Определение модуля сдвига за фронтом сильной ударной волны

Численное моделирование поведения вещества под действием ударной нагрузки требует учета закономерностей упруго-пластического течения, а следовательно напряжений и деформаций. При решении подобных задач используются уравнения сохранения массы, импульса и энергии. В правой части уравнений движения стоят градиенты компонент тензора напряжений, а на главной диагонали – давление. Если изменение давления легко рассчитывается с помощью уравнения состояния, то изменение девиаторной части тензора напряжений в процессе деформации необходимо определять. Девиаторная часть тензора напряжений зависит от механических характеристик, которые являются функциями давления и температуры. Если упругие свойства материалов в области низких давлений достаточно хорошо исследованы, то для области давлений, реализующейся за фронтом ударной волны, создаются новые и обобщаются существующие модели определения упругих характеристик от давления и температуры. Осложняется эта ситуация еще тем, что до сих пор отсутствуют надежные экспериментальные данные по упругим свойствам в этой области параметров. Отсутствие прямой информации о поведении модуля сдвига в областях высоких давлений может быть в некоторой степени скомпенсировано данными измерений скорости звука за фронтом ударной волны. Настоящая работа является попыткой создания упрощенной методики расчета упругих свойств веществ и сравнение с общепринятыми моделями.

Скорость звука

В работе [1] было создано малопараметрическое уравнение состояния, в котором единственной величиной, характеризующей упругие свойства вещества, является сжимаемость. Она определяет скорость распространения акустических волн сжатия и разрежения, которая, в общем случае, определяется

C2 =  ∂∂Pρ S,

где P – давление; ρ – плотность; S – энтропия.

В [2–5] экспериментально показано, что прочностные свойства материала в значительной мере определяют характер и параметры волны разряжения, распространяющейся по

Рис. 1. Зависимость объемной скорости звука от давления вдоль ударной адиабаты экспериментальные данные: (^ [2], + [5], О |9]. □ — [10], /\ [11], х [12]

сжатому ударной волной материалу, и параметры затухания ударных волн. Одним из характеристических свойств твердого тела, отличающим его от жидкости, является устойчивость формы твердого тела, сопротивляемость сдвигу. Тензор напряженений в жидкости диагонален, причем, все три нормальные компоненты его одинаковы и равны давлению, которое изотропно. Известно, что при достаточно больших нагрузках, твердое тело меняет свои упругие свойства и становится пластичным, текучим, в некотором отношении подобным жидкости.

С ростом давления и температуры в импульсе нагрузки изменяются упругие и прочностные характеристики материала. Значения изоэнтропических модулей упругости ударно сжатого вещества определяются из соотношения между измеренными в экспериментах величинами

C b -        C l =             ,                        (2)

где C B – объемная и C L – продольная скорость звука; K S – изоэнтропический модуль объемного сжатия; G – модуль сдвига.

Для вычисления объемной скорости звука воспользуемся определением (2), в котором изоэнтропический модуль объемного сжатия вычислялся с помощью уравнения состояния (УРС) из термодинамического тождества

-  v[T(XX (diz]-                ™ где T – температура и cv – теплоемкость при постоянном объеме.

Рис. 2. Продольная скорость звука вдоль адиабаты алюминия; экспериментальные данные: + - [5], _ - [9], А - [11], О — [14,15], □ — [16] , — — [17], х — [18], О — [19]

Результаты расчета объемной скорости звука по УРС [1] с применением различных квантово-механических моделей описания коэффициента Грюнейзена [6–8], экспериментальные данные [2, 5, 9–12] представлены на рис. 1 для меди и алюминия. Эти материалы были выбраны из-за наличия большего числа экспериментальных данных, и, кроме того, при ударном сжатии этих металлов вплоть до плавления не отмечено наличие полиморфных превращений. Из сравнения результатов для меди, наиболее точной из рассмотренных теорий, оказалась теория свободного объема [8]. Из-за разброса экспериментальных данных для алюминия, ни одна из теорий не показала решающего преимущества. Все три теории описания коэффициента Грюнейзена показали результат в пределах погрешности. Отличие в предсказании величины объемной скорости звука, с помощью малопараметрического УРС [1], не превысило 5% в рассмотренном диапазоне параметров. Поэтому для вычисления продольной скорости звука воспользуемся предпосылками наиболее простой квантово-механической теории Ландау – Слэтера [6], согласно которой коэффициент Пуассона остается величиной постоянной при изменении давления. Тогда продольную скорость звука можно вычислить из соотношения

C B    / ¹⁺ ^

Cl   V3(1 — ^ *                               ()

Вычисленная продольная скорость звука алюминия и экспериментальные данные: чистый алюминий [9], алюминиевый сплав Al-2024 [11,13–17] и алюминиевый сплав LY12 [18,19] представлены на рис. 2. Согласно работе [20], в которой указывается, что с ростом давления происходит нивелирование различий в сопротивлении пластической деформации разных сплавов алюминия, не будем делать различая между технически чистым алюминием и сплавами алюминия и объединим их одним названием алюминий. Расчет продольной скорости звука показывает высокую точность, погрешность вычисления не превышает 5–7% в области давлений менее 125 ГПа. Проблемной для УРС является область давлений более P= 125 ГПа, которая соответствует плавлению алюминия в ударной волне. В жидкости отсутствует сопротивление по отношению к сдвигу, поэтому скорость распространения воз-

Рис. 3. Продольная скорость звука вдоль адиабаты меди; экспериментальные данные: о -[4], А -[5], О -[12], □ -[21], х -[22]

мущений становится равным объемной скорости звука, а не продольной, и это фиксирует эксперимент.

На рис. 3 представлен результат расчета продольной скоростиь звука для меди и экспериментальные данные из [4,5,21,22]. Расчет показывает завышенное значение скорости звука при больших давлениях, но даже в точке плавления P = 235 погрешность не превышает 15%.

Рис. 4. Зависимость объемной скорости звука вдоль ударной адиабаты урана; экспериментальные данные [23]

Результаты расчета объемной скорости звука урана по разным квантово-механическим моделям [6–8] представлены на рис. 4. Если для Al и Cu значения по различным квантовомеханическим моделям разнятся, то для урана все теории дают одинаковые значения. Так же на рисунок нанесена кривая (штриховая линия) из [23], описывающая экспериментальные данные до Р=160 ГПа с максимальной точностью Св (km/s) = 0, 318 х p(g/cm3) — 3, 666. Расчет объемной скорости звука по УРС находится в согласии с экспериментом до давлений порядка 160 ГПа, т.е. до области, где начинается плавление в ударной волне урана. При больших значениях расчет показывает завышенные значения скорости звука.

Рис. 5. Продольная скорость звука вдоль адиабаты урана; эксперимент: Л - C L [23], О - С в [23]

Коэффициент Пуассона

Для вычисления продольной скорости звука алюминия и меди в [24], успешно использовалась теория Ландау – Слэтера. Однако, согласно экспериментальным данным [26], коэффициент Пуассона монотонно увеличивается с увеличением давления от начального значения до значения несжимаемой жидкости - ^ = 0 , 5 , а это в работе не учитывалось. Поэтому для урана будем использовать квантово-механические теории такие, как [7, 8], в которых коэффициент Пуассона увеличивается при увеличении давления.

Обработка экспериментальных данных [23] по ударному нагружению урана показала, что наилучшее описание поведения коэффициента Пуассона достигается при использовании следующей аппроксимации

^ =^⁺ b У ¹ - ( ^P а- 7 ^,

где P _melt – давление, при котором происходит плавление вещества при ударном воздействии, µ 0 – начальное значение коэффициента Пуассона, a и b – параметры материала, которые вычисляются из условий непрерывности коэффициента Пуассона и его производной в точке плавления.

Расчет продольной скорости звука, с учетом изменения коэффициента Пуассона (5), приведен на рис. 5. Расчет соответствует экспериментальным данным, собранным в работе [23] (точность менее 5%, вплоть до начала плавления). При давлениях более 160 ГПа, расчет показывает завышеное значение относительно экспериментальных данных (на рисунок нанесены экспериментальные данные объемной скорости звука CB , значения которой больше, чем значения продольной скорости CL в этой области, а значит к этим данным необходимо относится критически). Штриховой линией на рисунок нанесен расчет аппроксимирующей экспериментальной кривой из [23], значение которой рассчитывались по формуле Cl (km/s) = 0.232 x p(g/cm3) — 1,41. Теория Ландау - Слэтера дает завышенное значение скорости (на рисунке линия ^ = const).

Модуль сдвига

Согласно теории упругости [25], в случае однородного изотропного тела модули упругости одинаковы по всем направлениям. Четыре упругие характеристики E – модуль Юнга, G – модуль сдвига, K S – изоэнтропический модуль объемного сжатия и µ – коэффициент Пуассона взаимосвязаны между собой. Ни одна из них непосредственно в ударно-волновых экспериментах не измеряется. Каждая из этих характеристик выражается через упругую продольную и объемную скорости звука [26]. Все упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости, остальные можно вычислить по формулам теории упругости. В работе [24] показано, что один из модулей упругости, а именно изоэнтропический модуль объемного сжатия, определяется с высокой степенью точности с помощью УРС. В качестве второй упругой характеристики рассмотрим модуль сдвига.

Экспериментально было показано, см., например, [4, 27], что модуль сдвига возрастает с увеличением давления и уменьшается с ростом температуры. В ударной волне одновременно увеличиваются как давление, так и температура, а, следовательно, не однозначно, как эти конкурирующие процессы влияют на модуль сдвига. На сегодняшний день известно множество моделей описания модуля сдвига от давления и температуры, наиболее известные из них MTS (mechanical threshold stress) [28, 29], модель Стейнберга – Кохрана – Гуинана (SCG) [30, 31], модель Nadal – LePoac [32], модель Бураковского – Престона (BP) [33, 34], ( V, T ) - модель [35] и др. Эти модели успешно опробованы на практике, показывая приемлемую точность при вычислении модуля сдвига. Однако эти модели обладают одним существенным недостатком – они требуют знание дополнительных специфических констант, большинство из которых определяются эмпирическим способом. Поэтому если значения этих специфических констант моделей для вещества не известны, то использование этих моделей ограничено. Так, например, для урана константы для представленных моделей не найдены.

Подобный подход полностью противоречит философии созданного малопараметрического УРС [1]. Опираясь на тот факт, что точность вычисления объемной и продольной скоростей звука достаточно высокая, вычислим модуль сдвига из разницы скоростей

с= 3 (CL — CB) G 4 V .

рас-для

На рис. 6 представлены результаты расчетов модуля сдвига алюминия, а также четы по моделям SCG, BP и экспериментальные точки [16, 18, 19, 36, 37]. Константы модели Стейнберга брались из [30], а для модели Бураковского из – [38]. Авторское решение отличается от моделей BP и SСG. Выполненный авторский расчет хоть и попадает в отведенный экспериментальный интервал, показывает тенденцию к завышению модуля сдвига при давлениях более 125 ГПа. Из рисунка видно, что все модели, в том числе и авторская, имеют один недостаток – не учитывают поведение модуля сдвига вблизи точки плавления. При такой постановке задачи (квантово-механический подход Ландау – Слэтера), плавление можно учесть только с помощью разрывной функции в точке плавления.

Рис. 6. Модуль сдвига на ударной адиабате алюминия; экспериментальные данные: х - [11], О — [16], О - [18,19], □ — [36], А — [37]

На рис. 7 представлен расчет модуля сдвига урана при условии, что коэффициент Пуассона – монотонно возрастающая функция вплоть до температуры плавления (5). Расчет коэффициента Пуассона вдоль ударной адиабаты урана (P _melt = 185 ГПа, a=196,23, b=0,36) представлен на этом же графике (штриховая линия, ось справа). Предложенное поведение коэффициента Пуассона учитывает, что при плавлении механизм распространения акустических возмущений меняется и материал в дальнейшем не сопротивляется изменению формы.

Рис. 7. Модуль сдвига и коэффициент Пуассона вдоль ударной адиабаты урана

Отсутствие прямых экспериментальных данных по модулю сдвига урана не позволяет определить истинность расчета. Однако, взяв на вооружение тот факт, что экспериментально достаточно сложно измерить модуль сдвига прямыми методами (используют косвенные методы, т.е. измеряют продольные и объемные скорости звука), можно утверждать, что определяющим показателем точности расчета модуля сдвига является точность расчета обоих скоростей звука одновременно. А как показано выше, точность вычисления скоростей звука по малопараметрическому УРС достаточно высокая.

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (ПИП № 64) и РФФИ (№ 1308-01218).