Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа

Пусть X, 2) и 11 - гильбертовы пространства, операторы L G £(Х;^)> М € CZ(X;2))) а оператор В € £(11; 2)), функции и : [0, т) С R+ -> И, у : [0, т) С R+ —> 2) (г < ⁰⁰) подлежат дальнейшему определению. Введем в рассмотрение D-резольвентное множество p^L(M) = {у € С : (pL — М)~¹ G £(2);Х)} и D-спектр a^L(M) = C\p^L(M') оператора М (см. [1, гл. 4]). Пусть вдобавок оператор М (£,р)-секториален, р Е {0}UN (см. [1, гл. 5]), тогда существуют вырожденные аналитические полугруппы операторов х* = A-JrRtW^dp и У¹ = ЗЯ Jr^W⁶^’ ^{где i} ^ ЕД а контур Г С S^q^M) такой, что |argy| -> 0 при у —> оо, у G Г, 0 € (§,тг). Положим Х°(2)°) = ker АДкег У*), Х¹^¹) = imX*(imy*) и обозначим через Lk(Mk) сужение оператора ДМ^ на Х^Х^ П dom Mf k = 0,1. В дальнейшем нам потребуются два условия:

Х^Х1 = Х (З)0®^1 =У),                    (А1)

существует оператор Lf¹ Е ДЗДХ¹).                    (А2)

Пусть D-спектр оператора М представим в виде aL(M) = ^n(M)UCrfn(M),                      (АЗ)

где Oj^M) содержится в ограниченной области Q С С с кусочно гладкой границей 7, причем 7 П ct^l(M) = 0.

Построим относительно спектральные проекторы [2] Р^п = ^ / Rpk^^dp, Pin = Р —

Pfi_n. Итак, пусть выполнены условия (А1)-(АЗ). Для уравнения Соболевского типа

Lx = Mx + y + Bu                          (1)

Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 8      113

Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков рассмотрим начально-конечную задачу

Д_п(ж(0) - ж₀) = 0, Р^х^ - х_т) = 0,                   (2)

где т Е К+, xq, х_т Е Т.

Определение 1. Вектор-функцию ж Е Н¹^ = {ж G ^(О, т; ЭЕ) : ж Е 1^(0, т;Х)} назовем сильным решением уравнения (1), если она п. в. на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение ж = ж(^ уравнения (1) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если Р/т(ж(0) — жо) = 0 и Jim Рт(ж(£) — ж_т) = 0.

Построим пространство Р^р+1(ф) = {и € ДфО,т;ф) : y(P⁺¹) € £2(0, т; У),р Е {0} UN}.

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, и выполнены условия (А1)-(АЗ). Тогда для любых xq,x_t Е X и у Е Н^р+1(^)) существует единственное сильное решение задачи (2) для уравнения (1).

Пространство управлений 4Р⁺¹(Я) гильбертово, в силу гильбертовости Я. Выделим в пространстве №⁺¹(Я) замкнутое и выпуклое подмножество Рд⁺¹(Я) - множество допустимых управлений. Введем в рассмотрение 3 - некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор С Е £(ЭЕ;3), задающий наблюдение z(t) = Cx^tY Заметим, что если х Е Н^хто zEH^xQY

Определение 2. Вектор-функцию «о Е Яд⁺¹№ назовем оптимальным управлением решениями задачи (2.1), (0.2), если

Л «о) = minueffp+i^ J(u).                            (3)

Нашей целью является доказательство существования единственного управления «о € Н§+1(И), минимизирующего функционал стоимости

Здесь N_q Е £(Я), q = 0, 1, ..., р + 1, - самосопряженные и положительно определенные операторы, zq = zo(t) - желаемое наблюдение. Справедлива

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, и выполнены условия (А1)-(АЗ). Тогда для любых у Е H^p+1(Y)Y $o,x_T Е X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (1), (2).