Определение локального коэффициента теплоотдачи с использованием модели температурного пограничного слоя с конвективной составляющей в полостях вращения ТНА ЖРД

Введение. Учет особенностей теплоотдачи в проточных частях турбонасосных агрегатов (ТНА) жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) является важной задачей.

Сопряженная задача течения с теплообменом, в том числе и при вращательных течениях в элементах проточных частей ТНА ЖРД, решается с помощью следующих подходов: численные методы, аналитическое совместное решение уравнений движения и энергии и использование эмпирических уравнений. Наличие теплообмена значительно влияет на рабочие характеристики ТНА ЖРД [1].

Использование эмпирического подхода требует проведения большого количества экспериментальных исследований и обобщения результатов. Методам эксперимента л ьных исследований сопряженного теплообмена посвящены работы [2–4]. Данный подход имеет существенные недостатки: не всегда можно обобщить результаты экспериментальных исслед о ваний на подобные процессы и не всегда расчет проводится с требуемой точностью, что также требует допо л нительной верификации результатов.

Методы численного подхода рассмотрены в работах [5–7]. Данный подход требует корректного задания граничных условий и используемых ур а внений. Численные методы исследования используют прямое численное моделирование (метод DNS) и усредненные уравнени я Навье– Стокса и Рейнольдса (RANS метод). Выбор метода зависит от сложности проблемы и т очности результатов. Достаточно часто используется метод RANS с использование моделей k -ε и k-ω турбулентности. При исследовании течения с теплоотдачей в проточных частях ТНА многие авторы уделяют отдельное внимание межлопаточному каналу [8–10] как наибол е е важному элементу проточной части, тем не менее также остро стоит вопрос обеспечения устойчивости и надежности диска ротора.

Аналитический подход позволяет более широко обобщать полученные зависимости на подобные процессы. Аналитические исследования проводились в работах [11–13]. Анали т ические методы, как правило разрабатывались для прямолинейного равномерного течения и имеют ряд ограничений. В наиболее ранних исследованиях анализ основан на расширенной аналогии Рейнольдса с передачей тепла, массы и импульса в развитом турбулентном потоке в трубе. Использование профиля распределения скорости и температуры в пограничном слое пре д ложено В.Д. Ранни [14]. Анализ подслоя учитывал влияние теплообмена на турбулентность. Аналитические методы определения коэффициентов теплоотдачи, предложенные в работах [15, 16], учитывают конвективный перенос тепла в камерах ЖРД и выполнены для прямолинейного турбулентного течения.

Конструктивные схемы ТНА ЖРД. Из анализа к онструктивных схем с овременных турбонасосных агрегатов ЖРД (рис. 1, 2) видно, что достаточно часто применяетс я схема одноблочного расположения проточных частей турбин и насосов (скомпонованы в един о м блоке). В проточных частях турбин реализуется температура продукто в сгорания порядка 900 °С, при использовании таких схемных решений высокие тепловые потоки от турбины к корпусу и к уплотнениям могут вызвать нарушение теплового режима, вследствие чего возможно термическое разрушение элементов узлов уплотнений. Наиболее важно корре к тное определение тепловых пот о ков для криогенных компонентов топлива при выбираемой одноблочной компоновке.

При проектировании проточных частей узлов и агрегатов ТНА ЖРД важно учитывать влияние теплообмена и как следствие – температуры поток а рабочего тела по длине проточного тракта, в связи с тем, что вязкость напрямую зависит от температуры и определяет потери и режим течения.

Рис. 1. ТНА ЖРД замкнутой схемы

Рис. 2. ТНА ЖРД открытой схемы

В агрегатах подачи, особенно при использовании криогенных компонентов топлива, незначительный подогрев рабочего тела может привести к вскипанию компонентов и падению рабочих характеристик. С другой стороны, недостаточная (нерасчетная) температура компонента в проточной части для некоторых видов рабочих тел (например гелеобразных компонентов) приводит к повышенной вязкости и снижению КПД агрегата.

Объектом исследования вращательных течений являются конструктивные элементы проточных частей ТНА ЖРД: прежде всего полость между рабочим колесом и корпусом турбины и центробежного насоса, подводящие и отводящие аппараты, элементы ВГТ (вспомогательного гидравлического тракта), узлы контактных уплотнений.

Постановка задачи исследования. При исследовании задачи вращательных течений с теплообменом необходимо совместное решение уравнений движения и энергии в граничны х условиях проточных частей ТНА ЖРД с учетом теории пространственного пограничного слоя [17, 18].

Процессы теплоотдачи в энергетических установках во многом схожи, но при анализе и выводе уравнений теплообмена для граничных условий ЖРД существуют определенные отличия. Основные отличия заключаются в следующем: экстремально высокие значения тепл о вых потоков, температур и давлений, наличие высоких скоростей потоков, начальное турбул е нтное состояние потоков в активной зоне, рабочие тела могут находиться в газообразном и жидком состоянии, эффекты кривизны поверхности, наличие градиентов плотности и сжимаемости, нестационар-ность тепловых потоков и наличие неустойчивости п о токов в активной зоне теплообмена [19].

Модель температурного пограничного слоя с конвективной составляющей. Критерий Прандтля Pr в значительной мере влияет на теплообмен. Отметим, что для газов критерий Прандтля Pr < 1 (в том числе и для продуктов сгорания), для жидкостей критерий Прандтля Pr > 1 (компоненты топлива).

При Pr > 1 температурный пограничный слой м е ньше динамического (рис. 3). Тепловой поток от поверхности теплообмена может осуществляться за счет двух механизмов: теплопроводности или турбулентного переноса. При турбулентном течении скорость турбулентного переноса тепла и импульса значительно превышает скорость молекулярного переноса и поэтому молекулярным переносом можно вообще пренебречь. При к ритерии Прандтля, близком к единице или более высоком, преобладает турбулентный механизм переноса тепла, а молекулярным переносом можно пренебречь [20].

Так как коэффициенты турбулентного переноса значительно выше коэффициентов молекулярного переноса, в дифференциальных уравнениях движения и энергии можно пренебречь ки- нематическим коэффициентом вязкости и коэффициентом температуропроводности в отличие от коэффициентов турбулентного переноса импульса и тепла [20]. В случае больших чисел Рейнольдса теплопроводность жидкости не оказывает практического влияния на перенос тепла [17].

Основной механизм переноса тепла реализуется за счет переноса объема массы рабочего тела вдоль оси Y , вызванного изменением скорости в пограничном слое. Учитывая существующее подобие распределения температурного и скоростного профилей в пограничном слое (ПС) при критерии Прандтля, равном единице, когда безразмерные профили скорости и температуры идентичны, примем следующую модель распределения температурного и динамического ПС: распределение температурного ПС в границах толщины температурного слоя 8 t совпадает с профилем функции скорости ПС. Вне границы темпе-

Рис. 3. Принятая модель температурного и динамического пограничных слоев

ратурного слоя 8 t температура потока не изменяется и равна температуре потока в ядре течения, но функция скорости продолжает изменяться до достижения толщины 8, далее принимает пара-

метры ядра.

Определим толщину потери энергии температурного ПС [21]:

5 е ** u ⁵ 1

(

к

^^^^^^^в

5 T 0 У

dy .

На основе рассматриваемой модели температурного и динамического ПС выражение для толщины потери энергии разбиваем на два интеграла, соответствующих характерным участкам.

Границы интегрирования первого лежат от поверхности теплообмена до толщины температурно го ПС 8t, второго - от толщины температурного ПС 8t до толщины динамического 8.

Запишем выражение (1) в принятых границах интегрирования:

^^^^^^в

T - Т о ' T 5 - Т о У

-

Т - Т о "  Т 5 - Т о У

dy .

С применением уравнения (2) становится возможным определить вид закона теплообмена для случая Pr > 1. Для дальнейшего использования уравнение (2) необходимо проинтегрировать с учетом принятых законов распределения профиля скорости в ПС.

Распределение динамического ПС аппроксимируем степенной функцией вида u f y А m =        .

U V5)

Как отмечалось, перенос тепла осуществляется за счет двух механизмов теплопроводности и переноса массы. У жидкостей теплопроводность на порядок больше, чем у газа, соответственно теплопроводностью пренебрегать не следует, тогда профиль распределения температурного ПС примем в следующем виде:

<       1 А

Т - Т о

Т 5 - Т о

Запишем выражение для толщины потери энергии ПС:

Учитывая, что в первом члене уравнения (3), исходя из принятой модели, в границах интегрирования профили распределения температуры и скорости совпадают, тогда для первого члена уравнения 8 t = 8.

При рассмотрении второго члена уравнения (3) и с учетом отсутствия градиента температу ры можно записать т. е.

т - Т о

т8

Т о

т8

т8

-

Т о

-

Т о

= 1,

Тогда толщина потери энергии (3) при Pr > 1 в границах интегрирования от поверхности теплообмена до 8 t :

8ir

** f( y 1 m

^{8 1} d ■

(

Толщина потери энергии из выражения (4) определится как

2 ( х                                                             ^

m8zf—Im -§f—Im + 28m2 + 28 + 58m-2X8t- 3Xm8t -28m2f—Im -Xm28t -38mf—V

**

⁸ 1 ф =

1 (8 J (8 J                              1         1         (8 J 1       (8 J

(J8( m +1)( m + 2)( 2 m +1)

Обозначим как x отношение толщины динамического ПС к толщине температурного ПС:

— = x .

Тогда m+1 (      XX         11

mx ^m 8 5 m - 3 mx m - x m + 2 m ² - 2 m ² x m - 2 X x - 3 X mx -X m ² x + 2

8 =        (J

• ^{1    ф}                         ( m + 1 )( m + 2 )( 2 m + 1 )

Введем обозначение m+1 (     XX         X1

X = mx ^m 5 m - 3 mx m - x m + 2 m ² - 2 m ² x m - 2 X x - 3 X mx - X m ² x + 2

Для записи закона теплообмена в виде критерия Стантона необходимо определить производную температурного пограничного слоя на стенке (поверхности теплообмена). Данная производная не существует формально при m < 1, т. е. профиль не может быть использован в ламинарном подслое турбулентного профиля распределения параметров в ПС. Поэтому производную температурного пограничного слоя на стенке определяем, исходя из двухслойной модели турбулентности с ламинарным подслоем. Тогда производная температурного пограничного слоя на стенке определится как д ду

U ( а Л v 1 m ^{+1 a} 2 ^v ( U ⁸ 1 J

Определим толщину динамического ПС из уравнения для толщины потери энергии температурного ПС (5):

₅ = ⁵ ** ( ^{m +} 1 )( ^{m + 2} )( ^{2 m +} 1 )

X

.

Закон теплообмена. Учтем выражение для закона теплообмена и запишем выражение для безразмерного коэффициента теплоотдачи в виде критерия Стантона для турбулентного течения:

St =

X U

a ^{2 v}

m + 1

pCpU a2v U5,

.

Принимая во внимание параметр отношения толщин динамического и температурного по- граничных слоев x = —, а также выражение толщины динамического ПС и выражение для зако на теплообмена (7), получим m+1

St =

■ p cpum+1 ka

X

m - 1

.m-1v 2 (m +1)(m + 2)(2m +1)

** \ .

1 m + 1

⁵ t ф )

.

Для практической реализации закона теплообмена необходимо определить значение коэффициента ламинарного подслоя aл, которое находим из условия смыкания ламинарного подслоя с турбулентным профилем [21], с учетом степени турбулентности, получим выражение для определения коэффициента ламинарного подслоя турбулентного профиля распределения температурного ПС для принятой модели:

a л =12,559

** 0,167 —

**

k⁵ t Ф J

12,5496 Pr 0,0557 .

Интегральное соотношение уравнения энергии. Уравнение энергии пространственного пограничного слоя (ППС) с учетом полученного выражения для закона теплообмена (8) преобразуется к виду

1 д / ** \ 1 д / ** \       15/

Hф дф⁽t^ф)Hv dv⁽t^v)  HфHv

•

■ p CpUm+1 ka'

X

дHv .**      1

-------5/(o +-- дф  tф  Hф Hv

A m+1

m-1

.m-1v 2 (m +1)(m + 2)(2m +1)

•

dHф ** _ dv t^v

^тфо (1 ^{+ 8}2)

ft 1 m+1

⁵1Ф )

p Cp (T5-To)"

Принимая относительную характерную толщину

**

• 1.

  
  

J       X** ,

8 51Ф интегральное соотношение уравнения энергии (9) примет вид

1 d / „**\ J d

151 ф ) +

Hф дф^ ф' Hv dv

+--

Hф Hv

1 dH

•

дф

^5:

J

** ^J

¹ t^{ф +}и и H ф H v

•

dHф   _ дv tф

m+1

■

2 p C_pU^m+1ka

X

m-1

. m -1v    (m +1)( m + 2)(2 m +1)

ft I m+1 ^и t ф )

^тфо (1 ^{+ 8}2)

P Cp (T5-To)’

S

Учитывая, что реализуется прямолинейное равномерное течение, получим: — = 0, H^ = Нф, д— — ф дH,  дH„

—— = —— = 0 , тогда интегральное соотношение уравнения энергии (11) преобразуется к виду дф д— m+1

^д** _ dv⁶t^ф

X

р CpUm⁺¹^a'

m -1

.m^-1v ²(m +1)(m + 2)(2m +1)

X | m+1 ^u t V )

р Cp (т₅- To У

При рассмотрении вращательного течения, реализующегося в полостях ТНА ЖРД, линия тока представляет собой кольцевую линию. Выполним запись уравнения (12) в цилиндрических координатах, учитывая, что в случае осесимметричного течения при ε = const выполняются соот- дH ф дR ношения ф = a, v = R , Hm = R , —- = — ф дф дR

= 1, Hv= 1, ^H^ = o, T = 0: дф дф

A m+1

д  **

J s—6,m +0, дR tv   R

дR t^ф

'

2 р C_pU^m+1^a'

X

m-1

,m^-1v ²(m +1)(m + 2)(2m +1)

x

^X2

ft 1 m+1

^u t ф )

^тфо (1 ^{+ s}2)

р Cp (To- To)"

Таким образом, получены выражения интегрального соотношения уравнения энергии температурного пограничного слоя прямолинейного равномерного и вращательного течений с учетом степенного закона распределения параметров температурного и динамического пограничных слоев и принятой модели теплообмена для случая Pr > 1.

Локальный коэффициент теплоотдачи. Рассмотрим далее локальную теплоотдачу для практически важных случаев, реализующихся в элементах проточных частей ТНА ЖРД при Pr > 1 и принятого степенного закона распределения параметров скорости и температуры в ПС. Характерными течениями являются течения в трактах подачи жидких компонентов топлива ракетного двигателя. Последовательно рассмотрим следующие характерные течения: прямолинейное равномерное течение потока, вращательное течение потока по закону твердого тела (реализуется в полостях между ротором и статором) и вращательное течение потока по закону свободного вихря (подводящие и отводящие устройства).

Рассматривая прямолинейное равномерное течение и учитывая, что пренебрегаем диссипативным членом в интегральном соотношении уравнения энергии (12), запишем m+1

^д** _ дф⁶t^ф

'

р C_pU^m+1^a'

X

m-1

.m^-1v ²(m +1)(m + 2)(2m +1)

•

ft I m+1

⁶1V )

.

Разделим переменные и проинтегрируем (14) от нуля до текущего значения переменных:

**

⁶tф

Хф р CpUm+1

m+1

3+m

2 m+2

(m+1)(3+m)             m+1

( 3 + m A 3+m

m-1

am^-1v ²(m +1)(m + 2)(2m +1)

•

m +1

.

С учетом выражения закона теплоотдачи (8) и выражения для толщины потери энергии (15) запишем, а также проведя преобразования выражения (15), с учетом критериев Прандтля

И C

Pr = p X

I      PUФ I и Рейнольдса Re =----I, получим выражение для определения локального коэф-

V И У фициента теплоотдачи в виде критерия Стантона прямолинейного равномерного течения при степенном профиле распределения эпюры скорости и температуры при Pr > 1:

St = m+1

P_r3+m^V

X

am 1 (m + 2)( m + 3)( 2 m +1) Re

3+m

.

Рассмотрим вращательное течение, реализующееся в проточных частях ТНА ЖРД. Аналогично, как и при прямолинейном равномерном течении потока, пренебрегая диссипативным членом и учитывая, что реализуется вращательное течение по закону твердого тела, характерной особенностью которого является распределение окружной составляющей скорости по радиусу

— = ы = const, уравнение (13) преобразуется к виду

R

**

5 „**   ⁵tm

—5, + dR t^mR

X

J ер Cp го m+1

m-1

am-1v 2 (m +1)(m + 2)(2m +1)

m +1

.¹         = 0.

Dm+1 (ft** \m+1

R    (ut m)

Из уравнения (17) определим выражение для толщины потери энергии температурного ПС для вращательного течения по закону твердого тела:

m+3 m+1

**

5 t m = \

X

J ер Cp го m+1

X

am 1v 2 (m +1)(m + 2)(2m +1)

m+1

m-1

(m + 3) Rm⁺¹

.

С учетом выражения закона теплообмена (8) критерий Стантона для вращательного течения по закону твердого тела степенного профиля распределения температурного пограничного слоя и Pr > 1 примет вид

St =

1 I____________2 JeX____________'

— lam^-1 (m + 2) (m + 3)(2 m + 1)Re„

Dr-m+3 V л\ /V /V У ЮУ

Рассмотрим вращательное течение, которое осуществляется по закону свободного вихря. Закон распределения профиля скорости ядра потока по радиусу примет вид UR = C = const. Данное течение характерно для следующих элементов: подводящего и отводящего устройств насосов подачи компонентов топлива, камер закрутки и т. д. При рассмотрении вращательного течения по закону свободного вихря интегральное соотношение уравнения энергии (13)

примет вид

**      **

d 5* m+8^ _-dR   R

m+1

X

J е C_pC^m+1

X

Rm+1

m-1

am-1v 2 (m +1)(m + 2)(2m +1)

= 0.

Из уравнения (20) определим выражение для толщины потери энергии температурного ПС вращательного течения по закону свободного вихря для степенного закона распределения профилей пограничного слоя при Pr > 1:

**

° t ф =

X

J £ CpCm¹

X

A m+1

m-¹

.am-1v 2 (m +1)(m + 2)(2m + 1);

m +1

/2 m+3

m +1

m+3

• R.

Подставив выражение для определения толщины потери энергии (21) в выражение закона теплообмена (8), получим локальный коэффициент теплоотдачи в виде критерия Стантона для вращательного течения по закону свободного вихря для случая Pr > 1:

e 1                2 J £X

St =------Г -----i .

— am- (m +1)(m + 2)(2m + 1)Rem prm+3 V л v

На рис. 4 показано влияние критерия Прандтля на трение и теплообмен по данным различных исследований [22]. В области значений чисел Прандтля Pr > 1 полученные теоретические зависимости для безразмерных коэффициентов теплоотдачи в виде критериев Стантона, с учетом интегрального соотношения уравнения энергии, хорошо совпадают с зависимостями других авторов. Cf представляет коэффициент трения.

Рис. 4. Сравнение различных теорий аналогии между трением и теплообменом в турбулентных потоках при Re = 107

Коэффициент теплоотдачи в виде критерия Нуссельта представляет произведение критериев Стантона, Рейнольдса и Прандтля Nu = St RePr.

На рис. 5 приведены результаты экспериментальных и теоретических зависимостей для турбулентного вращательного течения по закону твердого тела. Из графической зависимости рис. 5 видно, что результаты теоретических исследований, полученных с использованием модели с конвективной составляющей, наилучшим образом совпадают с экспериментальными данными и не превышают 3 %. Теоретические зависимости, полученные И.В. Шевчуком [23] и L.A. Dorfman [24], практически совпадают и отличаются на 0,05 %, с данными по теоретической зависимости с использованием модели с конвективной составляющей расходятся на 10 %. Зависимость, полученная J.M. Owen [25], с теоретической зависимостью модели с конвективной составляющей отличаются на 26 %.

Рис. 5. Зависимость безразмерного коэффициента теплоотдачи турбулентного вращательного течения по закону твердого тела при Pr = 4,341

турбулентного вращательного течения по закону свободного вихря при Pr = 4,341

На рис. 6 приведены результаты экспериментальных и теоретических зависимостей вращательного течения по закону свободного вихря. Из графика рис. 6 видно, что наилучшее схождение результатов экспериментальных данных и теоретических зависимостей дает также зависимость, полученная с использованием модели распределения динамического и температурного ПС с конвективной составляющей, расхождение результатов не превышает 2,5 %.

Полученные теоретические зависимости и зависимости других авторов находятся в едином диапазоне и пригодны для инженерных расчетов при проектировании ТНА. Необходимо отметить, что на безразмерный коэффициент теплоотдачи в виде критерия Нуссельта существенно влияют граничные условия течения и теплообмена, такие как скорость, вязкость, плотность и градиент температур рабочего тела и поверхности теплообмена.

Выводы. При интегрировании уравнения энергии в граничных условиях толщины температурного пространственного пограничного слоя получено уравнение для интегрального соотношения, необходимое для учета процессов теплоотдачи. Полученное выражение позволяет учитывать теплоотдачу на поверхности любой формы. С учетом интегрального соотношения определены и записаны выражения для толщин потери энергии. В свою очередь толщины потери энергии температурного пространственного пограничного слоя необходимы для определения локальных коэффициентов теплоотдачи для характерных случаев течения с учетом теплообмена.

С использованием аналитического подхода определены уравнения для расчета локальных коэффициентов теплоотдачи в виде критериев Стантона для наиболее важных случаев, реализующихся при течении в полостях вращения ТНА ЖРД. Получены локальные коэффициенты теплоотдачи при прямолинейном течении, вращательных течениях, реализующихся в полостях между рабочим колесом и корпусом турбины и центробежного насоса (течение по закону твердого тела), в подводящих и отводящих аппаратах (течение по закону свободного вихря). Полученные аналитические выражения для локальных коэффициентов теплоотдачи хорошо согласуются с результатами исследований других авторов и имеют практическое применение при расчете характеристик тракта ТНА ЖРД.