Оптимальное граничное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе

Обозначим через дГ множество граничных Z , через J ( Г ) - множество внутренних £ узлов графа Г , и пусть Г 0 - объединение всех ребер, не содержащих их концевых точек, при этом: Г _т = Г 0 х (0, T ), Г = Г ₀ х (0, t ), дГ _т = дГх (0, T ), 5Г _г = дГх (0, t ). Каждое ребро у графа Г ориентировано, параметризуется отрезком [0,1] с переменной x е [0,1] [1, с. 88].

Введем необходимые пространства функций: L p ( Г ) ( p = 1,2) - банахово прост

ранство измеримых на Г0 функций с конечной нормой ||w ||L      = (f up (x) dx )1/p p (   )          г

(аналогично определяются пространства

Lp (Гт), p = 1,2); W2(Г) - пространство функций из L2(Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка, в то же время из L 2(Г), норма в W 2(Г) определяется скалярным произведением

Г           du ( x ) dv ( x ) V

⁽ u , ^v L^ = I ^{u ( x )} v ^{( x )} +             I ^dx ;

W 2 ^{( Г )} Г\               dx dx J

L 2 1 ( Г _т ) — просранство функций из L 1 ( Г _т )

Замыкание в норме W 2 ( Г ) множества

с нормой

T

II ^и1 21 ( Г T ) = f ⁽ f u ^{2( x} , t ) d^{x ) 1/2 dt} ; ,               0 Г

функций из О обозначим через W 2 ( a , Г ).

W ^,0( Г _т )     - пространство функций

u ( x, t ) e L 2 ( r T ), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по x , принадлежащую L ₂( Г _Т ), норма в W ^1,0 ( Г _т )

Если при этом элементы u e О равны нулю во всех узлах Z e 5Г , то получим пространство W 2,0 (a , Г ).

Пусть далее О ₀( a , Г _т ) - множество

функций u ( x , t ) e V ( Г _т ), чьи следы опреде

определяется соотношением

II u t '^(r T ) = f u ^{( x} , t ^{) 2 +d U ( X ,} t ⁾ ] ^dxdt .

Г T A             ° ^x    J

лены на сечениях области Г _т плоскостью t = 1 ₀ e [0, T ]как функции класса W 2 0 ( a , Г ) и

удовлетворяют соотношениям

Пусть далее V ( Г _т ) - множество всех функций u ( x , t ) e W ^1,0 ( Г _т ), имеющих конеч-

„       ^{d u} (1, t ) у

Z ^{a (1)} y ---7--- j

Y j e R ( 5 )        j      ^d x

ную норму

II ^u l L, г "  vram ^axl u ^{( x} , t )l I L (Г)

+

d u d x

= Z a (0) Y j

Y j e r ( 5 )

d u (0, t ) у

γ _j

5 x

L ₂ (Г t )

и сильно непрерывных по t в норме L2 (Г), т.е. таких, что ||u(x, t + At) - u(x, t)||      ^ 0

ii L 2 ( i )

при A t ^ 0 равномерно на [0, T ].

Рассмотрим билинейную форму

^ ( ^ , v ) = f l a ( x ) Г ⁴

duix ) dv(x )       / w

--- + b ( x ) ^ ( x ) v ( x ) I dx , dx dx               J

где коэффициенты a ( x ) , b ( x ) – фиксированные измеримые ограниченные на Г ₀ функции, суммируемые с квадратом: a , <  a ( x ) <  a * , | b ( x ) < в , x еГ ₀ ( a , , a *, в -фиксированные положительные постоянные).

Из леммы 2 [1, с. 92] следует, что в пространстве W 2 ( Г ) есть множество О функций u ( x ) e C ( Г ) ( C ( Г ) - пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющих соотношениям

для всех узлов 5 e J ( Г ). Замыкание множества О ₀( a , Г _т ) по норме (1), обозначим через V o° ( a , Г _т ). Если в приведенном определении класс W 2, ₀( a , Г ) заменить на W 2 ( a , Г ), то получим пространство

V^1,0 ( a , Г т ): V 0, ⁰ ( a , Г т ) с V ^1,0 ( a , Г т ) с W ’’° ( Г т ).

Другим подпространством пространства W ^1,0 ( Г _т ) является W 0, ⁰ ( a , Г _т ) - замыкание в норме W ^1,0 ( Г _т ) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (2) для всех узлов 5 e J ( Г ) и для любого t e [0, т ], а также равных нулю вблизи ЗГ _т . Отличием элементов пространства V 0 ^,0( a , Г _т ) ( V ^1,0 ( a , Г _т )) от элементов W 0, ⁰ ( a , Г _т ) является

отсутствие у последних непрерывности по переменной t , соотношение (2) имеет место почти всюду на (0, T ) . По мере необходимости будут

du (1)

Z a (1)= Z a (0) Y

Ye R ( ^ )        j ^dx         Y e r ( 5 )        j

du(0)γ γj dx

введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Рассмотрим уравнение в области Г _т :

во всех узлах 5 e J ( Г ) (здесь R ( 5 ) - множе-

ство ребер, ориентированных "к узлу ξ ",

d y ( x , t ) d t

d|

--1 a ( x ) d x I

^d У ^{( x} , t ) Y d x J

r ( ξ ) – множество ребер ориентированных "от

узла 5 "; через u ( • ) _Y обозначено сужение

функции u ( • ) на ребро у ).

+ b ( x ) y ( x , t ) = f ( x , t ), представляющее собой систему дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на каждом ребре у графа Г .

Состояние системы (3) в области Г т определяется реше-нием y(x, t) уравнения (3), удовлетворяющим     соотношениям(3), начальному

У11=0= ^(x), x еГ, и краевому

= ф(x, t), 0 < t < T(5)

xGдГT дУ дx

условиям.

Выбор функций φ ( x ) в (4) определяет стартовые условия начально-краевой задачи (3)–(5). Предположения относительно функций a ( x ) , b ( x ) остаются теми же, что рассмотрены выше для билинейной формы ^ ⁽ ^ ^{, V} ) ;        f ⁽ x , t ) ^G L 2,1 ^{( Г} т ),        ф ( ^x ) € L 2 ⁽ Г ),

ф( X, t ) € L ₂ ( дГ _T ) .

Определение . Слабым решением в пространстве V ^1,0 ( a , Г _т ) начально-краевой задачи (3)–(5) называется функция y ( x , t ) g V ^1,0 ( a , Г _т ) , удовлетворяющая интегральному тождеству

I y ( x , t ) n ( X , t ) dx - J y ( x , t )

дп(x,t) , , —-—— dxdt + д t

Г

^Г ,

+ ^ t ( У , П ) = J p ( x ) n ( x ,0) dx +

Г

+ J ф( x, t )n( x, t) dxdt + Jf (x, t )n( x, t) dxdt дГt

^Г ,

при любом t g [0, T ] и для любой функции

п(x , t ) G W 1 ( a , Г т ) ; ^ _t ( y , n )

–

билинейная

форма, определенная соотношением £ t( у ,п ) = г ( . ду(x, t) дп(x, t) ,, , , z ?|, = II a(x)--- + b(x)y(x, t)n(x, t) Idxdt.

Г

Теорема 1 [2]. Для любых f (x,t)GL2,1(Гт), ф(x) G L2(Г), ф(x,t) G L2(дГт) начально-краевая задача (3)–(5) однозначно слабо разрешима в пространстве V1,0 (a, Гт);

имеет место непрерывность по исходным данным.

Замечание. Утверждение теоремы означает корректность по Адамару начальнокраевой задачи (3)–(5) в пространстве

V ^1,0 ( a , Г _т ), что является основополагающим условием для анализа задачи оптимального управления системой (3).

Далее для дифференциальной системы (3) рассматривается задача оптимального граничного управления и граничного наблюдения, представляющая собой для многих приложений ситуацию (т.е. управляющее воздействие v ( x , t ) распределено на границе или части границы цилиндре Г _т ), наблюдение за состоянием системы (3) осуществляется на границе дГ _т , а состояние системы определяется начально-краевой задачей (3)–(5) при φ ( x , t ) = v ( x , t ) в краевом условии (5). При этом пространством состояний является V ^1,0 ( a , Г _т ), а в качестве пространства управлений U используется L 2 ^{( дГ} т ).

Состояние у ( x , t ) g V ^1,0 ( a , Г _т ) системы (3) определяется слабым решением y ( v )( x , t ) задачи (3)–(5) ( φ ( x , t ) = v ( x , t ) ). Пространство наблюдений обозначим через H = L ₂ ( дГ _т ), наблюдение имеет важный для приложений вид      Cy ( v ) = My ( v )| _дГ      ( M : L₂( дГ _т ) ^

т

L 2(дГт) - линейный непрерывный оператор, C – оператор граничного наблюдения). Здесь У (v) 1дГ — след функции y (v) на поверхности 1 т дГт ; функционал J(v), требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве U дс U, имеет вид

J ⁽ v ) = \\Му ⁽ v ) - z 0|| L (дГ _т ) + ⁽ Nv , v ) и , где z ₀ ( x , t ) g L ₂ ( дГ _т ) - заданное наблюдение.

Отметим, что если ЗГ _т заменить на подмножество S с дГ _т , то наблюдаются значения функции y ( v ) на подмножестве S поверхности ЗГ _т .

Задача граничного управления системой (3) заключается в том, чтобы отыскать inf J ( v ) . v g U д

Теорема 2 . Задача оптимального граничного управления системой (3)–(5) ( ф ( x , t ) = v ( x , t ) ) имеет единственное решение v *g О д :

J ( v ^∗ )=inf J ( v ).

∫ y ( u )( x , t ) η ( x , t ) dx - Γ

Доказательство . В силу утверждения теоремы 1 линейное отображение v → y ( v ) пространства управлений U в пространство состояний V ^1,0 ( a , Γ _T ) непрерывно. Функционал J ( v ) определяется с помощью двух операторов: 1) оператора v → y ( v ) перехода от управления v к состоянию y ( v ) , 2) оператора y ( v ) → My ( v ) перехода от состояния к наблюдению.

Преобразуем функционал J ( v ) к следующему виду:

J ( v )= M ( y ( v ) - y (0)) + My (0) - z ²     +

L ₂ ( ∂Γ _T )

+ ⁽ Nv , v ) u = ⁿ ( v , v) - w )+i My (0) - z i L _{( 9r} ), где

π ( u , v )=( M ( y ( u ) - y (0)),

M ( y ( v ) - y (0))) _{L ( ∂Γ T )} + ( Nu , v ) _U ,

£ ( v ) = ( z - My (0), M ( y ( v ) - y (0))) l (^) .

Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1.1 [3, с. 13], при этом учитывается очевидное неравенство My (0) - z ² _{L ( ∂Γ T )} ≥ 0.

Далее приведем утверждения, основанные на теории минимизации коэрцитивных форм [3, гл. 1].

Теорема 3 [4]. Задача оптимального граничного управления системы (3) имеет единственное оптимальное управление, если оператор N ненулевой. Для того чтобы элемент u ( x , t ) ∈ U _∂ был единственным оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

- [ y ( u )( x , t ) d ⁿ⁽x ^, t ) dxdt + £ _t ( y ( u ), n ) = ∂ t

Γ _t

= ∫ ϕ ( x ) η ( x ,0) dx + ∫ u ( x , t ) η ( x , t ) dxdt +

Γ                    ∂Γ _t

+ ∫ f ( x , t ) η ( x , t ) dxdt

Γt для любых функций η(x, t) ∈ W1(a,ΓT) и

при

любом t ∈ [0, T ] ,

∫ ( My ( v )( x , t ) - z ₀ ( x , t )) M ( y ( v )( x , t ) -

∂Γ T                                                   (7)

- y ( u )( x , t )) dxdt + ( Nu , v - u ) _U ≥ 0

для любых v ∈ U _∂ ; здесь y ( u ) ∈ V ^1,0 ( a , Γ _T ) .

Неравенство (7) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния системы (3), учитывая симметричность формы £ _t ( ^ , n ) ( t e [0, T ]). Сделаем это для наглядности только для случая

C : L ₂ ( ∂Γ _T ) → L ₂ ( ∂Γ _T ) , тогда неравенство (7) можно переписать в виде ( M ^* ( My ( u ) - z ₀ ), y ( v ) - y ( u )) _{L 2( ∂Γ T )} +

2            (8)

+ ( Nu , v - u ) _U ≥ 0

для любых v ∈ U _∂ (здесь M ^* : L ₂( Γ _T ) → L ₂( Γ _T ) – сопряженный к M оператор).

Для граничного управления v ( x , t ) сопряженное состояние ω ( v )( x , t ) ∈ W ₂¹( a , Γ _T ) ,

ω ( v )( x , T ) = 0 , определим соотношением

-

∂ ω ( v )( x , t )

I----------- Z ( x , t ) dxdt + £ T ( ® ( v ), Z ) =

∂ t

Γ _T

= ∫M*(My(v)(x, t) - z0(x, t))ζ(x, t)dxdt ∂ΓT для любых функций ζ(x, t) ∈ W1,0(a, ΓT ) .

Пусть функция y ( v )( x , t ) удовлетворяет тождеству определения слабого решения задачи (3)–(5), а y ( u )( x , t ) – тому же тождеству при v = u . Положим в (9) v = u и ζ ( x , t ) = y ( v )( x , t ) - y ( u )( x , t ) ∈ V ^1,0( a , Γ _T ) (последнее возможно, так как

V1,0(a,ΓT)∈W1,0(a,ΓT)), получим

-    ^∂ ω ^{( u )( x , t )} ( y ( v )( x , t ) -

∂ t

Γ _T

- y ( u )( x, t )) dxdt + 1 T ( ® ( u ), y ( v ) - y ( u )) =

= ∫ C ^*( Cy ( u )( x , t ) - ∂Γ _T

- z ₀( x , t ))( y ( v )( x , t ) - y ( u )( x , t )) dxdt .

С другой стороны, из соотношения определения слабого решения задачи (3)–(5) вычтем то же соотношение при v = u и, заменив η(x, t) на ω(u)(x,t) , получим при t = T соотношение

- ∫

Γ _T

ω ^{( u )( x , t )} ( y ( v )( x , t ) - y ( u )( x , t ) ) dxdt + ∂ t

^{+ £} T ⁽ y ⁽ v ) ^- y ^{( u} ), ^ ( ^u ))=        ⁽¹¹⁾

= ∫ ( v ( x , t ) - u ( x , t ) ) ω ( u )( x , t ) dxdt .

∂Γ _T

Сравнивая в (10) и (11) стоящие справа выражения и учитывая симметричность формы £ T ( - , - ), приходим к равенству

∫ M ^*( My ( u )( x , t ) - z ₀( x , t ))( y ( v )( x , t ) - ∂Γ _T

- y ( u )( x , t )) dxdt =

= ∫ ω(u)(x, t)(v(x, t) - u(x,t))dxdt, ∂ΓT из которого вместе с (7) вытекает неравенство

∫ ( ω ( u )( x , t ) + Nu ( x , t ) ) ×

∂Γ _T                                     (12)

× ( v ( x , t ) - u ( x , t ) ) dσ ≥ 0

для любых    v ∈ U∂ ,    эквивалентное неравенству (7).

Таким образом, справедлива

Теорема 4 . Пусть множество U _∂ ограничено. Для того чтобы элемент u ( x , t ) ∈ U _∂ был оптимумом, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

Γ _t

∫ y ( u )( x , t ) η ( x , t ) dx -

Γ

∂ η ( x , t )

t ) ———- dxdt + £ _t ( y ( u ), q ) = ∂ t                 ^t

= ∫ ϕ ( x ) η ( x ,0) dx + ∫ u ( x , t ) η ( x , t ) dxdt + Γ                      ∂Γ _t

+ ∫ f ( x , t ) η ( x , t ) dxdt

Γt для любых функций η(x, t) ∈ W1(a,ΓT) и любом t ∈ [0,T],

∂ ω ( u )( x , t )

I------------ Z ( x , t ) dxdt + £t ( ® ( u ), Z ) =

∂ t                        ^T

-

Γ _T

• = ∫ M ^* ( Mω ( u )( x , t ) - z ₀( x , t )) ζ ( x , t ) dσ ∂Γ _T

для любых функций

ζ ( x , t ) ∈ W ^1,0( a , Γ T ) ,

• ∫ ( ω ( u )( x , t ) + Nu ( x , t ) ) ×

∂Γ

T

• × ( v ( x , t ) - u ( x , t ) ) dxdt ≥ 0

  
  

  при

  
  
  
  
  
  

  для

  
  

любых v ∈ U _∂ , где y ( u ) ∈ V ^1,0( a , Γ _T ) ,

ω ( v ) ∈ W ¹ ( a , Γ _T ) и ω ( v )( x , T ) = 0 .

При этом: 1) если оператор N ≠ 0 , то оптимум u ∈ U _∂ единственен, 2) если N = 0 , то соотношениям (13)–(15) удовлетворяет по крайней мере один элемент u ∈ U _∂ ; множество таких элементов соответствует совокупности оптимумов, образующих подмножество множества U _∂ .

Замечание. Если U _∂ = U (ограничения на управление отсутствуют), неравенство (15) трансформируется в равенство; аналогичная ситуация рассмотрена в работах [4, 5].