Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром
Автор: Бетилгириев Маула Абдурахманович, Карасев Денис Николаевич, Ногин Владимир Александрович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.7, 2005 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются операторы типа потенциала с гармоническими характеристиками и ядрами, осциллирующими на бесконечности. Методом аппроксимативных обратных операторов построено обращение и дано описание образов этих потенциалов в случае, когда характеристика является неэллиптической сферической гармоникой.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318142
IDR: 14318142
Текст научной статьи Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром
Рассматриваются операторы типа потенциала
0 i|t|
(к т ^)(x) = \ ^(x - 1) dt, t 0 = t- (i.i)
| t | | t |
Rn где 0 < Re a < n/2, Ym(t0) — неэллиптическая сферическая гармоника m-го порядка.
Получены ( L p - L q )-оценки для оператора K m α . Методом аппроксимативных операторов (АОО) построено обращение потенциалов (1.1) с L p -плотностями и дано описание образа K mm (L p ) в терминах обращающих конструкций. Это описание, содержащееся в теореме 2.2, является основным результатом статьи.
Заметим, что рассматриваемый случай является неэллиптическим: в нем символ оператора (1.1) вырождается на конусе нулей однородного многочлена Y m (t).
В настоящее время имеется ряд работ по обращению операторов типа потенциала в неэллиптическом случае в рамках L p -пространств (см. книгу [19], обзорные статьи [16–18] и имеющуюся там библиографию). Однако описать образы таких потенциалов удавалось редко и, как правило, для операторов специального вида. Для операторов вида (1.1) до сих пор оставался открытым даже случай m = 1 (хотя, обращение этих операторов было построено в [5]). Возникающие здесь трудности принципиального характера связаны с вопросом о плотности в L p пространства Ф v типа Лизоркина, построенного по множеству нулей символа рассматриваемого оператора (см. замечание 4.1).
Эти трудности удалось преодолеть при 0 < Re a < n/2, используя (L p — L q )-оценки для оператора K m α , полученные в теореме 2.1. Заметим, что аналогичный подход использовался в [12] в случае радиальных характеристик, т. е. характеристик принципиально иной природы.
Отметим также, что при доказательстве теоремы 2.1 мы получаем представляющие самостоятельный интерес (L p — L q )-оценки для операторов Бохнера — Рисса B Y комплексного порядка y , Re Y > 0, играющих важную роль в различных вопросах анализа. Эти оценки содержатся в теореме 3.1. Ранее утверждение этой теоремы было известно в случае Im y = 0 (см. замечание 3.1).
-
2. Основные результаты
-
2.1. ( L p — L q ) -оценки для оператора K m . Через (A, B, ...,K) будем обозначать открытый многоугольник с вершинами в точках A,B,...,K ; [A, B, ..., K ] — его замыкание; L ( A) — L -характеристика оператора A , т. е. множество всех пар (1/p, 1/q) для которых оператор A из L p в L q ограничен.
-
Пусть 0 < Re а < n/2. Рассмотрим следующие точки на (1/p, 1/q)-плоскости:
. Л Re а\
A = R1— /
C / 3 2 Re а 3 2 Re а
= к 2 - n — 1 ’ 2 - n — 1
A0 ' 1 o) •
C 0 / 2 Re а 1 2 Re а 1
= k n — 1 — 2 ’ n — 1 — 2
G =
/ (n — Re а)(п — 1)
V1 n(n + 3) ’
-
Rna } , G 0 = (
Re а (n — Re а)(n
, n
n(n + 3)
)•
H =
-
Re а
’ 1 n
Re а
-
n
,
H 0 R
n
Re а n
,
/ 2(Re а + 1)1 1
V n + 12’ 2
/1 3 2(Re а + 1)
V 2 ’ 2
E^w F=(!• I)-
O = (1,1), O' = (0’ o).
Нам понадобятся следующие множества (см. рисунки 1 и 2):
L l (а’ n) = <
'[A ' ,H 0 ’H’A’E] \ ([A ' ,H ' ] U [A,H]),
(A ' , G, C 0 , C, G, A, E) U (A, E] U (A ' , E ) U (C 0 , C ), (A 0 , G ' , F, G, A, E ) U (A, E] U (A 0 , E) U {F } , (A’G’F’G’A’E ) U (A,E] U (A’E),
, (A 0 , G, K', K, G, A, E ) U (A, E ] U (A 0 , E ) U [K 0 , K ],
0 < Re а 6 n ( n-8 ’ n ( n-1 ) < n< n - l
2( n +1) < Re а< 2 ’
Re а = n-1 , Im а = 0, а = n-1 ’ n-1 < Re а < n ’

Следующая теорема описывает выпуклые множества (1/p, 1/q)-плоскости, для точек которых оператор K m α ограничен из L p в L q (см. рисунки 1 и 2).
Теорема 2.1. Пусть 0 < Re a < n/2. Тогда справедливо вложение
L(K m ) Э L 1 (a, n) П L 2 (a, n).
Замечание 2.1.
Заметим, что для (n
—
1)/2 < Re
a
Результат, содержащийся в теореме 2.1 при (n — совпадает с полученным в [8].
-
2.2. Описание образа K m (L p ). Пусть k m (£)
Введем оператор
1)/2 < Re a < n/2 (см. рисунок 2),
— символ оператора K m α (см. п. 3.4).
где
( L P.m ) ( L 2 )
H a f = lim lim hY * f, • 0 5^ 0 e’d
. — ■.
-
(2.1)
h a^ (t) = F -1 (
km :. :
-
1)
'
e
-
( | k m O2 + iW I 2 + (e + i) 2 ) '
' > Re a (2[n/2] + 1) + [n/2](3 — n) + 3 — (n —
L p,p = {f(x) : j | f(x) | p (1 + \x\) ^ dx< to
J (t), 1)/2, } •
-
(2.2)
Следующая теорема дает описание образа Km(Lp) в терминах оператора Hа, явля- ющегося левым обратным к потенциалу Kmα .
Теорема 2.2. Пусть 0 < Re a < n/2, a = (n — 1)/2, (n — 3)/2,... Предположим, 2(Re a + 1)/(n + 1) — 1/2 6 1/p < 1 при (n — 1)/2 < Re a < n/2 и 1/2 6 1/p < 1 0 < Re a < (n — 1)/2. Тогда что при
α
m
Km(Lp) = {f е Lq : Haf E Lp} , где Ha — оператор (2.1), q — произвольное число такое, что 1 < q 6 2 и оператор ограничен из Lp в Lq в соответствии с теоремой 2.1.
-
3. Вспомогательные сведения и утверждения
-
3.1. Обозначения. Пусть hf,u) = JR n f (x)w(x)dx; W e y — ядро Гаусса — Вейер-штрасса; R o = { у : у = Ff,f E Li} — винеровское кольцо функций; Lp — класс ядер k E S 0 таких, что kk * f k q 6 C k f k p , где f E S , константа C > 0 не зависит от f ; M p = F(Lp) — класс (p — q)-мультипликаторов. Классы Lp и M p были введены Л. Х¨ермандером в [10].
-
-
3.2. Об одном (р — q) -мультипликаторе . Обозначим
Пусть далее V — произвольное замкнутое множество в R n . Обозначим Ф v = {ф E S : (D v ф)(£) = 0, £ E V, | v | = 0,1,... } , Ф v = { у E S : <у E Ф v } . Пространства Ф v и Ф v были введены и изучены С. Г. Самко в [6, 7], см. также книгу [19]). В случае, когда V — совокупность всех координатных гиперплоскостей, указанное пространство изучалось П. И. Лизоркиным (см. [3]).
Пусть функции ш(г), к (г),х(г) E C “ (0, го ) таковы, что 0 6 ш(г), к (г), х(г) 6 1, ш(г 2 ) = 1, если r | 6 1 — 6/2, w(r2 ) = 0, если r > 1 — 5/4; к (г) = 1, если | 1 — r | 6 5/4, к (г) = 0, если | 1 — r | > 5/2; x(r) = 1, если r > 1 + 5/2, x(r) = 0, если r 6 1 + 5/4.
Выбором 6 (0 < 5 < 1/2) мы распорядимся при доказательстве леммы 3.1. Предположим также, что ш(г2) + к(г) + х(г) = 1
b a (iei) = к (^М а- n- 1 (1 — | е | + i0) n- 1 - a , a = n — , n 23, ..., (3.1)
A \ = (2n) -n e - in (Л+1) Г(А + 1). При доказательстве теоремы 2.1 существенно используется следующая
Лемма 3.1. Пусть 0 < Re a < n/2, a = (n — 1)/2, (n — 3)/2,... Тогда
(3.2)
baC^D e M pq , (1/p, 1/q) e L i (a,n).
C В статьях [12-14] показано, что ядро s a (t) = x( | t | ) | t | a-n e i|t| принадлежит L p , если (1/р, 1/q) G L i (a,n), следовательно, с(£) G M pq для указанных р и q. Кроме того, в [11] и [12] было получено следующее представление для c(£) в окрестности единичной сферы:
(3.3)
K(|e|)sa«)= ba(|^)P (|€|)+ K(|e|)ua«), где P(x) — бесконечно дифференцируемая функция, для которой P(1) = 0, к(|£|)иа(£) G Mpq, если (1/р, 1/q) G [O0, O, E]. Выберем 5, участвующее в определении функций ш, к, х (см. п. 3.1) так, чтобы нули функции P(|£|) не принадлежали supp к(|^|). Тогда разделив (3.3) на P(|£|), из полученного равенства имеем (3.2). B
-
3.3. Оценки для оператора Бохнера — Рисса комплексного порядка с неотрицательной вещественной частью . Указанный в заголовке оператор определяется в образах Фурье равенством
—Y(7 -Vni2
B Y^ = Г(1 + Y) (1 — ^2)+^), Re Y > 0
(см. [20, гл. 9, § 2]). Для него справедливо интегральное представление
(B Y ^)(x) = R n |y| Y 2 J n +y(ЫЫ х — y)dy,
(3.4)
где J v (z) — функция Бесселя порядка v.
Следующая теорема содержит (L p — L q )-оценки для оператора (3.4).
Теорема 3.1. Пусть 0 6 Re y < (n — 1)/2. Тогда справедливо вложение
L (B Y ) D L i f— y + n — ' ,n). (3.5)
C Представив J n + y (z) в виде линейной комбинации функций Ханкеля
J n + y (z)=1 (H n + Y (z)+ H n 2 + Y (z))
и воспользовавшись интегральным представлением из [4, стр. 165] для H V 1) (z) и h V2) ( z ) , оператор (3.4) запишем в виде
(B Y ^)(x) = (M + ^)(x) + (M - ^)(x) + (N Y ^)(x),
(3.6)
где
(M±y)(x) = C±j x(|y|)|y| n^ Ye±i|y|m±(|y|)^(x - y) dy, Rn i 1 । in(n+l+2Y) 1 /n + 1 \
C ± = (2n) - 2 e ± 4 r -1 — + y) ,
ОО n— 1 + y, m±(|y |) = I e - t n-1+Y (1 ± 2y) dt;
(N Y y)(x) = j(1 - хСЫ^Ы - 2 -Y J 2 +y(ЫМх - y) dy.
R n
Характеристики m±(r) удовлетворяют условиям теоремы 4.2 из [14]. Применяя эту тео- рему, получаем
L(M ± ) dl(-y + n - ' ,n).
(3.7)
Кроме того, очевидно, что
L (N Y ) = [O 0 , O, E ].
(3.8)
Из (3.6)–(3.8) следует (3.5).
Замечание 3.1. Отметим, что в случае вещественных y > 0 утверждение теоремы 3.1 можно получить интерполяцией между оценками, полученными в [20] (см. утверждение на стр. 390) и замечании 2 из [9].
Замечание 3.2. Нам понадобится также результат для оператора (3.4) в случае - 1/2 < Re y < 0, полученный в [14]. Именно, в [14] было доказано, что вложение (3.5) справедливо для таких γ .
-
3.4. Вычисление символа оператора K m . Обозначим k me (x) = Y m (x 0 )e i|x| e|x| | x | a n Переходя к полярным координатам и применяя формулу Функа — Гекке (см. равенство (1.60) из [19]), получаем
∞ 1
к£«) = | S n-1 | Y m (^) I . dp j (1 - y 2 ) n— 3 Pm (y)e ip |^ y dy,
0 - 1
где Pm(y) — многочлен Лежандра. Применяя далее к внутреннему интегралу последовательно формулы 7.321 и 6.621 из [1], имеем d,К) = Сп^')|4|mF (a^2m,a + m+1; 2 + m; -(^l-!^) ,
(3.9)
где
ε m,n
,n- 1 1 ni m r(n - 2 + т)Г(а + m)
| m!2mr(n-2)Г(2 + m)(e - i)a+m а F(a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса.
Пусть | ^ | < 1. Переходя в (3.9) к пределу при е ^ 0, будем иметь
С «) = C m„ Y m ^^0)|^| m F a^^m1 , 2+22+1; 2 + m; | ( | 2) . (3.10)
Пусть | e | > 1. Применяя к гипергеометрической функции в (3.9) формулу (12) из [4, стр. 219], и переходя затем к пределу при е ^ 0, получаем
СЮЦ» _ Сс у (,.) ■ m + "Жи/У km(e) = CmnYm(e )^((а + т + 1)/2)Г((т + n — а)/2)
×
| e | -a F ( а + т а — т
-
—^lei -2)
+
Г(т + п/2)Г( — 1/2)
(3.11)
Г((а + т) /2)Г((т + n/2 — (а + т + 1)/2)/2)
×
i e | -a-1 F(
а + т + 1 а — т —
,
^±^;|; 1 4Г 2
.
Нетрудно показать, что при 0 < Re а < n/2 справедлива формула для преобразования Фурье в слабом смысле:
(K m ^)(x) =
(2n) - n /
R
k m :.:••/:,
ϕ ∈ S .
(3 . 12)
-
4. Доказательство основных результатов
-
4.1. Доказательство теоремы 2.1. Имеем
-
km(e) = mei2) ka(e) + K(iei)km(e)+x(iei)km(e) = km,o(e) + km,1(e) + km^(e).(4.1)
Очевидно, что km,o(e) e Mp, (1/p, 1/q) e [O0,O,E].(4.2)
Кроме того, из соотношения x(iei)ie|-a e Mpq, (1/p, 1/q) e L2(a, n), доказанного в [15], вытекает, что km,^(e) e Miq, (1/p, 1/q) e L2(a,n).
Рассмотрим kd1(e). Применяя к гипергеометрическим функциям в (3.10) и (3.11) формулу (11) из [4, стр. 219], представим km 1(e) в виде n-1
km,i(e) = K(iei)(1 — iei2)+2 asa(e)+ba(iei)sa(e)+ra(e),(4.4)
где ba(iei) — функция (3.1), ra(e),s“(e) e C0^ (j = 1, 2). Тогда km, 1(e) e Mpq, (1/p, 1/q) e L1 (а,п),(4.5)
в силу теоремы 3.1 и леммы 3.1.
Из (4.1)–(4.3) и (4.5), на основании (3.12) получаем kKm^kq 6 Ck^kp, (1/p, 1/q) e L1(а,n) П L2(а,n), ^ eS.(4.6)
С учетом теоремы С. Л. Соболева, оценка (4.6) распространяется на функции ϕ ∈ L p , 1 < p < n/ Re а.
-
4.2. Доказательство теоремы 2.2. Вложение
(4.7)
Km(Lp) c {j e Lq : Haj e Lp} вытекает из теоремы 2.1 и равенства
(h акт ^) (x) = ^(x), которое доказывается так же, как в [11, 12] в случае потенциалов с радиальными характеристиками.
Докажем вложение, обратное к (4.7). Предположим, что f ∈ L q , H α f ∈ L p . Пусть функция ш e S такова, что ш (£) = 0 в некоторой окрестности множества V = { ( : k m (£) = 0 } и S n-1 (следовательно, ш e Ф V ).
Легко показать, что hKmH ■„■ = hH af,Km ш^
где Km оператор с символом km(£). С учетом (4.8) имеем hKmH aj>i = lim ^hfH" Km шi,(4.9)
где H ε α ,δ — оператор свертки с ядром (2.2). Воспользовавшись равенством
(H“ 5 K m ш)(х) = (А е ш)(х) + i6 (K e,8 W e/ 2^(x), (4.10)
где K ε α ,δ — оператор с символом
(|£|2 -
,
( | km«) | 2 — iW I 2 + (s - i) 2 ) '
с учетом (4.9) имеем hKmHaj,шi = lim hj,AEш^ + lim lim hf,i5Ke,5We/2шi. (4.11)
ε → 0 ε → 0 δ → 0
Докажем равенство
(4.12)
Y i m 0 hf,i5K e,5 W e/ 2 шi = 0.
Очевидно, что (Ke,sWe/2ш)(^) e Фv. Следовательно, hf,i6Ke,5 We/2шi = (2n)-n hFj,i5F (Ke,5 We/2ш)i, где F j понимается в смысле ФV-распределений; это преобразование Фурье совпадает с преобразованием Фурье в смысле Lq0 (в соответствии с теоремой Хаусдорфа — Юнга). Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем
\hf,i5K e,5 W e/ 2 ш i | 6 C^ k Fj k q 0 X

e2^j№_-j_^qjsw
Ik m (№ Ш2 + (s - i) 2 i 'q

(4.13)
Заметим, что интеграл в правой части (4.13) конечен. Переходя в (4.13) к пределу при 6 ^ 0, получаем (4.12).
В силу (4.11) и (4.12) имеем
-
2- П'е—<12 h K m Hfc = Jrn ^(2n) -n hf, (^2 + 1 - i)^ WO j = hfM
Таким образом, мы пришли к равенству hKmH aM = hf,w). (4.14)
Переходя к завершающему этапу доказательства, для заданной функции ϕ ∈ S выберем последовательность { w j } , W j E S такую, что W j (£) = 0 в некоторой окрестности ( L q0 )
множества V и lim W j = у. Существование такой последовательности доказано в [7] j -^
(см. также [19, гл. 2]).
На основании (4.14) имеем hKm н -.■ i = hf,Wj i.
Переходя в этом равенстве к пределу при j → ∞, получаем hf,^i = hKmнaf^i, у e s, откуда следует, что f (x) = (KmH af)(x) (4.15)
для почти всех x E R n .
Равенство (4.15) означает, что f (x) E K m^ (L p ). Теорема 2.2 доказана.
Замечание 4.1. Доказательство теоремы 2.2 существенно основано на возможности аппроксимации функции у E S по норме L p (p > 2) функциями из Ф у , преобразования Фурье которых обращаются в нуль в некоторых окрестностях множества V . Как уже отмечалось ранее, возможность такой аппроксимации была доказана в [7] (см. также [19, гл. 2]) в случае произвольного замкнутого множества V .
Список литературы Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М: Физматгиз, 1971.-1108 с.
- Карапетянц А. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами//Изв. НАН Армении.-2003. -Т. 38, № 2-С. 7-62.
- Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций//Тр. МИАН СССР.-1969.-Т. 105.-С. 89-107.
- Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.-М: Наука, 1984.-344 с.
- Ногин В. А., Шевченко К. С. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае//Изв. вузов. Математика.-1999.-№ 10.-С. 77-80.
- Самко С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции//Мат. заметки.-1977.-Т. 21, № 5.-С. 677-689.
- Самко С. Г. О плотности в L_p(\Bbb R^n) пространства \Phi_v типа Лизоркина//Мат. заметки.-1982.-Т. 31, № 6.-С. 855-865.
- Betilgiriev M. A., Karasev D. N., Nogin V. A. (L_p -L_q)-estimates for some fractional type operators with oscillating kernels//Fractional Calculus & Applied Analysis.-2004.-V. 7, № 2.-P. 213-241.
- Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index//Indiana Univ. Math. J.-1986.-V. 35, № 2.-P. 225-233.
- Hormander L. Estimates for translation invariant operators in L^p spaces//Acta Math.-1960.-V. 104.-P. 93-140.
- Karasev D. N., Nogin V. A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases//Integral Transforms and Special Functions.-2002.-V. 13.-P. 529-545.
- Karasev D. N., Nogin V. A. Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case//Fractional Calculus & Applied Analysis.-2002.-V. 5, № 3.-P. 315-349.
- Karasev D. N., Nogin V. A. Estimates for the acoustic potential and their application//Proceedings of A. Razmadze Math. Inst.-2002.-V. 129.-P. 29-51.
- Karasev D. N., Nogin V. A. (L_p\to L_q)-estimates for the Bochner-Riesz operator of complex order//Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen.-2002.-V. 21, № 4.-P. 915-929.
- Miyachi A. On some estimates for the wave equation in L^p and H^p//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA.-1980.-V. 27.-P. 331-354.
- Nogin V. A., Samko S. G. Method of approximating inverse operators and its applications to inversion of potential type integral transforms//Integral Transforms and Special Functions.-1999.-V. 6.-P. 1-14.
- Nogin V. A., Samko S. G. Some applications of potentials and approximative inverse operators in multi-dimensional fraction calculus//Fractional Calculus & Applied Analysis.-1999.-V. 2, № 2.-P. 205-228.
- Samko S. G. Inversion theorems for potential-type integral transforms in R^n and on S^{n-1}//Integral Transforms and Special Functions.-1993.-V. 1, № 2.-P. 145-163.
- Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. Internat. Series "Analytical Methods and Special Functions".-V. 5. London: Taylor & Frances, 2002.
- Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton Univ. press, 1993.