Определение профиля червячной фрезы для изготовления зубчатых колес эллиптического профиля

Введение. Для нахождения профиля червячной фрезы используем классический метод, заключающийся в том, что определяются [1, 2]:

• а)    уравнение поверхности основного червяка (правая и левая стороны);

• б)    уравнение винтовой стружечной канавки, формирующей переднюю поверхность инструмента;

• в)    уравнения режущих кромок как линий пересечения поверхностей по подп. «а» и «б».

Уравнения профиля эллиптического зуба, найденные ранее [2] имеют вид:

Левая сторона

Выпуклый профиль (участок A — B — C , рис. 1)

'x = r x sin £ x ,

“ У = rx cos £x,

• , z = 0,

R _a + b cos p cos ф _x Jy ( sin² ф _x + cos² ф _x cos² p )

где rx =-------------------- cos £x sin фт

• tg£x = —-   2     .2/2;

R _a / b у cos² ф _x + sin² ф _x /cos² p + cos ф _x

0 °<ф x <ф n ;   ⁰ °< ^£ x <^a/ 4.

Вогнутый профиль (участок C — D , рис. 1),

_ . a x = 2Rn sinr sin £ , 0     4 x x

< y = r_x cos £_x ,                                              (2)

xx z = 0,

Ra - b cos p cos фx Jy (sin2 фx + cos2 фx cos2 где rx =----------------------------------------- cos £x sin фт tg£x=—i   2     .2   /   2-------;

R a /b у cos2 ф x + sin2 ф x /cos2 p - cos ф x фn <фx < 180°;   a/4 <£x < 0°.

Рис. 1. Профиль эллиптического зуба колеса [1]

Уравнения правой стороны зуба колеса отличаются от зависимостей (1) и (2) только абсциссами по модулю и знаку, что учтено в уравнениях для правой стороны червяка [см. формулы (11) и (12)].

Уравнения винтовой поверхности червяка. Полученные уравнения боковых сторон эллиптического зуба примем за исходный контур инструментальной рейки и найдем связь между координатами X , Y , Z для зуба колеса и координатами X 1 , Y 1 , Z 1 — координатами боковых сторон оси червяка, поворачивая систему координат на угол подъема винтовой линии на делительном цилиндре.

Пусть τ _g — угол подъема витка на делительном цилиндре. Тогда система координат Х , Y , Z вокруг оси OY будет повернута на угол τ _g и займет положение X 1 , Y 1 , Z 1 ; ось OX 1 совпадает с осью основного червяка.

Уравнение профиля зуба колеса в нормальном сечении (эллипс) принимаем за исходный контур производящей рейки.

Формулы перехода имеют вид [3]:

• х, = x cos т„ ± z sin t„ , 1 gg

Ь" ' '                                          (3)

Z j = + x Sin T g + z cos T g .

Примечание . Верхний знак в уравнении (3) — для правозаходного червяка, а нижний — для левозаходного.

Так как для профиля эллиптического зуба значение z = 0 (см. рис. 1), то выражение (1) будет иметь вид:

X j = X COST g ,

< yj = y,       для правозаходного червяка z1 = - x sinTg,

X _j = X COS T g ,

< y_j = y ,      для левозаходного червяка

• z 1 = x sin t g .

Зависимость координат точек боковой стороны профиля червяка в системе X 1 , Y 1 , Z 1 с учетом уравнений (1) будет иметь вид:

• — для правозаходного червяка уравнение левой стороны профиля

  	X 1 y 1	= r sin8r cosT,, xx  g = rx cos 6 x ,		(участок А — В — С )	(4)
  	_ z j	= - r sin £T sinT,, xxg
  	X j	f-n a         л = 2 R sin-- r sin 6T i -0       4 x       x , ^	cos T g ,
  	y 1	= r cos6T , x        x 1		(участок C — D )	(5)
  	z j	a         ^ = 2 R sin-- r sin6T i      -0       4 x       x , ^	sin T g ;
  — для правой сторон	ы профиля ' x j = - r x sin 6 x COs T g , y j = r x COs 6 x , z = r sin sT sin t„ , 1 x      x       g			(участок А 1 — В 1 — С 1 )	(6)
  	X j	f       ■ a = - 2 R sin-- r sin 6T 0      4 x      x 1	^ cos T g ,
  	y 1	= r cos6T , x        x 1		(участок C 1 — D 1 )	(7)
  	_ z j	f       ■ a = - 2 R sin-- r sin6T 0      4 x      x 1	^ sin t g .

Для левозаходного червяка уравнения (2) и (3) отличаются тем, что при z ₁ знаки надо поменять на противоположные (t g имеет знак «минус», а при sin (-t _g ) = - sin т _g ).

Для получения уравнения линии профиля основного червяка кривым (2) и (3) надо сообщить винтовое движение перемещением вдоль оси червяка OX 1 и поворот на угол θ (рис. 2). Зависимости (2)—(5) представим в системе координат X 2 , Y 2 , Z 2 :

• ' X 2 = X j ± X ‘ = X j ±р9 ,

“ У 2 = У cos 9 + z 1 sin 9 ,                                      (8)

• z 2 = - y _j sin 9 + z _j cos 9 .

Примечание. Знак «плюс» в формуле x 2 = X 1 ± x' — для правозаходных, а знак «минус» — для левозаходных червяков.

Рис. 2. Образование винтовой поверхности основного червяка

Для правозаходного червяка уравнение профиля боковой поверхности будет иметь следующий вид:

Левая сторона

x^ = r sin e_T cos t + p0 , 2 x x g

< y9 = r cos eT cos 0- r sin eT sin t„ sin 0, 2x x           x x g z? = -r coseT sin0- r sineT sint„ cos 0, 2x x   xxg

участок ( А — В — С )    (9)

I a              1

X₉ = 2 R sin-- r sin £    cos T„ + P 0 ,

2        0      4 x      x ₁         g

I a .        1

y^ = r cos eT cos 0+ 2 R sin--r sin £   sin t„ sin 0, v 2 X         Xi              I О 4 X         X1 I g 7

участок ( С — D )       (10)

I a               1

z, =- r cos £_T sin 0+ 2 R sin-- r sin £    sin T„ cos 0 .

2 x        x ₁                   0               ^{x        X} 1 I g

Правая сторона

^X 2 =^- r x ^{sin £} X ^{cos T} g +P^{0 ,}

< y9 = r cos £T cos 0 + r sin £. sin T, sin 0, 2x x           x x g z7 = -r cos£T sin0 + r sin £T sinT„ cos0, 2x x   xxg

участок ( А 1 — В 1 — С 1 ) (11)

I                a .1

x-, = - 2 R sin-- r .sin 8 cos т„+р9 ,

2 i                 4 x        x i i g

I                  a .1

участок ( C 1 — D 1 )      (12)

y, = rcos8T cos9+ -2R sin--rsin8 sint„sin9, v 2 X Xi             I О 4 x        x1

I            a)

z , =- r_v cos 8_T sin 9+ - 2 R sin-- r . Sin 8    sin t„ cos 9 .

2 x       x1                  0     4 x      x1

Определение уравнения режущих кромок. Режущие кромки червячной фрезы образуются при пересечении поверхностей основного червяка [см. формулы (9)—(12)] и стружечной канавки (рис. 3).

Рис. 3. К определению уравнения режущих кромок

Уравнение стружечной канавки в полярных координатах имеет вид:

X k = + P k 9 k ,                                     (13)

S где pk = — — винтовой параметр; 9k — полярный угол.

2п

По условию x₂ = x k , тогда получим + p _k 9 = x 1 ±p9 , а следовательно:

9 = ±        .                                    (14)

Pk +P

Подставим в уравнения (9)—(12) значения p _k и 9 . Получим следующие зависимости.

Левая сторона

^

P       •       „ _ Хх р =------ r sin 8 cos Т „ , ð.ë               x      x       g P + P k уА „ = r cos 8V cos 9 - r sin 8V sin t, sin 9 , ð.ë x    x       x x g           участок ( А — В — С )                   (15) zi\ ё = - r - cos 8V sin 9- r . sin 8V sin т„ cos 9 , ð.ë       x       x           x      x      g r sin 8V cos Т„ 9 = _x-----x-----g , P+P k

P Iа              1

x 6.ё =-------I ² R O sin- ^- r x sin ^E x I cos ^T g ,

P + PA       4        1 )

(„„ a           I y,. = r cosE cos0 + 2R sinr sinE   sinT sin0,

ð.ë x       x ₁                0      4 x      x 1 )       g

-O-                      1

z, p =- r cos Er sin 0+ 2 R sin-- r - sin Er sin T cos 0 , ð.ë x       x ₁                 0       4 x       x ₁          g

участок ( С — D )       (16)

I             a                  I

I ² R O sin- ^- r x sin ^E x I^{cos T} g

0 " ---------⁴------------⁾-------

P+P k

.

Правая сторона

x 6.1 =

—

P

P+P k

r sin E_T cos T_, xx g

yA, = r cos ET cos 0 + r sin ET sin T „ sin 0, ð.ï x x           x x g z^ 1 = — r cos ET sin 0 + r sin ET sin t„ cos 0, ð.ï x x           x x g

участок ( А 1 — В 1 — С 1 )

r sin E_T cos T_ 0 = _— x x g

P + P k

P I            a              1

x6л =------1 —2RO sin T — rx sin Ex I cos Tg , p+pA       4       1)

y ð.ï

I              a                1

= r cosE cos0+ —2Rsin--r sinE   sinT„sin0, x        x1                     0      4 x        x1 I g

^z 6.1

I              a                1

—r. cosET sin0 + —2R sin--r. sinET sinT„ cos0, x x1                      0               x x1 I g

участок ( C 1 — D 1 )

I              a                1

I ^— 2 R o sin- ^— r x sin ^E x 1 I cos ^T g

0 = 4--------4---------1-----

.

P+P k

Зависимости (15)—(18) определяют уравнения режущих кромок (правой и левой сторон витка) для правозаходного червяка.

Пример расчета уравнений режущих кромок и профиля инструментальной рейки.

Исходные данные:

— шестерни :

наружный диаметр — De = 76 мм; количество зубьев — z = 8; высота профиля — b = 6,2 мм (см. рис. 1); радиус делительной окружности — Rg = 31,8 мм; угол наклона зубьев — р = 18°; угловой пД.

шаг по линии зацепления a = 42,8 ° ; a/ 4 = 10,7 ° (см. рис. 1); осевой шаг — S = —- = 24,9757 мм;

z шаг в нормальном сечении s^ = s cos в = 23,7533 мм (см. рис. 3).

• — фрезы :

шаг в нормальном сечении фрезы равен шагу в нормальном сечении изделия s _{^ б} = s _f = 23,7533 мм;

диаметр фрезы —Df = 100 мм; угол подъема винтовой линии червяка равен углу линии стружечной канавки фрезы — т^ = ю; tgт^ = 0,07561; т^ = 4,3238; шаг стружечной канавки фрезы — sk = пDt ctgT = 4155,0456

Участок А—В—С

Задавая угол ф x от 0 до 101,8°

мм.

режущих кромок. Для угла ф x = 10 °

tg e x =-----

R ä ^b

sin ф x г      sin2 Фг cos фт +---+ cos фх xx cos в

( ф ^ ) с интервалом Аф = 10°, находим координаты точек определим угол е _x по формуле:

sin 10°

, tg e _x =----- ^s 0 ₌-------- = о, 028366,

31,8             sin210° cos210° + —5--+ cos10°

6,2             cos²18 °

е _x = 1,6247 ° = 1 ° 37'29".

Вычислим радиус-вектор по формуле (1):

R _a + b cos p cos ф _x

rx

rx

^У ( sin² ф _x + cos² ф _x cos² p )

cos ^G x

31,8 + 6,2 cos18 ° cos 10\/1/ ( sin²10 ° + cos²10 ° cos²18 ° ) -------------------^---------------------- = 37,9114 i i .

cos1 ° 37'29"

Угол поворота находим по формуле (15):

r sinе cosт 37 9114sinl 62°cos4 3238°

9 =  ---- ^x----g- , 9 = ^^^sin¹,^{62 cos4,323}8 = 0,0895 ° = 0 ° 5‘22".

p + p _k             661,296 + 24,9757

Определяем координаты профиля фрезы по формуле (15):

x» _g =—^P— r sins_x cos t„ , x» _ё =-----^-----37,9114sin 1,62 ° cos4,3238 ° = 1,03284 i i ,

⁶ ' ^ё p + p _k^{x x} g ^&ё 661,296 + 24,9757

Координаты других точек профиля для участка А—В—С определяются аналогично по формуле (15), а профиля С—D — по формуле (16). Для участка профиля А 1 —В 1 —С 1 используются зависимости (17), а для участка профиля C 1 —D 1 зависимости (18).

Координаты точек профиля изделия и профиля фрезы сведены в табл. 1—4.

Таблица 1

Координаты точек выпуклого профиля A—B—C (левая сторона)

Изделие					Фреза
ф	е б , град	е б	Х	Y	9	0	x ð.ë	y
0	0	0°0'0'	3	38	0	0°0'0''	0	3
1	1,	1°37'	3	37	0	0°5'22''	1,	3
2	3,	3°13'	3	37	0	0°11'31''	2,	3
3	4,	4°43'	3	37	0	0°15'17''	2,	3
4	6,	6°7'3	3	36	0	0°19'29''	3,	3
5	7,	7°22'	3	35	0	0°23'1''	4,	3
6	8,	8°27'	3	34	0	0°26'48''	4,	3
7	9,	9°21'	3	33	0	0°28'49''	5,	3
8	1	10°3'	3	32	0	0°29'1''	5,	3
9	1	10°3	3	31	0	0°29'26''	5,	3

1 1           1 I 10°4 |          3 |          30 ||          0 |           0°29'52" |           5, |          3 |

Таблица 2

Координаты точек вогнутого профиля C—D (левая сторона)

Изделие					Фреза
ϕ	ε õ , град	ε õ	Х	Y	θ	θ	x d.e	У d.e
7 8,2°	10, 7	10 °42'20''	31, 134	30, 5918	0,4 815	0° 29'53''	5,5 5715	30, 587
7 0°	10, 6	10 °36'3''	30, 289	29, 7719	0,4 991	0° 30'57''	5,7 6023	29, 767
6 0°	10, 2	10 °10'8''	29, 276	28, 8159	0,5 327	0° 32'58''	6,1 4796	28, 811
5 0°	9,3 7	9° 22'9''	28, 31	27, 9327	0,5 793	0° 35'45''	6,6 8583	27, 928
4 0°	8,1 8	8° 11'35''	27, 43	27, 1508	0,6 382	0° 38'17''	7,3 6588	27, 146
3 0°	6,5 9	6° 35'12''	26, 676	26, 5001	0,7 082	0° 42'29''	8,1 7418	26, 495
2 0°	4,6 3	4° 38'57''	26, 095	26, 0096	0,7 875	0° 47'15''	9,0 8924	26, 005
1 0°	2,3 9	2° 24'41''	25, 726	25, 7039	0,8 734	0° 52'24''	10, 0815	25, 7
0 °	0	0° 0'0''	25, 6	25, 6	0,9 629	0° 58'46''	11, 1143	25, 596

Таблица 3

Координаты точек выпуклого профиля A 1 —B 1 —C 1 (правая сторона)

Изделие					Фреза
ϕ	ε õ , град	ε õ	Х	Y	θ	θ	x d.e	У d.e
0 °	0	0° 0'0''	– 38,000	38 ,0000	0	0° 0'0''	0	38
1 0°	1,6 2	1° 37'29''	– 37,911	37 ,8961	0,0 895	0° 5'22''	– 1,03284	37 ,896
2 0°	3,2 1	3° 13'32''	– 37,649	37 ,5904	0,1 754	0° 11'31''	– 2,02509	37 ,59
3 0°	4,7 1	4° 43'54''	– 37,226	37 ,0999	0,2 547	0° 15'17''	– 2,94016	37 ,098
4 0°	6,1 1	6° 7'33''	– 36,657	36 ,4492	0,3 246	0° 19'29''	– 3,7485	36 ,447
5 0°	7,3 6	7° 22'46''	– 35,964	35 ,6673	0,3 835	0° 23'1''	– 4,42856	35 ,664
6 0°	8,4 5	8° 27'7''	– 35,166	34 ,7841	0,4 3	0° 26'48''	– 4,96648	34 ,78
7 0°	9,3 5	9° 21'13''	– 34,284	33 ,8281	0,4 636	0° 28'49''	– 5,35422	33 ,824
8 0°	10	10 °3'47''	– 33,337	32 ,8254	0,4 837	0° 29'1''	– 5,58795	32 ,821
9 0°	10, 5	10 °30'17''	– 32,342	31 ,8	0,4 904	0° 29'26''	– 5,66598	31 ,795
1 01,8°	10, 7	10 °42'20''	– 31,134	30 ,5918	0,4 81	0° 29'52''	– 5,55735	30 ,587

Таблица 4

Координаты точек вогнутого профиля C 1 —D 1 (правая сторона)

Изделие					Фреза
ϕ	ε õ , град	ε õ	Х	Y	θ	θ	x 6.6	У б.ё
7 8,2°	10, 7	10 °42'20''	– 31,134	30 ,5918	0,4 815	0° 29'53''	5,5 5715	– 30,587
7 0°	10, 6	10 °36'3''	– 30,289	29 ,7719	0,4 991	0° 30'57''	5,7 6023	– 29,767
6 0°	10, 2	10 °10'8''	– 29,276	28 ,8159	0,5 327	0° 32'58''	6,1 4796	– 28,811
5 0°	9,3 7	9° 22'9''	– 28,31	27 ,9327	0,5 793	0° 35'45''	6,6 8583	– 27,928
4 0°	8,1 8	8° 11'35''	– 27,43	27 ,1508	0,6 382	0° 38'17''	7,3 6588	– 27,146
3 0°	6,5 9	6° 35'12''	– 26,676	26 ,5001	0,7 082	0° 42'29''	8,1 7418	– 26,495
2 0°	4,6 3	4° 38'57''	– 26,095	26 ,0096	0,7 875	0° 47'15''	9,0 8924	– 26,005
1 0°	2,3 9	2° 24'41''	– 25,726	25 ,7039	0,8 734	0° 52'24''	10, 0815	– 25,7
0 °	0	0° 0'0''	– 25,6	25 ,6	0,9 629	0° 58'46''	11, 1143	– 25,596

Полученные расчетные данные профилей боковых режущих кромок червячной фрезы (см. табл. 1—4) используем для построения профиля фрезы (рис. 4).

С использованием полученных уравнений боковых сторон профиля фрезы для нарезания эллиптических зубчатых колес разработан алгоритм расчета профиля инструмента реечного типа, который для практических расчетов следует использовать совместно с блок-схемой расчета профиля эллиптического зуба колеса, полученного ранее [2].

Рис. 4. Профиль инструментальной рейки

Выводы. 1. Разработана методика нахождения аналитических зависимостей для определения профиля режущих кромок червячной фрезы.

• 2.    Разработана блок-схема программы расчета профиля координат точек боковой поверхности червячной фрезы для изготовления эллиптических зубчатых колес (рис. 5).

  
  
  

^G xA r x ⁽ A ^— B ^— C ^{) —} oaae.1 x i ; y, ( A — B — C ) — oaae. 1 Ф _x ( A — B — C )— oaae. 1

Рис. 5. Блок-схема программы расчета профиля координат точек боковой поверхности червячной фрезы для изготовления эллиптических зубчатых колес (см. также с. 740, 741)

Ф xi < Ф C xð.ëi

P

P + P k

r sin s_T cos T„ x i x i          g

y = r cose_T cos 0- r sine_T sin t„ sin 0 ð.ë i x_i x_i              x_i x_i g

z ð.ë i

= - r cos e_T sin 0- r sin e_T sin t„ cos 0 x x  xxg

r sin £_T cos T„

0 _ Xi ______xi_______ g

P + P k

Ф Xi <

^{ф    Ф} X - .

+10°

Рис. 5. Продолжение (начало см. на с. 739)

Рис. 5. Окончание (начало см. на с. 739)

cos 6 + ( 2 R ₀ sin a /4 -

sin 6 + ( 2 R ₀ sin a /4

s x ; r x ( A — B — C ) gai anoe a oaae. 1

x , ; y i ( A — B — C ) — a oaae. 1

Ф x ( A — B — C ) — a oaae. 1

Ф x „; x x „; y„, ; ^s x ; r x -№» C ^— D ^{( C} i ^— D 0 ^{)] — a} oaae. ²

Ф x ; x , ; y , ; ^s x , ; r x ^—№ I ^{a (} A ^— B 1 ^{— C} 1 ^{)] — a} oaae. ²

ф x „; x x „; y„, ; ^s x , ; r x ^—[ qi 1 ^{a (} C i ^— D i ⁾⁽ C ^— D o ^{)] — a} «as. ²