Определение вида силы межфазного взаимодействия для математической модели газовзвеси с парными взаимодействиями

С течениями гетерогенных сред очень часто приходится сталкиваться в различных областях науки и техники. Это связано с тем, что в природе практически отсутствуют «чистые» вещества. Наличие даже небольшого объемного содержания примеси приводит к существенному изменению картины течения смеси. Все это требует активного развития математических моделей гетерогенных сред, достоверно описывающих изучаемые процессы. Данные математические модели находят широкое применение в различных отраслях науки и техники. Например, перспективное использование взрывных процессов в ряде отраслей современной техники тесно связано с решением вопросов обеспечения эффективных мер безопасности, защиты инженерных сооружений и технологического оборудования от действия ударных волн (УВ). Правильное применение математических моделей многокомпонентных многофазных сред позволяет прогнозировать многие техногенные катастрофы и находить верные средства по их предотвращению. Показано, что перспективными средствами защиты могут быть перемычки, разрушающиеся при взаимодействии с УВ и образующие экранирующие слои или завесы из пены или аэровзвесей [1].

В связи с этим важное прикладное значение представляет изучение проблемы локализации механических эффектов взрыва и ослабления УВ с помощью математического моделирования данных физических процессов. Поэтому с особой остротой встает проблема разработки математических моделей многокомпонентных гетерогенных сред [2], адекватных тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. Более того, для быстропротекающих процессов есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений [3, 4]. Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу [5, 6].

В настоящей статье с помощью анализа инвариантности относительно преобразования Галилея математической модели аэровзвеси [7, 8], применяемой для математического моделирования перехода конвективного горения унитарного твердого топлива во взрыв, попытаемся определить дефекты данной математической модели [9, 10] и найти способы их устранения.

1. Математическая модель газовзвеси

Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [8], и проведем оценку ее на инвариантности относительно преобразования Галилея.

Система уравнений сохранения двухфазной аэровзвеси [8] без химических превращений

имеет следующий вид:
д P 1 , д P 1 ' 1 = 0 д P 2 , д P 2 ' 2 = 0 д и + д ит 1 = 0 д t      д x       д t д x        д t д x	(1)
dxvx     д p    п d2v P — =--- nR , P 2 22 = nR , dt      д x          dt	(2)
dxex   pa dxPx P 1 1/ = i A 12 + n R ( ' 1 ' 2 ) nq , dt    ( P 1 ) dt	(3)
d 2 e 2 = p g 2 d 2 p 2 2 dt    ( p 2 ) dt	(4)

Р = Р 1 ( P 1 , T 1 ) = Р 2 ( P 2 , T 2 ) , ^e1 = e l ( ^p , T 1 ) , e 2 = e 2 ( P 2 , T 2 ) ,

'           di   д     д

P l = P 1 ^g 1 , P 2 = P 2 ^g 2 , E i = e ⁺ V ( i = 1,² ) , -7 = 5? + v i^ ,   ^a 1 ^{+ a} 2 = ¹

2           dt   д t     д x

Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; pi- ,gi- (i = 1, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; pi,vi,Ti,ei,Ei - парциальная плотность, скорость, температура, внутренняя и полная энергия i-й фазы; p - давление, n - число частиц в единице объема смеси. Уравнения (1) - уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (2) - уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) - уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц соответственно.

Получим уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированной фаз.

Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на '1, а уравнение сохранения импульса конденсированной фазы на '2, получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно дP1 '1 , дP1 v12 д t      dx

дР   D

- V 1-- nR' 1

д x

' 2

^{д p} 2 ' 2 । ^{д p} 2 ' 2 d t       д X

= nR' 2

которые после простых преобразований принимают следующий вид:

2 ^Pl^ --— + д t

2 v ^p ' 1 у

д x

^д Р   D

- ' 1 — - nR' 1 , д x

P д t

2 ^{v д}P 2 ' 2

+----— дx

= nRv ₂.

Проведем анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения (1), (2), (5) и (6).

Запишем уравнения (1), (2), (5) и (6) в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью D . Скорости в новой системе координат будут равны:

' 1 н = ' 1 + D ,                                                 (7)

' 2 н = ' 2 ⁺ D .

Координата будет определяться из уравнения x„ = x + Dt. н

Производные:

-д_=А дx дx„ н

1 1=(11 д tJ V д t)

+

( л А

V дхн у

D .

Легко показать [9, 10], что уравнения (1), (2), (5) и (6) инвариантны относительно преобразования Г алилея.

Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа и частиц. С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде

дрех дрв^х  pa dр°

-^-1 + 1 1 1 =           + nR(vA -v2 )-nq,

дt     дx    (р°) dt ( 12) 4

° др2е2 + др2е2v2 = Ра2 d2p2 + nq д t        дx      (p2) dt

Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства

а

^a 2

dp° = dt d2 р2 = dt

-

-

о ( да

р V17+

° ( да, • р     +

р 2 V д t

да1 V1 A дx J, да2 v 2 A дx J,

Подставляя данные выражения в уравнения (12) и (13) соответственно, получим д р е д р е р]     (др да v A

^{1 1} + ^{1 1 1} =- p ¹ + — 1-1 + nR f v - v₂ )- nq , д t      д x      Ч д t д x J ( ^{1 2} ) ⁴

• ^д Р 2 ^е 2 , ^д Р 2 ^е 2 ^v 2 =

д t

д x

( да, да,v2 A

• - p ² +       + nq .

V д t      д x J ⁴

Очевидно, что уравнения сохранения внутренней энергии газовой (3) и конденсированной (4) фаз, преобразованные к виду (14) и (15), инвариантны относительно преобразования Галилея

Получим уравнение сохранения полной энергии смеси. Для этого суммируем левые и правые части уравнений (5), (6), (14), (15). В результате получим

д( P1E1 + P2 E2 )

д t

^{+ д} [ P 1 ^v 1 E 1 ⁺ p 2^v 2 E 2 ⁺ ( ^а 1 ^v 1 ⁺ « 2^v 2 ) p ] = ^-а 2 ( ^v 1 ^-

' дp v 2      , дx

которое не совпадает с уравнением сохранения полной энергии смеси, полученным в работе [7, 8].

Для того, чтобы убрать это несоответствие, необходимо разделить силу взаимодействия между фазами на две части [11]: на составляющую из-за воздействия макроскопического поля дав-      дР лений - а2 —, которая не связана со скоростной неравновесностью между фазами, и состав-дx ляющую f, которая связана с несовпадением скоростей: п „ дp , , nR = -a2--+ nf .

д x

Подставляя полученное выражение в равенства (2) и преобразовывая левые части этих ра- венств к дивергентному виду, получим дР1 v1 д t др2 v 2 д t

+

+

• д р v 2      д p

• ^{1    1} = - а — - nf , д x       д x

др v 2      дp   .

• ^{2    2} = - а + nf . д x       ² дx ^j

К системе уравнений (1), (17) и (18) добавляются уравнения сохранения внутренней и кинетической энергии

дре дрер     (да дavA A          x

+        = -p\     +       I + nf (V1 -v2)-nq,

д t дx        V д t дx J дрe, дрep-,     ( да да v2 )

^{г2 2} +   ²²² = - p\ —- + —— + nq.

д t д x      Ч д t д x ) '

22 vv

^Т ^{д р} V ,—    д p  ,

+= -a v    - nfv,, д t       дx       11 дx JX р vt д t

v 2²

^Р 2 ² 2         д p

⁺--- ,2 = ^- « 2 ^v 2    ^{+ nfv} 2 .

дxд

В этом случае уравнение сохранения полной энергии смеси будет иметь вид, совпадающий с предлагаемым в работе в [7, 8]

д ( р 1 Е 1 + р ₂ E ₂ ) д

+   ^рvE + р2v2E2 +(aivi + «2v2 )p] = 0.

д tд

Легко показать, что уравнения (17)-(23) инвариантны относительно преобразования относительно Галилея [9, 10].

2. Определение функциональной зависимости силы межфазного взаимодействия

При проведении анализа инвариантности относительно преобразования Галилея законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, предполагалось, что выражение для силы межфазного взаимодействия является инвариантным. Это возможно в том случае, когда силы межфазного взаимодействия являются функциями разности скоростей f (сила Стокса) и функциями разности ускорений f, (сила присоединенных масс) [7, 8]. Явный учет выражения для силы при соединенных масс, проведенный в работе [7, 8], приводит к следующим уравнениям сохранения импульса газовой и конденсированной фаз [7, 8]:

д р и др v 2     д p

1 1 + 1 1 + a — = - nf,(24)

д t      дx 1 дx 71’ дР2v2 , дР2v2 . 3„ дР +       + «п

дt       дx    2 2 дx

Из уравнений (24) и (25) следует, что уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированных фаз имеют следующий вид:

22 д р — д рv1 — г 1        11           д p 2 +       2 + « 1 v 1    = n f 1 4,                                (26) д t       д x         д x 22 vv ,р л   д р 2 v 2 у 3     д p ----— +--— +— a v 2 — = nf v 2.                         (27) д t          д x      2 2 2 д x    71 2                                     V ’

Легко показать, что уравнения (24)-(27) являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

Рассмотрим уравнение сохранения полной энергии смеси (24) и проведем его анализ на инвариантность относительно преобразования Галилея, используя уравнения сохранения (1), (24)(27). Используя формулы перехода к новой системе координат (7)-(11), получим

( д р 1 e1pD ) + р 2 e 2 +( v 2 - 2 D ) k у2 у )) + д t (                              2p д р 1 е 1 +( v 1- D ) + р 2 е 2 + ( v 2 - 2 D ) +2у Л d + д x-

д

+— дx

P i ( v i и

^^^^^^^е

(

D) ei +

⁽ v i и - D f

(

V

^{+ р} 2 ⁽ v 2 и

^^^^^^^е

D ) e 2 ⁺

⁽ v 2 и ^- D ^{) 2}

V

V

+

V

⁺ ( ^a i ⁽ v i и

- D) + «2 (v2и — D)) Р] = 0.

После простых алгебраических преобразований получаем:

(    v2 )

дPiI ei+-1

21 +

д t

(

- D

(    v? ^

^д Р 2 I e 2 ⁺ 21

V 2 V

д t

^д А v i и + ^{д p} 1 v ^ и

V д t

^{д Х}и

₊ D ² ( ^д P i I ^д P i v i и V ₊ D ² ( ^д Р 2 ₊ ^д Р 2 v 2 и

2 V д t

^{д Х}и

2 V д t

^^^^^^^в

д p

+ aia дХи V

(

- D

^{д р} 2 v 2 и + ^{д р} 2 v 2 и

V д t

^{д Х}и

^{д Х}и

3    д p

+ a

^{2    д Х}и V

+

д p

+— а 2 —— +

^{2    д Х}и

D

^д А v i и I e i ⁺ v ^ —^V 21 +

^{д Х}и

(       v. ² )

^д Р 2 v 2 и I e 2 ⁺ 21 ----^V 21 +

^{д Х}и

⁺ д Х ” Й ^ v i и ^{+ a} 2 v 2 и ) Р ] = 0 .

Согласно (i) сумма третьего и четвертого слагаемых обращается в ноль, а пятое и шестое слагаемые согласно (24) и (25) будут равны Df и — Df . В результате получим:

^{д( P i Ei и P} 2 ^{E 2 и} ) ⁺ Т [ P i v i и E i и ⁺ P 2 v 2 и E 2 и ⁺ ( « i v i и ⁺ « 2 v 2 и ) р] ⁺ D « 2 ^ = 0.       ⁽²⁸⁾

д t          дxL                                        J 2 дx„

и

В новой системе координат в уравнении полной энергии смеси (28) появился дополнительный член

D   д p

— «2 4^"

2   дХи который приводит к не инвариантности относительно преобразования Галилея уравнение полной энергии смеси. Появление дополнительного члена в уравнении сохранения полной энергии смеси связано с явным учетом силы присоединенных масс f 2, которая является функцией разности ускорений фаз. Следовательно, для того чтобы не нарушалась инвариантность законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, сила межфазного взаимодействия должна быть только функцией разности скоростей фаз f = f (vi — v2).

Автор выражает свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.