Определение порогового решения «улучшенного» энергетического детектора в релеевском канале зондирования спектра

Улучшенный или усовершенствованный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном энергетическом детекторе (ЭД) на про- извольную положительную степень p.

В классической постановке задача зондирования спектра формулируется как задача обнаружения сигнала первичного пользователя (ПП) по сигналам, наблюдаемым вторичными пользователями (ВП), что, в свою очередь, представляет для каждого i -го ВП задачу статистической теории проверки бинарных гипотез [1; 2]:

I W i ( t ) при н H о y i ⁽ t) = 1                         . . „ ’ '

I S i ( t ) + W i ( t ) при H H i

где y i ( t) - сигнал, принимаемый i -м ВП на интервале зондирования T ; w.^ ( t) - сигнал помехи типа белый гауссов шум (БГШ) с параметрами (0, ^ П ); S i (t) - сигнал ПП, принимаемый i -м ВП; H о - состояние радиоканала в отсутствие сигнала s(t ); H ₁ – состояние радиоканала при наличии сигнала s(t ); SNR = ^ 2 / ^ П - среднее значение отношения мощностей сигнал/шум.

• 1.    Описание усовершенствованного детектора энергии

В этой статье сети когнитивной радиосвязи принимают решение о присутствии или отсутствии первичного пользователя, используя усовершенствованный детектор энергии, структурная схема которого показана на рис. 1.

Решение выносится сравнением Y(T) - выходного сигнала усовершенствованного детектора энергии (УЭД) – с пороговым значением схемы решения X. Улучшенный или усовершенствован-

Рис. 1. Структурная схема усовершенствованного детектора энергии

Fig. 1. Block diagram of the improved energy detector

ный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном ЭД на произвольную положительную степень p .

Цель перехода к усовершенствованному детектору энергии – сблизить характеристики некогерентного ЭД с характеристиками когерентного детектора, не требуя при этом каких-либо дополнительных априорных сведений ни о природе источника сигнала, ни о радиоканале [3].

В этом усовершенствованном детекторе энергии вместо возведения полученной выборки y i ( t ) в квадрат используется произвольная операция с положительной степенью р > 1 модуля этой выборки. По сравнению с обычным детектором положительное влияние нового детектора энергии на характеристики обнаружения может быть вызвано тем фактом, что операция возведения в квадрат в ЭД может привести к занижению составляющей сигнала в выборке при большом SNR и к завышению составляющей сигнала в выборке при малом SNR .

2. Методика расчета оптимизированного значения нормализованного порога

В работе [1] рассмотрено применение УЭД для обнаружения сигнала, удовлетворяющего условиям (1): по обоим вариантам истинности гипотез H ₀ и H ₁ принимаемый сигнал является гауссовским, и для каждого вторичного отличается только дисперсией: по гипотезе H ₀, дисперсия равна с n , а по гипотезе Н^ , дисперсия равняется с s +с n . После некоторых алгебраических преобразований в [1] получены выражения для Y – плотности

случайной величины на выходе УЭД ( Y = | y i |^Р), по гипотезам Н о и Н 1 , проинтегрировав которые получают согласно [3, (13) и (14)], что соответству-

ет в (2) Р _лт - вероятности «ложной тревоги» и в (3)

Р _пц - вероятности «пропуска цели»:

Г1 X ² ' р ^

Р лт

^Р пц

+»

f ^f Y\H о ⁽ У*У =

X

X f fY|H1(У )dy = 0

[ 1     X ² ' р     ]

WhcW

где Г ( .,. ) - неполная верхняя гамма-функция [4,

с. 60-62]; у ( .,. ) - неполная нижняя гамма-функция

[3, с. 60–62].

В литературе по специальным функциям, и частности в [4, с. 70], показана связь неполной гамма-функции с функцией ошибок, именуемой также erf ( x ):

2        ² j 1 Г1 2 1

erf ( x ) = —^ e t dt = —=y , x ² .                   (4)

Vп 0         4n2 2 J

В соотношении (4) и далее учтено, что Г(1'2) = = д/п.

Если ввести в рассмотрение дополнительную функцию ошибок

erfc ( x ) = 1 - erf ( x ) =

от

4 f

4 п x

e - t 2 dt ,

а также учесть, что, согласно [3]:

erf ( x ) = 1

и

Рис. 2. График зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения от SNR

Fig. 2. Graph of the dependence of the total probability of detection error on SNR

1 I 1 2 I 1 J 1 2 1 .

—j= yl   , x² l + -=rl , x² 1 = 1,

После подстановки (9а) в (13) имеем:

в конечном итоге получаем для вероятностей (2) и

(3) расчетные формулы:

р _лт( x ) = 1 - erf ( x ),                                          (8)

= SNR+1 in SNR+R

² SNR

2° n

Р _пц = erf [ x ],                                     (9)

⁴      ^ m J

где

X^{11 p} 1 x = Г ’

V 2 ° n

m =

° s- +1 = SNRr+a . ° n

(9а)

Результирующая величина ошибочного обнаружения сигнала PU равна:

P e = P (H 0 ) Р _лт( x ) + P (H 1 ) р _пц( x ).                      (10)

Поскольку вероятности событий P ( H о ) + P (H) = = 1 и эти вероятности не имеют обоснованных предпосылок задания их численных значений, зададим P ( H 0 ) = P (H 1 ) = 0,5.

Тогда (10) может быть записана как

По своей природе системы когнитивного радио с динамическим доступом к ресурсам радиочастотного спектра предполагают неравную стоимость или значимость ошибок обнаружения: цена ошибки 2-го рода, т. е. необнаружение первичного пользователя, должна быть выше, чем ошибка ложной тревоги. В этом случае в оптимизируемое выражение, которое интерпретируется как значение среднего риска обнаружения [5; 8], вводятся весовые коэффициенты ошибок: C ₁ и C ₂ для ошибок первого и второго рода соответственно, учитывающие наряду с вероятностями P ( H ₀) и P ( H ₁) показатели цены ошибок (рис.2). Тогда, повторив описанную выше процедуру определения величины порога по критерию минимума среднего риска R ( x ): R( x ) = C 1 P _nT( x ) + C 2 P _n4( x ), (15) получаем решение для (15) в следующем виде:

P_e ( x ) = 0,5

1 - erf ( x ) - erf l —j=

. I          I fm JJ

x ²

m m -1

11        1 ^C 1

—in m + in—

2          C 2 J

Для поиска оптимального значения переменной х приравняем к нулю значение первой производной (11):

Поскольку в большинстве практически важных случаев C. > C2, то значение порога имеет смысл только при условии dPe (x) dx

= 0,5

~r e J n

- x

+Tem T n    mm

J

= 0.

1 C

—in m + in ¹ > 0.

2         C ₂

Решая уравнение (12) относительно переменной x ² , после логарифмирования получаем:

m x2 =----- m -1

Заключение

Выражение (14) оптимизированного значения нормализованного порога демонстрирует результаты, идентичные значениям порога решения

p

4pt ' n2 (m )|n(m)/SNR У2, opt n полученного в [6], как частный случай разнесенного приема с селективным комбинированием в релеевском канале. Положив в (14) р = 2 (случай классического энергетического детектора), имеем хорошее совпадение с результатом в [7]. Графики зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения (11) для оптимизированного значения порога (14) в зависимости от SNR приведены на рис. 2.