Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности
Автор: Осипенко Константин Юрьевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.5, 2003 года.
Бесплатный доступ
В работе строится оптимальный метод восстановления аналитических в единичном круге функций, первая производная которых ограничена, по информации о значениях этих функций в равномерной сетке на окружности |z|=\rho, 0
Короткий адрес: https://sciup.org/14318072
IDR: 14318072
Текст научной статьи Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности
При г = 0 задача (1) была поставлена и решена в работах [1, 2]. Случай г > О является более сложным и здесь известны результаты лишь при Ц дь ... , д„ G (-1,1) (см. [3]) и щ = ... = zn = 0 (см. [4]).
Данная работа посвящена случаю r = 1, £ Е D и z3 = т3 = рДз-^М^ j = 1,... ду 0 < р < 1. Оптимальный метод восстановления для этого случая приводился в работе [4] без доказательства (при этом для его построения эвристически применялся принцип Лагранжа). Здесь приводится построение оптимального метода восстановления с полным доказательством, используя метод параметризации экстремальной функции, предложенный в работе [3].
Начнем с одного простого вспомогательного результата.
Лемма 1. Пусть комплекснозначная функция УД дифференцируема, в точке До G С как функция вещественных переменных х,у Д = х + ДУ Тогда, если |/(д) имеет экстремум в точке zq , то в этой точке выполняется равенство df —9f
= 0.
+
dz dz
< Пусть /(г) = u(z) + w(^). Тогда из необходимого условия экстремума вытекает,
что в точке ^o |
du du du du u—+ v—= 0, u—+ v—= 0. dx dx dy dy |
Отсюда |
^ + 7)^ + l(/-7)^ = o, 2 dx dx ^u + n^ + ^f-n^-». 2 dy 2г dy |
Умножив второе равенство на г и сложив его с первым, будем иметь
/
Эи Эи dx dy
г / ди ди
2 \ dx ду
— (1 / ди ди\ г (ди ди\\ df —df n
+ f ----+ ---1-- = f— + f— = 0
J \2 \dx dy) 2\dx dyjj J dz J dz
Из общих результатов о задачах восстановления (см. [2, 5]) вытекает, что в задаче (1) существует линейный оптимальный метод восстановления
п
Н^^СзМУ
3 = 1
а для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
E^H^z^.. . ,г„) = sup |/(^)|.
fOi ^--^fOn )=о
Теорема 1. Пусть ^ € D, 0 < р < 1, ^ — е1^ У^Чь И _ _ ^, ^ _ ^ 1г ТрГда
Flf Н1 т т I -
(S , -“ ОО , и , . . . , тп ) —
а единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод
,. п /п— 1 \
/и--Е Е«Т
1 j = l \k = 0 /
f(T3'L
где b0 = 1,
Pn(qkf k-C+k) + e(rk-gk^n-k^ pk^rk - p2n)
n + k ^2n — кфп + к')
Qk = ^k1 Гк = Цп - k^ ’
к = 1,... , n — 1.
< Напомним, что произведением Бляшке порядка п называется функция вида
п

J = 1
1 — a^z
где А = 1, а «7 < 1, 7 = 1,... ,п. В работе [6] было доказано, что если функция /о такова, что /0(^) = ... = /0(г„) = 0 и ^ — произведение Бляшке порядка п - 1, то она является экстремальной в задаче (3) при г = 1. Отсюда вытекает, что для г = 1 и ^ = Tj, 7 = 1,... ,П, экстремальной функцией в задаче (3) является функция
-Tl _ f„^ = ---^.
п
Тем самым доказано равенство (4).
Займемся теперь построением оптимального метода. Положим B0^z) = 1 и
——— ---—, k = 1,... , п - 1,
1 + £kzBk_^
где e/J < 1, k = 1,... ,п — 1. Легко убедиться, что Bn_i (е0 , Л, • • • , Ог-i) € Dn рассмотрим функцию
Для Р =
fp^ = ЕО + j О
Очевидно, что fP G Н^, и /р0 = /0, где Ро = (—рп/п, 0,... , 0). Пусть метод (2) является оптимальным в задаче (1) при г = 1. Тогда при всех Р G Dn имеет место неравенство
п
Ы^-'Ес.ы^
Следовательно, модуль функции
1/РоО
уДоЛх,--- ,Gi-i) = fp^ - ^С3}Р<т3^ j=i
в точке Ро достигает своего максимума. Из леммы 1 вытекает, что в точке Ро должны выполняться равенства
9 g , -9g
Эе; Эе3
= 0,
7=0,1,... , п — 1.
В силу того, что
Жг-1
= /г-1-1
ЭВ;
9е3
= zn"j-\ 7 = 1,... ,n-1,
имеем
9/р . 1 ajP
~— =----т, 7 = 1, • • • ,п - 1, -— р_р0 п з У^о
Аналогичные вычисления дают
9fp ^j - , Л 8fp р=р0 ^^3 OEo
Тем самым
^ Р=Р0 9д
9^3 р=р0
и, кроме того,

п
Е с-^
fc=l

7 = 1,... , п — 1,
п
ЕСг
3 = 1
^- = 1-
>=0.
Учитывая, что т^ = pu ^ к = 1,... , п, из уравнения (6) будем иметь
CTL TL / ^ \ ^ TL /\
L^(^-'3 _pu-3^ckrk3V =0, 7 1.,п-1, п — 1 \ ^^ / П + 1 \ ^^/
J х fc=i ' J х fc=i'
(7) п и ^2 Cj = 1. Положим 3 = 1
п
Ь3 = ЕС^- (8)
к = 1
Тогда п п
Ескгк3 = ЕскГк"3 =к-3.
Положив a = arg(£n - pnY равенство (7) можно переписать в виде
----? _ р-зь1г_Д = —— ^3 - Р^3ЬД , 7 = 1,... , п - 1. п — 7 \ / п + 7
Введя обозначения
е р’
7 = 1,... , п — 1.
2ia " Т 7 -2-/
Р3=е ---7Р Л
77-7
получаем систему b3 -Pjbn-j = тп+з -РзГг \
Взяв из этой системы равенство, сопряженное к равенству, получаемому при j = n — k, и равенство при ; = к, будем иметь
-pkbk + bu_k = т2п"к - ри_ктк, bk - ркЬп-к = тп+к - ркт""к, k = V-- ,п-1.
Отсюда
Ркт""^-1НтЧтп-РкРп-к)
Ьк = --------------:------=------------------•
-
1 -РкРп-к
Это выражение для Ьк легко привести к виду (5). Из равенств (8) и того, что b0 = 1, получаем к=0
Список литературы Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности
- Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций//Мат. заметки.-1972.-Т. 12, № 4.-С. 465-476.
- Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек//Мат. заметки.-1976.-Т. 19, № 1.-С. 29-40.
- Осипенко К. Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди -Соболева//Мат. сб.-2001.-Т. 192.-С. 67-86.
- Magaril-Il'yaev G. G, Osipenko K. U., Tikhomirov V. M. Optimal recovery and extremum theory//CMFT.-2002.-V. 2, № 1. (в печати).
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным//Мат. заметки.-1991.-Т. 50, № 6.-С. 85-93.
- Horwitz A., Newman D. J. An extremal problem for analytic functions with prescribed zeros and r-th derivative in H^\infty//Trans. Amer. Math. Soc.-1986.-V. 295, № 2.-P. 699-713.