Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром

Автор: Бетилгириев Маула Абдурахманович, Карасев Денис Николаевич, Ногин Владимир Александрович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.7, 2005 года.

Бесплатный доступ

Рассматриваются операторы типа потенциала с гармоническими характеристиками и ядрами, осциллирующими на бесконечности. Методом аппроксимативных обратных операторов построено обращение и дано описание образов этих потенциалов в случае, когда характеристика является неэллиптической сферической гармоникой.

Короткий адрес: https://sciup.org/14318142

IDR: 14318142

Текст научной статьи Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром

Рассматриваются операторы типа потенциала

0 i|t|

т ^)(x) =           \ ^(x - 1) dt, t 0 = t-                   (i.i)

| t |                                                                                   | t |

Rn где 0 < Re a < n/2, Ym(t0) — неэллиптическая сферическая гармоника m-го порядка.

Получены ( L p - L q )-оценки для оператора K m α . Методом аппроксимативных операторов (АОО) построено обращение потенциалов (1.1) с L p -плотностями и дано описание образа K mm (L p ) в терминах обращающих конструкций. Это описание, содержащееся в теореме 2.2, является основным результатом статьи.

Заметим, что рассматриваемый случай является неэллиптическим: в нем символ оператора (1.1) вырождается на конусе нулей однородного многочлена Y m (t).

В настоящее время имеется ряд работ по обращению операторов типа потенциала в неэллиптическом случае в рамках L p -пространств (см. книгу [19], обзорные статьи [16–18] и имеющуюся там библиографию). Однако описать образы таких потенциалов удавалось редко и, как правило, для операторов специального вида. Для операторов вида (1.1) до сих пор оставался открытым даже случай m = 1 (хотя, обращение этих операторов было построено в [5]). Возникающие здесь трудности принципиального характера связаны с вопросом о плотности в L p пространства Ф v типа Лизоркина, построенного по множеству нулей символа рассматриваемого оператора (см. замечание 4.1).

Эти трудности удалось преодолеть при 0 < Re a < n/2, используя (L p L q )-оценки для оператора K m α , полученные в теореме 2.1. Заметим, что аналогичный подход использовался в [12] в случае радиальных характеристик, т. е. характеристик принципиально иной природы.

Отметим также, что при доказательстве теоремы 2.1 мы получаем представляющие самостоятельный интерес (L p L q )-оценки для операторов Бохнера — Рисса B Y комплексного порядка y , Re Y > 0, играющих важную роль в различных вопросах анализа. Эти оценки содержатся в теореме 3.1. Ранее утверждение этой теоремы было известно в случае Im y = 0 (см. замечание 3.1).

  • 2.    Основные результаты

    • 2.1.    ( L p L q ) -оценки для оператора K m . Через (A, B, ...,K) будем обозначать открытый многоугольник с вершинами в точках A,B,...,K ; [A, B, ..., K ] — его замыкание; L ( A) — L -характеристика оператора A , т. е. множество всех пар (1/p, 1/q) для которых оператор A из L p в L q ограничен.

Пусть 0 < Re а <  n/2. Рассмотрим следующие точки на (1/p, 1/q)-плоскости:

. Л    Re а\

A = R1   /

C / 3  2 Re а 3  2 Re а

= к 2 - n 1 ’ 2 - n 1

A0 '        1 o) •

C 0   / 2 Re а 1 2 Re а 1

= k n 1 2 ’ n 1 2

G =

/    (n Re а)(п 1)

V1        n(n + 3)     ’

-

Rna } , G 0 = (

Re а (n Re а)(n

, n

n(n + 3)

)•

H =

-

Re а

’ 1 n

Re а

-

n

,

H 0 R

n

Re а n

,

/ 2(Re а + 1)1 1

V n + 12’ 2

/1 3 2(Re а + 1)

V 2 ’ 2

E^w F=(!• I)-

O = (1,1),    O' = (0’ o).

Нам понадобятся следующие множества (см. рисунки 1 и 2):

L l (а’ n) = <

'[A ' ,H 0 ’H’A’E] \ ([A ' ,H ' ] U [A,H]),

(A ' , G, C 0 , C, G, A, E) U (A, E] U (A ' , E ) U (C 0 , C ), (A 0 , G ' , F, G, A, E ) U (A, E] U (A 0 , E) U {F } , (A’G’F’G’A’E ) U (A,E] U (A’E),

, (A 0 , G, K', K, G, A, E ) U (A, E ] U (A 0 , E ) U [K 0 , K ],

0 < Re а 6 n ( n-8 n ( n-1 ) <    n< n - l

2( n +1) Re а 2

Re а = n-1 , Im а = 0, а = n-1 n-1 < Re а <  n

Следующая теорема описывает выпуклые множества (1/p, 1/q)-плоскости, для точек которых оператор K m α ограничен из L p в L q (см. рисунки 1 и 2).

Теорема 2.1. Пусть 0 < Re a < n/2. Тогда справедливо вложение

L(K m ) Э L 1 (a, n) П L 2 (a, n).

Замечание 2.1. Заметим, что для (n 1)/2 < Re a (за исключением некоторых значений α) оценки для оператора Kmα , а также для более общего оператора вида (1.1) с произвольной однородной характеристикой 6(t') (вместо Ym(t0)), гладкой в Rn\{0}, были получены в [8] с помощью другого метода, который не работает в случае Re a 6 n-1

Результат, содержащийся в теореме 2.1 при (n совпадает с полученным в [8].

  • 2.2.    Описание образа K m (L p ). Пусть k m (£)

Введем оператор

1)/2 < Re a < n/2 (см. рисунок 2),

— символ оператора K m α (см. п. 3.4).

где

( L P.m ) ( L 2 )

H a f = lim lim hY * f, 0 5^ 0 ed

.       —             ■.

  • (2.1)

h a^ (t) = F -1 (

km :.       :

-

1) ' e -2

( | k m O2 + iW I 2 + (e + i) 2 ) '

' > Re a (2[n/2] + 1) + [n/2](3 n) + 3 (n

L p,p = {f(x) : j | f(x) | p (1 + \x\) ^ dx< to

J (t), 1)/2, } •

  • (2.2)

Следующая теорема дает описание образа Km(Lp) в терминах оператора Hа, явля- ющегося левым обратным к потенциалу Kmα .

Теорема 2.2. Пусть 0 < Re a < n/2, a = (n — 1)/2, (n — 3)/2,... Предположим, 2(Re a + 1)/(n + 1) — 1/2 6 1/p < 1 при (n — 1)/2 < Re a < n/2 и 1/2 6 1/p < 1 0 < Re a < (n — 1)/2. Тогда что при

α

m

Km(Lp) = {f е Lq : Haf E Lp} , где Ha — оператор (2.1), q — произвольное число такое, что 1 < q 6 2 и оператор ограничен из Lp в Lq в соответствии с теоремой 2.1.

  • 3.    Вспомогательные сведения и утверждения

    • 3.1.    Обозначения. Пусть hf,u) = JR n f (x)w(x)dx; W e y — ядро Гаусса — Вейер-штрасса; R o = { у : у = Ff,f E Li} — винеровское кольцо функций; Lp — класс ядер k E S 0 таких, что kk * f k q 6 C k f k p , где f E S , константа C >  0 не зависит от f ; M p = F(Lp) — класс (p q)-мультипликаторов. Классы Lp и M p были введены Л. Х¨ермандером в [10].

  • 3.2.    Об одном q) -мультипликаторе . Обозначим

Пусть далее V — произвольное замкнутое множество в R n . Обозначим Ф v = E S : (D v ф)(£) = 0, £ E V, | v | = 0,1,... } , Ф v = { у E S : E Ф v } . Пространства Ф v и Ф v были введены и изучены С. Г. Самко в [6, 7], см. также книгу [19]). В случае, когда V — совокупность всех координатных гиперплоскостей, указанное пространство изучалось П. И. Лизоркиным (см. [3]).

Пусть функции ш(г), к (г),х(г) E C (0, го ) таковы, что 0 6 ш(г), к (г), х(г) 6 1, ш(г 2 ) = 1, если r | 6 1 6/2, w(r2 ) = 0, если r >  1 5/4; к (г) = 1, если | 1 r | 6 5/4, к (г) = 0, если | 1 r | > 5/2; x(r) = 1, если r >  1 + 5/2, x(r) = 0, если r 6 1 + 5/4.

Выбором 6 (0 < 5 < 1/2) мы распорядимся при доказательстве леммы 3.1. Предположим также, что ш(г2) + к(г) + х(г) = 1

b a (iei) = к (^М а- n- 1 (1 — | е | + i0) n- 1 - a , a = n — , n 23, ...,         (3.1)

A \ = (2n) -n e - in (Л+1) Г(А + 1). При доказательстве теоремы 2.1 существенно используется следующая

Лемма 3.1. Пусть 0 < Re a <  n/2, a = (n 1)/2, (n 3)/2,... Тогда

(3.2)

baC^D e M pq ,   (1/p, 1/q) e L i (a,n).

C В статьях [12-14] показано, что ядро s a (t) = x( | t | ) | t | a-n e i|t| принадлежит L p , если (1/р, 1/q) G L i (a,n), следовательно, с(£) G M pq для указанных р и q. Кроме того, в [11] и [12] было получено следующее представление для c(£) в окрестности единичной сферы:

(3.3)

K(|e|)sa«)= ba(|^)P (|€|)+ K(|e|)ua«), где P(x) — бесконечно дифференцируемая функция, для которой P(1) = 0, к(|£|)иа(£) G Mpq, если (1/р, 1/q) G [O0, O, E]. Выберем 5, участвующее в определении функций ш, к, х (см. п. 3.1) так, чтобы нули функции P(|£|) не принадлежали supp к(|^|). Тогда разделив (3.3) на P(|£|), из полученного равенства имеем (3.2). B

  • 3.3.    Оценки для оператора Бохнера — Рисса комплексного порядка с неотрицательной вещественной частью . Указанный в заголовке оператор определяется в образах Фурье равенством

—Y(7 -Vni2

B Y^ =   Г(1 + Y) (1 ^2)+^), Re Y > 0

(см. [20, гл. 9, § 2]). Для него справедливо интегральное представление

(B Y ^)(x) = R n |y| Y 2 J n +y(ЫЫ х y)dy,

(3.4)

где J v (z) — функция Бесселя порядка v.

Следующая теорема содержит (L p L q )-оценки для оператора (3.4).

Теорема 3.1. Пусть 0 6 Re y < (n 1)/2. Тогда справедливо вложение

L (B Y ) D L i f— y + n ' ,n).                          (3.5)

C Представив J n + y (z) в виде линейной комбинации функций Ханкеля

J n + y (z)=1 (H n + Y (z)+ H n 2 + Y (z))

и воспользовавшись интегральным представлением из [4, стр. 165] для H V 1) (z) и h V2) ( z ) , оператор (3.4) запишем в виде

(B Y ^)(x) = (M + ^)(x) + (M - ^)(x) + (N Y ^)(x),

(3.6)

где

(M±y)(x) = C±j x(|y|)|y| n^ Ye±i|y|m±(|y|)^(x - y) dy, Rn i             1 । in(n+l+2Y)    1 /n + 1      \

C ± = (2n) - 2 e ±    4    r -1 — + y) ,

ОО                                        n— 1 + y, m±(|y |) = I e - t n-1+Y (1 ± 2y)       dt;

(N Y y)(x) = j(1 - хСЫ^Ы - 2 -Y J 2 +y(ЫМх - y) dy.

R n

Характеристики m±(r) удовлетворяют условиям теоремы 4.2 из [14]. Применяя эту тео- рему, получаем

L(M ± ) dl(-y + n - ' ,n).

(3.7)

Кроме того, очевидно, что

L (N Y ) = [O 0 , O, E ].

(3.8)

Из (3.6)–(3.8) следует (3.5).

Замечание 3.1. Отметим, что в случае вещественных y > 0 утверждение теоремы 3.1 можно получить интерполяцией между оценками, полученными в [20] (см. утверждение на стр. 390) и замечании 2 из [9].

Замечание 3.2. Нам понадобится также результат для оператора (3.4) в случае - 1/2 < Re y < 0, полученный в [14]. Именно, в [14] было доказано, что вложение (3.5) справедливо для таких γ .

  • 3.4.    Вычисление символа оператора K m . Обозначим k me (x) = Y m (x 0 )e i|x| e|x| | x | a n Переходя к полярным координатам и применяя формулу Функа — Гекке (см. равенство (1.60) из [19]), получаем

1

к£«) = | S n-1 | Y m (^) I .         dp j (1 - y 2 ) n— 3 Pm (y)e ip |^ y dy,

0                  - 1

где Pm(y) — многочлен Лежандра. Применяя далее к внутреннему интегралу последовательно формулы 7.321 и 6.621 из [1], имеем d,К) = Сп^')|4|mF (a^2m,a + m+1; 2 + m; -(^l-!^) ,

(3.9)

где

ε m,n

,n- 1 1    ni m r(n - 2 + т)Г(а + m)

| m!2mr(n-2)Г(2 + m)(e - i)a+m а F(a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса.

Пусть | ^ | < 1. Переходя в (3.9) к пределу при е ^ 0, будем иметь

С «) = C m„ Y m ^^0)|^| m F a^^m1 , 2+22+1; 2 + m; | ( | 2) .        (3.10)

Пусть | e | > 1. Применяя к гипергеометрической функции в (3.9) формулу (12) из [4, стр. 219], и переходя затем к пределу при е ^ 0, получаем

СЮЦ» _ Сс у (,.)        ■ m + "Жи/У km(e) = CmnYm(e )^((а + т + 1)/2)Г((т + n — а)/2)

×

| e | -a F ( а + т а т

-

—^lei -2)

+

Г(т + п/2)Г( 1/2)

(3.11)

Г((а + т) /2)Г((т + n/2 + т + 1)/2)/2)

×

i e | -a-1 F(

а + т + 1 а т

,

^±^;|; 1 2

.

Нетрудно показать, что при 0 < Re а < n/2 справедлива формула для преобразования Фурье в слабом смысле:

(K m ^)(x) =

(2n) - n /

R

k m :.:••/:,

ϕ ∈ S .

(3 . 12)

  • 4.    Доказательство основных результатов

    • 4.1.    Доказательство теоремы 2.1. Имеем

km(e) = mei2) ka(e) + K(iei)km(e)+x(iei)km(e) = km,o(e) + km,1(e) + km^(e).(4.1)

Очевидно, что km,o(e) e Mp, (1/p, 1/q) e [O0,O,E].(4.2)

Кроме того, из соотношения x(iei)ie|-a e Mpq, (1/p, 1/q) e L2(a, n), доказанного в [15], вытекает, что km,^(e) e Miq, (1/p, 1/q) e L2(a,n).

Рассмотрим kd1(e). Применяя к гипергеометрическим функциям в (3.10) и (3.11) формулу (11) из [4, стр. 219], представим km 1(e) в виде n-1

km,i(e) = K(iei)(1 — iei2)+2 asa(e)+ba(iei)sa(e)+ra(e),(4.4)

где ba(iei) — функция (3.1), ra(e),s“(e) e C0^ (j = 1, 2). Тогда km, 1(e) e Mpq, (1/p, 1/q) e L1 (а,п),(4.5)

в силу теоремы 3.1 и леммы 3.1.

Из (4.1)–(4.3) и (4.5), на основании (3.12) получаем kKm^kq 6 Ck^kp, (1/p, 1/q) e L1(а,n) П L2(а,n), ^ eS.(4.6)

С учетом теоремы С. Л. Соболева, оценка (4.6) распространяется на функции ϕ L p , 1 < p < n/ Re а.

  • 4.2.    Доказательство теоремы 2.2. Вложение

    (4.7)


Km(Lp) c {j e Lq : Haj e Lp} вытекает из теоремы 2.1 и равенства

(h акт ^) (x) = ^(x), которое доказывается так же, как в [11, 12] в случае потенциалов с радиальными характеристиками.

Докажем вложение, обратное к (4.7). Предположим, что f L q , H α f L p . Пусть функция ш e S такова, что ш (£) = 0 в некоторой окрестности множества V = { ( : k m (£) = 0 } и S n-1 (следовательно, ш e Ф V ).

Легко показать, что hKmH ■„■ = hH af,Km ш^

где Km оператор с символом km(£). С учетом (4.8) имеем hKmH aj>i = lim ^hfH" Km шi,(4.9)

где H ε α — оператор свертки с ядром (2.2). Воспользовавшись равенством

(H 5 K m ш)(х) = е ш)(х) + i6 (K e,8 W e/ 2^(x),                 (4.10)

где K ε α — оператор с символом

(|£|2 -

,

( | km«) | 2 iW I 2 + (s - i) 2 ) '

с учетом (4.9) имеем hKmHaj,шi = lim hj,AEш^ + lim lim hf,i5Ke,5We/2шi.             (4.11)

ε 0           ε 0 δ 0

Докажем равенство

(4.12)

Y i m 0 hf,i5K e,5 W e/ 2 шi = 0.

Очевидно, что (Ke,sWe/2ш)(^) e Фv. Следовательно, hf,i6Ke,5 We/2шi = (2n)-n hFj,i5F (Ke,5 We/2ш)i, где F j понимается в смысле ФV-распределений; это преобразование Фурье совпадает с преобразованием Фурье в смысле Lq0 (в соответствии с теоремой Хаусдорфа — Юнга). Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем

\hf,i5K e,5 W e/ 2 ш i | 6 C^ k Fj k q 0 X

e2^j№_-j_^qjsw

Ik m (№ Ш2 + (s - i) 2 i 'q

(4.13)

Заметим, что интеграл в правой части (4.13) конечен. Переходя в (4.13) к пределу при 6 ^ 0, получаем (4.12).

В силу (4.11) и (4.12) имеем

  • 2-    П'е—<12 h K m Hfc = Jrn ^(2n) -n hf, (^2 + 1 - i)^ WO j = hfM

Таким образом, мы пришли к равенству hKmH aM = hf,w).                         (4.14)

Переходя к завершающему этапу доказательства, для заданной функции ϕ ∈ S выберем последовательность { w j } , W j E S такую, что W j (£) = 0 в некоторой окрестности ( L q0 )

множества V и lim W j = у. Существование такой последовательности доказано в [7] j -^

(см. также [19, гл. 2]).

На основании (4.14) имеем hKm н -.■ i = hf,Wj i.

Переходя в этом равенстве к пределу при j → ∞, получаем hf,^i = hKmнaf^i, у e s, откуда следует, что f (x) = (KmH af)(x)                              (4.15)

для почти всех x E R n .

Равенство (4.15) означает, что f (x) E K m^ (L p ). Теорема 2.2 доказана.

Замечание 4.1. Доказательство теоремы 2.2 существенно основано на возможности аппроксимации функции у E S по норме L p (p >  2) функциями из Ф у , преобразования Фурье которых обращаются в нуль в некоторых окрестностях множества V . Как уже отмечалось ранее, возможность такой аппроксимации была доказана в [7] (см. также [19, гл. 2]) в случае произвольного замкнутого множества V .

Список литературы Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром

  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М: Физматгиз, 1971.-1108 с.
  • Карапетянц А. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами//Изв. НАН Армении.-2003. -Т. 38, № 2-С. 7-62.
  • Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций//Тр. МИАН СССР.-1969.-Т. 105.-С. 89-107.
  • Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.-М: Наука, 1984.-344 с.
  • Ногин В. А., Шевченко К. С. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае//Изв. вузов. Математика.-1999.-№ 10.-С. 77-80.
  • Самко С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции//Мат. заметки.-1977.-Т. 21, № 5.-С. 677-689.
  • Самко С. Г. О плотности в L_p(\Bbb R^n) пространства \Phi_v типа Лизоркина//Мат. заметки.-1982.-Т. 31, № 6.-С. 855-865.
  • Betilgiriev M. A., Karasev D. N., Nogin V. A. (L_p -L_q)-estimates for some fractional type operators with oscillating kernels//Fractional Calculus & Applied Analysis.-2004.-V. 7, № 2.-P. 213-241.
  • Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index//Indiana Univ. Math. J.-1986.-V. 35, № 2.-P. 225-233.
  • Hormander L. Estimates for translation invariant operators in L^p spaces//Acta Math.-1960.-V. 104.-P. 93-140.
  • Karasev D. N., Nogin V. A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases//Integral Transforms and Special Functions.-2002.-V. 13.-P. 529-545.
  • Karasev D. N., Nogin V. A. Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case//Fractional Calculus & Applied Analysis.-2002.-V. 5, № 3.-P. 315-349.
  • Karasev D. N., Nogin V. A. Estimates for the acoustic potential and their application//Proceedings of A. Razmadze Math. Inst.-2002.-V. 129.-P. 29-51.
  • Karasev D. N., Nogin V. A. (L_p\to L_q)-estimates for the Bochner-Riesz operator of complex order//Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen.-2002.-V. 21, № 4.-P. 915-929.
  • Miyachi A. On some estimates for the wave equation in L^p and H^p//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA.-1980.-V. 27.-P. 331-354.
  • Nogin V. A., Samko S. G. Method of approximating inverse operators and its applications to inversion of potential type integral transforms//Integral Transforms and Special Functions.-1999.-V. 6.-P. 1-14.
  • Nogin V. A., Samko S. G. Some applications of potentials and approximative inverse operators in multi-dimensional fraction calculus//Fractional Calculus & Applied Analysis.-1999.-V. 2, № 2.-P. 205-228.
  • Samko S. G. Inversion theorems for potential-type integral transforms in R^n and on S^{n-1}//Integral Transforms and Special Functions.-1993.-V. 1, № 2.-P. 145-163.
  • Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. Internat. Series "Analytical Methods and Special Functions".-V. 5. London: Taylor & Frances, 2002.
  • Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton Univ. press, 1993.
Еще
Статья научная