Определение вероятности устойчивости систем импульсного регулирования по методу Г. С. Черноруцкого

В первом примере случайными являются коэффициент K ^ˆ передачи прямого контура и одна из постоянных времени Т ^ˆ типовых звеньев.

В соответствии с методикой, развитой в работе Г.С. Черноруцкого [1], вероятность устойчивости системы регулирования может быть определена по выражению

P { q i ,q 2 e0 y } = JJ f ( q i , q 2 ) dq_xdq 2 ,                                                           (1)

®y где q1, q2 - случайные параметры системы регулирования; f (q1, q2) - совместная плотность ве роятности случайных величин; 0y - область устойчивости.

Рассмотрим простейшую СИР, структурная схема которой приведена на рис. 1, а непрерыв- ная часть системы имеет передаточную функцию [2]:

А

K

Р ( Tp + 1 )

W (Р ) =

Рис. 1

Импульсная передаточная функция разомкнутой СИР определяется дискретным преобразованием Лапласа весовой функции непрерывной части [3]:

да

W (q ) = D {k [ n ]} = £ k [ n ]• e- qn,                                                                (3)

n = 0

или Z -преобразованием [4]:

да

W ( z ) = Z { k [ n ] } = £ k [ n ] . Z ^- n ,                                                                 (4)

n = 0

где k [ n ] - решетчатая функция, соответствующая весовой функции приведенной непрерывной части СИР. В дальнейшем будет пользоваться метод Z -преобразования. В соответствии с выражением (4) импульсная передаточная функция будет иметь вид

W ( z ) = K —

—

к

z — 1

z

—

z

e

.^— Ty /T

где Т у – период импульсов управления.

Замкнутая СИР будет устойчива [3], если корни характеристического уравнения замкнутой системы по модулю меньше единицы:

| Z\ <  1.                                                                                                             (6)

Для использования критериев устойчивости, разработанных для непрерывных систем, очевидно, необходимо отобразить внутренность единичного круга в плоскости Z на левую полуплоскость комплексной области, что может быть выполнено билинейным преобразованием вида [3]:

Z = 1^ .                                                               (7)

1 — to

Тогда для определения области устойчивости импульсной системы можно воспользоваться критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой СИР для рассматриваемого случая будет иметь вид

1 + W (z ) = a 2 z2 + a1 z + a 0 = 0,(8)

где d = e~—y —, а коэффициенты принимают значения a 2 = 1; а1 =(1 + d) + K (1 — d); a о = d.(9)

Область устойчивости задается системой трех неравенств вида [4]:

a ₂ + a 1 + a ₀ >  0;

a2 — a1 + a0 > 0;(10)

a ₂ — a 1 >  0.

Осуществив элементарные преобразования, будем иметь следующие неравенства: K >  0;

1 — e

^— T y / T

> 0;

K <  2

1 + e

^— T y / T

1 — e

— T y / t ,

дающие область устойчивости рассматриваемой импульсной системы. Определяем асимптоту границы устойчивости в виде

T , K =t — + b , T ^y

где lim 2

— y — >'

1 + e ^— «T

— _y, — - ( 1 — e"^{— y}' ^— )

b = lim

— y —T

1 + e

^— T y —

1 — e

^— T y —

— T ^T y —

Раскрыв неопределенность по правилу Лопиталя, будем иметь уравнение асимптоты: T

K = 4 _F .                                                                    (13)

T _y

Область устойчивости для этого случая приведена на рис. 2.

Следует отметить, что выражение (12) достаточно быстро стремится к своей асимптоте, так например, если T/T _y = 2 , отклонение А составляет ® 2 %, то при T—_y = 3 - уже 0,8 %.

На рис. 3 показан график изменения этой ошибки в зависимости от значения T T _y .

Положим, что параметры K ^ˆ и T ^ˆ деленными по нормальному закону:

_ ( ^K - m K ) ²

являются случайными независимыми величинами, распре-

f(K )=7207 e" "K ; f (T )=

1     - e

2 o _T

( ^T - m T ) ² 2 a T

.

В этом случае вероятность выполнения условия устойчивости может быть вычислена по выражению (1), учитывая, что совместная плотность вероятности двух независимых случайных величин равна произведению плотностей:

P {K, T Ny }=J J /к (К )■ fT (T) -K ■ -T

0 ^y mT — 3aT

В тех случаях, когда — T ----— > 2 с достаточной для инженерной практики точностью, вы-

Ty числение вероятности выполнения условий устойчивости может быть выполнено по выражению

^   ^

P{К,Te0y ■ - + Ф -L

2    <ор J где d1 – расстояние от границы устойчивости, заданной своей асимптотой, до центра рассеивания случайных величин Kˆ и Tˆ :

О р = ^ о T cos² в + о К sin² в .                                                                (17)

Преобразуем выражение (16) исходя из очевидных геометрических соображений:

P { К, T G0 y } « 2 + Ф

mT

т_к • 0,97 4

°Р

2 16     2    1

где oR =. Пт — + о^ —, в V T 17 К 17, mK

4 m_T

Т ^y

m_T — 3 a

В случаях, когда — T ----< 2, вычисления необходимо производить или при помощи вычис-

Ty лительной техники, либо с использованием сеток рассеивания.

Приближенно вероятность устойчивости может быть вычислена, исходя из следующих соображений. Определим минимальное расстояние между центром рассеивания случайных величин и границей устойчивости. которое, очевидно, будет равно длине отрезка нормали к границе устойчивости, проходящей через центр рассеивания. Определив угол в и вычислив О р , по выражению (16), определим приближенное значение вероятности устойчивой работы системы. Обычно требуемая вероятность выполнения условий устойчивости близка к единице. Очевидно, что с увеличением - 1 / О р в (16) ошибка определения вероятности устойчивости будет уменьшаться.

На рис. 4 приведена зависимость ошибки в определении вероятности выполнения условий устойчивости по выражению (16) в зависимости от d1 /ор . Отметим то обстоятельство, что вы- mT 37 числение по выражению (16) при —T---— < 2 дает заниженные результаты.

T y

Если случайными параметрами в системе являются постоянная времени T ^ˆ и период управления T _y , то уравнение границы устойчивости может быть записано в виде

^ + 2

T — T - In------; K >  2.                                                                        (19)

^y       K - 2

Если T и T ^ˆ _y имеют нормальный закон распределения плотности вероятности и независимы, вероятность выполнения условий устойчивости может быть вычислена по выражению:

где

P { T y . T ^ } — 2 + Ф

d 1 —

mT

- In

K + 2

K - 2

Ф — arctg I In

d ₁

° p

m

T _y

cos ф ;

K + 2

K - 2

22 22

O p — JO _T Sin ф + о _T cos ф .

Рассмотрим второй пример, когда случайными являются приведенный к валу электродвигателя момент инерции J ˆ и вязкое демпфирование B ^ˆ .

В ряде реальных ЭМТП непрерывная часть СИР имеет вид

W ( P ) =            .                                                                        (21)

P (-Jp + ^?)

Каноническая форма записи передаточной функции будет иметь вид KB

(p) P (JP^ +1).

Таким образом, случайными величинами являются коэффициент усиления и постоянная времени. Однако распределение плотности вероятности K B ˆ и J ˆ B ˆ будет отличным от нормального, если J ˆ и B ^ˆ имеют нормальный закон распределения плотности вероятности.

Уравнение границы устойчивости в плоскости двух случайных параметров J ˆ и B ^ˆ имеют вид

ˆ      T y B ˆ

.

J

, K + 2 B ln

K - 2 B

Если выполняется условие mj - 3

J o j mB - 3oB

>2T_y,

то выражение (23) может быть преобразовано к виду .J « KT_y/4.

Тогда вероятность устойчивости СИР можно определить по выражению

P {J, B G0 y }— 2 + Ф

k¹-, ^oJ J

где k₁ – расстояние от центра рассеивания до границы области устойчивости.

Рассмотрим СИР [2], имеющую передаточную функцию непрерывной части: Ke^—tз^p

W (p )=;¹³< Ty.

p (Tp+1)

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы, полученная при помощи модифи- цированного Z-преобразования [1

, имеет вид

W (--.»)=K A z — 1

—

e - Ty /T z — d

,

а коэффициенты характеристического уравнения равны:

a₀= к (d^1—:— d) + d .

g=0,05

a2 = 1; a1 = к(1 — di^) — 1 — d;

10 —

8 —

6--

g— 0,2

5          10

Рис. 5

Область устойчивости задается системой нера-

22 —

20 —

18 —

16 —

14-

12--

g=0,1

g= 0,3

g= 0,5

---------- ct=0,7

, ct=0,8

T1

Т

y

венств:

K > 0;

к < —² , ; 1—2 d¹::

1 — d > 0;

к < d1—:— d

.

1 + d

Область устойчивости в плоскости двух случайных параметров показана рис. 5.

Если наложены ограничения на значения параметров вида

m_T — 3:_T > 2 +1/4т_к ,

а параметры являются нормальными независимыми случайными величинами, то вероятность устойчивости приближенно определяется выражением

P {к, t G0y }=2+Ф

где d 1 = — e

1 _{— e} - Ty И

,^—Ty/mT (M

—

d₁

_^:к J

_e-Ty!^mT "

,

Квадратичная суммарная оценка качества СИР

Сам по себе факт выполнения условий устойчивости еще не гарантирует получения приемлемых качественных показателей системы регулирования. Как и для непрерывных систем, для оценки качества импульсных систем регулирования широко используются интегральные и суммарные оценки качества, степень устойчивости, степень колебательности [3, 4].

Нужно отметить, что применение квадратичной суммарной оценки качества приводит к довольно сложным выражениям и обычно расчет производится при помощи ЭВМ, либо графоаналитическими методами.

Рассмотрим пример:

, _x      kz(1 — d)

W (z ) = —----(----) z2 — z (1 + d) + d

.

Передаточная функция замкнутой системы:

Ф (zz ,0 )= W⁽z ,⁰)=__________kz^{(1 — d})______

1 + W (z) z²— z (1 + d) + d + kz (1 -

.

При действии на вход системы единичного ступенчатого воздействия установившееся значение выходного состояния системы:

lim y [ n ] = Ф (z, 0)   = 1.

n ^» ^{L J V}    z==1

Изображение квадратичной суммарной оценки имеет вид

Z {I2 (0)}= 7-1

kz (1 - d)

z2 - z(1 + d) + d + kz (1 - d)

z(z -d)

(z -1)(z - d) + kz(1 - d)

Вычисление квадратичной суммарной оценки производим в соответствии с [4]: b₂= 1;        a 2 = 1;

b1 — - d;      a1 — k (1 - d )-(1 + d);

b = 0;      a о = d;

7» = bb = 0;

a₂

_ bo b + ^b1b2 a bо b2 _

Y1 =---= - d;

a2

_ b»2 + b2 + b22 a 0 bob2 + a(b0 b + bb2) a1 bob2,

Y 2 —---2--+--3--- — 1 - d + kd ( 1 - d ) .

a2                   a2

Y0   aa

Y1 a1 + a₂ 0

Y2    ai     a0 — (a0 + a2 )(a0Y0 - a2Y2) + a1Y1 (a2 - a0)—         1 - d2 + 2kd a 0    a1     a 2     (a 0 - a 2)(a 0 - a1 + a 2)(a 0 + a1 + a 2) k (1 - d )[2 (1 + d)-k (1 - d)]

a1 a₀+ a₂ 0

a₂    a₁     a₀

Как следует из приведенного примера, непосредственное вычисление квадратичных суммарных оценок даже для простейших систем приводит к довольно трудоемким операциям, и более целесообразным является использование дискретного аналога теоремы Парсеваля [4]. В этом случае

I2 (0) = 517 ^ Y2 (z)' Y (^ )dz ’ 2n j |z|—1                    z переходя к W-преобразованию, получим:

w

12 —Z( У уст

n—0

1 + w

z—1—;

1 - w

-

Г П 2    1 f

у[n]) — - J

П IV

- j

dz —

2dw

(1 - w )²

Y (w) Y (-w)

•

1 + w

1 - w

dw ;

Y ( z )—   Ь2 z 2 + b1 z   ;

a₂z²+ a1 z + a₀

Y (w)_—   C1 w + C₀

C1 — b₂- b1 — 1 + d; C₀— b₂+ b1 — 1 - d;

d₂— a₂- a1 + a 0 — 2 (1 + d)- k (1 - d);

d1 — 2 (a₂- a₀) — 2 (1 - d); d₀— a₂+ a1 + a₀— k (1 - d).

1 j'^fY(w) Y(-w)          1 j^fc(w) c(-w)

12 —      -L^.-()dw — 2       -L^-.-()dw n j J. 1 + w 1 - w        2n j v d + w d - w

- j f                              - j f

• _ c1 d 0 + c 0 d₂ _        1 - d²+ 2 kd

  
  

• — 2 d 0 d 1 d 2 — k (1 - d )[2 (1 + d)-K (1 - d)].

  
  

  Рис. 6

  
  

Нахождение системы на границе устойчивости будет соответствовать 12 = да, откуда легко получаются выражения для границ устойчивости:

K > 0; 1 - d > 0; k< 21+d.

• 1    - d

Используя выражение (16), можно в плоскости случайных параметров K^ˆ и T^ˆ построить, следуя методике [1], линии равных значений и оценить вероятность выполнения рассматриваемой квадратичной суммарной оценки, как показано на рис. 6.

Как следует из приведенных примеров, границы устойчивости импульсных систем являются трансцендентными функциями своих параметров, и точное аналитическое выражение вероятности выполнения условий устойчивости для импульсных систем регулирования может быть выполнено при помощи ЭВМ. При предварительном анализе СИР многие из них могут быть сведены к системам второго или третьего порядка, поэтому наличие областей устойчивости для простейших импульсных систем дает возможность разработчику оценить влияние случайного разброса параметров на устойчи- вость системы регулирования.

Для ряда систем приближенные выражения приведены в таблице.