Оптимальное распределение площади радиаторов в погружных системах охлаждения высокопроизводительных вычислительных комплексов

Погружные жидкостные системы охлаждения высокопроизводительных вычислительных комплексов позволяют поддерживать необходимые для нормальной работы процессоров температурные режимы при различных климатических условиях. Благодаря тому, что коэффициент теплоотдачи от радиатора к жидкости приблизительно в 100 раз больше, чем к воздуху [1] , использование стандартных, предназначенных для воздушных систем охлаждения, радиаторов обеспечивает охлаждение процессоров. Однако, эффективность системы охлаждения может быть повышена за счет оптимального распределения площади радиатора. Это особенно актуально при увеличении мощности процессоров.

Так, например, существенным для эффективности вычислительных процессов параметром является плотность процессоров, так что решение задач будет лучше организовано при небольшом количестве мощных процессоров, чем при большом количестве процессоров той же суммарной мощности [1] . Таким образом, для организации вычислительного процесса выгодно увеличить вычислительную мощность процессоров, т. е. «разогнать» процессоры вычислительного комплекса.

Задача оптимального распределения температур хладагента при различных моделях потока хладагента подробно рассмотрена в [3] . В [4] рассмотрена задача выбора оптимального режима для погружных однофазных и двухфазных жидкостных систем охлаждения. Критерием оптимальности в рассмотренных задачах является производство энтропии в теплообменном аппарате как термодинамической системе. Условиями задачи является заданное общее количество переданного тепла и начальные значения температур теплоносителей. Минимум среднего производства энтропии позволяет обеспечить эффективное охлаждение хладагентом максимальной начальной температуры при заданной общей площади контакта между хладагентом и радиатором. При решении задач предполагалось, что коэффициент теплоотдачи и температура процессора заданы. В реальных системах теплопередача от процессора к хладагенту организуется через радиатор, площадь поверхности которого может быть функцией координаты, а температура процессора определяется заданным полем теплового потока [5] .

Постановка задачи

Увеличение производительности процессоров сопровождается значительным повышением тепловыделения, а это значит, что при тех же условиях отвода тепла работа в режиме «турбо» приведет к нагреву процессора. Поскольку тепловыделение функционально зависит только от вычислительной производительности процессора, а в широком диапазоне температур верхний предел вычислительной производительности процессора можно считать постоянным, при постановке задачи следует в качестве параметра выбрать не температуру процессора, а интенсивность теплового потока.

Современные процессоры нуждаются в качественном охлаждении даже при работе в номинальном режиме. При разгоне процессоров наблюдается если не нестабильность работы, то по крайней мере температурный троттлинг. Поэтому производители процессоров устанавливают жесткие ограничения на температурный режим, в котором можно увеличивать производительность процессора. В результате режим «турбо» в существующих системах может поддерживаться только в течение непродолжительного времени, что нивелирует преимущества режима «турбо».

Задача повышения производительности вычислительного комплекса состоит в том, чтобы при заданном тепловом потоке минимизировать температуру процессора. Эта задача эквивалентна [3] задаче минимизации среднего (по координате) производства энтропии, формальная постановка которой для ньютоновского закона теплоотдачи q(T) = a(l')(T o (l') — T(1)) имеет вид

L

° = j q ^(l)

1             1

T(l) - g+ ^Т (l)

dl ^ min ^a(l)

L j' a(l)dl = A;

dT ₌ q ( l ) dl W ,

T (0) = T i ;

T o (i) = a§ + t (i) <  T m

где: l — координата процесса (м), соответствующая направлению потока хладагента, омывающего радиатор (l G [0,L]),L — длина радиатора);

q(l) — удельный тепловой поток (^Вт / _м), определяемый вычислительной нагрузкой процессора;

T o (l) — температура радиатора (К) при контакте с хладагентом; будем предполагать, что вследствие высокой теплопроводности материала радиатора, небольшой высоты ламелей и низкого термического сопротивления при контакте радиатора с процессором температура радиатора в каждой точке l одинакова и приблизительно равна температуре процессора, при этом накладывается дополнительное ограничение на максимальное значение T ₀ (l) <  T _m ;

T(Г) — температура хладагента (К), изменение которой определяется тепловым потоком q(l) от радиатора к хладагенту и теплоемкостью хладагента W (Г) (^К / в_т), равной произведению массового расхода на удельную теплоемкость хладагента;

а(1) — удельный коэффициент теплоотдачи (^Вт / _м . к), линейно зависящий от площади контакта радиатора с хладагентом; ограничение на общую площадь радиатора, пренебрегая зависимостью коэффициента теплоотдачи от скорости потока хладагента можно заменить на ограничение на среднее значение a(l) = a / l-

Решение задачи (1) определяет геометрические параметры радиатора, обеспечивающие оптимальный режим его работы в погружных системах охлаждения.

Условия оптимальности

Так как температура хладагента всегда ниже температуры радиатора, функция T(l) является монотонно возрастающей. Следовательно, в задаче (1) допустима замена переменной:

• (2)                       dl = W^ dT.

^{q ( l})

Уравнение

(3)

L / d =

т ( L ) / WT? dT = L,

0         T (0)

позволяет определить значение температуры хладагента в точке L : T(L) = T2 (функции W(Г) и q(l) заданы по условию задачи), так что после замены переменной задача (1) примет вид:

σ

T 2

j W (T )

T 1

1          1

T - q ( T ) । т a ( T ) ⁺ T

dT ^ min ^a(l)

T 2

/ ^dT = A.

T 1

Функция Лагранжа для изопериметрической задачи (4) имеет вид:

R = W (T )

• 1         1        . _y a(T )W (T )

^T ®+ t      q(T )

где λ — безразмерный неопределенный множитель Лагранжа. Необходимое условие оптимальности dR =0 приводит к уравнению:

.                                  q(T)               А a(T)2 (Of) + T)2 + q(T)

откуда выражаем искомое значение а(Т ):

q(T ) 1 - Л   Щ(Т )

• ^{(7)           а(т} ’ =   —тг =

где ^ = 1-^ = const находим из ограничения на общую площадь (средний коэффициент теплоотдачи) радиатора.

Полученное решение необходимо проверить на выполнение ограничения T o (l) = 0 ( 1 ) + T (l) — T m во всех точках l G [0, L].