Описание ядра оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Румье

Пусть w — весовая функция; E { ^ } (R) — пространство Румье ультрадифференциру-емых функций (УДФ) нормального типа p G (0, от ) на числовой прямой; Т ^ — оператор свертки, действующий в E p^R ); ^ — его символ (целая функция с определенными ограничениями роста). Основной целью работы является описание ядра ker Т ^ оператора T µ в виде некоторого пространства последовательностей. Данная задача, во-первых, представляет самостоятельный интерес, поскольку позволяет построить базис в ker Т ^ и, соответственно, выписать общее решение однородного уравнения свертки Tf = 0 в пространстве E p^R ). Во-вторых, в случае пространств Румье (в отличие от двойственного случая пространств Берлинга) она является необходимым предварительным шагом для исследования проблемы сюръективности оператора T µ или, другими словами, проблемы разрешимости неоднородного уравнения Tf = g в E p^R ).

(О 2024 Полякова Д. А.

Заметим, что обе приведенные задачи уже успешно решены в пространствах Румье E^y (R) минимального типа (см. [1-3]).

Операторы свертки в пространствах Румье нормального типа к настоящему времени практически не изучены. Даже проблема характеризации их символов оказалась достаточно сложной (она была решена в [4]). Далее, недавно в работе [5] на основании связи между пространствами Берлинга и Румье УДФ удалось установить одно из необходимых условий сюръективности оператора Т ^ в пространстве E p^R) — медленное убывание символа µ. Это вместе с предшествующими результатами сделало возможным исследование ker Т ^ в E p^R ).

Следует отметить, что настоящее исследование существенным образом опирается на работу [6]. Несмотря на то, что указанная работа была посвящена общему решению однородного уравнения свертки в пространствах Берлинга нормального типа на числовой прямой, в качестве символов рассматривались (по техническим причинам) именно целые функции, являющиеся символами операторов свертки в пространствах Румье E p^R ) . Соответственно, вся предварительная работа по группировке близко расположенных нулей символа уже была проведена.

Принципиальным отличием случая Румье, помимо сложной топологической структуры рассматриваемых пространств, следует, на наш взгляд, считать необходимость построить в ходе доказательства решение ∂ -задачи, которое вместо одной весовой оценки будет удовлетворять системе весовых оценок. В связи с этим, вместо классического результата Хермандера, который применялся во всех предшествующих работах, здесь используется его обобщение из [4].

Основными результатами работы следует считать теоремы 1–3. В теоремах 1 и 2 установлено изоморфное описание ker Т ^ в виде пространства последовательностей функционалов и пространства числовых последовательностей, соответственно. В теореме 3 выписан базис в пространстве всех решений однородного уравнения свертки Tf = 0 в пространстве E p^R ).

В заключение заметим, что задачу об общем решении уравнения свертки следует считать классической. Учитывая, что, как хорошо известно, уравнения свертки включают как частные случаи дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, дифференциально-разностные и интегро-дифференциальные уравнения, отправной точкой здесь следует считать классические работы Эйлера. В дальнейшем данной задачей занимались многие математики, рассматривая операторы свертки как в пространствах бесконечно дифференцируемых, так и в пространствах аналитических и обобщенных функций (см., например, [7–9]).

• 2.    Пространства Румье и операторы свертки

Под весовой функцией, как обычно, будем понимать непрерывную неубывающую функцию ш : [0, от ) ^ [0, от ), удовлетворяющую условиям:

• (а) ( V p > 1) ( 3 C >  0): (ш(х + y) <  p(w(x) + ш(у)) + C ) (Vx,y >  0);

(а ‘ ) w(t) = O(t), t ^ от ;

( y ) ln t = o(w(t)}, t ^ от ;

• (5) ^ _ш (x) := ш(е ^х ) выпукла на [0, от ).

Считаем для удобства, что ш(1) = 0, и продолжаем функцию ш в C радиальным образом: w(z) := w( | z | ), z G C. Вводим функцию ^ * (y) = sup { xy — ^ _ш (x) : x ^ 0 } , y ^ 0.

В дальнейшем нам понадобятся два следующих важных свойства весовых функций

Пространством Румье УДФ типа p € [0, от ) называется пространство

E^CR) := р € C “ (R) : ( V l € (0, от )) ( 3 q € (p, от )) :

< от^ .

I f ^(j) (x) l

|f L,q,l := SUp SUp --------— jGNo |x|

Оно наделяется смешанной проективно-индуктивной топологией proj ind E^

l'(G,“) q' 'p-^

полунормированных пространств E*qi = {f € C“(R) : |f I*_-q-i< от}.

При p = 0 естественно говорить о пространствах Румье минимального типа (они изучались, в частности, в [1-3], а при p € (0, от) — о пространствах нормального типа (см. [4–6]).

Простое равенство E{*}(R) = E{¹_p*}(R), p € (0, от), позволяет при исследовании пространств нормального типа ограничиться случаем p =1.

В [10, предложение 4.9] было показано, что пространство E{*i(R) ядерно, полно и рефлексивно. Аналогично проверяется, что E{*}(R) обладает теми же свойствами.

Как известно, сильное сопряженное ^^(R))в к пространству E{*}(R) топологически изоморфно следующему весовому пространству целых функций:

H{*} (C):= ff € H (C): (31 € (0, от)): (V q € (1, от))

I) < 4 ’

If (z)I

Ilf||*,q,l := sup----7---7—---- zeC exp (qw(z) + l| Im z наделенному топологией indie(G,“)projqe(i,“)H*,q,i. Здесь H*,q,i = {f € H(C) : ||f |*,q,i < от} — банахово пространство. Топологический изоморфизм между (E1*}(R))в и H C устанавливает преобразование Фурье — Лапласа функционалов

F : р € ' E R f Н p(z) := ^(e-ixz), z € C.

Пространство H 1*}(C), в отличие от пространства H^G*}(C) ~ (E{*, (R)) в, очевидно, не является алгеброй относительно обычной операции умножения функций. В соответствии с [4, теорема 4], множеством всех мультипликаторов пространства H1*}(C), т. е. тех целых функций р, для которых pH 1*}(C) С H1*}(C), является

M4}(C) = {р € H(C) : (31G € (0, от)) : (Ve € (0, от)) ИдЩ^ < от}.

При этом каждый такой мультипликатор непрерывен, т. е. оператор умножения A^ : f Н pf действует непрерывно в H{*} (C).

Заметим сразу (см. [11]), что в определении пространств Н_ш}(С) и Mj_w}(C) можно при необходимости заменить w(z) на w(Re z).

Для ^ € М{_ш} (C) оператор свертки с символом ^ в пространстве E^^R) вводится следующим образом:

(Tf )(x):= (f,f (x + • )>, x € R, f € ^(R).

Здесь f := F -1(f При этом T^ является сопряженным к Л^ и действует линейно и непрерывно в E^^R).

Точно так же, как в [12, теорема 2], проверяется, что если символ ^(z) = £^=0 ak(-i)^kz^k удовлетворяет условию: ||^||_ш,_е,о < от при всех е > 0, то оператор T^ представляет собой дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами: Tf = £“_=oak f^(k), f € E^R).

В силу [5, теорема 5], для сюръективности оператора Т^ в E^j/R) необходимо выполнение условия:

• (D)  (Vе € (0, от)) (V 5 € (0, от)) (3 Ro > 0) : (Vx € R) с |x| > Ro (3 w € C) :

|w — x| < 5w(x) и |fw)| ^ exp { — ew(w)}.

Следуя Эренпрайсу, данное условие будем, как обычно, называть условием медленного убывания ^ (относительно w). Из [11, теорема 2] и [6, лемма 1] вытекает, что условие (D) эквивалентно условию

(SCo) (Vе > 0) (35 = 64KHei0 > 0) (3ro > 0): каждую точку z € C с |z| ^ ro можно погрузить внутрь окружности S_z, обладающей свойствами:

• (а)    если | Im z| С 5w(Re z), то для всех Z € S_z

|Z — z| С 65w(Rez),   |^(£)| > exp{—ew(ReZ)};

• (b)    если | Im z| > 5w(Re z), то для всех Z € Sz

• 3.    Изоморфная реализация H1^}(C)/J

^|Z- ^{z| С} (4⁺4^в) |^Imz|, |^^(Z)| ^ ^exP^{—Lo|^ImZ|}.

Здесь |t| = max {| Imt|, | Ret|}, t € C; величина в € (0, 32] может быть выбрана произвольно, а константа L0 зависит лишь от весовой функции ω, числа β и величины l0 из оценки сверху |^| (в [6] константа Lo выписана явно).

В заключение заметим, что, как нетрудно убедиться, T^e-ixz) = ^(z)e^-ixz, z € C. Соответственно, если As — нуль символа ^, то функция e^-iAsx будет решением однородного уравнения свертки Tf = 0. Если k_s— кратность нуля As, то решениями этого уравнения будут все функции xl e^-iAsx, l = 0,..., ks — 1. Хорошо известно, что в общем случае эти решения могут не образовывать базис в пространстве всех решений однородного уравнения. Близко расположенные нули символа и соответствующие им элементарные решения необходимо группировать. Более подробно группировка нулей будет обсуждаться в следующем параграфе.

Пусть ^ € Mj_w}(C). Обозначим J := ImЛ^ = ^Н{_Ш}(С). Поскольку ядро kerT^ сюръективного оператора свертки Tµ стандартным образом будет изоморфно пространству (H1^}(C)/J) в, настоящий параграф посвящен описанию пространств H 1^}(C)/J и

(HC .J )в

Начнем со следующей леммы.

Лемма 1. Для утверждений

• (i ) ^ удовлетворяет условию (SCo );

• ^{(ii )}^ - делитель ^н{_ш}^(с), т. е. f ^GH^C], £ ^G H^(C)^ £ G /Л^^(С)

(Hi) главный идеал J замкнут в Н{_ш}(С) справедливы импликации (i) ^ (ii) ^ (iii).

• <1    Докажем импликацию (i) ^ (ii). Рассмотрим произвольную функцию f G Н{_Ш}(С) такую, что £ G H(C). Так как f G H^}(C), то ||f Щq,l1 < ж при некотором li G (0, от) и всех q G (1, от).

Зафиксируем какое-нибудь в G (0, 3^] и найдем соответствующую ему константу Lo из условия (SCo). Далее, для произвольного q G (1, то) выбираем qi G (1,q) и E G (0, £(q — qi)]. Пользуясь условием (SCo), находим соответствующие 5 и ro. Здесь следует заметить, что ε и, как следствие, δ можно при необходимости уменьшить.

В результате каждую точку z G C можно погрузить внутрь окружности S_z, на которой справедлива оценка

IMZ)| > exp { — Ew(ReZ) — Lo| ImZ1}, Z G Sz.

Следовательно, f (Z) MZ)

< ll^flkqi,li ^exp{⁽qi + £>^{(Re Z}) + ⁽li + Lo)| ^{Im Z1}},

Z g Sz

Учитывая оценки diamSz из условия (SCo), а также свойства (1), (2) весовых функций, из этого стандартным образом получаем, что при некоторых C > 0 и L > 0 для всех Z G Sz справедлива оценка f (Z) MZ)

< C exp {qw(Re z) + L_i| Im z|}.

Значит, такая же оценка имеет место и внутри окружности S_zи, в частности, в точке z. Итак, ^fG H 1 1(C).

’ £       {W}'

Доказательство импликации (ii) ^ (iii) совершенно стандартное. >

Рассмотрим в H1_W}(C) замкнутый (благодаря условию (SCo)) главный идеал J, порождаемый символом ^. Очевидно, что если (A_s)“i — последовательность нулей функции µ и k_s— кратность нуля λ_s, то

J = {g G Hⁱ   с : g^(l)(As)=0, l = 0,...,ks — 1, s = 1,2,...} .

Мы рассматриваем случай бесконечного числа нулей µ, поскольку если их конечное число, то ker T£, как нетрудно понять, будет конечномерным.

В [6, §4] для целой функции ^ G M{_W}(C), удовлетворяющей условию (SCo), было построено специальное открытое покрытие (Uj)“i нулей символа ^. Построение проводилось по произвольной числовой последовательности Ek ^ 0. Множества Uj конструировались группами jk ^ j < jk+i, k G N (jo = 1). На Uj для |^| выполнялись следующие оценки сверху:

In Hz)| < —Ekw(Rez) — Lo| Imz|, z G Uj, jk< j < jk₊i, k G N.

Здесь, напомним, Lo — константа из условия (S Co).

Далее, там же было показано, что если

Cj :=minexp{ - 4skw(Re Z) — 4Lo| Im Z|}, jk< j < jk+i,             (3)

ZeUj то для всех z G (dUj)(cj) = {z G C : dist(z, dUj) < cj}, jk < j < jk+1, выполняется неравенство

In |^(z)| > —3Ekw(Rez) — 3Lo| Imz|.                             (4)

Наконец, в каждой компоненте Uj специальным образом выбиралась точка zj , через которую оценивались размеры множества Uj (см. [6, леммы 2 и 3]).

Основная цель настоящего параграфа — получить изоморфное описание H1_w}(C)/J в виде пространства последовательностей. Данный результат в целом схож с аналогичным результатом для пространств Берлинга УДФ нормального типа [6, лемма 7]. Отличительными особенностями, как уже говорилось во введении, являются топологическая структура (индуктивно-проективная вместо чисто индуктивной), а также необходимость иметь решение ∂ -задачи, удовлетворяющее семейству весовых оценок. В связи с этим мы приведем доказательство кратко, делая упор только на новые детали.

Пусть, как в [6, § 5], H“(Uj) — пространство всех аналитических ограниченных на Uj функций с нормой ||g|Uj = sup{|g(z)| : z G Uj}; Jj = {g G H^(Uj) : g^(/)(As) = 0, l = 0,...,ks — 1, As G Uj}; Xj := H “ (Uj )/Jj; |||[f]|U,j = inf д_Ен»_(Uj) supz_eUj |f (z) + ^(z)g(z)| — факторнорма в Xj и X := nj=i Xj■ При этом dimXj = ^х_аЕц. k_s =: mj.

Введем следующее подпространство пространства X :

k^ =     = ^([^j])J=1 ^GX ^{: (}3 l ^{G (0,}то)) : (Vq^{G (1,}to))

||WU

M^i = sup--J--- j+1 exp |qw(Rezj) + l| Imzj

u < 4 •

Данное пространство наделим естественной топологией внутреннего индуктивного предела пространств Фреше К_ш,1 := projq^i ^k^i, где k^,q,i := {5 G X : |^|_шql< to}■ Нетрудно проверить, что К_ш,i компактно вложено в К_ш, i1 при 0 < l < li < то, так что k“ относится к известному классу (DFS)-пространств (см. [13]).

Лемма 2. Отображение р :[f] G H4(C)/J Н ([f |ujj устанавливает топологический изоморфизм между Н{шу(С)/J и k“.

• <1    1) Начнем с доказательства непрерывности отображения р. Поскольку топология в H}_w}(C)/J совпадает с индуктивно-проективной топологией indi_e(o_]M)projq_e(_lj№)H_w,q,i банаховых пространств

и                                               f           f^{(z) +} M^z)g^(z)|     / I

^H»,q,i^:= ^{[f] G H} }^{(C)/J : |[f}=      in^{f   s}up< ^to ,

[         { }                 ,q, g H,a}(C) zee exp{qw(Re z) +1| Im z|}       J то, в силу [14, теорема 6.5.1], нам достаточно проверить справедливость условия:

(V l G (0, to)) (311 G (0, то)): (V q1 G (1, to)) (3 q G (1, to)) (3 C> 0) :

|p[f]L,qi,ii < C l[f]Ui (V [f] G H^,q,i).

Зафиксируем произвольное l G (0, от) и положим li := 3l + 4A, где A — константа, определяемая условием (1). Далее, для qi G (1,2) выберем какое-нибудь q G (1,qi). Пользуясь [6, лемма 3], найдем Ci > 0 такое, что для всех j G N и z G Uj qw(Rez) + l| Imz| < qiw(ReZj) + (2Aq1 + 3l)| ImZj| + C1 C qiw(ReZj) + l1| ImZj| + C1.

Тогда для любого класса [f ] G H^,q,l имеем, что

|||[f L ]|||oo j C inf sup-----n • ^SUP ^exP {q^Rez) + l| Imz|} IUjJI ^ J U _eXp {q_W(Re z) ₊ i| Im z|)   ,-''          k 7 I

^Cll^[f]L,q,i • e^C1• exp {qiw(^Re^zj) + li| Im^zj}.

Таким образом, \p[f^]|_ш,_?1,11 < e^C1|| ^[f]||_ш^1, что и требовалось.

• 2)    Проверим теперь сюръективность отображения ρ. Поскольку именно данный пункт доказательства содержит существенные отличия от [6], мы приведем его достаточно подробно.

Возьмем р = ([^j])j=i G k“. Тогда \p\_{ш q} i1 < от при некотором li G (0, от) и всех q G (1, от). Выберем в каждом классе [pj], j G N, функцию pj G H^(Uj) такую, что \\\^[pj IW^ , j = ILj lira , j.

Установим сначала некоторые вспомогательные оценки для \pj| и |^|. Пользуясь снова [6, лемма 3], найдем Ck > 1, при которых для всех j G N и z G Uj справедливо неравенство

(1 + Ek)w(Re zj) + l_i| Im zj| C (1 + 2Ek)w(Re z) + (3l_i+ 2A(1 + 2Ek)) | Im z| + ln Ck .

Считая Ei < 2 и полагая I2 := 3li + 4A, получим, что

\pj(z)| C Ck • LL ,i+ek, 11 • exp{(1+2EMRe z)+ l2| Im z| }, z G Uj.

Напомним, что для |^| на множествах (dUj)(uj-), j G N, выполняется оценка (4). Учитывая, что Ek ^ 0, и полагая lnCk := max {3(ei — Ek)w(Rez) : z G Uj, 1 C j < jk}, k ^ 2,(6)

из (4) имеем, что ln |^(z)| > —3Ekw(Rez) — 3Lo| Imz| — lnCk, z G Uj,j G N.(7)

Наконец, снова применяя [6, лемма 3], найдем Ck > 1 такое, что для любых Z, z G Uj, j G N, выполняются неравенства:

4Ekw(Re Z) + 4Lo| Im Z| C 6Ekw(Re z) + 1з| Im z| +2 ln Ck, k G N, где I3 := 36Lo + 12A. На основании данной оценки и равенств (3) и (6) окончательно получаем, что uj- > —Ck C2 exp { — 6Ekw(Re z) — 1з| Im z|}, z G Uj,j G N.            (8)

Функция f G HL}(C) такая, что p[f ] = p, строится по сути так же, как в [6, лемма 7].

Нам потребуется лишь получить новые оценки на f , из которых будет вытекать, что f G H1^}(C). Пусть Vj, g, C, Ф и h те же, что в [6, лемма 7]. Вместо неравенства (5.3) работы [6], из (8) вытекает, что

∂g dZ(z)

< Ck exp {бекw(Re z) + 1з| Im z|},

z G Uj \ Vj, j G N,

где Ck := C • Ck • C2 Далее, из (5), (7) и (9) получаем, что для z G Uj \ Vj, j G N, имеют место оценки

|h(z)| < Mk exp {(1 + 11Ek)w(z)+ L₁| Imz|}, k G N,                (10)

где Li := 3Lo + I2 + I3, Mk := Ck • Ck • Ck. Поскольку h(z) = 0 для z / Uj(Uj \ Vj), заключаем, что оценки (10) справедливы всюду в C.

Применяя теорему 1 из [4], находим измеримую функцию v такую, что dv = h и что

|v(z)| < Nk exp {(1 + 11Ek)w(z) + L1| Imz|}, z G C, k G N.            (11)

Полагая теперь стандартным образом f (z) := v(z)u(z) + Ф(z)g(z), z G C, получим, что f G H(C). А из неравенств (5), (11) и априорной оценки сверху на |^| вытекает, что для всех z G C

^|f(z)|< HUkek ,lo • Nk • ^exp{⁽l + ^11ek)w(z) + L1| ^{Im z|}}

+ Ck • ^Z^.. + k.l • ^exp {⁽¹ +^2ekM^z) + l2| ^{Im z|}}-

Учитывая, что константы l0 , L1 и l2 определяются исключительно символом µ и элементом ^ G k ^, заключаем, что f G Н1_ш}(С). При этом f ^(l)(As) = ^(л,), l = 0,...,k, - 1, As G Vj, так что [f luj] = [^j] в Xj, j G N. Это означает, что p([f]) = ^.

• 3)    Инъективность отображения p очевидна, а непрерывность р^-1вытекает из теоремы Гротендика об открытом отображении, поскольку H1_w}(C)/J является (UF)-пространством, а k“ — пространством типа (в) (как отделимый индуктивный предел пространств Фреше) (см. [15, Приложение 1 Д. А. Райкова]). >

• 4.    Изоморфная реализация ker T^

Следствие. Отображение р' является топологическим изоморфизмом (k“)в на (^Hw(C)/J )в.

В данном параграфе содержатся основные результаты работы о ker T^. Сначала выпишем стандартный изоморфизм между kerT^ и пространством (H^-_w}(C)/J)в•

Лемма 3. Если и G М{_Ш}(С) удовлетворяет условию (SCo), то отображение Ф : ker T^ ^ (H1_W}(C)/J) , определенное правилом

(Фf, [g]) = fF-1(g)> , f G ker T^, [g] G H^}(C)/J, устанавливает топологический изоморфизм между ker T^ и (H|^}(C)/J)в■ (Здесь, напомним, F — преобразование Фурье — Лапласа функционалов из (EjU} (R)) )■

• <1 В силу условия (SCo), главный идеал J замкнут в Н{_ш}(C). Следовательно, Ji := F^-1(J) — замкнутое подпространство в (^^(R))в. Как известно, kerT^ = Ji = J-U в E1 ,(R).

{^'

Из рефлексивности пространства E{¹_w}(R) и общих результатов теории двойственности (см., например, [16]) вытекает, что ((E^CR)} / J^в можно отождествить с J^; с помощью билинейной формы

Для того чтобы получить утверждение леммы, остается применить преобразование Фурье — Лапласа функционалов из (^^(R)) . >

Из леммы 3 и следствия леммы 2 вытекает

Лемма 4. Если р € М{ш} (C) удовлетворяет условию (SCo), то отображение (р')^-1◦ Ф устанавливает топологический изоморфизм между ker T^ и пространством (к“)в -

Таким образом, нам остается лишь получить описание пространства (к”)в ■ Для этого рассмотрим пространства X_j^′— сопряженные к пространствам Xj . Они, как и Xj , являются банаховыми; норма в X_j^′имеет вид

|||V|||”j = sup{|v(И)| : И € Xj■ HHkj < 1}.

Кроме того, dim Xj = mj, j € N.

Далее, положим X' : = П”1 Xj и

А” = {v = (Vj)“₌₁€ X' : (V l € (0, то)) (3 q € (1, то)) :

^|v|^,q,l =^SUP ^|||vj \,j ^eXP {q^y(^Rezj⁾ + l^{1 Im}zj^|} < ^TO• j^1                                                      J

Данное пространство наделяется топологией proji_e(Q,”) Л_ш,; пространств Л_Ш]1, представляющих собой индуктивные пределы банаховых пространств. Поскольку Л_ш,1 компактно вложено в Л_ш,11 при 0 <11 < 1, то А” — (FS)-пространство.

Введем стандартные отображения:

Sj : [^j] € Xj ।—— (0, • • • , 0, [pj], 0, • • •) € к”; j tj : Vj € Xj — (0, • • •, 0, Vj, 0, • • •) € А”. j

Нетрудно проверить, что для каждого p = ([pj])j=1 из пространства к” ряд £”1 Sj([pj]) абсолютно сходится к p в этом пространстве. Действительно, возьмем какое-нибудь p = ([pj])“₁€ к” и найдем 1₁€ (0, то), при котором 1^1_{Ш q}1 11< то для всех q1 € (1, то). Пусть теперь q € (1, то) произвольно, а q1 € (1, q). Положим е := q — q1, 1 := 1₁+ е. Тогда

∞∞

E |sj ([Pj ])L ,q,1 = ^L ,qi ,11 • Eexp{ - £W(Re zj) - e| Im zj 1 }• j=1                          j=1

В силу [6, следствие 1 из леммы 4], последний числовой ряд сходится. Таким образом, ряд £“1 Sj([pj]) сходится абсолютно в к”.

Лемма 5. Отображение S : V € (к”)' — (v о Sj)”1 является топологическим изоморфизмом (к^”)^'_вна А^”-

<1 Из установленного выше разложения v = £“1 Sj([vj]) в k™, очевидно, вытекает инъективность отображения S .

Для того чтобы доказать сюръективность S, возьмем 0 = (vj)“1 из Л“ и положим

∞

^v(v) = Еv^([vj^]), v = ^([vj-^]j=i^g k™.

j=i

Пусть 1 < qi < q произвольны, а e := q — qi. Далее, пусть li G (0, от) — любое, а l := li + e. Для v = ([Vj])_j“_iG К_ш,11 имеем:

∞∞ ′

^|v (V)l < E^j ^([Vj^])|< ^|0L,q,i • |vL,qi,h • £exp{ - M^Rezj) - ^e|Im zj |}. j=i                                 j=i

Последний числовой ряд, как уже говорилось выше, сходится. Таким образом, мы показали, во-первых, что функционал v непрерывен на каждом К_ш,11, li G (0, от), и, как следствие, на k“. Во-вторых, поскольку очевидно, что S(v) = 0, полученные оценки означают, что S^-iдействует непрерывно из Л_ш,1 в К'_ш 11. Напомним, что здесь li произвольно, а l = li + e, где e > 0 также можно выбрать произвольным. По общим свойствам индуктивных и проективных пределов это означает, что S^-iдействует непрерывно из А“ в (к™)в. Учитывая, что (к™)в и А“ — (FS)-пространства, заключаем, что отображение S также непрерывно. >

Из лемм 4 и 5 вытекает

Теорема 1. Пусть для ^ G M^^C) справедливо условие (SCq). Тогда ker T_pтопологически изоморфно пространству последовательностей λ^∞. Топологический изоморфизм устанавливает отображение L := S о (p‘)^-iо ф.

Теорема 1 позволяет, во-первых, выписать базис в ker T^. Кроме того, на основании данного результата можно, следуя работам [1] и [3], получить изоморфное описание ker T^ в виде пространства числовых последовательностей. Этому посвящена оставшаяся часть работы.

Сначала выпишем базис в пространстве λ^∞. Из леммы Ауэрбаха [17, лемма 10.5] следует, что в пространствах Xj и Xj можно выбрать базисы {[Vj,p] : Р = 1,... ,mj} и {vj,_p : p = 1,..., mj} такие, что

||| ^[vj,p^]|||™,j = ^|||vj,p^|||™,j = 1, ^p = ¹>-->mj;

(^[vj,p^], ^vj,m

) — ^pm

=

p = m, p = m.

Лемма 6. Система

{tj(vj,p) : Р =1,...,mj, j G N} образует абсолютный базис в пространстве λ∞ .

< Возьмем произвольное v = (vj)j’=i G A“ и покажем, что ряд

∞ ^mj

ЕЕ <[Vj,p^],vj) tj^(vj,p) j =i p=i

сходится абсолютно в Л“. Пусть l g (0, от) произвольно. Возьмем li > l. Так как v g Л“, ′ то имеется qi g (1, от) такое, что |v\ш q111 < от. Пусть q g (1, qi). Положим е := min{qi — q, li — l}. Тогда имеем:

∞ ^mj                            ∞

′′

EE \⁽Kp]^,Vj )| ^tj ^(vj,p⁾\^,q,l< ^|vL,q_bl! Emj exp { - M^Re zj ) - ^{e| Im}zj I }• j = i P=i                                          j = i

В силу [6, следствие 1 из леммы 4], последний числовой ряд сходится. Таким образом, ряд (12) сходится абсолютно в каждом Л_ш,1, l g (0, от), а значит, в Л“. >

Для того чтобы описать ker T^ в виде пространства числовых последовательностей, введем в рассмотрение последовательности (as)S=i и (es)2=i, которые получены из (w(ReZj))“i и, соответственно, (\ImZj\)“i повторением mj раз элемента w(ReZj) или \ Im zj \. Далее, положим

Л⁰:= {x = (xs)“_iC C :

(V l g (0, от)) (3 q g (1, от)) :

\x\^,q,l

∞

:= E \xs\ exp {qas + les} s=i

<от

.

Лемма 7. Пространства Л” и Л⁰топологически изоморфны.

<1 Очевидно, пространство Л0 можно отождествить с пространством л1 := Ь = ((jj”, C C :

(V l g (0, от)) (3 q g (1, от)) :

∞ ^mj

\<^=EL \xj_p\ exp {qw(ReZj) + l\ ImZj\} j=i p=i

<от

.

Рассмотрим отображения A : Л¹^ Л” и B : Л” ^ Л¹, действующие по правилам:

∞ ^mj

A^: x = (^(xj,p⁾p=ji) j=1 н EE xjptj ^(vj p);

j =i p=i

B : v = (Vj)”=i н (((v,, [_fj,J))pm=i)3

Нетрудно проверить, что A о B = id^^, B о A = id^i.

Далее, поскольку при всех l g (0, от) и q g (1, от)

_′       ∞ ^mj                 _′

\AxL,q,i <12 12 \xj,p\ • \tj(vj,p)\^,q,i = |x|^ql ’ j=i p=i то отображение A непрерывно. Аналогично, так как для l g (0, от), q g (1, от) и е > 0 справедливы оценки

_∞mj

\B^V £ ,q,l = ЕEl(Vj, [j])¹exp {qw(Re z, ) + l\ Im z,\} j=i p=i

∞

< \vL,q+e,i+e ^mj exp {—MReZj) - e\ImZj\} , j=i то отображение B также непрерывно.

Итак, Л“ ~ А¹~ А⁰. >

Таким образом установлена

Теорема 2. Если символ ц оператора свертки Т^ удовлетворяет условию (SCo), то ker Т^ топологически изоморфно пространству А⁰числовых последовательностей.

В заключение работы выпишем базис в ker Т^, т. е. в пространстве всех решений однородного уравнения свертки Т^ f = 0 в E^^R). С этой целью введем в рассмотрение подпространства

Ej = span |(—ix)le-iAsX : l = 0,... ,ks — 1, As G Uj} , j G N, пространства всех решений указанного однородного уравнения, натянутые на элементарные решения, соответствующие нулям символа, попадающим в каждое из множеств Uj . Так же, как в [6, лемма 9], проверяется, что L(Ej) = tj(Xj), j G N. Здесь, напомним, L — изоморфизм из теоремы 1. На основании леммы 6 и теоремы 1 тогда получаем следующий результат.

Теорема 3. Если ц G M^^y (C) удовлетворяет условию (SCo), то в ядре ker Т^ оператора свертки Т^ с символом ц, действующего в пространстве Е{_шу (R), имеется абсолютный базис

{ej,P : Р = 1,---,mj, j G N}, состоящий из элементов ej,p G Ej, p = 1,..., mj, j G N.

Заметим, что в работе [6] были указаны ситуации, когда группировать нули символа нет необходимости и, соответственно, базис в пространстве всех решений однородного уравнения свертки образуют сами элементарные решения (см. [6, следствия 3 и 4 из теоремы 4]). Поскольку указанные следствия естественным образом остаются верными и в пространстве ^^(R), здесь мы их повторять не будем.