности, следует равномерная сходимость ряда   У pn (nz) в некотором n=0 ent бикруге D(0, е) х D(да, е) . Далее

max n I ^{[ Lz} k ^{](0) e} n - k e k I = max

0< k <  n                               0< i <  k

< max maxi p, ( t )|

0< i < k z e G„ ' k '

V

n

J^lk.

k — i +1 r n    у

< 2n CR N l n

" k⁺ +¹

rn

p k^{k -)} (0)

( k - i )!

= max

0< i <  k

— [pk^t? dt

2 n i ^j t ^{k —} i ⁺¹

¹ n

^ lim max k [ Lz¹ ](0) n ^да 0< i < k \l

ee k—i i

ek

<

R

< —N <да.

rn

Оператор L имеет такое интегральное представление [9]:

V z e G n [ Ly ]( z ) =       J y ( t ) k ( t , z ) dt ,

2n i r N +1

где ядро k ( t , z ) - аналитическое в каждой области G . х G N .

1 1 Г "  nⁿ 1        "I L, Z ⁿ I ( z ) " n

V 1 t | > R k ( t , z ) = L --- ( z ) = ^ У     ( z ) = У^~-- = У pn^ ,

¹¹           X > /        ^Z            X /        ^Z        n + 1 V 7                 n + 1                      n + 1 •

_ t — Z J       L n=0 t J       n=0     t           n=0 en t т.е. сумма ряда У Pn (z) аналитически продолжается в каждую область Gn х G'N .

n = 0 e n t

"

^ Первое условие равносильно тому, что функция a ( X ): = I [ Lz ⁿ ](0) e_n X ⁿ является целой и экс- n = 0

поненциального типа. В силу второго условия max Pk (z) = max У [Lz1 ](0) ek 'e*z1

^{z e G}" e k       ^{z e G}" i =0              e k

k

< CD^kR^k k max У z ¹ = ( k + 1) C ( DR n ) ^k . ^zGn ,-0^{1    1}

Отсюда следует, что функция k ( t , z ) : = У ^{Pn ( z)} аналитическая в области G_n х D ( е , да ) . n = 0 e n t

По третьему условию она аналитически продолжается в каждую область G_n х G' N .

По теореме Кете определяемый функцией k ( t , z ) оператор [ L ₀ y ]( z ) = — f y ( t ) k ( t , z ) dt 2 п г Г

N +1

непрерывен в H ( G ) .

Так как

"

[L0 tn ](z) = -L J tnk(t, z)dt = -L J tnny pn^z—t = pM = [ Lt" ](z), et e nn

^{2 n} hRR           ^{2 П} 4= R n = 0

то L по определению расширяется до непрерывного оператора на H ( G ) , коммутирующего с ООД D . Его представление очевидно. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

При D = — dz limn/1 [Lz" ](0) | <" n ^rn

₀ ( _X ) _; = y [ Lz n i(01 x .

n = 0     n !

двойной ряд

" 1

имеем e ( z ) = У— z" = e ^z . Первое условие теоремы принимает вид n = 0 n !

и равносильно тому, что характеристическая функция оператора является целой экспоненциального типа. Из второго условия следует, что

У nlpn^z) = У У [ Lzn-k ](0) Ckzk ^^ n+1     ^^ пП+1 ^^L      J\ 7 n n=0 t          n=0 t k =0

абсолютно сходится в бикруге D (0, е ) х D ( да , е ) . Поэтому можно менять порядок суммирования:

k ( t , z )

"

I

n =0

^{n !} P n ^{( z} ) t" ⁺¹

= I 7+t n=0 t

n

I [ Lz ^k ](0)

k =0

n!     zn - k k!(n - k)!

"

=I

k =0

[ Lz ^k ](0) k !

"   1

I

n = k t

n !     z n - k

( n - k )!

=    [ Lz ^k ](0)     k !

= k ^0     k !    ( t - z ) ^{k +1}

= : A ( t - z ) ,

где A ( t ) - классическое преобразование Бореля функции a ( z ) .

Оно аналитически продолжается до аналитической и многозначной функции в областях G N ^- G n .

Более простой по форме критерий расширения оператора, коммутирующего с ООД, получается для круговой области D (0, R ): = { z :| z - 01 < R } , если воспользоваться критерием М.Г. Ха-планова [10].

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть ООД D непрерывен в H(D(0,R)), R е (0,да), т.е. его порождающая да функция d(z):=^ dnzn аналитическая D(0, 1). Оператор L е ZD расширяется до непрерывного n=0

в H ( D (0, R )) тогда и только тогда, когда коэффициенты его полиномов Бренке удовлетворяют условию:

V r <  R lim n —— max|[ Lz n - ^к ](0) e_n - k e k I r k <  R . n >:/^ | e | 0< к < n

Следующая теорема дает описание класса непрерывных линейных операторов, коммутирующих с оператором обобщенного дифференцирования Данкла. Доказательство сводится к нахождению эквивалентных операторов, коммутирующих с оператором классического дифференцирования, описание которых известно.

ТЕОРЕМА 5. Пусть G - односвязная центрально-симметричная область, D = Л_ав , L е / Л . Равносильны утверждения:

1) L расширяется до линейного непрерывного в H ( G ) и коммутирует с обобщенным оператором Данкла: L Л Л L на H ( G ) .

да

2) функция a ( X ) : = ^

n = 0

[ Lz n ](0)

(1 + а + р )...( n + а + ( - 1) ^{n - 1} р )

X ⁿ является целой экспоненциального

типа, и функция –

да

[ Lz^k ](0) к !

A ( t - z ):=У                        ,

⁷   &(1 + а + р )...( n + а + ( - 1) n ^-1 p )( t - z )

, к +1

аналитически продолжается в каждую область G_n х G ’ как функция двух переменных.

Доказательство. Покажем сначала, что определенный на { z n } диагональный оператор

„ . (1 + а + р )...( n + а + ( - 1) n -* р ) n Jz .=------------------------------- z

n !

расширяется до линейного непрерывного на всем H ( G ) .

Для этого преобразуем его порождающую функцию.

да d j ^{( z} ) = E n =0

(1 + а + Р )...( к + а + ( - 1) ^{n -1} Р )

n !

[ 1 + а + В . а-ВА

1 + да

„n \      ^{2      7} к \        ^{2   7} к 2кк .

z =2----m------z + к=0              111 к!

1 2 )_к

( 3 + а + В . а - В )

- I                            I I 1 +             ' I                                                       „

X 2 /А \      2 )к 2к +1      Г^ Г 1 + а + Р

+(1 + а + Р)^^z2к+1 = 2F; I^,1 + к=0            I 3 I к !                          V 2

1 2 ¹ к

а-Р 1 _:

’2’ z

•^{2 к} I +

3 + а + р , а-Р 3 2,

+ (1 + а + Р ) z • 2 F I---- ,¹ +       ’2 ’ z 2 ^к

Аналогично для обратного диагонального оператора:

.

да

n !

d i ( z ) = У                         1

J ^(1 + а + Р )...( к + а + ( - 1) " ^-1 Р )

n z

| ¹ | к ! да

= у1________12 7 к__________ к=0 (1 + а + р| |1 +O-PI

¹      2      ¹¹       2 J

I ²     7 к I      ² 7 к

2 к .

z +

I 3

1 A V 2

+;/ .tz

1 + a + p k=0 Г 3 + a + p]

V 2    1

I k ^! k

II ^{1 +} k V

2 k +1         ( 1 , 1 + a + p a -B 2 k ] ,

---JTV ^z = 3 F 2I -^,1;------- ,1⁺ ——; ^z I ⁺ a — p ]            V 2      2         2 J

+---"--3 ^ 2

1+ a + p 3 2

2 1 k

(3 , 3 + a + p , a-B M

- ,1;-------,1 + —-; - ^k

1 2      2          2

.

Обобщенная гипергеометрическая функция q+1 Fq(a1,...,aq+1; b1,...,bq; z) является решением уравнения типа Фукса с правильными особыми точками 0,1, да [11]. Она голоморфна в единичном круге и аналитически продолжается по любому пути, не проходящему через точки ветвления 0,1, да, на бесконечнолистную риманову поверхность. Отсюда следует, что для любой од носвязной области G, 0 е G, функция q+1 Fq I a1

z )____,.

a q _{+ 1}; b_v..,b q ; - I аналитически продолжается в

каждую область G n х G'_N , n <  N .

Тогда в случае центрально-симметричной области G функция q+1 q

a 1 V

a q +1 ; ^b 1

, z2 I bq;— I аналитически продолжается в соответствующие Gn х GN, и поэтому

оба диагональных оператора J , J ¹ непрерывны в H ( G ) [11].

J является оператором преобразования дифференцирования Данкла Лap в классиче- dd ское дифференцирование —, т.е. J ° Л в= — о j . dz             a,p dz

Пусть теперь выполнено условие 1. Покажем, что оператор L_d : = JLJ ¹ коммутирует с классическим дифференцированием:

—L_d = f —J ^] LJ ' = J U L\J = JL( Л_{а B}J = (JLJ ^-1) — = L_d^d .

dz ^d V dz I              ^{a , B} ’ V ^{a , p}     У V ) dz d dz

Так как LdeXz := JL(J"’e^ ) = J(L-(Xz)) = J[a(X)e(Xz)] = a(X)eZz, то эквивалентные опера- да торы Ld, L имеют одну и ту же характеристическую функцию a(X) = .[Lzn ](0)enXn . Поэтому n=0

утверждение 2 следует из замечания 1 к предыдущей теореме.

Пусть теперь выполнено условие 2. По тому же замечанию и теореме Кете оператор ком плексной свертки [Ldy](z) =    fy(t)A(t - z)dt непрерывен в H(G). Непрерывный оператор

2 n i C

J ^—1 L_dJ коммутирует с Л_{a p} (доказательство аналогично вышеприведенному). Покажем, что он совпадает с L на { z ⁿ } , т.е. L расширяется до линейного непрерывного в H ( G ) .

nn j-> Ldjzn = _ J-• Ld    I = _ J --(pn (z)) = - .[ Lzn-k ](0) -n-k- J-1 zk = en     V n! 1 -n                -nk=0             k!

= . [ Lz n ^{- k} ](0) e n — k ekz k = Lz n .

k = 0                 ^- n

Теорема доказана.

Представление любого оператора свертки в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка. Назовем вычетом множества G ₂ по множеству G 1 множество

s ( G 1 ,G ₂): = { z e С : z + G 1 с G ₂} .

Впервые такое множество рассматривалось в работе Ю.Ф. Коробейника [12]. В частности, вычетом множества G назовем множество s ( G ) : = { z e С : z + G с G } .

Докажем основную формулу для вычета множеств: ( G 2 - G 1 ) ’ = s ( G 1 , G ₂) .

( G 2 - GD' = {t : t е G 2 - G = J ( G 2 — z ) = ( Q ( G 2 - z )) ‘ } = z e G i                   z e G i

= {t : t e Q ( G ₂ - z )} = {t : V z e G 1 t + z e G ₂} = {t : t + G 1 с G ₂} = : s ( G 1 ,G ₂) .

z e G _i

ТЕОРЕМА 6. Пусть G есть односвязная область в С . Равносильны утверждения:

• 1)    s ( G ) = 0 ;

[ Lz n ](0)

• 2)    характеристическая функция a ( z ) = >---- z каждого непрерывного линейного в n !

H(G) оператора L, —L = L—, является целой функцией экспоненциального типа ноль: dz dz lim ViELzn ](0) | = 0. n→∞

Доказательство.

^ По определению 0 e s ( G ) . Пусть z 0 * 0, z 0 e s ( G ) . Так как G + z 0 с G , то оператор сдвига [ Ly ]: = y ( z + z 0 ) непрерывен в H ( G ) . Он, очевидно, коммутирует с оператором дифференцирования. Для этого оператора [ Le^Xz ](0) = e ^{X ( z + z 0 )} , и характеристическая функция a ( X ) = e ^z 0 ^х не имеет минимальный тип. Это противоречит условию.

^ Ядро оператора L k ( t , z ) = A ( t - z ) голоморфно в каждой области G_n х G N . Отсюда ∀ z ∈ G n функция A( Z ) голоморфна в G' N - z , и вообще V z e G Я N ( z ) она голоморфна в G'N ( _z ) - z . Эта функция аналитически продолжается из точки Z = ^ по лучам в главную звезду

(относительно ^ ) D_z 2 G' N _{( z }} - z [13, с.492].

Покажем, что Ve >  0 функция A ( Z ) аналитически продолжается до голоморфной в области С \ D (0, е ) , откуда и будет следовать ее голоморфность в С \ {0} . Из открытого покрытия компакта С \ D (0, е ) множествами G'N ( _z ) - z , z e G , выберем конечное подпокрытие

n

J ( G N ( zk ) - z k ) 2 С \ D (0, e ) .

k =1

Так как A(Z) аналитически продолжается в каждую звезду Dzk 2 G'N(zk} - zk, то она ана- n литически продолжается до голоморфной функции в звезду JDz, 2 С \ D(0, е).

k =1

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Нетрудно видеть, что вычет ограниченной односвязной области G равен нулю. Для этого случая было доказано [3, 4] утверждение 2 теоремы. Для неограниченной выпуклой области G s ( G ) * 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

В случае s ( G ) = 0

х 1 Г               ;     1 Г         [ Lz ](0) л       [ Lz" ](0)       ч

^[ Ly ^{]( z} ) = —J y ⁽ t ) A ⁽ t - ^z ) dt = — J y ⁽ t )Ет---- dt = E  ---, У ^{( )( z} ) ,

2 n i^j_C                2 n i C    SC t - z )       t0    n !

причем ряд равномерно сходится внутри G . Отсюда и из теоремы 4 [12] непосредственно следует такой критерий. Для того чтобы для односвязной области G каждый линейный непрерывный в H ( G ) оператор L , коммутирующий с оператором дифференцирования, был представим в виде дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы s ( G ) = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 3.

В предыдущей теореме для центрально-симметричной односвязной области G показано, что каждый линейный непрерывный в H(G) оператор, коммутирующий с обобщенным диффе ренцированием Данкла Ла р, эквивалентен оператору, коммутирующему с классическим дифференцированием. Так как для обобщенной производной n -го порядка лавy=(j■’ d j) °... ° (j■’ d j)y=j■’(Jy)(n), dz           dz то в случае s(G) = 0 такой оператор представим в виде дифференциального оператора бесконечного порядка относительно обобщенного оператора Данкла:

[ Ly ]( z ) = [ J-¹ L d Jy ]( z ) = J -¹ £ [ L EB. ( jy ) ⁽ " ) ( z ) = n =0       " !

да

=E n=0

[ Lz ⁿ ](0)

[ л а:в y ]( z )

(1 + a + p )...( n + a + ( - 1) ^{n -1} p )

Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки. Мы показали [5], что операторы обобщенной комплексной свертки, порождаемые оператором дифференцирования Данкла, являются хаотическими и гиперциклическими. Воспользуемся приведенным там условием гиперцикличности в пространстве Фреше, чтобы доказать это свойство для операторов из теоремы 4.

Для непостоянной характеристической функции a ( X ) множества A : = { z :| a ( z ) | < 1},

B : = { z :| a ( z ) | > 1} открыты в С .

Подпространства V : = span{e^xz : Xe A }, W : = span {e ^{X z} : Xe B } плотны в H ( G ) . Пусть, например, { X _k } >x ₀, X ₀, X _k e A . Фиксируем произвольный непрерывный функционал на H ( G ) . Он задается функцией Y ( t ) e H ( G ‘ ), Y ( t ) = £ y " , по правилу ( y , Y^ = — j y ( t ) Y ( t ) dt .

n =0 t ⁿ                              2 n i C

Покажем, что из равенств У( ( X k t ), Y ( t )} = 0 , k = 1, 2, ... , следует Y ( t ) = 0 , откуда по теореме Банаха V плотно в H ( G ) .

да

Функция y ( X ):= ( e ( X t ), Y ( t )> = E y_ne_n X ⁿ является целой функцией экспоненциального типа, n =0

так как такова e ( X ) . Поскольку по условию y ( X _k ) = 0, k = 1, 2, ... , то по теореме единственности y ( X ) = 0 , а значит и Y ( t ) = 0 .

Аналогично доказывается плотность W .

Последовательность отображений { L } поточечно сходится к нулю на V , так как

L n I m^a.e ( X, z ) I = mTa.a" ( X, ) e ( X, z ) равномерно стремится к нулю внутри G .

V 1:1         J 1:1

Аналогично, для отображения 5 ( e ( X z )): = — e ( X z ), Xe B , расширенного по линейности a ( X )

на все W, последовательность {S"} поточечно сходится к нулю. Наконец, композиция LS явля- ется тождественным отображением на W :

m\(mu

LS 1 £ a,e^z ) | = L £ a,

V i =1              У       V i =1

—УТe(Xiz) | = £aie(Xiz). a(X i)        J

Это и доказывает гиперцикличность оператора обобщенной свертки.

Каждая гиперциклическая функция f преобразования L порождает плотное в H ( G )

многообразие гиперциклических функций (гиперциклическое многообразие) { [ p ( L )]( f ): p - многочлен } в H ( G ) .

Докажем хаотичность, т.е. плотность в H(G) множества периодических элементов опера- тора L . Имеем импликацию

[ Ln eX t ](z) - eXz = (an (X) - 1)eXz = 0 ^ a (X) = exp J — iI I n n e N k = 0,...,(n -1).

В силу открытости отображения    a ( X )

множество Л : = { X : 3 n e N, k < ( n - 1 )

a ( X ) = exp { 2 n ki/n } } имеет предельную конечную точку.

Рассуждая как и выше и используя теорему единственности, получаем плотность подпространства периодических функций span{e ( X z ): XeA } в H ( G ) , т.е. оператор L - хаотический.

Нами доказана

ТЕОРЕМА 7. Пусть оператор обобщенной комплексной свертки L удовлетворяет теореме 4 и не является скалярно кратным тождественному преобразование пространства H(G). Тогда L имеет инвариантное относительно Aa гиперциклическое многообразие, которое плотно в H(G).

L является также хаотическим оператором.