Описание локальных дифференцирований на йордановых алгебрах размерности пять

В данной статье мы исследуем локальные дифференцирования на конечномерных йордановых алгебрах. Теорема Глисона - Кахане - Желазко, являющаяся фундаментальным вкладом в теорию банаховых алгебр, утверждает, что всякий унитальный линейный функционал F на комплексной унитальной банаховой алгебре A такой, что F(a) принадлежит спектру σ(a) для каждого a∈A, является мультипликативным. В современной терминологии это эквивалентно следующему условию: любой унитальный линейный локальный гомоморфизм из унитальной комплексной банаховой алгебры A в C мультипликативен. Напомним, что линейное отображение T из банаховой алгебры A в банахову алгебру B называется локальным гомоморфизмом, если для каждого a в A существует гомоморфизм Φa:A→B, зависящий от a, такой, что T(a)=Φa(a). Аналогичное понятие было введено и изучено для характеризации дифференцирований на операторных алгебрах. А именно, понятие локального дифференцирования было введено в 1990 г. Р. Кэдисоном и Д. Ларсоном, а также независимо А. Суруром. Р. Кадисон дал описание всех непрерывных локальных дифференцирований алгебры фон Неймана со значениями в ее двойственном банаховом бимодуле. Б. Джонсон обобщил результат Р. Кадисона и доказал, что каждое локальное дифференцирование C∗-алгебры со значениями в ее банаховом бимодуле является дифференцированием. Известно, что каждое локальное дифференцирование JB-алгебры является дифференцированием. В частности, каждое локальное дифференцирование на конечномерной полупростой йордановой алгебре является дифференцированием. В настоящей статье мы исследуем дифференцирования и локальные дифференцирования на пятимерных нильпотентных неассоциативных йордановых алгебрах. Описание локальных дифференцирований нильпотентных йордановых алгебр является открытой проблемой. Мы даем описание локальных дифференцирований на пятимерных нильпотентных неассоциативных йордановых алгебрах над алгебраически замкнутым полем характеристики ≠2, 3. Приводится также критерий того, что линейный оператор на йордановой алгебре размерности пять является локальным дифференцированием.