Определение сглаживающей способности вибрационного смесителя на основе корреляционного анализа

Одним из важных факторов, определяющих здоровье человека, является питание со сбалансированным рационом. В настоящее время всё большую популярность получают пищевые полуфабрикаты из сыпучих материалов (СМ), которые часто представляют собой фасованные многокомпонентные смеси из порошкообразных или мелкозернистых компонентов [1]. С увеличением спроса на данные смеси повышается объем их производства. Известно, что порошкообразные материалы целесообразно смешивать в смесителях непрерывного действия (СНД) вибрационного типа [2-5]. Это позволяет упростить автоматизацию процесса, уменьшить загрязнения пылевыми выбросами окружающей среды и производственных помещений, улучшить условия труда и культуру производства, при этом увеличить производительность труда и одновременно снизить энергопотребление, металлоёмкость и себестоимость готовой смеси.

В тех случаях когда необходимо получать высококачественные сыпучие композиции при соотношении компонентов до 1:50, целесообразно использовать винтовые вертикальные вибрационные СНД [2–6]. Они обладают хорошей способностью сглаживать флуктуации расходов входящих материальных потоков. При математическом описании процесса смешивания благодаря найденным вероятностным характеристикам входящего и выходящего сигналов можно судить о «качестве» работы смесителя, что представляет большой практический интерес для пищевой и других отраслей народного хозяйства [7–9].

Цель работы – определить сглаживающую способность вибрационного смесителя на основе корреляционного анализа.

Задача – математически описать процесс смешивания в вибрационном смесителе с применением корреляционного анализа.

Материалы и методы

Для установившихся режимов работы СНД движение материала внутри аппарата принято считать случайными стационарными процессами, между которыми существует причинноследственная связь. Основными показателями для ее оценки являются коэффициент корреляции, математическое ожидание и дисперсия. Связь между входящим и выходящим из аппарата сигналами устанавливают с помощью уравнений материального баланса [10-11], описывая расходы потоков сыпучего материала случайными стационарными функциями X(t). Далее, находя вероятностные характеристики входящего и выходящего сигналов, можно судить о «качестве» работы смесителя или подбирать требуемую топологию потоков внутри аппаратной среды путем сравнения отношений их дисперсий или среднеквадратичных отклонений:

ст ²               ст

S =   xo- или 5 = xo ,

^СТ хв                ^СТ хв

где s – сглаживающая способность смесителя; СТ_Хо и СТ2₆ - дисперсии входного и выходного сигналов; ст и ст,, - среднеквадратичные отклонения сигналов.

Математическая модель, созданная на основе корреляционного анализа, позволяет определить зависимость между дисперсиями входного и выходного сигналов. С ее помощью возможно прогнозировать однородность материального потока на выходе аппарата при известных значениях времени нахождения в нем материала, коэффициентах рециркуляции и дисперсии входного сигнала [12].

Рассмотрим схему движения материальных потоков в разработанном смесителе, реализующем метод «последовательного разбавления» [13], где за ячейку примем один виток спирального рабочего органа. Схема движения материальных потоков представлена на рисунке 1.

(b)

(a)

Рисунок 1. Схема движения материальных потоков в винтовом СНД с использованием метода «последовательного разбавления»: a – дополнительный рабочий орган; б – основной рабочий орган

Figure 1. Traffic pattern of material flow in a continuous screw mixer using the method of "sequential dilution": a – additional working body; б – the main working body

Вибрационный СНД [13] работает следующим образом: ингредиенты ( X ) поступают через загрузочный бункер на дополнительный рабочий орган. После чего они поступают на основной рабочий орган через сквозное отверстие в стенке бункера. Помимо смешивающего эффекта, СМ поднимается по лотку вверх, так как угол подъёма колебаний больше угла подъёма винтовой линии лотка. Часть материала просевается через перфорацию, образуя межвитковую рециркуляцию. Вторую долю ингредиента (Хо,) подают через патрубок на винтовой перфорированный лоток, который в этом месте расширяется пропорционально количеству поступающего материала. Оставшуюся долю (Хо2) подают на несколько лотков выше. Таким образом осуществляется "последовательное разбавление" смеси на основном рабочем органе. Расширение лотка необходимо для того, чтобы избежать резкого увеличения высоты кипящего слоя, что может привести к уменьшению скорости транспортирования сыпучего материала и интенсивности его виброкипения [6]. В итоге готовый продукт выводится из аппарата через патрубок.

Материальный баланс для материала, движущегося по дополнительному рабочему органу (рисунок 1, а), был ранее рассмотрен в ряде работ исследователей [6], в результате которых был сделан вывод, что в прямоточном смесителе сглаживающая способность, вне зависимости от количества витков m , стремится к 1, т. е. S^ 1.

Далее рассмотрим новую схему движения материала (рисунок 1,б), предусматривающую метод «последовательного разбавления» по основному рабочему органу, состоящему из 6 витков.

Примем, что подача части материала осуществляется на 2-й ( Х _оJ и 3-й ( Х _о2) витки. Кроме того, должно осуществляться требование Х _о = Х _оj + Х _о2, примем в равных количествах

При помощи системы уравнений материального баланса, отображающего процесс движения материала в СНД, рассмотрим влияние рециркуляции на сглаживающие свойства вибрационного аппарата [14-15]:

X 1 = ¹ X 0 + « 2 X 1

X 2 = X 1 + « 3 X 2 + « 1- X 0 - « 2 X 1

J X, = х2 + - х„ + а X, - а X, - а- х„

3         2           0       4   3       3    2       10

X ₄ = X₃ + « 5 X ₄ — « 4 X₃

X 5 = X 4 + « 6 X 5 - « 5 X 4

X 6 = X 5 - « 6 X 5

X в = X 5 - « 6 X 5

где Хо (t) = Хо - массовый расход материала, питающего смеситель; Хв (t) = Хв - массовый расход мате риала на выходе из смесителя; X(t) = X — массовый расход материала, сходящего с i-го витка основного рабочего органа; j = 1,2,...,m , i = 1,2,...,n-порядко-вый номер витка дополнительного и основного рабочего органа; m, n - количество витков дополнительного и основного рабочего органа; « - коэффициент «внутренней» рециркуляции, характеризующий часть массового расхода материала поступающего с i-го витка основного рабочего органа на нижележащий, О < «и < 1; t - текущее время.

Система, определяющая корреляционные функции витков основного рабочего органа, примет вид:

Kx, = — Kx ₀ + «₂ Kx

Кх_г = Kx, + « ₃ ² Kx ₂ + « ² “ Kx o - « 2² Kx\

1 2           2            2 1

, Kx = Kx ₂ + — Kx + «₄Kx ₃ - «₃ Kx ₂ - « kKx₆

Kx, = Kx ₃ + « ₅ ² Kx ₄ - «₄ Kx Kx₅ = Kx ₄ + « ₆ ² Kx ₅ - « ₅ ² Kx₄ Kx₆ = Kx ₅ - «₄ ² Kx₅ Kx„ = Kx, - « ,² Kx, В   5  65

где  Kx, (т) = Kx, - корреляционные функции материальных потоков; т - интервал корреляции; а2 = Kx (0), а26 = Кхв (0) - дисперсии входящего и выходящего потоков.

Решая систему уравнений (2) методом подстановки и выражая Kx о , получим:

Kx_B = Кх₀

( 1 - « 6 )( 1 - « 5 )( 1 - « 4 )( 1 - « 3 )( 1 - « 2 ) ⁺ « 1² ( 1 - « 6 )( 1 - « 5 )( 1 - « 4 )( 1 - « 3 )( 1 ⁺ « 2 ) ⁺ ( 1 - « 6 )( 1 - « 5 )( 1 - « 4 )( 1 - « 1 ) 2 ( 1 ⁺ « 3 )

( 1 ⁺ « 2 )

2 ( 1 + « ₆ )( 1 + « ₅ )( 1 + « ₄ )( 1 + « ₃ )( 1 + « 2 )

Преобразуя выражение (3), получим:

■² = а ² xв      xo

( 1 ^- « 6 )( 1 ^- « 5 )( 1 ^- « 4 )( 1 ^- « 3 )( 1 ^- « 2 ) ⁺ « 2 ( 1 - « ₆ ) ( 1 - « ₅ ) ( 1 - « ₄ ) ( 1 - « ₃ ) ( 1 + « ₂ )

+ ( 1 - « 6 )( 1 - « 5 )( 1 - « 4 )( 1 - « 1 ) 2 ( 1 + « 3 )

(1 + «2 )

2 ( 1 + « ₆ )( 1 + « ₅ )( 1 + « ₄ )( 1 + « ₃ )( 1 + « ₂)

Значение степени сглаживания основного рабочего органа согласно формуле (1) описывается уравнением:

2 ( 1 + « ₆) ( 1 + « ₅) ( 1 + « ₄) ( 1 + « ₃) ( 1 + « ₂)

( 1 ^- « 6 )( 1 ^- « 5 )( 1 ^- « 4 )( 1 ^- « 3 )( 1 ^- « 2 ) ⁺

« 2 ( 1 - « ₆ ) ( 1 - « ₅ ) ( 1 - « ₄ ) ( 1 - « ₃ ) ( 1 + « ₂ ) +

_ ( 1 ^- « 6 )( 1 ^- « 5 )( 1 ^- « 4 )( 1 ^- « 1 ) 2 ( 1 ⁺ « 3 )( 1 ⁺ « 2 ) _

Примем коэффициенты рециркуляции равными между собой, т. е. а = ... = а = а . В результате значение сглаживающей способности S основного рабочего органа для n = 6 запишется следующим образом:

5 =

2 ( 1 + а ) ⁵

( 1 - а ) 5 + а ² ( 1 - а ) ⁴ ( 1 + а ) + ( 1 - а ) 5 ( 1 + а ) ²

По аналогии проводится расчет для любого количества витков. Зависимость величины сглаживания S от коэффициента рециркуляции α и количества витков n представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Значения параметра S ( а, n )

Value of parameter S ( а, n )

Table 1.

а \ n	5	6	7	8
0,20	4,05	6,08	9,11	13,67
0,30	8,33	15,46	28,72	53,34
0,40	17,79	41,50	96,83	225,94
0,50	40,50	121,50	364,5	1093
0,60	102,40	409,60	1638	6554
0,70	309,34	1753	9933	56290
0,80	1312	11811	106300	956600

Из полученных данных видно, что минимальное значение сглаживающей способности вибрационного СНД, равное 4,05 единиц,