Optimal Control of Solutions to the Sixth Order Boussinesq Equation with Two Dispersions
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 3 т.18, 2026 года.
Бесплатный доступ
This article investigates the Cauchy–Dirichlet and Showalter-Sidorov–Dirichlet problems for an inhomogeneous nonlinear sixth-order Boussinesq equation with two dispersions, which corresponds to an incomplete semilinear Sobolev-type equation of the second order in Banach spaces. Sobolev–type equations are distinguished by the non-invertibility of the operator at the highest time derivative. The problem posed models waves in a channel between lakes (or seas) with external wind forcing, internal damping, and convection. We use the Galerkin method adapted for this mathematical model to prove the existence and uniqueness of a nonlocal solution. The starting point for justifying the *-weak convergence of the Galerkin approximations is the formal representation of the solution as a Galerkin sum over the eigenfunctions of the operator – Δ. The proof itself is based on the derived a priori estimates. Based on the proven theorem, we demonstrate the existence of a solution to the optimal control problem with a classical balance functional.
Короткий адрес: https://sciup.org/147254777
IDS: 147254777 | УДК: 517.9 | DOI: 10.14529/mmph260301
Оптимальное управление решениями уравнения Буссинеска шестого порядка с двумя дисперсиями
Исследуется задача Коши–Дирихле и Шоуолтера–Сидорова–Дирихле для неоднородного нелинейного уравнения Буссинеска шестого порядка с двумя дисперсиями, отвечающего неполному полулинейному уравнению соболевского типа второго порядка в банаховых пространствах. Особенность уравнений соболевского типа состоит в необратимости оператора при старшей производной по времени. Поставленная задача моделирует волны в канале между озерами (морями) с внешним ветровым воздействием, внутренним затуханием и конвекцией. Методом Галеркина, адаптированным для указанной математической модели, доказано существование и единственность нелокального решения. Исходным пунктом для обоснования *-слабой сходимости Галёркинских аппроксимаций выступает формальное представление решения в виде Галёркинской суммы по собственным функциям оператора -Δ, а само доказательство базируется на полученных априорных оценках. Опираясь на доказанную теорему, удалось доказать существование решения задачи оптимального управления с классическим балансовым функционалом.
