Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности

Автор: Осипенко Константин Юрьевич

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.5, 2003 года.

Бесплатный доступ

В работе строится оптимальный метод восстановления аналитических в единичном круге функций, первая производная которых ограничена, по информации о значениях этих функций в равномерной сетке на окружности |z|=\rho, 0

Короткий адрес: https://sciup.org/14318072

IDR: 14318072

Текст научной статьи Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности

При г = 0 задача (1) была поставлена и решена в работах [1, 2]. Случай г > О является более сложным и здесь известны результаты лишь при Ц дь ... , д„ G (-1,1) (см. [3]) и щ = ... = zn = 0 (см. [4]).

Данная работа посвящена случаю r = 1, £ Е D и z3 = т3 = рДз-^М^ j = 1,... ду 0 <  р < 1. Оптимальный метод восстановления для этого случая приводился в работе [4] без доказательства (при этом для его построения эвристически применялся принцип Лагранжа). Здесь приводится построение оптимального метода восстановления с полным доказательством, используя метод параметризации экстремальной функции, предложенный в работе [3].

Начнем с одного простого вспомогательного результата.

Лемма 1. Пусть комплекснозначная функция УД дифференцируема, в точке До G С как функция вещественных переменных х,у Д = х + ДУ Тогда, если |/(д) имеет экстремум в точке zq , то в этой точке выполняется равенство df —9f

= 0.

+

dz dz

< Пусть /(г) = u(z) + w(^). Тогда из необходимого условия экстремума вытекает,

что в точке ^o

du    du          du    du

u—+ v—= 0,   u—+ v—= 0.

dx    dx          dy    dy

Отсюда

^ + 7)^ + l(/-7)^ = o, 2        dx            dx

^u + n^ + ^f-n^-».

2        dy   2г        dy

Умножив второе равенство на г и сложив его с первым, будем иметь

/

Эи Эи dx dy

г / ди   ди

2 \ dx   ду

— (1 / ди  ди\   г (ди   ди\\    df  —df n

+ f ----+ ---1-- = f— + f— = 0

J \2 \dx  dy)  2\dx  dyjj  J dz  J dz

Из общих результатов о задачах восстановления (см. [2, 5]) вытекает, что в задаче (1) существует линейный оптимальный метод восстановления

п

Н^^СзМУ

3 = 1

а для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство

E^H^z^.. . ,г„) = sup |/(^)|.

fOi ^--^fOn )=о

Теорема 1. Пусть ^ € D, 0 <  р < 1, ^ — е1^ У^Чь И _ _ ^, ^ _ ^ ТрГда

Flf Н1 т т I -

(S , -“ ОО , и , . . . , тп ) —

а единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод

,. п /п— 1        \

/и--Е Е«Т

1 j = l \k = 0       /

f(T3'L

где b0 = 1,

Pn(qkf k-C+k) + e(rk-gk^n-k^ pk^rk - p2n)

n + k        ^2n — кфп + к')

Qk = ^k1 Гк = Цп - k^ ’

к = 1,... , n — 1.

< Напомним, что произведением Бляшке порядка п называется функция вида

п

J = 1

1 — a^z

где А = 1, а «7 < 1, 7 = 1,... ,п. В работе [6] было доказано, что если функция /о такова, что /0(^) = ... = /0(г„) = 0 и ^ — произведение Бляшке порядка п - 1, то она является экстремальной в задаче (3) при г = 1. Отсюда вытекает, что для г = 1 и ^ = Tj, 7 = 1,... ,П, экстремальной функцией в задаче (3) является функция

-Tl _ f„^ = ---^.

п

Тем самым доказано равенство (4).

Займемся теперь построением оптимального метода. Положим B0^z) = 1 и

——— ---—, k = 1,... , п - 1,

1 + £kzBk_^

где e/J < 1, k = 1,... ,п — 1. Легко убедиться, что Bn_i 0 , Л, • • • , Ог-i) € Dn рассмотрим функцию

Для Р =

fp^ = ЕО + j О

Очевидно, что fP G Н^, и /р0 = /0, где Ро = (—рп/п, 0,... , 0). Пусть метод (2) является оптимальным в задаче (1) при г = 1. Тогда при всех Р G Dn имеет место неравенство

п

Ы^-'Ес.ы^

Следовательно, модуль функции

1/РоО

уДоЛх,--- ,Gi-i) = fp^ - ^С3}Р3^ j=i

в точке Ро достигает своего максимума. Из леммы 1 вытекает, что в точке Ро должны выполняться равенства

9 g , -9g

Эе; Эе3

= 0,

7=0,1,... , п — 1.

В силу того, что

Жг-1

= /г-1-1

ЭВ;

9е3

= zn"j-\ 7 = 1,... ,n-1,

имеем

9/р                  . 1               ajP

~—      =----т, 7 = 1, • • • ,п - 1, -— р_р0 п з                      У^о

Аналогичные вычисления дают

9fp          ^j - , Л 8fp р=р0 ^^3                  OEo

Тем самым

^ Р=Р0

9^3 р=р0

и, кроме того,

п

Е с-^

fc=l

7 = 1,... , п — 1,

п

ЕСг

3 = 1

^- = 1-

>=0.

Учитывая, что т^ = pu ^ к = 1,... , п, из уравнения (6) будем иметь

CTL TL /                   ^            \      ^ TL /\

L^(^-'3 _pu-3^ckrk3V                    =0, 7 1.,п-1, п — 1 \          ^^      /   П + 1 \          ^^/

J х               fc=i         '           J х               fc=i'

(7) п и ^2 Cj = 1. Положим 3 = 1

п

Ь3 = ЕС^-                         (8)

к = 1

Тогда п              п

Ескгк3 = ЕскГк"3 =к-3.

Положив a = arg(£n - pnY равенство (7) можно переписать в виде

----?     _ р-зь_Д = —— ^3 - Р^3ЬД , 7 = 1,... , п - 1. п — 7 \                / п + 7

Введя обозначения

е р’

7 = 1,... , п — 1.

2ia " Т 7 -2-/

Р3=е ---7Р Л

77-7

получаем систему b3 -Pjbn-j = тп+з -РзГг \

Взяв из этой системы равенство, сопряженное к равенству, получаемому при j = n — k, и равенство при ; = к, будем иметь

-pkbk + bu_k = т2п"к - ри_ктк, bk - ркЬп-к = тп+к - ркт""к, k = V-- ,п-1.

Отсюда

Ркт""^-1НтЧтп-РкРп-к)

Ьк = --------------:------=------------------•

  • 1    -РкРп-к

Это выражение для Ьк легко привести к виду (5). Из равенств (8) и того, что b0 = 1, получаем к=0

Список литературы Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности

  • Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций//Мат. заметки.-1972.-Т. 12, № 4.-С. 465-476.
  • Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек//Мат. заметки.-1976.-Т. 19, № 1.-С. 29-40.
  • Осипенко К. Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди -Соболева//Мат. сб.-2001.-Т. 192.-С. 67-86.
  • Magaril-Il'yaev G. G, Osipenko K. U., Tikhomirov V. M. Optimal recovery and extremum theory//CMFT.-2002.-V. 2, № 1. (в печати).
  • Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным//Мат. заметки.-1991.-Т. 50, № 6.-С. 85-93.
  • Horwitz A., Newman D. J. An extremal problem for analytic functions with prescribed zeros and r-th derivative in H^\infty//Trans. Amer. Math. Soc.-1986.-V. 295, № 2.-P. 699-713.
Статья научная