Описание слабо аддитивных функционалов на плоскости, сохраняющих порядок

В последнее время интенсивно изучаются пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на банаховой решетке непрерывных функций. В работе [1] были рассмотрены пространства всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных, полуаддитивных, полумультипликативных, положительно однородных функционалов на банаховой решетке C (X ) — всех действительных непрерывных функций на компакте X . Было установлено, что пространство функционалов с этими шестью условиями, снабженное топологией поточечной сходимости, гомеоморфно пространству exp(X ) — всех непустых замкнутых подмножеств компакта X, снабженному топологией Вьеториса. Дальнейшему исследованию в этой области посвящены работы С. Альбеве-рио, Ш. А. Аюпова, Р. Б. Бешимова, Д. Е. Давлетова, Г. Ф. Джаббарова, Р. Е. Жи-емуратова, А. А. Заитова, Т. Радуля и др. (см., например, [3–10]). В этих работах в основном изучены категорные и топологические свойства пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на пространстве непрерывных функций. В то же время изучение геометрических свойств пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов остается вне поля зрения исследователей. В частности, до сих пор не получено описание пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на конечномерных пространствах. Отметим работу [5], где получено описание пространства слабо аддитивных положительно однородных функционалов на плоскости.

Настоящая работа посвящена описанию пространства слабо аддитивных функционалов на плоскости.

Пусть X — компакт. Через C(X ) обозначим пространство всех непрерывных функций f : X ^ R с поточечными алгебрическими операциями и sup -нормой, т. е. с нормой k f || = max {| f (x) | : x G X } . Для каждого c G R через c x обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле c x (x) = c , x G X . Пусть у, ^ G C(X ). Неравенство у 6 ^ означает, что y(x) 6 ^(x) для всех x G X.

Определение 1 [2]. Функционал v : C (X) ^ R называется:

• 1)    слабо аддитивным, если для всех у G C(X ) и c G R выполняется равенство

v(у + c x ) = v(у) + c • v(l x );

• 2)    сохраняющим порядок, если для всех у,^ G C(X ) из у 6 ^ вытекает v(у) 6 v(^);

• 3)    нормированным, если v(l x ) = 1;

• 4)    нерасширяющим, если | v(у) — v(^) | 6 ||у — ^ | при всех ууф G C (X).

Для компакта X через O(X) обозначается множество всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Элементы множества O(X), для краткости, назовем слабо аддитивными функционалами.

Через E(X ) обозначим множество всех сохраняющих порядок, нерасширяющих функционалов y на C (X) с y(0 x ) = 0 .

Рассмотрим O(X) и E(X) как подпространства пространства Cp(C(X)) всех непрерывных функций на C(X), снабженного топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционала v G O(X) (v G E(X)) образуют множества вида hv; у1,у2,...,ук,e) = {v0 G O(X) : |v,(уi) — v(уi)| < e, i = l,2,...,k}, где e > 0, уi G C(X), i = l, 2,..., k.

Для любого компакта X пространства O(X) и E(X) являются выпуклыми компактами.

Заметим, что всякий функционал y G O(X) является нерасширяющим. Действительно, для f,g G C (X) из неравенства

-kf — gk + g 6 f 6 g + Ilf — gk имеем, что

-kf — gky(1x)+ y(g) 6 y(f) 6 y(g)+ kf — gky(1x)> т. е.

| y(f) — y(g) | 6 k f — g k .                                      (i)

Далее

y(1 x ) = y(0 x + l x ) = y(0 x ) + y(1 x ),

• т. е. y(0 x ) = 0.

Таким образом, O(X) C E (X) .

Отметим, что для n-точечного компакта n = {l,2,... ,n}, n G N, пространство C(n) изоморфно пространству Rn , при этом изоморфизм задается по правилу f G C(n) ^ (f(1),f(2),...,f(n)) G Rn.

Пусть L “ (R) ( L 1 (R)) — банахово пространство классов действительных существенно ограниченных измеримых (соответственно, классов действительных интегрируемых функций) на R. Поскольку пространство L “ (R) изометрически изоморфно сопряженному пространству пространства L ¹ (R), то

L“(R)+ = {f G L“(R) : 0 6 f 6 1}, где 1 — единица в L“(R), является *-слабо компактным множеством.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. Пространство 0(2) аффинно гомеоморфно пространству L^(R)+, при этом гомеоморфизм L“(R) + ^ 0(2) задается по правилу x-y

^(x,y) = j v(t)dt + У, V E L “ (R) + .

Доказательство теоремы вытекает из предложений 2 и 3.

Предложение 2. Пространство O( n ) аффинно гомеоморфно пространству E( n — 1 ) для всех n >  2, при этом гомеоморфизм Ф : E ( n — 1 ) ^ O( n ) задается по правилу

^(xi,... ,X n ) = v(x i — X n

x n - 1    x n ) ⁺ x n ,

где v E E( n — 1 ), (x _i ,..., x n ) E R ⁿ .

C Для v E E ( n — 1 ) функционал ^ = Ф(v) : R ⁿ ^ R определим по правилу

^(X 1 , . . . , X n ) = V(X i — X n , . . . , x n - i

- x _n ) + x _n .

Покажем, что ^ E O( n ) .

• 1)    Для x = (x i ,..., x n ) , c _n = (c,... , c) E R ⁿ имеем

^(x + C n ) = ^(x i + c,..., x n + c)

= V((xi + c) — (xn + c), . . . , (xn-1 + c) — (xn + c)) + xn + c = V(xi — xn, . . . , xn-i — xn) + xn + c = ^(x) + c, т. е.

^(x + c n ) = ^(x) + c.

• 2)    Нормированность:

^(1,..., 1) = V(1 — 1,..., 1 — 1) + 1 = V(0,..., 0) + 1 = 0 + 1 = 1. | V }       | V } n                n-1

• 3)    Покажем, что из x = (x i ,..., x n ) 6 y = (y i ,..., y n ) следует, что ^(x) 6 ^(y). Так как ν сохраняет порядок, то

V(x i — x n , . . . , x n - i — x n ) 6 V(y i — x n , . . . , У п - i — x n ).

Поэтому

V(x i — x n , . . . , x n - i — x n ) — V(y i — y n , . . . , y n - i — y n )

6 V(y i — x n , . . . , y n - i — x n ) — V(y i — y n , . . . , y n - i — y n )

6 max | (y i — x n ) — (y i — y n ) | = | y n — x n = y n — x n . 16i6n - 1

Отсюда

V(xi — xn, . . . , xn-i — xn) — V(yi — yn, . . . , yn-i — yn) 6 Уп — xn, т. е.

V( { x i — x n } ) + x n 6 V( { y i — y n } ) + y n .

Это означает, что ^(x) 6 ^(y) . Таким образом, ^ E O( n ) .

Теперь докажем, что для всякого ц G O(n) существует v £ E(n — 1) такое, что Ф(v) = ц. Для ц £ O(n) положим v (xi,... ,Xn-1) = ц(Х1, ...,Xn-1,0), (xi,... ,Xn-1) £ Rn 1.

Покажем, что v £ E(n — 1). Имеем v (0,..., 0) = ц(0,..., 0) =0.

| {Z }       | {Z } n-1            n

Для x, y ∈ R ^n-1 , x 6 y имеем

v(x) = ц(Х 1 , . . . , X n - 1 ,0) 6 ц(у 1 ,. . . , y n - 1 , 0) = v(y).

Пусть x, y ∈ R ^n-1 . Используя неравенство (1), имеем

| v (x) — v (y) | = | ^(x i ,...,x n - i , 0) — ц(у 1 ,... ,y n - i , 0) | 6 max | x — y i | 6 ||x — y | , 16i6n - 1

т. е. | v(x) — v(y) | 6 | x — y | . Таким образом, v £ E( n — 1 ) .

Следовательно, отображение Ф : E( n — 1 ) ^ O( n ) , определяемое по правилу (3), является взаимно однозначным. Непосредственно из (3) следует, что отображение Ф — непрерывно. Поскольку E( n — 1 ) и O( n ) — компактные пространства, то Ф — аффинный гомеоморфизм между O( n ) и E( n — 1 ) . B

Предложение 3. Пространство E( 1 ) аффинно гомеоморфно пространству L “ (R) + , при этом гомеоморфизм Ф : L “ (R) + ^ E( 1 ) задается по правилу

t

y(t) = у ^(s) ds, у £ L “ (R) + .                            (4)

C Пусть у £ L“(R)+. Покажем, что функционал ц, определяемый по правилу (4), принадлежит E (1). Имеем

ц(0) = У у (s)ds = 0.

Монотонность µ следует из положительности подынтегральной функций.

Пусть s , s 2 ∈ R и s 1 6 s 2 . Поскольку µ — неубывающая функция, то

0 6 y(s 2 ) — y(s i ).

Поскольку 0 6 у 6 1, то s2

ц(s 2 ) — ц(s 1 ) = У y(t) dt

s 1

— У у (t) dt =

s 2                 s 2

У у (t) dt 6 У s1                   s1

1 (t) dt = s 2

- s,

т. е. y(s 2 ) — y(s i ) 6 S 2 — si* Таким образом,

| ц(S 2 ) — y(s i ) | 6 | s 2 — S 1 | .

Теперь покажем, что всякий функционал из E( 1 ) имеет вид (4).

Пусть ц G E( 1 ). Поскольку ц — неубывающая функция, то она имеет почти всюду определенную неотрицательную производную. Из неравенства | ^(s i ) — ^(5 2 ) | 6 | s i - S 2 I непосредственно следует, что 0 6 ц ⁰ 6 1 и ц — абсолютна непрерывная функция. По теореме Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее производной

получим, что	t
	ц(t) = У ц0(s) ds.
Таким образом,	0 t ц(t) = У ц0(s) ds. 0

Это означает, что всякий элемент из E( 1 ) имеет вид (4).

Теперь покажем непрерывность. Пусть уа,у G L“(R) + и {уа} *-слабо сходится к у, т. е.

+ ^

У У а (s)f (s) ds ^

+ ^

У y^{( s )}f ⁽s) ds

-

∞

-∞

при всех f G L ¹ (R) .

tt

Обозначим ^ _a (t) = J у _а (s) ds и ц(t) = J y(s) ds.

Пусть s ∈ R . Положим в (5)

f X (0,s] ,     ^s >  ⁰,

(X[s,0] ,    ^s< ⁰

Тогда

t t j y(s) ds, 0

j ^ a (s) ds ^

• т. е. ц _а (t) ^ ц(t) при всех t G R.

Следовательно, отображение Ф : L “ (R) + ^ E( 1 ) , определяемое по правилу (4), является взаимно однозначным и непрерывным. Поскольку L “ (R)+ и E( 1 ) — компактные пространства, то Ф — аффинный гомеоморфизм между L “ (R) + и E( 1 ). B

Хорошо известно, что экстремальными точками выпуклого компакта L “ (R) + являются классы, содержащие характеристические функции измеримых подмножеств R , т. е.

ext L “ (R) + = Ххе : E — измеримое подмножество в R}.

Следовательно, в силу (2) экстремальными точками выпуклого компакта 0(2) являются функционалы вида x-y

Ц е (x,y)= У Х е (s) ds + У, 0

где E — измеримое подмножество в R , т. е.

Ц е ^{( х,} У) =

(m (E П [0, х — у]) + у,

(m (E П [х — у, 0]) + у,

^х > У, x < y.

Здесь m(E) обозначает меру Лебега на прямой множества E.

Предложение 4. Экстремальными точками выпуклого компакта 0( 2 ) являются функционалы вида µ E и только они, где µ E — функционал, определяемый по прави^лУ ⁽⁶⁾ .

Пусть А — замкнутое подпространство компакта X . Скажем, что функционал ц £ O(X ) сосредоточен на A , если ц(f ) = ц(д) для всех f,g £ C(X ) с f | a = g | A . Наименьшее по включению замкнутое множество A С X , на котором функционал ц сосредоточен, называется носителем функционала ц £ O(X ) и обозначается supp ц, т. е.

supp ц = Q{A : ц — сосредоточен на А } .

Через O 2 (X) обозначим множество всех функционалов ц £ O(X ), носители которых состоят не более чем из двух точек.

Следующее утверждение дает описание множества O 2 (X ).

Предложение 5. Пусть X — компакт. Тогда всякий функционал ц £ O2(X) имеет вид f (x1)-f (x2 )

Ц^{( f} )=     I    V^{( t ) dt + f (x} 2 ),                            ⁽⁷⁾

где supp ц = { x ₁ ,x ₂ } , ^ £ L “ (R) + .

• <1 Пусть ц £ O 2 (X) и f £ C (X). Тогда по определению носителя существуют точки x ₁ ,x ₂ £ X такие, что supp ц = { x i ,x ₂ } . Так как ц £ O(suppц) = 0( 2 ), то ц можно представить в виде (7) в силу равенства (2). B

В заключение отметим, что в работах [3–10], в основном, установлены категорные и топологические свойства пространства O(X) , ранее известные для случая P (X ) — пространства вероятностных мер на компакте X .

Хорошо известно, что пространство P ( n ), n £ N , аффинно гомеоморфно (n — 1) -мер-ному симплексу S ^n-1 , где

S n^-1 = (( t i ,...,t n ) : t i £ R, t i > 0, i = 1, 2,... ,n, XX t i = 1}. i=1          '

Этот факт существенно используется при изучении геометрических свойств пространства P (X) (см., например, [11, 12]). Теорема 1 показывает, что в отличие от пространства P ( n ), пространство O( n ) — бесконечномерно. Это означает, что те методы, которые использованы при изучении геометрических свойств пространства P (X) , нельзя прямо применить для случая пространства 0(X) .