Операторы Перрона - Фробениуса естественных расширений теоретико-числовых эндоморфизмов Реньи - Рохлина

В статье дается способ построения операторов Перрона — Фробениуса естественных расширений теоретико-числовых эндоморфизмов Реньи — Рохлина.

В работах А. Реньи [1] и В.А. Рохлина [2] рассматривались следующие отображения: если F — действительная функция на [0, 1), то y = T 1 x = F (x)(mod1), x Е [0, 1). Налагая определенные условия на функцию F (x), А. Реньи доказал существование инвариантной меры и эргодичность эндоморфизма T 1 при этих условиях. В.А. Рохлин доказал точность эндоморфизма T при тех же условиях. При некоторых других условиях доказывается точность эндоморфизма T 1 в работе [3].

Пусть (M, F, ц) — пространство Лебега, то есть пространство с вероятностной мерой, изоморфное отрезку [0, 1] с мерой Лебега.

Эндоморфизмом пространства M называется измеримое преобразование пространства M.

Автоморфизмом пространства M называется взаимно однозначный эндоморфизм.

Преобразование T пространства M называется несингулярным, если из ц(А) = 0 следует ц(Т ^-1 A) = 0.

Пусть T : M ^ M — несингулярное преобразование пространства M . Пусть f Е L^(M ). Оператором Перрона — Фробениуса называется отображение P : L ¹ ^ L ¹ , определенное равенством

ОО о о О) о о Если M = [0, превращается в СО 3 m ©

j P f (x©(dx) = j f (x©(dx) V A Е F.                (1) A                  T - 1 A 1], A = [a, x], T дифференцируемо и монотонно на A, то (1) x                                    T -1 x j Pf (s)ds = j f (s)ds = j f (s)ds.                 (2) a                 T -1 [a,x]               T - 1 a

Дифференцируя (2) по x, получаем

_T - 1 _x

Pf (x) = X [ f (s)ds = f (T ^-1 x) • X (T ^-1 x). dx                     dx

_T - 1 _a

Если M = [0, 1) x [0, 1), A = [a,x] x [b,y], то из (1) получаем xy ds

Pf (s, t)dt

ab

=

T ^-1 ([a,x] x [b,y])

f (s, t)ds dt.

Дифференцируя сначала по x , затем по y , получаем

Pf (x,y) =

ff   f (s,t)dsdt.

∂y ∂x

T ^-1 ([a,x] x [b,y])

Будем считать, что функция F (x), определяющая теоретико-числовой эндоморфизм T 1 , удовлетворяет следующим условиям:

• 1)    F (0) = 0;

• 2)    F (x) непрерывна и строго возрастает;

• 3)    если x ₂ > x 1 , то F (x ₂ ) — F (x 1 ) > x ₂ — x 1 ;

• 4)    lim F(x) = K , где K — натуральное число или + то ; x ^ 1

• 5)    T сохраняет меру, то есть ^(T ^—1 A) = ^(A) V A Е F .

Если обозначить a k точку отрезка [0, 1), в которой F (x) = k, к = 0, 1,..., и обозначить f k (x) = F (x) при a _k-1 6 x 6 a k , к = 1, 2,..., то f _k есть отображение f _k ^: [a _k-1 ,a k ) ^ [0, 1), к >  1. Обозначим g _k (x) — обратное к f k отображение: g k : [0, 1) ^ [a _{k -1} ,a _k ), к >  1. Для того чтобы отображение T сохраняло меру, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ^2,g'_k (x) = 1 Vx Е [0, 1). k

Производные g k (x) будем обозначать m _k (x), это обычное обозначение для условных мер точек разбиения f = T ^{- 1} в, где в — разбиение на точки, а элементами разбиения ξ есть точки, являющиеся прообразами какой-либо одной точки из [0, 1).

Таким образом, мы можем представить T 1 x = f k (x) для a _k-1 6 x < a k , к >  1.

Методами, рассмотренными в [4], можно показать, что естественным расширением такого эндоморфизма является автоморфизм пространства M = [0, 1) x [0, 1)

<

^T(x,y) = <

(f i (x),m i (x)y),         0 6 xi,  0 6 y< 1;

(f 2 (x),m 2 (x)y + m i (x)), a i 6 x < a 2 , 0 6 y< 1;

... ... ...

(f k (x), m k (x)y + m i (x) + ... + m k - i (x)), a k - i 6 x < a k , 0 6 y< 1;

Обратным преобразованием преобразования T будет

<

T ^-1 (x,y) = <

(g i ^(x), m i ix) У),         ⁰ 6 x< 1, ^{0 6} yi^(x);

(g 2 (x), mix- (у — m i (x))) , 0 6 x < 1, m i (x) 6 y < m i (x) + m 2 (x);

... ... ...

(gk (x), mix- (У — ^m i (x) — ••• — m k - i (x))) , 0 6 x < 1, m _i (x) + • • • + m _k-i (x) 6 y < m _i (x) + ... + m _k-i (x) + m _k (x);

Если 0 6 x < 1,

Тогда Pf (x, y) =

⁰ 6 y <  m i ^(x), то T ^{i ([0,x]} x [0,y]) = ^[0,g i ^(x)] x [° mix y].

• ₂ g i (x)      mi(x) ^y

dfc J ds J ^f(s,t)dt = ./(g i GxR m^ y) •

Если 0 6 x < 1,  m _i (x) 6 y <  m _i (x) + m ₂ (x), то T ⁱ ([0,x] x [0,y]) =

(y — mi(x)           \ gi(x) i                   ai+g2(x) m2(x)

R ds J f(s,t)dt + R ds R f (s,t)dtl = y-mi(x)

= J a i + ^g 2 ^(x), _{m 2} (x)

Если 0 6 x < 1,  m _i (x) + • • • + m _{k -i} (x) 6 y <  m _i (x) + • • • + m _{k -i} (x) +

+ m k (x), то T ⁱ ([0,x] x [0,y]) = ([0,g i (x)] x [0, 1]) U ([a i ,a i + g 2 (x)] x [0, 1]) U ... U

^{U ([a} i + • • • + a k - 2 , a i + • • • + a k - 2 + g k - i ^{(x)] x [0, 1]) U}

^U (^[a i + • • • + a k - i , a i + • • • + a k - i + ^g 2 ^{(x)] x} [⁰, y ^{m i ( X -} _mk ^— m ^{k i (X-} ] ) •

(gi(x)     i                         ai+...+ak—2+gk—i(x)i

J ^dsJf ^(s,^t)dt + ••• + J        ^dsJf ⁽s,t^)dt +

0       0                               ai+...+ak—2

y — mi(x) —... — mk — i (x)\ ai+...+ak—i+gk(x)               mk (x)

+ R ds R       f (s,t)dt I =

• a1+...+ak-1

y ^-m i ^(x)- ... ^-m k — i ^(x)

= ^J a i + • • • + a k - i + g k ^(x),         _m k ( _x )          ), ^k > 1.

Таким образом, оператор Перрона — Фробениуса для естественного расши- рения T(x,y) эндоморфизма Tix = F(x)(mod1), где F(x) удовлетворяет условиям 1)-5), для f E L1 (M)выражается формулой f (gi(x), mix-у) ,    0 6 x< 1, 0 6 y

f (ai + g2(x), y-m^x^-) , 0 6 x< 1, mi(x) 6 y < mi(x) + m2(x);

^{Pf (}x,y) = <

f(ai + ••• + ak-i + gk (x), y-mi(x)m;-mk—i(xY) , 0 6 x< 1, mi(x) + • • • + mk-i(x) 6 y < mi(x) + • • • + mk-i(x) + mk(x);

В.Г. Шарапов. Операторы Перрона — Фробениуса